方向导数与梯度PPT课件

证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，

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二、梯度的概念
定义 2 若 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 0 0 0 0
存在偏导数 ， 则称向量 ( f ( P ), f ( P ), f ( P ) x 0 y 0 z 0
为函数 f在点 P 的梯度 ， 记为 0
grad f ( f ( P ), f ( P ), f ( P )) x 0 y 0 z 0
x
0
y
P0
y
x
x
y
P
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l
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2 u x yz 在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向 例1. 求函数
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2 co s , 2 2 2 14 2 ( 1 ) 3 2
o ( ) f ( P ) cos fy( P ) co s fz(P cos x 0 0 0)





令 ρ→0 取极限，得
f ( P ) f ( P ) cos f ( P ) cos f ( P ) co l 0 x 0 y 0 z 0
z
z



l
y
P0 x y
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f在 数 P 点 ( x ,y , z ) 处可 , 微 定理17.6: 若 函 0 0 0 0
则函数在该点沿任意方向cos , cos , cos 为方向 l 的方向余弦 .

z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为 的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如： 函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等 量 面 为 ： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方 向 ， 即 方 向 导 数 取 最大 值 的 方 向G，的 模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义 设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一

到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P



x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
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| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
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梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
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小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.