结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载

MC

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结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
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限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m

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s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l

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q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB

第14章　结构的极限荷载复习思考题1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？答：（1）极限状态和极限荷载的含义：①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。

（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。

2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。

因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。

（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。

因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。

3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：（1）机构条件机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。

（2）内力局限条件内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。

（3）平衡条件平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。

4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。

（2）与极限荷载的关系极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。

i 1
上式中，n是塑性铰数目。
取任一可接受荷载 FP，相应的弯矩图称为 M 图。令
此荷载及内力在上述机构位移上作虚功，虚功方程为：
由实验可知理想刚塑性材料模型能较为准确反映结构极限状态的变形。
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理想弹性状态下的变形（弹性变形）
强梁弱柱
理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）
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极限荷载
塑性铰
弯矩图
极限弯矩（P266）
杆件截面所能承受的最大弯矩。
塑性铰（P267）
当截面弯矩达到极限弯矩时，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相 对转角，产生局部弯曲变形，这种情况与带铰的截面相似，称为塑性铰。
对称截面的形心轴 与等面积轴重合， 皆为对称中心线。
矩形截面：
1.5
Mu Wu
M s Ws
圆形截面：
16 3
薄腹工字截面： 1.1
M
M
M
弹塑性变形发展阶段
Mu Ms
M s 屈服弯矩 M u 极限弯矩
弯矩与转角的关系曲线
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弯矩M与曲率r的关系曲线例
h b
h strain
例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu（P269）
1）静力法(作弯矩图)：
FP
解： 结构在A、C截面出现塑性铰。 A
l/2 C
l/2
B
FPu
6M u l
Mu
FP
A
C
B
Mu
极限状态弯矩图
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2）虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰
A
C
Mu
Mu Wu s

u
2
u
u
l
例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。 解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。 静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有
Fu ab Mu Mu l
得极限荷载
Fu
2l Mu ab 2l Mu ab
机动法：作出机构的虚位移图如图c。
求得极限荷载为
Mu Fu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。 图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。 荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。 荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件） 可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。 （不一定满足机构条件） 1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。 2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。 3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。
0.8Fa M u 2 M u
3.75 M u F a
第2跨机构如图c。
F 2a a M u M u 2 M u a 2 F 4M u a
第3跨机构如图d。
Fa F 2a M u 3M u 3
F
3.33M u a