小学 等差数列 讲义
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等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2 或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系:S n =d 2n 2+)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.注意:等差数列的四种判断方法(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列.(2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列.二、基础检测题组一:思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为-2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( ) 题组二:教材改编2.设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( )A .31B .32C .33D .343.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=________.题组三:易错自纠4.一个等差数列的首项为125,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A .d >875 B .d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.6.一物体从1 960 m 的高空降落,如果第1秒降落4.90 m ,以后每秒比前一秒多降落9.80 m ,那么经过________秒落到地面.三、典型例题题型一:等差数列基本量的运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .82.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于( )A .100B .99C .98D .97思维升华:等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.题型二:等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.引申探究:本例中,若将条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),试求数列{a n }的通项公式. 思维升华:等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,再根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式. 题型三:等差数列性质的应用命题点1:等差数列项的性质典例 已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6=________.命题点2:等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A .63B .45C .36D .27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 014,S 2 0142 014-S 2 0082 008=6,则S 2 018=________. 思维升华:等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{a n }中,m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .(2)和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 2n -1=(2n -1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )A .58B .88C .143D .176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( )A .45B .60C .75D .90(2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.典例2在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.四、反馈练习1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( )A .-1B .0C .1D .62.由公差为d 的等差数列a 1,a 2,a 3,…组成的新数列a 1+a 4,a 2+a 5,a 3+a 6,…是( )A .公差为d 的等差数列B .公差为2d 的等差数列C .公差为3d 的等差数列D .非等差数列3.若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 2=3a 4-6,则S 9等于( )A .54B .50C .27D .254.等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-9,S 99-S 77=2,则S 10等于( ) A .0 B .-9 C .10 D .-105.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 11=22,则a 3+a 7+a 8等于( )A .18B .12C .9D .66.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 016+a 2 017>0,a 2 016·a 2 017<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A .2 016B .2 017C .4 032D .4 0337.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2+S 3=4,a 3+S 5=12,则a 4+S 7的值是________.8.等差数列{a n }中的a 4,a 2 016是3x 2-12x +4=0的两根,则14log a 1 010=________.9.张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.10.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________.11.等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.12.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.13.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=3,且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,则a 20的值是______.14.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =________.16.设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是________.。
第一讲 等差数列【知识点】 1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差.2. 通项公式与前n 项和公式(1)通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差. (2)前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3. 等差中项如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ,A ,b 成等差数列.4. 等差数列的常用性质(1)d m n a a m n )(-+=;b an a n +=(b a ,是常数);bn an S n +=2(b a ,是常数,0≠a ).(2)若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则q p n m a a a a +=+.(3)若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等差数列.5. 等差数列前n 项和最值的求法(结合二次函数的图象与性质理解) 1)若等差数列{}n a 的首项10a >,公差0d <,则前n 项和n S 有最大值.(1)若已知通项n a ,则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩;(2)若已知2n S pn qn =+,则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大; 2)若等差数列{}n a 的首项10a <,公差0d >,则前n 项和n S 有最小值.(1)若已知通项n a ,则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩;(2)若已知2n S pn qn =+,则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小. 课程类型: 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程6. 等差数列的判定与证明(1)定义法:d a a n n =-+1(+∈N n ,d 是常数)⇔{}n a 是等差数列; (2)中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列; (3)通项公式法:b kn a n +=(b k ,是常数)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式法:Bn An S n +=2(B A ,是常数,0≠A )⇔{}n a 是等差数列. 【课堂演练】 题型一 基本量计算例1 已知数列{}n a 为等差数列,若24113=+a a ,34=a ,则数列{}n a 的公差等于( ) A .1 B .3 C .5 D .7例2 已知等差数列{}n a ,41=a ,公差2=d ,若4012=n a ,则n 等于( ) A .2004 B .2005 C .2006 D .2007例3 已知列{}n a 中,11=a ,21+=-n n a a (2n ≥),则10a =( ) A .17 B .18 C .19 D .20例4 等差数列89-,87-,85-,⋅⋅⋅,1的项数是( ) A .45 B .46 C .47 D .92练1 已知等差数列{}n a 中,1,16497==+a a a ,则16a 的值是( ) A .15 B .22 C .31 D .64练2 已知数列{}n a 满足01,211=+-=+n n a a a ,则数列的通项n a 等于( ) A .12+n B .1+n C .n -1 D .n -3练3 等差数列20,17,14,11…中第一个负数项是( ) A .第7项 B .第8项 C .第9项 D .第10项例5 已知数列{}n a 满足,2,13321==-+a a a n n 则{}n a 的前9项和等于( ) A .25B .26C .27D .28例6 (2015全国1 7)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) A .172B .192C .10D .12例7 设n S 是等差数列{}n a *N n ∈的前n 项和,且7,141==a a ,则5S = .练4 (2014福建 3)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ) A .8 B .10 C .12 D .14练5 (2013安徽文7)设n S 为等差数列{}n a 的前项和,134S a =,22a =-,则9a =( ) A .5 B .4 C .2- D .2练6 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于( ) A .13 B .35 C .49 D .63练7 (2014浙江文19)已知等差数列{}n a 的公差0d >,设{}n a 的前项和为n S ,11a =,2336S S ⋅=. (1)求d 及n S ;练8 已知等差数列{}n a 满足:3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S . (1)求n a 及n S ;题型二 等差数列的性质例1 a b c 、、都是实数,那么“2b a c =+”是a b c 、、成等差数列的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件练1 等差数列的前三项依次是1,1,23x x x -++,则其通项公式为 .练2 在ABC ∆中,角A B C 、、成等差数列,则B = .例2 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5418a a -=,则=8S ( ) A .36 B .72C .18D .114练3 (2015全国2)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( )A .5B .7C .9D .11练4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且==++131272,24S a a a 则( ) A .52 B .78 C .104 D .208练5 (2015广东10)在等差数列{}n a 中,若3456725a a a a a ++++=,则28a a += .练6 (2014重庆2)在等差数列{}n a 中,10,2531=+=a a a ,则=7a ( ) A .5 B .8C .10D .14练7 在等差数列{}n a 中:24-321=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列201a a +等于 .练8 已知{}n a 为等差数列,若π8951=++a a a ,则)cos(73a a +的值为( )A . 32B . 32-C .12D . 12-例3 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6练9 若数列{}n a 满足191=a ,)(31*+∈-=N n a a n n ,而数列{}n a 的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A .6B .7C .8D .9练10 设数列{}n a 是等差数列,且28a =-,155a =,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) A .1011S S = B .1011S S > C .910S S = D .910S S <题型五 证明等差数列例4 在数列}{n a 中,11=a ,n n n a a 221+=+.设12-=n nn a b ,证明:数列}{n b 是等差数列;例5 在数列{}n a 中,12a =,121nn n a a +=++;(1)求证:数列{}nn a 2-为等差数列;练1 在数列{}n a 中,135a =,112n n a a -=-(*2,n n N ≥∈),数列{}nb 满足:11n n b a =-(*n N ∈).求证:数列{}n b 是等差数列练2 (安徽 18)数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.证明:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;练3 在数列}{n a 中,11=a ,1133n n n a a ++=+.设3nn na b =,证明:数列}{n b 是等差数列;【课后巩固1】1.(福建卷(理3))等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ) A .8 B .10C .12D .142.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若===432,3,1S a a 则( ) A .12 B .10C .8D .63.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若357=S ,则=4a ( ) A .8 B .7C .6D .54.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d =( ) A .7 B .6C .3D .25.等差数列{}n a 中,已知113a =,254a a +=,33n a =,则n 为( ) A .48 B .49C .50D .516.(重庆卷(文2))在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=,则7a =( ) A .5 B .8C .10D .147.已知数列}{n a 中,11=a ,21+=-n n a a (2n ≥),则10a =( ) A .17 B .18C .19D .208.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若6321=++a a a ,则5S =( ) A .5 B .7C .9D .109.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A .30尺 B .90尺 C .150尺 D .180尺10.数列{}n a 的通项公式为233-=n a n ,当n S 取到最小时,=n ( ) A .5 B .6 C .7 D .8【课后巩固2】1.(15年安徽文科)已知数列}{n a 中,11=a ,211+=-n n a a (2≥n ),则数列}{n a 的前9项和等于 .2.在等差数列{}n a 中,已知2452,10a a a =+=,求数列{}n a 的通项公式 .3.设数列{}n a 的首项17a =-,且满足12n n a a +=+则1217a a a +++=L .4.(2016年北京高考)已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则6=S .5.已知数列的通项25a +-=n n ,则其前n 项和为n S = .7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S =14,30S S 710=-,则9S = .8.已知数列{}n a 为等差数列,且21423a a π+=,则()313cos a a +的值为 .9.已知等差数列{}n a 中,253=+a a ,则=++642a a a .10.(2015年广东理科)在等差数列{}n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a + .【课后巩固3】1.数列{}n a 的前n 项和为n n S n 1722-=,则当n S 取得最小值时n 的值为( )A .54或B .65或C .4D .52.已知数列{}n a 为等差数列,且34131π=+a a ,则()122tan a a +的值为( ) A .3- B .3C .3±D .33-3.(2013全国卷.文)等差数列}{n a 中,91972,4a a a == (1)求}{n a 的通项公式4.已知等差数列}{n a ,n S 为其前n 项和,56,1075==S a . (1)求数列}{n a 的通项公式;5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且243S S =,122-=n n a a (1)求数列{}n a 的通项公式;6.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,.20,552-=-=S a 且(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求使不等式n n a S >成立的正整数n 的最小值.7.已知数列{}n a 是一个等差数列,且5,1a 52-==a 。
等差数列及其前n项和讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念(一)等差数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的...............差等于同一个常数........,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。
利用:“1+n a -n a =d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。
注意:(1)如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项起或第4项起,那么此数列不是等差数列;(2)等差数列要求这个常数必须相同;(3)公差d :d =1+n a -n a =n a -1-n a (n ≥2);(4)当d =0时,数列为常数数列;当d >0,数列为递增数列;当d <0,数列为递减数列;(5)公差必须为后一项减前一项,不能颠倒。
(二)、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ,公差为d ,那么它的通项公式是n a =.1a +.(n ..-.1)..d ,或者通项公式的变形:n a =.m a +.(n ..-.m)..d 。
(三)、等差中项:(1)由三个数....a ,.A .,.b .组成的等差数列,........A .叫做..a 和.b .的等差中项.....,.则.2A ..=.a +.b .;.(2)若在一个等差数列中,除去首项和末项以外,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即2n a =1-n a +1+n a 。
(3) 特别地:在△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,则B =600。
例1:已知数列{n a }为等差数列3a =54,7a =-74,则15a =____________。
【基本量法】【解析】 -314.变式练习1:若等差数列{n a }的公差d ≠0,且1a ,2a 是关于x 的方程x 2-3a x +4a =0的两根,求数列{n a }的通项公式。
n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和(讲义)知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的一般形式可以写成a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,…,简记为{a n }. 2. 数列的表示方法(1) 列表法 (2) 图象法 (3) 公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质(1) 递增数列 (2) 递减数列 (3) 常数列 (4) 摆动数列二、 等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.(1) 等差中项(2) 等差数列的通项公式: a n = a 1 + (n -1)d .2. 等差数列的性质(1) 通项公式的推广: a = a + (n - m )d (m ,n ∈ N *) . (2) 若{a }是等差数列,且k +l = m + n (k ,l ,m ,n ∈ N *) , 则a k +a l = a m + a n .(3) 若{a }是等差数列,则a , a , a ,… (k ,m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列.(4) 若{a n }是等差数列,则{λa n + c }也是等差数列.1n n n(5) 若{a },{b }是等差数列,则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列. 三、 等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和,用 S n 表示,即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n .等差数列{a n }的前 n 项和公式(1) 已知a , a ,n 时, S = n (a 1 + a n ) .1 n n2(2) 已知a 1 , n ,d 时, S n 推导过程:倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d .2(1) S m , S 2m , S 3m 分别是{a n } 的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则S m , S 2m - S m , S 3m - S 2m 成等差数列.(2) 两个等差数列{a n },{b n }的前 n 项和 S n , T n 之间的关系 为 a n b n = S2n -1 . T 2n -1(3) 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ,B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件.(4) 等差数列{a n }前 n 项和的最值:当d > 0 时,{a n }为递增数列,且当a 1 < 0 时,前 n 项和S n 有最小值;当d < 0 时,{a n }为递减数列,且当a 1 > 0 时,前 n 项和S n 有最 大值.2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中:①数列若用图象表示,从图象看是一系列孤立的点; ②数列的项数是无限的; ③数列的通项公式是唯一的; ④数列不一定有通项公式;⑤数列 1,2,3,…不一定是递增的;⑥数列看作函数,其定义域为正整数集或它的有限子集{1,2,…,n } .其中正确的是( )A .①②④⑥ C .①③④⑤B .①④⑤⑥ D .①②⑥2. 数列-1,7,-13,19,…的通项公式a n = ()A . 2n -1 C . (-1)n 6n - 5B . -6n + 5 D . (-1)n (6n - 5)3. 数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是()A. a = a + n ,n ∈ N *B. a = a + n ,n ∈ N *,n ≥ 2C. a = a + n -1,n ∈ N * D. a = a + n -1,n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中, a 1 + a 5 = 10 , a 4 = 7 ,则数列{a n } 的公差是( )A .1B .2C .3D .435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ,则有()A . a 1 + a 101 > 0 C . a 3 + a 99 = 0B . a 2 + a 100 < 0 D . a 51 = 516.在等差数列{a n } 中,S n 是其前 n 项和,且a 4 = 9 ,a 9 = -6 ,则 S n 取最大值时 n 的值为( ) A .6 或 7B .7 或 8C .5 或 6D .8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 2a 6 = a 8 + 6 ,则 S 7 = ( )A .49B .42C .35D .2448.已知一个等差数列共有 10 项,其偶数项之和是 15,奇数项之和是 12.5,则它的首项与公差分别是( ) A .0.5,0.5B .0.5,1C .0.5,2D .1,0.59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 = 12 , S 6 = 42 ,则 a 10 + a 11 + a 12 =( )A .156B .102C .66D .4810. 设数列{a n } ,{b n } 都是等差数列,若a 1 + b 1 = 7 , a 3 + b 3 = 21,则a 5 + b 5 = .5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2, 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ,n ≥ 2) ,则通项公式a n = .12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ,若 S n = 2n + 3 ,则 a 9 = .T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A9.C 10.35 1112.37507。
等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d 表示.即等差数列有递推公式:*1()n n a a d n N +-=∈. 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为:*1(1)n a a n d n N =+-∈,. 2。
等差数列的公式的推导:累加法3。
等差数列通项公式的推导:2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=,将这1n -个式子的等号两边分别相加得:1(1)n a a n d -=-,即1(1)n a a n d =+-.由等差数列的通项公式易知:()n m a a n m d -=-.三、等差中项定义:如果三个数x A y ,,组成等差数列,那么A 叫做x 和y 的等差中项,即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中,若p q m n +=+,则p q m n a a a a +=+,该性质推广到三项,即m ,n ,t ,p ,q ,*s N ∈,m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++. 推广到一般形式,只要两边项数一样,且下标和相等即可.2。
若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ,则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列,且公差分别为1112,,pd d d d ±.3。
如果等差数列{}n a 的公差为d ,则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列;{}=0n d a ⇔ 是常数列.4.在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即2,,n n m n m a a a ++,....,为等差数列,公差为md .五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-,把项的顺序反过来,可将n S 写成:()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得:11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=,又1(1)n a a n d =+-, 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+.六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ,232,n n n n S S S S --,...为等列,公 差为2n d . 2。
第二讲:等差数列
一,数列有关知识点:
⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排
列次序不同,那么它们就是不同的数列;
⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的
第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….
例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是
这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项
结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项
是“1”,“3
1”是这个数列的第“3”项,等等 4.等差数列的定义: n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +)
后一项减前一项为一定值,我们把这个定值叫公差,用d 表示
5.等差数列的通项公式:(每一项都可用通项公式来表示)
d n a a n )1(1-+=
6.数列的前n 项和:
数列{}n a 中,n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和,记为n S .
求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数
等差数列的前n 项和公式1:2
)(1n n a a n S += 等差数列的前n 项和公式2:2
)1(1d n n na S n -+=
二.例题精讲
例1,认识数列:等差数列:3、6、9、 (96)
这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
例2,有一个数列:4、7、10、13、…、25,这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现,后项与其相邻的前项之差都是3,所以这是一个以4为首项,以公差为3的等差数列,根据等差数列的项数公式即可解答。
解:由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
例3.有一等差数列:2,7,12,17,…,这个等差数列的第100项是多少?
提示:仔细观察可以发现,后项与其相邻的前项之差等于5,所以这是一个以2为首项,以公差为5的等差数列,根据等差数列的通项公式即可解答
解:由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
例4,计算2+4+6+8+…+1990的和。
提示:仔细观察数列中的特点,相邻两个数都相差2,所以可以用等差数列的求和公式来求。
解:因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…
+1990=(2+1990)×995÷2=991020。
例5.计算(1+3+5+...+l99l)-(2+4+6+ (1990)
提示:仔细观察算式中的被减数与减数,可以发现它们都是等差数列相加,根据题意可以知道首项、末项和公差,但并没有给出项数,这需要我们求项数,按照这样的思路求得项数后,再运用求和公式即可解答。
解:被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996,所以被减数的总和=(1+1991)×996÷
2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷
2=991020.所以原式=992016-991020=996。
例6,已知一列数:2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。
提示:仔细观察这列数可以发现,后项与其相邻的前项之差等于3,所以这是一个以2为首项,以公差为3的等差数列,求80是这列数中第几个数,实际上是求该数列的项数。
解:这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。
例9:若干人围成16圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少6人,如果共有912人,问最外圈有多少人?最内圈有多少人?
分析:从已知条件912人围成16圈,一圈套一圈,从外到内各圈依次减少6人,也就是告诉我们这个等差数列的和是912,项数是16,公差是6。
题目要求的是
等差数列末项a
n - a
1
=d⨯(n-1)=6⨯(16-1)=90(人)
解:a
n +a
1
=S⨯2÷n=912⨯2÷16=114(人)
外圈人数=(90+114)÷2=102(人)内圈人数=(114-90)÷2=12(人)答:最外圈有102人,最内圈有12人。