2019_2020学年高中数学第三章单元质量测评(二)(含解析)新人教A版选修1_1

- 1 - 第三章 单元质量测评(二)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知物体的运动方程是s＝14t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )

A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒

答案 D

解析 s′＝14t4－4t3＋16t2′＝t3－12t2＋32t＝t(t－4)(t－8)，令s′＝0，则有t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0或t＝4或t＝8.

2．已知f(x)是可导的函数，且f′(x)

A．f(1)e2014f(0)

B．f(1)>ef(0)，f(2014)>e2014f(0)

C．f(1)>ef(0)，f(2014)

D．f(1)

答案 D

解析 令g(x)＝fxex，则g′(x)＝exf′x－exfxex2＝f′x－fxex<0，

∴函数g(x)在R上单调递减，

∴g(1)

即f1e

化为f(1)

所以D项正确．

3．函数y＝2x3－2x2在[－1,2]上的最大值为( )

A．－5 B．0

C．－1 D．8

答案 D

解析 y′＝6x2－4x＝2x(3x－2)，列表：

x －1 (－1,0) 0 0，23 23 23，2 2

y′ ＋ － ＋

y －4 0 －827 8

所以ymax＝8.故选D.

4．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) - 2 - A．0 B．1

C．2 D．3

答案 B

解析 设f(x)＝2x3－6x2＋7，

则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．

∵x∈(0,2)，∴f′(x)<0.

∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1，

∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，

即方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．

5．若函数f(x)＝13x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )

A.1，43 B.0，43

C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.0，43

答案 A

解析 f′(x)＝x2－2ax＋a，

由题意知，f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，且f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，

由题意知，即 a>0，1－a<0，4－3a>0⇒1

6．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )

答案 D - 3 - 解析 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.

7．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) B．(－∞，4]

C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

答案 B

解析 由2xln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋3x，设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．

8．直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )

A．1 B.12 C.52 D.22

答案 D

解析 |MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，显然x＝22是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝22.

9．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

答案 C

解析 函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，一定有：当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，函数是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数是增函数，所以C项正确．

10．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( )

A．20 B．9

C．－2 D．2

答案 C

解析 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C. - 4 - 11．对于R上可导的任意函数f(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则( )

A．a

C．c

答案 B

解析 由当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，知f(x)在(－∞，1)上为增函数．又由f(x)＝f(2－x)得c＝f(3)＝f(－1)，所以c

12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)>－xf′(x)，则一定有( )

A．函数F(x)＝fxx在(0，＋∞)上为增函数

B．函数F(x)＝fxx在(0，＋∞)上为减函数

C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数

D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数

答案 C

解析 设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，故G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．曲线y＝x＋1x2在点(1，m)处的切线方程为________．

答案 3x＋y－5＝0

解析 由题意得m＝2，

y′＝x2－2xx＋1x4＝－x－2x3，y′|x＝1＝－3，

切线方程为y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0.

14．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

答案 (－2,15)

解析 ∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.又点P在第二象限内，∴x＝－2，∴点P的坐标为(－2,15)．

15．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．

答案 22，＋∞

解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，令f′(x)>0，得x>a或x<－a，令f′(x)<0得－a0，∴2a3＋a>0，当x＝a时，f(x)取极小值f(a)＝a－2a3， - 5 - ∴ 2a3＋a>0，a－2a3<0，a>0，解得a>22.

16．已知函数y＝f(x)在定义域－32，3上可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集是________．

答案 －32，－12∪[0,1]

解析 当x<0时，f′(x)≥0的解集是－32，－12，

当x>0时，f′(x)≤0的解集是(0,1]，

当x＝0时，xf′(x)≤0也成立，

所以不等式xf′(x)≤0的解集是－32，－12∪[0,1]．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，

(1)当c＝0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y＝x＋2，求a，b的值；

(2)若f(x)在点A(－1,8)，B(3，－24)处有极值，求f(x)的表达式．

解 (1)当c＝0时，f(x)＝x3－2ax2＋bx.

所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.依题意可得f(1)＝3，f′(1)＝1，即 1－2a＋b＝3，3－4a＋b＝1，解得 a＝2，b＝6.

(2)f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，

所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.

由题意知－1,3是方程3x2－4ax＋b＝0的两根，

所以 －1＋3＝4a3，－1×3＝b3，解得a＝32，b＝－9，

由f(－1)＝－1－2a－b＋c＝8，a＝32，b＝－9， - 6 - 可得c＝3，所以f(x)＝x3－3x2－9x＋3.

检验知，符合题意．

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝－13是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a)上的最大值．

解 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3.

∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f′(1)＝－2a≥0，∴a≤0.

即a的取值范围为(－∞，0]．

(2)依题意，得f′－13＝0，即13＋23a－3＝0，

∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.

令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－13，x2＝3，则当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

x 1 (1,3) 3 (3,4)

4

f′(x) － 0 ＋

f(x) －6 －18 －12

由上表可知f(x)在[1,4)上的最大值是f(1)＝－6.

19．(本小题满分12分)当0x－x36.

证明 设函数f(x)＝sinx－x＋x36，显然f(0)＝0，则f′(x)＝cosx－1＋x22＝x22－2sin2x2

＝2x22－sinx22.

又因为0sinx，所以

x2>sinx2>0，x22－sinx22>0.

故f′(x)>0，函数f(x)在0，π2上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即sinx>x－x36.

20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln (x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收益为零．

(1)求a，b的值；

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

解 (1)由投资额为零时收益为零，