结构力学15第十五章结构的塑性分析与极限荷载PPT课件

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1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后在C点卸载至D点，
即应力减小为零，此时，应变并不等于零，而 为εP，由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变 的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
ε o
ε
s
ε
Dε
P
s
ε
理想弹塑性模型
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2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力， 可以有不同的应变ε与之对应。
在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承受 的荷载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系 数得到容许荷载并进行设计。
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二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性， 其应力与应变关系如下：
s A
CB
s A
CB
ε o
ε
s
ε
D
ε
P
s
ε
a) 理想弹塑性模型
ε
o εs D
b) 弹塑性硬化模型
第十五章 结构的塑性分析与极限荷载
§15-1 概述 §15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §15-3 超静定梁的极限荷载 §15-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 §15-5 刚架的极限荷载
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§15-1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性设计是在计算中假设应力与应变为 线性关系，结构在卸载后没有残余变形。
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一、单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形 态，即确定塑性铰的位置及数量。
塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷 载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直 至结构变为具有自由度的机构从而丧失承载能 力为止。
极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结 构变形的过程以及塑性铰形成的次序。
塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增 量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性 铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角。
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FPu
l/2
l/2
FPu Mu
Mu
简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，
梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截面形 成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度
可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称
s A
1 A1
C
B
C1
B1
o εA
εB εC ε
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
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§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
一、 极限弯矩
下图示理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁， 随着M 增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶 段最后到塑性阶段的过程（见下页图）。无论 在哪一个阶段，平截面假定都成立。
M
M
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例15-3-3 求梁的极限荷载，已知梁截面极限弯矩
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 MA 0
FRB 1l(12qul2 Mu)
qu
A
Mu A
l-x
Mu C xC
B
F RB
FRB
1 2qul
Mu l
qu
BC段平衡 Fy 0
FQCFRBqux0
C
F QC
(qul22M u)28qul2M u l4 q u 2 1 2 l2M uq u 4 M u 20
q u 1 2 l2 M u1 4 2 4 l l4 4 M u 2 1 6 l4 M u 2 1 2 l2 M u 2 1 l 1 4 .3 1 4 l2 M u qu23.31 24 l4 l2M u11.657M l2u
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例15-3-2 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
解：
外力虚功
A
C
B
l/2
l/2
Байду номын сангаас
W21 2qull4 1 4qul2
内力虚功
A Mu l
4
Mu
l
W i M u M u 2 M u 4 M u 2
qu
C
l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得
1 4
qul2
4Mu
所以有
qu
16M u l2
h
b
7
b h
s
s
s
y0 y0
s
s
s
a)
b)
c)
图a）——截面还处在弹性阶段，最外纤维处
应力达到屈服极限σs ，截面弯矩为：
MS
bh2 6
s
Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。
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图b）——截面处于弹塑性阶段，截面外
s
边缘处成为塑性区，在截面内部仍为弹性
区。
y y0
s
图c）——截面处于塑性流动阶段。在弹
利用弹性计算的结果，以许用应力（弹 性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强 度验算，就是弹性设计的作法。
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弹性设计的缺点是：对于塑性材料的结构，特别 是超静定结构，当最大应力达到屈服极限，甚至某 一局部已进入塑性阶段，但结构并没有破坏，即结 构还没有耗尽承载能力。由于没有考虑材料超过屈 服极限后的这一部分承载能力，因而弹性设计不够 经济。
利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静 力法。
利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。
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例15-3-1 求梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu。
解：
FP
结构在A、C截面出现塑 性铰。
A
C
B
l/2
l/2
1）静力法：
1
1
Mu
Mu 4 FPul 2 Mu
A
FPu
(Mu
1 2
Mu )
4 l
6Mu l
FPu
y0 y0
s
b)
s
塑性阶段，随着M增大，弹性核高度逐渐减
小最后y0→0。此时相应的弯矩为：
Mu
bh2 4
s
c)
s
Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯
矩。
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二、 塑性铰和极限荷载
在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的 情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的 相对转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩 Mu时，就称该截面产生了塑性铰。
Mux
B
F RB
FRB qux 1 2qulM luqux
x1lM u 2 qul
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BC段平衡 MC 0
qu
C
B
M u F R B x 1 2 q u x 2 q u x 2 1 2 q u x 2 1 2 q u x 2 F Q C Mux
F RB
M u 1 2 q u (1 2 l M q u l u )2 1 2 q u(q u l( 2 2 q u 2 lM )2 u )2 8 q 1 u l2 (q u l2 2 M u )2
为极限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。
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§15-3 超静定梁的极限荷载
对于静定结构，当一个截面出现塑性铰时， 结构就变成了具有一个自由度的机构而破坏。
对于具有n个多余约束的超静定结构，当出 现n+1个塑性铰时，该结构变为机构而破坏。 或者塑性铰虽少于n+1个，但结构局部已经变 为机构而破坏。
C
B
Mu
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2）虚功法
A
Mu
1 Mu l/2
FPu
C
1
2 l/2
B
1l/22 l 2214 l
令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载
FPu同向，大小为δ。
外力虚功：
W FPu
内力虚功：
W i M u 1 M u 2 M u(2 l 4 l)6 M lu
由We=Wi，可得：
FPu
6M u l