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人教版数学七年级下册6.3《实数》教案2一. 教材分析本节课是人教版数学七年级下册第六章第三节《实数》的教学内容。
在这一节中，学生将学习实数的概念、性质以及实数的运算。
实数是数学中的基础概念，包括有理数和无理数。
学生需要掌握实数的分类、实数的性质以及实数的运算方法。
这一节内容是学生进一步学习数学的基础，也是培养学生逻辑思维能力的重要环节。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了有理数的概念和运算，对数的概念和运算也有一定的了解。
但学生对无理数的概念和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
同时，学生可能对实数的运算方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解实数的概念，掌握实数的性质，学会实数的运算方法。
2.过程与方法：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生感受到数学的美。
四. 教学重难点1.重点：实数的概念、性质和运算方法。
2.难点：无理数的概念和性质，实数的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、自主探究法和合作交流法进行教学。
通过设置问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣；给予学生足够的自主探究时间，培养学生的独立思考能力；学生进行合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实数的概念、性质和运算方法。
2.练习题：准备一些关于实数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习有理数和无理数的概念，引导学生思考实数的定义。
提问：同学们，我们已经学习了有理数和无理数，那么实数是什么呢？2.呈现（15分钟）利用PPT展示实数的概念和性质，让学生初步了解实数。
同时，介绍实数的运算方法，如加法、减法、乘法和除法。
3.操练（15分钟）让学生进行实数的运算练习，巩固所学知识。
可以让学生独立完成练习题，也可以进行小组合作，共同解决问题。
第六章实数1.理解算术平方根、平方根、立方根等概念及其有关概念的意义,并会用根号表示它们.2.会求平方根、算术平方根和立方根。
3.理解有理数、无理数以及实数的概念,知道这些数和数轴上的点的对应关系.4.会进行实数的运算.1.抓住新旧知识的联系，灵活运用乘方、开方、有理数的知识,实现知识的迁移，并使新旧知识融会贯通。
2。
深刻理解并掌握类比的方法，并针对所学的知识启发学生深入思考,交流、探讨，将知识学深、学透、学活。
3。
重视对数学思想方法的掌握与运用，达到优化解题思路、简化解题过程的目的。
培养认真观察、仔细思考的学习习惯，培养从生活中发现、解决数学问题的意识.本章教材在初中数学中具有重要的地位，本章知识是有理数到实数的扩展，是进行其他学习的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解三角形、函数、分式等），几乎贯穿了整个数学体系之中。
本章主要学习了算术平方根、平方根、立方根的概念,无理数和实数的概念及实数的运算.教材从典型的实际问题入手，首先介绍算术平方根,给出算术平方根的概念和符号表示.在学习算术平方根的基础上学习平方根,利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征.类比平方根学习立方根,探讨立方根的特征,最后学习无理数及实数的运算。
【重点】1.算术平方根、平方根、立方根、实数的概念.2.会求某些非负数的平方根及某些数的立方根.3。
知道实数与数轴上的点一一对应,并能进行实数的运算。
【难点】求非负数的平方根、算术平方根及算术平方根与平方根的区别与联系。
1。
关于平方根与算术平方根的学习。
(1）通过让学生计算两个不为零的互为相反数的数的平方是同一个正数，总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”的性质,加深感性认识。
（2)帮助学生正确认识算术平方根的两个非负性:一是被开方数的非负性，即只有非负数才有算术平方根(在中a≥0）;二是算术平方根本身的非负性,即一个非负数的算术平方根是一个非负数（≥0,a≥0).2。
人教版数学七年级下册教学设计6.3《实数》一. 教材分析人教版数学七年级下册第6.3节《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统认识的一节内容。
本节内容主要包括实数的定义、实数与数轴的关系以及实数的分类。
通过本节课的学习，使学生了解实数的丰富性和广泛性，培养学生对实数的认识和理解。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数和无理数的基本概念，对数轴也有了一定的认识。
但学生在实数的分类方面可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生充分理解实数的内涵和外延。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数与数轴的关系。
2.能够对实数进行分类，了解实数的丰富性和广泛性。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.实数的定义和实数与数轴的关系。
2.实数的分类和各类实数的特征。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；通过案例分析，使学生直观地理解实数的概念；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和表达能力。
六. 教学准备1.准备与实数相关的案例和图片，以便在教学中进行展示和分析。
2.准备实数的分类表格，方便学生理解和记忆。
3.准备数轴的道具或图片，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，我们已经学习了有理数和无理数，那么你们能总结一下有理数和无理数的特征吗？”2.呈现（10分钟）教师通过PPT或板书，呈现实数的定义和实数与数轴的关系。
同时，结合案例和图片，使学生直观地理解实数的概念。
例如：“同学们，今天我们要学习的是实数。
实数包括有理数和无理数，它们都可以用数轴上的点来表示。
请大家观察这个数轴，找出一些特殊的点，并试着解释它们的含义。
”3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据实数的定义和实数与数轴的关系，对给定的实数进行分类。
人教版七年级下册第六章实数教学设计
一、教学目标
1.知识目标：掌握实数的概念与性质，能够实现实数的加减乘除运算。
2.技能目标：能够应用实数进行简单实际问题的解决。
3.情感目标：培养学生的数学思维能力，提高数学学科的探索性与创造
性。
二、教学重点难点
1.教学重点：实数的概念与性质，实数的加减乘除运算。
2.教学难点：实数概念的理解与应用，实数加减乘除运算的实际应用。
三、教学步骤与方法
1. 激发兴趣，导入新课
通过一些有趣、生动的例子，引导学生认识实数的重要性与价值。
例如，通过一些实际应用情景的分析，让学生感受实数的实际应用之处。
2. 知识的教授
(1) 实数的概念与性质
通过教师讲解实数的定义与性质，以引导学生认识实数的本质特征：即包含所有有理数和无理数。
同时，带领学生感受实数与有理数、无理数之间的关系。
(2) 实数的加减运算
通过举例教学与练习，让学生掌握实数的加减运算，了解不同类型的实数加减操作的不同应用。
包括正数加正数、正数加负数、负数加正数、负数加负数的加减乘除运算。
1。
实数（一）教学目标：一、认知目标：1、了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类；2、了解实数与数轴上点的一一对应关系。
二、过程目标：1、经历在实际情境中产生，并通过逼近的方法探究是怎样的一个数的过程，体验无理数；三、情感目标：经历探索数系从有理数到实数的扩充过程，培养探索精神，激发求知热情；通过实数的分类培养分类思想，发展分类意识。
四、重点：无理数、实数的概念及实数的分类五、难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系教学过程：一、温故知新1.有理数：整数和分数统称为有理数.2.有理数的分类：按定义分类：有理数可分成两类：整数和分数.按符号分类：有理数可分成三类：正有理数、负有理数和零.3.我们知道，不是有理数，那么是一个怎样的数呢？本节内容将扩大数系的范围，研究类似这样的数的分类问题．二、创设情境，引入新课问题:请学生阅读P11“思考”及图6-5，然后回答：1、有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？2、有面积是2的格点正方形吗？把它画出来。
设边长为x ，则x =2 ,因为x＞0 ,所以x= .三、讲授新课1、问题:探究是怎样的一个数?引导学生用课本P12的逐步逼近的方法,经过探究得出:=1.4142135……,以上可以根据我们的需要,算到小数点后的任何一位, 是一个无限不循环小数.2、无理数的概念无限不循环小数叫做无理数如，=1.732050508……；=1.44224957……；π=3.14159265……，等。
3、实数的概念及分类（1）有理数和无理数统称为实数。
（2）实数的分类：（两种方法）实数分类一：实数分类2：4、探索实数与数轴的一一对应关系问题：能用数轴上的点表示吗？（1）讲解课本P14图6-7 ，引导学生说明其意义。
（2）归纳：与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的点不是表示有理数就是表示无理数。
实数与数轴上点的一一对应。
巩固练习：P14练习1、2补充练习：1、求下列各式中的x的值：（1）x2-4=0 ; (2) (x+1) =2 ;(3)3x =8 ；（4）（x+1） +8=0 .已知实数 x、y满足，求x-8y的平方根和立方根。
人教版七年级下册第六章实数课程设计一、课程目标1.认识实数概念及其性质；2.熟练掌握实数的加、减、乘、除运算；3.了解实数的大小关系及其应用。
二、教学重点和难点1.重点：实数的概念及运算；2.难点：实数间大小关系的比较及其应用。
三、教学内容及安排1. 实数的概念与性质（1课时）教学内容1.实数的概念；2.实数的分类；3.实数的性质：稠密性、有理数密度性等。
教学安排1.介绍实数的概念和定义；2.引导学生了解实数的分类；3.讲解实数的性质，提醒学生要注意其中的细节。
2. 实数的加减运算（2课时）教学内容1.实数的加减法定义；2.实数的加减法规则；3.实数加减法的性质。
教学安排1.给学生讲解实数的加减法定义和规则；2.引导学生练习实数的加减运算；3.强调实数加减法的性质，引导学生从运算中寻找规律。
3. 实数的乘除运算（2课时）教学内容1.实数的乘法定义；2.实数的除法定义；3.实数乘除法的性质。
教学安排1.讲解实数的乘除法定义；2.以例题为例，引导学生掌握实数的乘除法运算；3.强调实数乘除法的性质，让学生掌握实数运算的灵活运用。
4. 实数的大小关系与应用（2课时）教学内容1.实数大小关系的比较；2.已知某一实数时，如何求另一实数。
教学安排1.讲解实数的大小关系及其比较方法；2.引导学生从实际问题中找到应用实数知识的方法；3.以例题为例，让学生掌握已知某一实数时，如何求另一实数的方法。
四、教学方法1.合作探究法：通过情境模拟、角色扮演等方式激发学生的学习兴趣；2.课堂讲解法：重点内容采用讲解、演示等方式进行教学；3.练习提高法：加强练习和巩固，提高学生学科素养。
五、评价方法1.检测学生实数概念、运算方法、大小关系及应用的掌握情况；2.通过小组合作、课堂讨论、思考题等方式，检测学生的思维能力；3.常规检测和期末考试，全面评价学生的学业水平。
六、教学资源准备1.幻灯片及投影仪等课堂教学设备；2.针对不同知识点的练习题目、案例问题及习题解答；3.优秀教学视频及教材参考资料等。
《实数》教学设计一、学习目标1、了解无理数、实数的概念和分类，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小。
2、了解实数的运算法则及运算律，准确地进行实数范围内的运算。
二、新课导入1的平方根是 __，算术平方根是 ．2、一个数的立方根等于它本身，这个数是 ．3、 2.078=0.2708=，则y =（ ）Ａ．0.8966 Ｂ．0.008966Ｃ．89.66 Ｄ．0.00008966三、自主学习认真阅读课本第53页至第54页的内容。
Ⅰ、完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3=______，25=______，35-=______， 427=______，119 =______，911=______。
我们发现，上面的有理数都可以写成________ 或者 的形式。
归纳 事实上，任何一个 都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
反过来， 任何__________________________也都是有理数。
观察 我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做 _ __。
例如 ， ， ， 等都是 ____ 。
3.14159265π=也是 。
结论 有理数和无理数统称为 。
试一试 我们学过的数可以这样分类：{实数像有理数一样，无理数也有正负之分。
，π是，，π-是。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：{四、合作探究从课本图6.3-1中可以看出OO'的长是，所以O'对应的数是．总结（1）每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
事实上，每一个也都可以用数轴上的表示出来。
这就是说，数轴上的点有些表示数，有些表示数。
（2）当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是___ 的，即每一个实数都可以用数轴上的_来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个。
（3）与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，边的点所表示的实数总比_ 边的点表示的实数。
第六章实数6.1 平方根（3 课时）课程目标一、知识与技能目标1. 通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。
了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2. 对于任意有理数都能区分其“＋” 、“－”性，运用计算器已势在必行。
二、过程与方法目标采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？三、情感态度与价值观目标1. 引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2. 了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等” ，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第1课时一、创设情境，导入新课玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。
条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。
爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。
于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，？可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。
?请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以,计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。
人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级下册6.3《实数》是学生在掌握了有理数知识的基础上，进一步学习实数的定义、性质和运算。
本节内容是整个初中数学的重要基础，对学生来说是全新的概念。
教材从学生的实际出发，通过引入无理数的概念，让学生感受实数的广泛性，进而引入实数的概念，使学生对实数有一个直观的认识。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的知识，对数的运算、大小比较等有一定的基础。
但实数是一个全新的概念，与有理数有很大的区别。
学生在学习过程中，可能对无理数的概念、实数的性质和运算产生困惑。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际出发，理解实数的定义，掌握实数的性质和运算。
三. 教学目标1.了解实数的定义，掌握实数的性质和运算。
2.能够运用实数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.实数的定义和性质。
2.实数的运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生从实际出发，理解实数的定义和性质。
2.互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3.实践操作法：通过大量的练习，让学生掌握实数的运算方法。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入新课。
2.准备PPT，展示实数的性质和运算。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如计算房屋面积、身高、体重等，引导学生从实际出发，了解无理数的概念。
进而引出实数的概念，让学生对实数有一个直观的认识。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数的性质和运算，让学生对实数有一个全面的认识。
主要包括实数的定义、性质（如正实数、负实数、零实数等）和运算（如加法、减法、乘法、除法等）。
3.操练（10分钟）让学生进行实数运算的练习，巩固所学知识。
可以设置一些具有挑战性的题目，让学生在解决问题过程中，加深对实数运算的理解。
人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》是学生在掌握了有理数的基础上，进一步对实数进行学习。
本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、实数的性质等。
教材通过实例和问题，引导学生理解实数的意义，并能够运用实数进行简单的运算和解决问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和运算方法，具备一定的数学基础。
但实数概念相对抽象，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过实例和问题，引导学生理解和掌握实数的概念。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。
2.能够运用实数进行简单的运算和解决问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.实数的定义和性质。
2.实数的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，实例帮助学生理解，小组合作促进学生交流和讨论。
六. 教学准备1.教材、PPT等相关教学资料。
2.实例和问题。
3.小组合作学习分组。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，我们已经学习了有理数，那么有理数能表示所有的数吗？还有哪些数是有理数无法表示的？”2. 呈现（15分钟）利用PPT展示实数的定义和性质，结合实例进行讲解。
例如，通过数轴展示实数，解释实数包括有理数和无理数，以及实数的性质如大小关系、加减乘除等。
3. 操练（15分钟）让学生进行实数的运算练习，巩固所学知识。
例如，给出一些实数的运算题目，让学生独立完成，然后集体讲解答案。
4. 巩固（10分钟）通过问题和小测验的形式，巩固学生对实数的理解和掌握。
例如，提出一些关于实数的问题，让学生回答，或者让学生解决一些实际问题，运用实数进行计算。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考实数在实际生活中的应用，拓展学生的思维。
第六章实数6.1 平方根(3课时)课程目标一、知识与技能目标1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。
了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。
二、过程与方法目标采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？三、情感态度与价值观目标1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第１课时一、创设情境，导入新课玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。
条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。
爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。
于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，•可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。
•请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。
二、师生互动，课堂探究(一)提出问题,引发讨论1.你能求出下列各数的平方吗?0,-1,5,2.3,-15,-3,3,1,15能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-15)2=125(-3)2=9 32=9 12=1 (15)2=1252.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?25,0,4,425,1144,-14,1.69能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0.22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.(-25)2=425,(25)2=425,故平方为425的数为±25.(-112)2=1144,(112)2=1144,故平方为1144的数为±112.对于-14这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-14的数找不到.1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,425时,此正方形的边长分别为1,3,4,6,25.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,•也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.•我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.(二)导入知识,解释疑难1.教材内容讲解欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,•这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.例1 求下列各数的算术平方根:(1)900 (2)1 (3) 4964(4)196 (5)0 (6)10-6解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即900=30.(3)∵(78)2=4964,故4964的算术平方根是78,即4964=78 (4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即196=14.(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即0=0.(6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即610- =10-3例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm 2.•已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm 的小板子,•试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm 才能拼出面积为169dm 2的桌面?分析:边长为5dm 的正方形板子,其面积为25d m 2,要拼出面积为169dm 2的桌面,还需面积为169-25=144d m 2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144•的算术平方根,144即=12. 解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x 2+52=159,x 2=169-25=144,而122=144故144的算术平方根为12,即144=12,即另一张桌面的边长应为12dm.练习:1.求下列各式的值:① 1.44; ②2(0.1)-; ③0.810.04-; ④1124. 解:① 1.44=1.2 ②2(0.1)-=0.01=0.1 ③0.810.04-=0.9-0.2=0.7 ④1124=494=72(2)若(a-1)2+│b-9│=0,则b a 的算术平方根是下列哪一个( ) A.13B.±3C.3D.-3 分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0,∴a=1,b=9, ∴b a =91=9,故b a的算术平方根是3. 3. 7-有意义吗?为什么?分析: 7-无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a 2≥0,故7-无意义.2.探究活动(1)当a 为负数时,a 2有没有算术平方根?其算术平方根与a 有什么关系?当a 为正数时,a 2的算术平方根如何表示?a 为0呢?举例说明你的结论.(2)x 2-x+14是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么? 解:当a 为负数时,a 2为正数,故a 2有算术平方根,如a=-5时,a 2=(-5)2=25, 2a =25=5,5是-•5的相反数,故a 2<0时,a 的算术平方根与a 互为相反数,表示为-a. 当a 2为正数时,a 的算术平方根表示为2a ,其值为a,即2a =a.当a=0时, 2a =0 由此可知2a =|a|=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(2)因为(x-12)2=x 2-x+14,而(x-12)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x 2-x+14有算术平方根,其算术平方根的值要视x 的取值而定.当x ≥12时,x 2-x+14的算术平方根为x-12.•当x<12时,x 2-x+14的算术平方根为-(x-12)=12-x. (三)归纳总结,知识回顾这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.练习设计(一)双基练习1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.2.求下列各式的值:0.16,11125, 2(3)- , 0.25, 210- 3.3x-4为25的算术平方根,求x 的值.4.已知9的算术平方根为a,b 的绝对值为4,求a-b 的值.(二)创新提升5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a 、b 的值.(三)探究拓展6.若4x -与4y -互为相反数,求xy 的算术平方根.参考答案 1.0,1 0; 2.0.4, 65,3,0.5,10-1(110); 3.x=3 4.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.5.a=5,b=26.x=4,y=4,xy=16,xy 的算术平方根为4.课后作业：第2课时一、创设情境，导入新课某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE 对折使点B 落在点F 的位置上,•再把多余部分FECD 剪下,如果他事先量得矩形ABCD 的面积为90cm 2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm 2.•请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.F E D CBA将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,•正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题.二、师生互动,课堂探究(一)提出问题,引发讨论在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=a•,•于是若x2=50时(x为正数),则x=50,而72<50<82,因此有7<50<8,现在我们就来学习如何求50的近似值,50是不是有理数呢?(二)导入知识,解释疑难1.教材内容讲解在上学期有理数的乘方运算中,•我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,•我们不妨用计算器验证7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故50<7.1,再验证7.092=50.27>50,故7<50 <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<50<7.08,接着继续增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<50<7.072,……如此继续进行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07……的平方值无限接近50,因此发现,50不可能化为我们以前学过的无限循环小数,•只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数,但50却不在这些数的范围内,只能说50这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?只要计算器上有“”键或者“y”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了.例1:用计算器计算3136和2,5,10的值.解:通过按键可得3136的值在计算器上显示:56,为有理数.2的值在计算器上显示1.•414213562,•而5的值在计算器上显示 2.•236067978,10的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,•因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.•通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定2的值大约是多少,我们知道12=1,22=4,故1<2<2,•也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,•若沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,•而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.例3:(1)求下列各数的算术平方根.0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000(2)利用计算器计算下列各式的值:0.06250.625 6.2562.5625625062500……你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出0.03、300、30000的近似值(已知3≈1.732),你能根据3的值确定30的值吗?解:(1)∵0.0012=0.000001 ∴0.000001=0.001依次可得出0.0001=0.01,0.01=0.1, 1=1, 100=10, 10000=100, 1000000=1000从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,•其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有b=10a,(或者:•被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍)(2) 0.0625=0.25 0.625≈0.79057 6.25≈7.9057 62.5≈7.9057 625=25 6250≈79.057 6250=250 62500≈790.57比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而0.0625与0.625中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.•故若已知3≈1.732,可知0.03≈0.1732, 300≈17.32, 30000≈173.2,但不能知30的值.2.探究活动(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,•使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=50,故长方形纸片的长为350cm,宽为250cm,而350>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.(三)归纳总结,知识回顾通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“a”的形式表示,也可以用一个与a的值接近的有理数替代,•于是可用计算器算出这个数,但实际上,a是一个无理数.练习设计(一)双基练习1.用计算器求出下列各式的值.895512345 -2600.005372.用计算器比较312与12的大小.3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P•之间有如下的一个关系式:•P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)(二)创新提升5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(•精确到0.01)(三)探究拓展6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3…….随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,•你发现了什么?第3课时一、创设情境,导入新课同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003•年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,•在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,•脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/•秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?二、师生互动,课堂探究(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,•发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则x=a称为a•的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)•而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g•是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?•它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.(二)导入知识,解释疑难1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=16,则-4= -16,把4和-4称为16的平方根.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,•即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=±a.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=±9.把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,•而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=425,则±25为425的平方根,依次可记为±1,±16,±36,±49,±425,它们的对应关系如图所示.练习:求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)4936(3)81 (4)0 (5)-100 解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±0.49=±0.7(2)因为(76)2=4936,(-76)2=4936 ,所以4936的平方根为±76,即±4936=±76(3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9.(4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±0=0.(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,•而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.(1) 1.44 (2)-81 (3)±9100解:(1)因为1.22=1.44,所以 1.44=1.2,1.44的平方根为±1.2,即± 1.44=±1.2. (2)因为92=81,所以-81=-9,81的平方根为±9,即±81=±9.(3)因为(3100)2=9100,所以±9100=±3100,它正是9100的平方根.故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,•因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.•同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v 12=gR,其中g=9.8米/秒2,R ≈6.4×106米,v 22=2gR,则有v 12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v 22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2因此,v 1是6.272×107的平方根,v 2是1.2544×108的平方根.那么v 1=±76.27210⨯≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v 2=±81.254410⨯ ≈±11.2×103米/秒=•±11.2千米/秒但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?解:设宽为x 米,则长为3x 米,其面积为3x 2平方米 故3x 2=13200 x 2=4400 解得x=±4400=±66.33但x 为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.•99米,宽为66.33米. 2.探究活动对于正数x 和y,有下列命题:(1)若x+y=2,则xy ≤1 (2)x+y=3,则xy ≤ (3)若x+y=6,则xy ≤3 根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若x+y=9,则xy ≤_______.(2)若对于任意正数a 、b,总有ab ≤_____.分析:当x+y=3时,有xy ≤32,从中发现分母为2,分子为x 、y 的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则xy ≤22=1.当x+y=6时, xy ≤62=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a 时,•则mn ≤2a ,即mn ≤2m n+∴x+y=9时,则xy ≤92, ab ≤2a b+由此得a+b ≥2, a b +即(a -b )2≥0 (三)归纳总结,知识回顾本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,•何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.练习设计 (一)双基练习1. 16的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢?2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m 2,求长和宽.4.若(a-1a )2= 21a+a 2-2,现老师布置了一道化简题: 1a +2212a a +-(a=15) .甲、•乙两同学很快地写出其解答过程:甲:1a + 2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a -a=2a-a, 当a=15时,2a-a=10-15=945 乙:1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a-1a=a=15 谁的答案是对的?为什么? (二)创新提升5.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,试比较a 、b 、c 的大小.(不用计算器) (三)探究拓展6.若35的整数部分为a,小数部分为b,求a 、b 的值.参考答案1.4,±4,±22.-43.长为10m,宽为2.5m4.甲的答案是对的,因为a=15 时,1a>a. 5.因为3>22 ,所以a-b=6-1-2=33+-1-2>322+-1-2=2(21)+-1-2, 而c-a=6--1-2 =a-b>0 ∴b<a<c6.∵25<35<36 ∴5<35<6∴35 的整数部分为5,小数部分为35-5,即a=5,b=35-56.2 立方根(1课时)课程目标一、知识与技能目标1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.二、过程与方法目标用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,•并能自我总结出平方根与立方根的异同.三、情感态度与价值观目标发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.教材解读由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算,很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发现.学情分析在学习完平方根运算后继而学习立方根运算,•通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握.一、创设情境,导入新课劳动节即将来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、•大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意”.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师知道,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,•就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但一定有其它不相同的地方.刘老师打开纸盒一看,•发现里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为125cm2.同学们,你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗?•那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,•我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算.二、师生互动,课堂探究(一)提出问题,引发讨论在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;(23)3=_____;-(23)3•=_____ ; 03=______.(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;(23)3=827; -(23)3=-827; 03=0. 我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?类似平方值定义可知,若x 3=a 则x 为a 的立方根,记为3a ,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无立方根呢?从(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,(23)3=-827,可知负数有立方根,•并且其立方根仍为负数.(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,•故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为38=2, 38-=-20.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为30.125=0.5, 30.125-=-0.5827的立方根为23,-827的立方根为-23,记为3827=23，3827-=-230的立方根为0,记为30=0上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为3125=5,而球的体积为43πr 3=125时,r ≈3.1.(二)导入知识,解释疑难 1.例题求解既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,•负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为33a =a(a 为任意数),或者若a 3=M,则有3M =a,其中M 为被开方数,3为根指数,且根指数为3时,不能省略,•只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P 50探究中, 38 =-2,- 38=-2,由此得38-=-38 ,又327-=-3,-327=-3,由此得327-=-327于是可归纳出其规律: 3a -=-3a ,而a -,a 的意义不同,其值也不同,若a>0时,。
