2019_2020学年高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2_2

- 1 - 学期综合测评(二)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．下列说法正确的是( )

A．2＞2i B．2＞(3i)2

C．2＋3i＜3＋3i D．2＋2i＞2＋i

答案 B

解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A，C，D；而B中(3i)2＝－9＜2，故选B.

2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步：

①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；

②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；

③假设直线AC，BD是共面直线．

则正确的顺序为( )

A．①→②→③ B．③→①→②

C．①→③→② D．②→③→①

答案 B

解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.

3．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，应( )

A．假设a，b，c至少有一个大于1

B．假设a，b，c都大于1

C．假设a，b，c至少有两个大于1

D．假设a，b，c都不小于1

答案 D

解析 假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.

4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝nn2＋3时，从n＝k 到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )

A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2

C．(k＋1)2 D.13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]

答案 B

解析 n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，

∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2. - 2 -

5．定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是( )

A．(－∞，1)

B．(－∞，2)

C．(0,1)

D．(1,2)

答案 B

解析 由题中图象知ef′(x)≥1，即f′(x)≥0时，x≤2，

∴y＝f(x)的增区间为(－∞，2)．

6．已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋axn≥n＋1，则a的值为( )

A．n2 B．nn C．2n D．22n－2

答案 B

解析 由x＋1x≥2，x＋4x2＝x＋22x2≥3，

x＋27x3＝x＋33x3≥4，…，

可推广为x＋nnxn≥n＋1，故a＝nn.

7．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) - 3 - A．1 B.43

C.3 D．2

答案 B

解析 由 y＝1，y＝－x2＋2x＋1，知 x＝0，y＝1或 x＝2，y＝1.故所求面积S＝02(－x2＋2x＋1)dx－021dx＝(－13x3＋x2＋x)||20－x20＝43.故选B.

8．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列各点一定在y轴上的是( )

A．(b，a) B．(a，c)

C．(c，b) D．(a＋b，c)

答案 A

解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b＝0.故选A.

9．已知函数f(x)(x∈R)满足f(2)＝3，且f(x)在R上的导数满足f′(x)－1＜0，则不等式f(x2)＜x2＋1的解集为( )

A．(－∞，－2)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2，2)

答案 C

解析 令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＜0，

∴g(x)在R上单调递减．由f(x2)＜x2＋1，得f(x2)－x2＜1，即g(x2)＜1.又g(2)＝f(2)－2＝1，∴g(x2)＜g(2)，∴x2＞2，解得x＞2或x＜－2.故选C.

10．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )

A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤

答案 C

解析 若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C.

11．定义复数的一种运算z1]|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，- 4 - 且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z 的最小值为( )

A.92 B.322 C.32 D.94

答案

B

解析 z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤a＋b22＝94，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.

12．若0

A．2x>3sinx B．2x<3sinx

C．2x＝3sinx D．与x的取值有关

答案 D

解析 令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.

当cosx<23时，f′(x)>0，

当cosx＝23时，f′(x)＝0，

当cosx>23时，f′(x)<0.

即当0

而f(0)＝0，fπ2＝π－3>0.

故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关．故选D.

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．

答案 2＋i

解析 ∵1－3i1－i＝－＋－＋＝4－2i2＝2－i，

∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.

14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．

答案 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S632

解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积- 5 - 为边长的立方．由正方体的边长为S6 12 ，通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S632 .

15．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是________．

答案 (0,2)

解析 由f′(x)＝x2－4x＋3＜0得1＜x＜3，即函数f(x)的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f(1＋x)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f(1＋x)的单调递减区间为(0,2)．

16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．

答案 1191

解析 设第n(n≥2且n∈N*)行的第2个数字为1an，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n，

∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，

∴1a20＝1191.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)已知复数z满足|z|＝2，z的虚部为1，且在复平面内表示的- 6 - 点位于第二象限．

(1)求复数z；

(2)若m2＋m＋mz2是纯虚数，求实数m的值．

解 (1)设z＝a＋bi，(a，b∈R)，

则a2＋b2＝2，b＝1.

因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a＜0，所以a＝－1，b＝1，

所以z＝－1＋i.

(2)由(1)得z＝－1＋i，

所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，

所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.

又因为m2＋m＋mz2是纯虚数，

所以 m2＋m＝0，－2m≠0，所以m＝－1.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax－1，

∴f′(x)＝3x2＋2f′23x－1，

∴f′23＝3×49＋2f′23×23－1，

∴f′23＝－1，∴a＝－1.

(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－x＋c，

∴f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．

令f′(x)＞0得x＜－13或x＞1，

令f′(x)＜0得－13＜x＜1，

∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为－13，1.

19．(本小题满分12分)求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成的平面图形的面积．

解 作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，如图：