小学 等差数列 讲义

等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d 2n 2＋)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) 题组二：教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三：易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．三、典型例题题型一：等差数列基本量的运算1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97思维升华：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二：等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究：本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． 思维升华：等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 题型三：等差数列性质的应用命题点1：等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2：等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________. 思维升华：等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．四、反馈练习1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．254．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－105．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．66．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 0337．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.16．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________．。

第一讲 等差数列【知识点】 1． 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差．2． 通项公式与前n 项和公式（1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差． （2）前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=． 3． 等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列．4． 等差数列的常用性质（1）d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(b a ,是常数)；bn an S n +=2(b a ,是常数，0≠a )．（2）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+．（3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列．5． 等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值．（1）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值．（1）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（2）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小． 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程6． 等差数列的判定与证明（1）定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； （2）中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； （3）通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；（4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列． 【课堂演练】 题型一 基本量计算例1 已知数列{}n a 为等差数列，若24113=+a a ，34=a ，则数列{}n a 的公差等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7例2 已知等差数列{}n a ，41=a ，公差2=d ，若4012=n a ，则n 等于（ ） A ．2004 B ．2005 C ．2006 D ．2007例3 已知列{}n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．20例4 等差数列89-，87-，85-，⋅⋅⋅，1的项数是（ ） A ．45 B ．46 C ．47 D ．92练1 已知等差数列{}n a 中，1,16497==+a a a ，则16a 的值是（ ） A ．15 B ．22 C ．31 D ．64练2 已知数列{}n a 满足01,211=+-=+n n a a a ,则数列的通项n a 等于（ ） A ．12+n B ．1+n C ．n -1 D ．n -3练3 等差数列20,17,14,11…中第一个负数项是（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项例5 已知数列{}n a 满足,2,13321==-+a a a n n 则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．25B ．26C ．27D ．28例6 (2015全国1 7)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．12例7 设n S 是等差数列{}n a *N n ∈的前n 项和，且7,141==a a ，则5S ＝ ．练4 (2014福建 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14练5 (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前项和，134S a =，22a =-，则9a =（ ） A ．5 B ．4 C ．2- D ．2练6 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ．63练7 （2014浙江文19）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=． （1）求d 及n S ；练8 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ；题型二 等差数列的性质例1 a b c 、、都是实数，那么“2b a c =+”是a b c 、、成等差数列的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件练1 等差数列的前三项依次是1,1,23x x x -++，则其通项公式为 ．练2 在ABC ∆中，角A B C 、、成等差数列，则B = ．例2 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S （ ） A ．36 B ．72C ．18D ．114练3 （2015全国2）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11练4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且==++131272,24S a a a 则（ ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208练5 （2015广东10）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．练6 （2014重庆2）在等差数列{}n a 中,10,2531=+=a a a ，则=7a （ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14练7 在等差数列{}n a 中：24-321=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列201a a +等于 ．练8 已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ）A ． 32B ． 32-C ．12D ． 12-例3 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6练9 若数列{}n a 满足191=a ，)(31*+∈-=N n a a n n ，而数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9练10 设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．1011S S = B ．1011S S > C ．910S S = D ．910S S <题型五 证明等差数列例4 在数列}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=+．设12-=n nn a b ，证明：数列}{n b 是等差数列；例5 在数列{}n a 中，12a =，121nn n a a +=++；(1)求证：数列{}nn a 2-为等差数列；练1 在数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-（*2,n n N ≥∈），数列{}nb 满足：11n n b a =-（*n N ∈）．求证：数列{}n b 是等差数列练2 （安徽 18）数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈．证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；练3 在数列}{n a 中，11=a ，1133n n n a a ++=+．设3nn na b =，证明：数列}{n b 是等差数列；【课后巩固1】1．（福建卷（理3））等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．142．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若===432,3,1S a a 则（ ） A ．12 B ．10C ．8D ．63．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则=4a （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d =（ ） A ．7 B ．6C ．3D ．25．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为（ ） A ．48 B ．49C ．50D ．516．（重庆卷（文2））在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．147．已知数列}{n a 中，11=a ，21+=-n n a a （2n ≥），则10a =（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．208．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若6321=++a a a ,则5S =（ ） A ．5 B ．7C ．9D ．109．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺10．数列{}n a 的通项公式为233-=n a n ，当n S 取到最小时，=n （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【课后巩固2】1．（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 ．2．在等差数列{}n a 中，已知2452,10a a a =+=，求数列{}n a 的通项公式 ．3．设数列{}n a 的首项17a =-，且满足12n n a a +=+则1217a a a +++=L ．4．（2016年北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S ．5．已知数列的通项25a +-=n n ,则其前n 项和为n S = ．7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ ．8．已知数列{}n a 为等差数列，且21423a a π+=，则()313cos a a +的值为 ．9．已知等差数列{}n a 中，253=+a a ，则=++642a a a ．10．（2015年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a + ．【课后巩固3】1．数列{}n a 的前n 项和为n n S n 1722-=，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．54或B ．65或C ．4D ．52．已知数列{}n a 为等差数列，且34131π=+a a ，则()122tan a a +的值为（ ） A ．3- B ．3C ．3±D ．33-3．(2013全国卷．文)等差数列}{n a 中，91972,4a a a == （1）求}{n a 的通项公式4．已知等差数列}{n a ，n S 为其前n 项和，56,1075==S a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243S S =,122-=n n a a （1）求数列{}n a 的通项公式；6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，.20,552-=-=S a 且（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n a S ＞成立的正整数n 的最小值．7．已知数列{}n a 是一个等差数列，且5,1a 52-==a 。

等差数列及其前n项和讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的．．．．．．．．．．．．．．．差等于同一个常数．．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。

注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ：d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；（4）当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。

（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。

（三）、等差中项：（1）由三个数．．．．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项．．．．．，．则．2A ．．＝．a ＋．b ．；．（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。

（3） 特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B ＝600。

例1：已知数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，则15a ＝____________。

【基本量法】【解析】 －314.变式练习1：若等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。

n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列二、 等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1） 等差中项（2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．2. 等差数列的性质（1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *) ． （2） 若{a }是等差数列，且k +l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ．（3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4） 若{a n }是等差数列，则{λa n + c }也是等差数列．1n n n（5） 若{a }，{b }是等差数列，则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列． 三、 等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．1 n n2（2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d ．2（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S2n -1 ． T 2n -1（3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值．2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中：①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…，n } ．其中正确的是（ ）A ．①②④⑥ C ．①③④⑤B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （）A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A. a = a + n ，n ∈ N *B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2C. a = a + n -1，n ∈ N * D. a = a + n -1，n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（）A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 516.在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（ ） A ．6 或 7B ．7 或 8C ．5 或 6D ．8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （ ）A ．49B ．42C ．35D ．2448.已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（ ） A ．0．5，0．5B ．0．5，1C ．0．5，2D ．1，0．59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（ ）A ．156B ．102C ．66D ．4810. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ，n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A9．C 10．35 1112．37507。

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。

等差数列的公式的推导：累加法3。

等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。

若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。

如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。

麟子教育一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差•通常用字母 d 表示。

2、等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 晋 或2A a b 推广：2a n 乳 a n i (n 2) 2a “ 1 a “ a “ 23、等差数列通项公式若等差数列 a n 的首项是a i ，公差是d ，则耳6 n 1 d . 推广：a n a m (n m)d ，从而d 4、等差数列的前n 项和公式5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系环 n 1a n(数列｛a n ｝的前n 项的和为S n 印a ? L a n ).$需川2二、等差数列的性质 1、 等差数列的增减性若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列, 若公差d 0，则为常数列。

2、 通项的关系当 m n p q 时，则有 a m a “ a p a q ， 特别地，当m n 2p 时，则有a m On 2a p .注：a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法：(1)定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a n d (常数n N ) a n 是等差数列；a n a mn m等差数列的前n 项和的公式：①5n s i a n2n n 1② 5 g 丁 d .(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a^ a n1(n 2) 2a n1 a n a n 2 :练习、选择题1、等差数列a n中，S0 120，那么aA. 12B.24C. 362、已知等差数列a n1的公差d ，a22A. 80 B . 120 C . 1353、已知等差数列a n 中，a2a5a9A. 390B. 195 c.1804、在等差数列a n 中，a2 6 ,a81 a io ( )D. 48a4 a ioo 80，那么S ioo D. 160.a i2 60 ,那么S13D. 1206，若数列a n的前n项和为S n ,则( )A. S4S5B.S4S5二.填空题1、等差数列a n中，若a62、等差数列a n中，若S n c.S6 S5 D.S6 S5 a3a8 ,则S q3n22n，则公差d3、已知等差数列｛a n｝的公差是正整数，且a3 a712,a4 a64，则前10项的和S10= 三•解答题1、在等差数列a n中，a4 0.8，an 2.2，求a51 a52 L a8°.2、设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3 12，S2>0, Sn<0,①求公差d的取值范围；②S,S2丄，S2中哪一个值最大？并说明理由.3、设等差数列｛a n｝的前n项的和为S n ,且S 4 = —62, S 6 = —75,求：(1) ｛a.｝的通项公式 a n 及前n 项的和S n ; (2) |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ ……+|a 14 |.。

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。

本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

等差数列及其前n 项和讲义课前双击巩固1.等差数列中的有关公式已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差是d ,前n 项和为S n ,则 等差数列定义式 (n ≥2,d 为常数) 等差中项 A= (A 是a 与b 的等差中项) 通项公式 或前n 项和公式 S n = =2.等差数列的性质已知{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m+n=p+q=2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则有a m +a n = = .(2)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成 数列. 3.等差数列与函数的关系(1)等差数列{a n }的通项公式可写成a n = ,当d ≠0时,它是关于n 的 ,它的图像是直线y=dx+(a 1-d )上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:当d>0时,{a n }是 数列;当d<0时,{a n }是 数列;当d=0时,{a n }是 . (2)前n 项和公式可变形为S n = ,当d ≠0时,它是关于n 的常数项为0的 ,它的图像是抛物线y=d 2x 2+(a 1-d2)x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:若a 1>0,d<0,则S n 存在最 值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最 值. 常用结论 等差数列的性质1.已知{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则有以下结论: (1){a 2n }是等差数列,公差为 2d 1.(2){pa n +qb n }是等差数列(p,q 都是常数),且公差为pd 1+qd 2. (3)a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m ∈N *)是公差为 md 1 的等差数列.(4){S nn }成等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12 .(5)数列{pa n },{a n +p}都是等差数列(p,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n,则S 偶-S 奇= nd ,S 奇S偶=a na n+1.(2)若项数为2n-1,则S 偶=(n-1)a n ,S 奇= na n ,S 奇-S 偶= a n ,S奇S 偶=nn -1 .3.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,它们之间的关系为an b n =S 2n -1T 2n -1.题组一 常识题1.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 5=9,且2a 3=a 2+6,则a 1= .2.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,则S 7= .3.[教材改编] 在等差数列{a n }中,S 4=4,S 8=12,则S 12= .4.[教材改编] 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m= . 题组二 常错题◆索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确5.在等差数列{a n }中,a 1=-28,公差d=4,则前n 项和S n 取得最小值时n 的值为 .6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 .7.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =11-n ,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|= .课堂考点探究探究点一 等差数列的基本运算1 (1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S6=24,S9=63,则a4= ( )A.4B.5C.6D.7(2)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A.15B.21C.23D.25[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,a n,S n,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题(1)等差数列{a n}的前n项和是S n,且a3=1,a5=4,则S13= ( )A.39B.91C.48D.51(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且3a3=a6+4,若S5<10,则a2的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,0)C.(1,+∞)D.(0,2)探究点二等差数列的性质及应用2 (1)在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)= ( )A.10B.20C.40D.2+log25(2)在等差数列{a n}中,a1=-2017,其前n项的和为S n,若S20132013-S20112011=2,则S2017=.(3)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S672=2,S1344=12,则S2016= ( )A.22B.26C.30D.34[总结反思] 利用等差数列的性质“若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q ”,或者“常用结.式题 (1)在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=45,S 3=-3,那么a 5= ( ) A.4 B.5 C.9 D.18(2)两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且Sn T n =7n+2n+3,则a 2+a 20b 7+b 15= .(3)一个正项等差数列前n 项的和为3,前3n 项的和为21,则前2n 项的和为 ( ) A.18 B.12 C.10D.6探究点三 等差数列的判定与证明 3 已知数列{a n }满足a 1=-23,a n+1=-2a n -33a n +4(n ∈N *).(1)证明:数列{1an +1}是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.[总结反思] 判断数列{a n }是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明a n -a n-1=d (n ≥2,d 为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子a n+1-a n =d a n -a n-1=d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”;②等差中项法,证明2a n =a n-1+a n+1(n ≥2).式题 已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)在(1)中,设b n =S nn+c ,求证:当c=-12时,数列{b n }是等差数列.探究点四 等差数列前n 项和的最值问题4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若公差d=-2,S 3=21,则当S n 取得最大值时,n 的值( ) A.10B.9C.6D.5(2)在等差数列{a n }中,a 1<0,S 18=S 36,则当S n 取得最小值时,n 的值为 ( ) A.18 B.27 C.36D. 54[总结反思] 求等差数列前n 项和最值的常用方法:(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *.(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d<0时,满足{a n ≥0,a n+1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d>0时,满足{a n ≤0,a n+1≥0的项数n ,使S n 取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.式题 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1<0且a6a 5=811,则当S n 取最小值时,n 的值为( )A.11B.10C.9D.8(2) 已知数列{a n }为等差数列,若a11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值为( ) A.11 B.19 C.20D.21课时作业一、 填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________． 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________． 6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________． 9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 二、解答题12． 设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .。