数学(文)一轮教学案：第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析

等差数列及其前n项和教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

2. 让学生掌握等差数列的前n项和公式，并能灵活运用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、性质。

2. 等差数列的通项公式：ar + (a1 a)d。

3. 等差数列的前n项和公式：S_n = n/2 (a1 + a_n) 或S_n = n/2 (2a1 + (n 1)d)。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念、通项公式、前n项和公式。

2. 教学难点：等差数列前n项和公式的推导及灵活运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等差数列的性质。

2. 使用数形结合法，帮助学生直观理解等差数列的前n项和公式。

3. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如连续的自然数、等间隔的时间等，引导学生思考等差数列的特点。

2. 讲解：讲解等差数列的定义、性质，引导学生推导等差数列的通项公式。

3. 探讨：分组讨论等差数列的前n项和公式，引导学生运用归纳法进行推导。

4. 应用：通过例题，让学生学会运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

教案编辑专员：[[您的名字]]六、教学练习1. 让学生通过练习题加深对等差数列概念、通项公式和前n项和公式的理解。

2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

练习题：（1）判断题：等差数列的任意两项之和等于这两项中间项的两倍。

（对/错）（2）填空题：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

（3）计算题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前5项的和。

七、拓展与应用1. 让学生了解等差数列在实际生活中的应用，如等差数列在统计、物理、经济学等领域中的应用。

2. 培养学生将所学知识运用到实际问题中的能力。

案例分析：分析现实生活中等差数列的应用实例，如连续奖金发放、等额本息还款等，引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章数列6-2等差数列及其前n项和学案理考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.答案：(1)2 同一个常数d2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________．(2)等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.答案：(1)an＝a1＋(n－1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：16知三求二．等差数列中，有五个基本量，a1，d ，n，an，Sn，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式前n项和公式[典题1] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )A．－6B．－4D．2C．－2[答案] A [解析] 解法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. (2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝( )B．－9A．0D．－10C．10[答案] A [解析] 因为是等差数列，且公差为d＝1，故＝＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.[答案] 30 [解析] 解法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得解得则S6＝6a1＋15d＝30.解法二：∵等差数列{an}，故可设Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12，可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数. (1)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项公式为an＝__________.答案：2n－1解析：由an＋1＝an＋2，知{an}为等差数列，其公差为2，故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝__________.答案：1＋－2解析：由an＋1－an＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，各式相加，得an－a1＝1＋2＋…＋n－1＝＝，故an＝1＋. [典题2] 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)[证明] 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2.又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)[解] 由(1)，可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n－1－n－＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n.求证：{an}为等差数列．证明：∵2Sn－nan＝n，①∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，②①－②，得(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，则(1－n)an＋1＋nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴数列{an}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－，∴an＋1＝2－.∴bn＋1－bn＝－1an－1＝－＝＝1，∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.解法一：所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．由2b2＝b1＋b3，解得c＝－.当c＝－时，bn＝＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．解法二：由bn＝＝＋4n－2n＋c＝，∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)an.(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．答案：(1)(n－m)d (2)ak＋al＝am＋an (3)2d(5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．(1)等差数列{an}中，a2＋a3＝1，a5－2a1＝27，则a5＝________.答案：13解析：设等差数列的公差为d，则有2a1＋3d＝1,4d－a1＝27，解得d＝5，a1＝－7，所以a5＝a1＋4d＝13.(2)等差数列{an}的首项为1，公差为4，前n项和为120，则n＝________.答案：8解析：an＝1＋(n－1)×4＝4n－3，所以Sn＝＝120，解得n＝8或n＝－(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a10＝12，则该数列前13项和S13＝__________.答案：78解析：由等差数列的性质与前n项和公式，得S13＝＝＝78. (2)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8，则{an}的通项公式是__________．答案：an＝－3n＋5或an＝3n－7解析：设等差数列{an}的前三项为a2－d，a2，a2＋d，由题意得解得或所以an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( )B．45A．63D．27C．36[答案] B[解析] 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B. [点石成金] 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m＝( )B．12A．8D．4C．6答案：A解析：由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，即4a8＝32，∴a8＝8，∴m＝8.故选A. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案：60解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.考点4 等差数列前n项和的最值问题[典题4] 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )A ．S15B ．S16C ．S15或S16D ．S17[答案] A[解析] ∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋d ＝20a1＋d ，解得d ＝－2，∴Sn ＝29n ＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，Sn 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a1>0，S5＝S12”，如何求解？解：解法一：设等差数列{an}的公差为d ， 由S5＝S12，得5a1＋10d ＝12a1＋66d ，解得d ＝－a1<0. 所以Sn ＝na1＋d＝na1＋·＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1. 因为a1>0，n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 解法二：设等差数列{an}的公差为d ，同解法一得d ＝－a1<0. 设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧an ＝a1＋－⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a1≥0，an ＋1＝a1＋n·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a1≤0，解得即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值．解法三：设等差数列{an}的公差为d ，同解法一得d ＝－a1<0. 由于Sn ＝na1＋d ＝n2＋n ，设f(x)＝x2＋x ，则函数y ＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x ＝(如图所示)，由图可知，当1≤n≤8时，Sn 单调递增；当n≥9时，Sn 单调递减．又n∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 最大．[题点发散2] 若将条件“a1＝29，S10＝S20”改为“a3＝12，S12>0，S13<0”，如何求解？解：因为a3＝a1＋2d ＝12，所以a1＝12－2d ， 所以即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d>0，156＋52d<0，解得－<d<－3.故公差d 的取值范围为.解法一：由d<0可知，{an}为递减数列，因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n ，使得an≥0，an ＋1<0，此时对应的Sn 就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于于是a7<0，从而a6>0，因此S6最大．解法二：由d<0可知{an}是递减数列，令可得⎩⎪⎨⎪⎧n≤3－12d，n>2－12d.由－<d<－3，可得⎩⎨⎧n≤3－12d <3＋123＝7，n>2－12d >2＋12247＝5.5， 所以5.5<n<7，故n ＝6，即S6最大． [题点发散3] 若将“a1＝29，S10＝S20”改为“a5>0，a4＋a7<0”，如何求解？ 解：∵∴⎩⎪⎨⎪⎧a5>0，a6<0， ∴Sn 的最大值为S5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp ＝Sq(p≠q)，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝时，Sn 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝或n ＝时，Sn 最大.1.等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：B解析：依题意，得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0.又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n ＝( )B．6A．5D．11C．5或6答案：C解析：由题意，得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，故选C. [方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．2．数列{an}为等差数列．(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.3．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.4．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )B．99A．100D．97C．98答案：C解析：由等差数列性质知，S9＝＝＝9a5＝27，解得a5＝3，而a10＝8，因此公差d ＝＝1，∴a100＝a10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B ．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C ．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D ．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．D 中，若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和．若a1＋a ＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案：20解析：设等差数列{an}公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋＋＝－3，5a1＋5×42d ＝10， 解得则a9＝a1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]Sn 为等差数列{an}的前n 项和，且a1＝1，S7＝28.记bn ＝[lg an]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1 000项和．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，其通项公式为an＝dn＋(a1－d)，则点(n，an)(n∈N*)共线，又d＝(n≠m)，所以d为过(m，am)，(n，an)两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.[思路分析] [解析] 解法一：设数列{an}的公差为d，因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.因为p≠q，所以d＝－1.所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0.解法二：因为数列{an}为等差数列，所以点(n，an)(n∈N*)在一条直线上．不妨设p<q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k＝＝－1，如图所示，由图知OC＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q,0)，故ap＋q＝0.[答案] 0 [典例2] 已知{an}为等差数列，且a100＝304，a300＝904，求a1 000.[思路分析] [解] 因为{an}为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a1 000)三点共线，所以＝，解得a1 000＝3 004.2．等差数列前n项和的求解在等差数列前n项和公式的变形Sn＝n2＋n中，两边同除以n得＝n＋.该式说明对任意n∈N*，所有的点都在同一条直线上，从而对m，n∈N*(m≠n)有＝(常数)，即数列是一个等差数列．[典例3] 已知在等差数列{an}中，Sn＝33，S2n＝44，求这个数列的前3n项的和S3n.[解] 由题意知，，，三点在同一条直线上，从而有＝，解得S3n＝33.所以该数列的前3n项的和为33.。

【第2讲 等差数列及其前n 项和】之小船创作一、知识梳理1．等差数列与等差中项 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n.二、习题改编1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第10项为 ．答案：372．(必修5P46A 组T2改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝ ．答案：33．(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为．解析：设第n排的座位数为a n(n∈N*)，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：820一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．( )(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.( )(5)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．( )(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；(2)错用公式致误； (3)错用性质致误．1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 ．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：272．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为 ．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，所以数列{a n }的公差为4.答案：43．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝ ．解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案：180等差数列的基本运算(师生共研)(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12B.54C.45D ．－45(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n【解析】(1)因为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C.(2)法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.【答案】 (1)C (2)A等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(一题多解)(2020·惠州市第二次调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )A ．28B ．25C ．20D ．18解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×42×2＝25，故选B. 法二：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝25，故选B.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )A ．3B ．7C ．9D ．10解析：选D.因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝（22－4a 2）2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，得n ＝10.等差数列的判定与证明(典例迁移)已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1. 两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的通项公式为1S n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，所以S n ＝12（n ＋1）.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12（n ＋1）－12n ＝－12n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.【迁移探究】 (变条件)本例的条件变为：a 1＝14，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列．证明：因为S n ＝S n －12S n －1＋1，所以2S n －1S n ＋S n ＝S n －1，即S n－1－S n ＝2S n S n －1，故1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1a 1＝4，因此数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔{a n }为等差数列．[提示] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1，且b n ＝1a n，n∈N *.求证：数列{b n }为等差数列．证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＋1＝a na n ＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝a n ＋1a n＝1＋1a n ＝1＋b n ，故b n ＋1－b n ＝1.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 2．(2020·贵州省适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3的值；(2)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－（n ＋1）a n n （n ＋1）＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .等差数列的性质及应用(多维探究) 角度一 等差数列项性质的应用(1)(一题多解)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝ ．【解析】 (1)通解：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.优解一：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.优解二：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.【答案】 (1)C (2)5角度二 等差数列前n 项和性质的应用(1)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( ) A ．－2 018 B ．－2 016 C ．－2 019D ．－2 017【解析】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(2)由题意知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.【答案】 (1)A (2)A角度三 等差数列的前n 项和的最值(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.(1)等差数列前n 项和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n－1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(2)求数列前n 项和的最值的方法①通项法：〈1〉若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；〈2〉若a 1＜0，d ＞0，则S n必有最小值，其n 可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．②二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1－d 2n ，故可用二次函数求最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．③不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．1．(一题多解)(2020·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A ．82B ．97C ．100D ．115解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C.2．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6＜S 7，且S 7＞S 8，则( )A ．在数列{a n }中，a 1最大B ．在数列{a n }中，a 3或a 4最大C ．S 3＝S 10D ．当n ≥8时，a n >0解析：选A.由于S 6＜S 7，S 7＞S 8，所以S 7－S 6＝a 7＞0，S 8－S 7＝a 8＜0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1，所以A 正确，B 错，D 错；S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7＞0，故C 错误．3．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S nT n＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝ ．解析：因为数列{a n }和{b n }均为等差数列，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝（a 1＋a 21）×212（b 1＋b 21）×212＝S 21T 21＝7×21＋221＋3＝14924.答案：14924思想方法系列10 整体思想在等差数列中的应用 在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .已知S n ＝m ，S m＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝ ．【解析】 设数列{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝m ，①S m＝ma 1＋m （m －1）2d ＝n .②②－①得(m －n )a 1＋（m －n ）（m ＋n －1）2·d ＝n －m .因为m ≠n ，所以a 1＋m ＋n －12d ＝－1.所以S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋（m ＋n ）（m ＋n －1）2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )． 【答案】 －(m ＋n )从整体上认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等．在等差数列中，当要求的S n 所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入．(2020·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．－50D ．0解析：选B.因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.[基础题组练]1．(2020·长春市质量监测(二))等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选 C.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＝10，6a 1＋6×52d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，故选C.2．(2020·重庆市七校联合考试)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( )A ．5B ．6C ．7D ．9解析：选C.设数列{a n }的公差为d ，因为数列{a n }是等差数列，所以a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝55，所以a 7＝11，又S 3＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝11，S 3＝3a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 5＝7.故选C.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选 C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.4．(2020·辽宁丹东质量测试(一))我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( )A ．0.9升B ．1升C ．1.1升D ．2.1升解析：选B.设竹筒从下到上的盛米量分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3.9，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1.3，a 7＋a 8＝1.5，即a 2＋5d＋a 2＋6d ＝2a 2＋11d ＝2.6＋11d ＝1.5，解得d ＝－0.1，故a 5＝a 2＋3d ＝1.3－0.3＝1升．故选B.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90解析：选B.因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝ ．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.优解：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 4＋a 7)＝100.答案：1007．(2020·武昌区调研考试)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.答案：a n ＝2n －18．(2020·福建龙岩期末改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ．解析：将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2. 由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3②.②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝（1＋21）×112＋（2＋20）×102＝231. 答案：20 2319．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2. 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.[综合题组练] 1．(2020·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n 8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．解析：由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n ＝8，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17. 答案：18n －17 172．(创新型)(2020·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为 ．解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)3．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)．(1)求a1，a2及通项公式a n；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？解：(1)因为数列{a n}满足a3＝－13，a n＝a n－1＋4，所以a n－a n－1＝4，即数列{a n}为等差数列且公差d＝4，所以a2＝a3－d＝－13－4＝－17，a1＝a2－d＝－17－4＝－21，所以通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝4n－25.(2)令a n＝4n－25≥0可解得n≥25 4，所以数列{a n}的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S1，S2，S3，…中S6最小．4．(2020·广东广州天河二模)已知S n为数列{a n}的前n 项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a2n＋3a n＋2，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若∀n∈N*，b n＝(－1)n a2n，求数列{b n}的前2n项的和T2n.解：(1)当n＝1时，6a1＝a21＋3a1＋2，且a1＜2，解得a1＝1.当n≥2时，6a n＝6S n－6S n－1＝a2n＋3a n＋2－(a2n－1＋3a n－1＋2)．化简得(a n＋a n－1)(a n－a n－1－3)＝0，因为a n＞0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)b n＝(－1)n a2n＝(－1)n(3n－2)2.所以b2n－1＋b2n＝－(6n－5)2＋(6n－2)2＝36n－21.所以数列{b n}的前2n项的和T2n＝36(1＋2＋…＋n)－21n＝36×n（n＋1）2－21n＝18n2－3n.。

第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[常用结论与微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝6，则S 7＝( ) A.8B.12C.14D.18解析 a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝6，∴a 4＝2，S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝14.答案 C4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2020·上饶模拟)已知等差数列{a n }，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则公差d ＝( ) A.－29B.29C.－23D.23解析 因为S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝12×10×(a 1＋10)＝70，所以a 1＝4，因为a 10＝a 1＋9d ＝10，所以d ＝23.答案 D6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 答案 4考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________.(2)(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n解析 (1)法一 由S 9＝27⇒9（a 1＋a 9）2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.法二 同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.(2)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .答案 (1)16 (2)A规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5. (1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得9a 1＋9×82d ＝－(a 1＋4d )，即a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ， 故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n （n －9）2≤n －5，即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }. 考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列.【迁移2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n .规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋（－1）n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2019·安阳联考)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则(a 3＋a 7)2－a 5＝( )A.60B.56C.12D.4(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 (1)∵在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝8，解得a 5＝4， 所以(a 3＋a 7)2－a 5＝82－4＝60.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)(2020·广东六校联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( ) A.14B.15C.16D.17(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16.(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.答案 (1)C (2)A考点四 等差数列的最值问题 多维探究角度1 等差数列前n 项和的最值【例4－1】 (2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0； 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 角度2 等差数列项的最值【例4－2】 (2020·淮北模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，则S n <0时n 的最大值是( ) A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038解析 因为S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，所以a 2 020＋a 2 019<0，a 2 020>0.所以S 4 038＝4 038（a 1＋a 4 038）2＝2 019(a 2 020＋a 2 019)<0，S 4 039＝4 039（a 1＋a 4 039）2＝4 039a 2 020>0，可知S n <0时n 的最大值是4 038. 答案 D规律方法 本题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值范围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来.【训练4】 (1)(角度1)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A.6B.7C.8D.9(2)(角度2)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________.解析 (1)由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值.故选C.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案 (1)C (2)－12A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·衡阳一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D2.(2020·河南名校联盟联合调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tan S 14＝( ) A.－33B.33C.－ 3D. 3解析 ∵{a n }是等差数列，且a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，∴a 7＋a 8＝π21，∴S 14＝14（a 1＋a 14）2＝7(a 7＋a 8)＝π3，∴tan S 14＝tan π3＝ 3.答案 D3.(2020·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则S 10的值为( ) A.90B.91C.96D.100解析 ∵对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2. 又a 1＝1，a 2＝2，∴S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B. 答案 B4.(2019·合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤. 答案 B。

第二节等差数列及其前n项和[最新考纲］ 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题。

4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为a n＋1－a n＝d（n∈N＊）,d为常数．(2）等差中项：数列a，A,b成等差数列的充要条件是A＝错误!,其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1）通项公式：a n＝a1＋（n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋错误!d＝错误!.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1）当d≠0时，等差数列{a n｝的通项公式a n＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．（2)当d≠0时，等差数列{a n｝的前n项和S n＝错误!n2＋错误!n是关于n 的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n｝中，a1>0，d<0,则S n存在最大值;若a1〈0，d>0,则S n存在最小值．错误!等差数列的常用性质(1）通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＊)．（2)若｛a n｝为等差数列，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q（m，n，p,q∈N＊）．（3）若｛a n}是等差数列,公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＊)是公差为md的等差数列．（4）数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5）若｛a n}，{b n｝均为等差数列且其前n项和为S n，T n,则错误!＝错误!.(6)若｛a n}是等差数列,则错误!也是等差数列，其首项与{a n｝的首项相同，公差是｛a n｝的公差的错误!。

第2讲 等差数列及其前n 项和基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从□01第2项起，每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为□03a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□04A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□05等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝□06a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝□07na 1＋n n －12d＝□08n a 1＋a n2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d . (7)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (8)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1(S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)a n )．(9)由公式S n ＝na 1＋n n －1d 2得S n n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 1，公差为等差数列{a n }公差的一半．1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 D 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12，d ＝2⇒a 1＝1，∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.故选B.3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 答案 B解析 根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝( ) A ．13 B ．12 C ．15 D ．14答案 A解析 ∵S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d＝5＋8＝13.故选A.5．(2019·辽宁模拟)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 4＋a 8＝25，则S 9＝( )A ．60B ．75C ．90D ．105 答案 B解析 由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝25. ∴a 5＝253，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝75.故选B.6．(2019·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C.核心考向突破考向一 等差数列的基本运算例1 (1)(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1答案 B解析 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1.故选B. (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，且a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40B ．35C ．30D ．25答案 C解析 因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d ，又a 5＝a 1＋4d ＝10，所以a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________.答案 14解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2.∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d )2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.3．已知数列{a n }中，a 3＝7，a 7＝3，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 10＝________. 答案 73解析 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ， 则1a 3－1＝16，1a 7－1＝12. ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列， ∴1a 7－1＝1a 3－1＋4d ，即12＝16＋4d ，解得d ＝112， 故1a 10－1＝1a 3－1＋7d ＝16＋7×112＝34，解得a 10＝73. 考向二 等差数列的性质角度1 等差数列项的性质例2 (1)(2019·温州模拟)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，所以a 8＝24.所以a 9－13a 11＝a 8＋d －13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.故选C. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝30，则下列一定为定值的是( ) A ．S 6 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 9 答案 D解析 由a 2＋a 5＋a 8＝30可得3a 5＝30，所以a 5＝10，S 6＝3(a 1＋a 6)不一定是定值；S 7＝72(a 1＋a 7)不一定是定值；S 8＝4(a 1＋a 8)不一定是定值；S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝90.选D.触类旁通等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将a n ＋a m ＝2a k (n ＋m ＝2k ，n ，m ，k ∈N *)与a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N *)相结合，可减少运算量．即时训练 4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为( )A ．20B ．－20C ．10D ．－10答案 D解析 ∵a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，∴a 10＝10，又2a 14＝a 18＋a 10，∴a 18－2a 14＝－a 10＝－10，故选D.5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 B解析 由等差数列的性质知S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝18，∴a 5＝2，又a n －4＝30.∴S n ＝n a 1＋a n2＝n a n －4＋a 52＝16n ＝240，∴n ＝15.故选B.角度2 等差数列和的性质例3 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.触类旁通等差数列和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋a n ＋1；S 2n －1＝2n －1a n ；若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中中间项.即时训练 6.(2019·大同模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 50＝( )A ．－22.5B ．－21.5C ．28.5D ．20答案 C解析 由(a 51＋a 52＋…＋a 100)－(a 1＋a 2＋…＋a 50)＝50×50d ＝2700－200，得d ＝1.由a 1＋a 100＋a 2＋a 99＋…＋a 50＋a 51＝50(a 50＋a 51)＝2700＋200，得a 50＋a 51＝58，即2a 50＋d ＝58，所以a 50＝58－12＝572＝28.5.故选C.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 考向三 等差数列的判定与证明例4 (1)(2019·辽宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1并且1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.1100B.150C.12100 D.1250 答案 B解析 ∵1a n －1＝2a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，首项为1a 1＝12，第二项为1a 2＝1，∴d ＝12，∴1a 100＝1a 1＋99d ＝50，∴a 100＝150.(2)(2019·昆明模拟)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .①证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； ②比较a n 与S n ＋7的大小． 解 ①证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1，得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n n －12＝n 22－3n . ②由①知，b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1，得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72. ∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72. ∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n－7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7. 触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． 3通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . 4前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练 8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4,2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝298时，项数n ＝( )A ．100B ．99C ．96D ．101答案 A解析 因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝a n ＋1－a n .由a 1＝1，a 2＝4得d ＝a 2－a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.由3n －2＝298，解得n ＝100.故选A.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378. 1．(2019·长沙模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小．选A.2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 解法一：由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1.又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大． 答题启示求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．对点训练1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为( )A ．S 23B ．S 24C ．S 25D ．S 26答案 C解析 设等差数列的公差为d ，∵3a 8＝5a 15， ∴3a 1＋21d ＝5a 1＋70d ，∴a 1＋2412d ＝0.∵a 1>0，∴d <0，∴a 1＋24d ＝a 25>0，a 1＋25d ＝a 26<0，∴数列{S n }最大项为S 25.故选C.2．(2019·黑龙江模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B.。

6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列（1)定义:一般地，如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1—a n =d (n ∈N ＊），d 为常数。

（2）等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 。

(3)等差数列{a n ｝的通项公式：a n = ，可推广为a n =a m +（n —m ）d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d.2。

等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+（n —1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式。

当d ≠0时,a n是关于n 的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（2）数列｛a n ｝是等差数列，且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数)。

1.已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n项和.（1）在等差数列｛a n}中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N*).特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n(m,n,p∈N＊）.（2）a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m ∈N＊).（3)S n,S2n-S n,S3n—S2n，…也成等差数列，公差为n2d。

（4)若{a n},{b n｝是等差数列,则｛pa n+qb n}也是等差数列.(5）若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n）=n（a n+a n+1)；S偶-S奇=nd；S奇S偶=a na n+1。

（6)若项数为奇数2n—1,则S2n—1=（2n—1）a n；S奇—S偶=a n;S奇S偶=nn-1。

第讲等差数列及前项和考纲展示命题探究等差数列的概念及运算)等差数列的定义一般地，如果一个数列，每一从第项起差等项与它的前一项的于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义的表达式为－＝，为常数＋．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，且＝.等差数列的通项公式及其变形通项公式：，其中是首项，是公差．通项公式的变形＝＋(－)：＝＋(－)，，∈*.等差数列的前项和等差数列的前项和公式：＝＝＋.等差数列的单调性当>时，数列{}为递增数列；当<时，数列{}为递减数列；当＝时，数常数列．列{}为注意点定义法证明等差数列时的注意事项()证明等差数列时，切忌只通过计算数列的－，－，－等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{}为等差数列．()用定义法证明等差数列时，常采用＋－＝，若采用－－＝，则≥，否则＝时无意义.．思维辨析()若一个数列从第项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) ()数列{}为等差数列的充要条件是对任意∈*，都有＝＋＋.( )＋()等差数列{}的单调性是由公差决定的．( ) ()数列{}为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数．() ()等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数．( )答案()×()√()√()×()×．等差数列{}的前项和为，且＝，＝，则公差等于( )．．．答案解析因为＝＝，而＝.所以＝，所以＝＝.．等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则等于( )．．．．答案解析∵＝＝＝，∴＝.∵＝，∴＝－＝－＝.∴＝＋＝.故选.[考法综述]等差数列的定义，通项公式及前项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由，，，，五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法等差数列的基本运算典例等差数列{}的前项和记为.已知＝，＝.。

第二节等差数列及其前n项和[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第96页)1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个－a n＝d(n∈N*，d为常数)．常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n＋1(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．数列{a n }是等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)．(2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数(缺少常数项)， 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)已知{a n }是等差数列，若k ＋l ＝m ＋n ，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ；若2k ＝p ＋q ，则a p ＋a q ＝2a k ，其中k ，l ，m ，n ，p ，q ∈N *.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． [常用结论]1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为－2. ( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C [由题意知a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14，令－3n ＋14＝－49得n ＝21，故选C.]2．在等差数列{a n }中a 1＝14.5，d ＝0.7，a n ＝32，则S n ＝( ) A ．600 B ．603.5 C ．604.5D ．602.5C [由a n ＝a 1＋(n －1)d 得32＝14.5＋0.7(n －1)，解得n ＝26，所以S 26＝26(a 1＋a 26)2＝13(14.5＋32)＝604.5.]3．小于20的所有正奇数的和为________．100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S 10＝10(1＋19)2＝100.]4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 180 [由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450得 a 5＝90.所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.](对应学生用书第96页)⊙考点1 等差数列的基本运算(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)(·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．a n＝2n－5B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝12n2－2n(2)(·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则S10 S5＝________.(1)A (2)4 [(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝5，S 4＝4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2， 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n ，故选A. (2)由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1. 所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1， S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， 所以S 10S 5＝4.](3)(·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. ①若a 3＝4，求{a n }的通项公式；②若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． [解] ①设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .②由①得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2.由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．a 1和d 是等差数列的两个基本量，求出a 1和d 进而解决问题，是常用的方法之一．1.(·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12B [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d .……∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10D [因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.]⊙考点2 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． [解](1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1 ＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1， 当n ＝4时，a n 取得最大值3.求数列的最大项和最小项，实际就是求函数的最值问题，可借助函数的图像及函数的单调性求解．1.数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 12n －1 [由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n＝2.又1a 1＝1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1.]2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求{a n }的通项公式．[证明] 由题意知2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴1a n ＋1－1－1a n －1＝(a n －1)－(a n ＋1－1)(a n ＋1－1)(a n －1)＝a n －a n ＋1a n ＋1·a n －a n ＋1－a n ＋1 ＝a n －a n ＋12a n －a n ＋1－a n＝1.又a 1＝2，1a 1－1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列． ⊙考点3 等差数列性质的应用利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2a m ＝a m －n ＋a m ＋n 可实现项的合并与拆分，在S n ＝n (a 1＋a n )2中，S n 与a 1＋a n 可相互转化．(2)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可求S 2m 或S 3m .等差数列项的性质(1)已知在等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25(2)已知数列{a n}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝()A．84 B．70C．49 D．42(1)B(2)D[(1)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B.(2)因为a 5＋a 6＋a 7＝3a 6＝6，所以a 6＝2，又a 9＝4，所以S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝7(a 6＋a 9)＝42.故选D.]一般地a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .等差数列前n 项和的性质(1)(·莆田模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.(1)B (2)2 020 [(1)由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列， 即7,14，S 15－21成等差数列， ∴S 15－21＋7＝28， ∴S 15＝42，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6， ∴d ＝1，∴S 2 0202 020＝S 11＋2 019d ＝－2 018＋2 019＝1， ∴S 2 020＝2 020.]本例T(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63 B．45C．36 D．27B[由题意知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，S9－S6成等差数列．∴S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.]2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m＝10，S2m－1＝110，则m＝________.6 [S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2(2m －1)a m2＝110，解得m ＝6.]3．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.3727 [a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.]⊙考点4 等差数列的前n 项和及其最值求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(1)[一题多解]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [法一(通项变号法)：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二(二次函数法)：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三(图像法)：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．](2)已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8. ①求等差数列{a n }的通项公式；②若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n . [解] ①设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.②当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{3n －7}的前n 项和为S n ， 则S n ＝n [(－4)＋(3n －7)]2＝32n 2－112n .当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ， 当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n )＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10，综上知：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3，n ∈N *.当公差d≠0时，等差数列{a n}的前n项和S n是关于n的二次函数，故在对称轴处S n有最值，当对称轴不是正整数时，离对称轴最近的n值使S n取得最值．1.设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.130[由a n＝2n－10(n∈N*)知{a n}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.] 2．(·北京高考)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．[解](1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n＞0；当n≤6时，a n≤0.所以S n的最小值为S5＝S6＝－30.。

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(2018·温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________；S 7＝________.答案：－n ＋8 283．(2018·温州十校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(2018·湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＝16，a 6＝10，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，要使S n 能够取到最大值，则需a n ＝－2n ＋22≥0，所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 1S 4＝110，所以10a 1＝4a 1＋6d ，所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(2019·绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝______，公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6，得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0，即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2，得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2，解得d ＝4，所以a 1＝－14.答案：－14 4[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想． 考点二 等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2019·温州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12，所以a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1－1a n －1＝112－a n－1－1a n －1＝2－a n －1a n －1＝－1.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n －1＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)，所以a n －1＝－1n ＋1，即a n ＝nn ＋1.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n (n∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·宁波模拟)在等差数列{a n }中，若a 9a 8＜－1，且其前n 项和S n 有最小值，则当S n ＞0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选C ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴公差d ＞0，首项a 1＜0，{a n } 为递增数列，∵a 9a 8＜－1，∴a 8·a 9＜0，a 8＋a 9＞0，由等差数列的性质知2a 8＝a 1＋a 15＜0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16＞0.∵S n ＝(a 1＋a n )n2，∴当S n ＞0时，n 的最小值为16.2．(2018·嘉兴一中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足a n ＞0的最大n 的值为______，满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝______.解析：由题可得a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，所以使得a n ＞0的最大n 的值为6.又a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＞0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，因为{a n }是递减的等差数列，所以满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12. 答案：6 12[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(2018·浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310 B.37 C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，因为S 4S 8＝13，所以不妨设S 4＝1，则S 8＝3，所以S 8－S 4＝2，所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10，所以S 8S 16＝310.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列，所以d ＞0，故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(2018·舟山期末)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1，a 4＝5，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15.3．(2019·缙云模拟)已知{a n }为等差数列，其公差d 为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1，因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(2019·腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d 2＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，则a 6＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1，所以数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7， 即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114 B.32 C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝d2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2019·台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝18，S 18＝54，则a 17＝________，S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝18，S 18＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20，d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n .答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·金华浦江适考)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，其中a n ＝－3n ＋20，b n ＝|a n |，则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________，T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意，数列{a n }中，a n ＝－3n ＋20，则数列{a n }是首项为17，公差为－3的等差数列，且当n ≤6时，a n ＞0，当n ≥7时，a n ＜0，又由b n ＝|a n |，当n ≤6时，b n ＝a n ，当n ≥7时，b n ＝－a n ，则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6，T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；(2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5， 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________． 解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min ＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a n－1＋a n)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×n－1 2＝2n2－3n＋52.②当n为偶数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝2n2－3n2.。

?等差数列的前n项和?的教学设计一、设计思路它是在学生学习了等差数列的根底上学习和研究的，等差数列前n项和的教学过程，表达了数学的归纳转化及函数与方程的思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维形式，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的创新意识和观察、抽象、概括、类比、分析解决问题的能力、开展学生的思维能力有重要的作用。

本节教材根据大纲可分为二课时，本节课是第一节课。

高中二年级学生，之前学生已经学习了等差数列，但在等差数列的公式构成的理解上与应运上有一定的困难。

所以通过实例使学生产生强烈的学习兴趣，然后通过合作交流完本钱节课的学习。

二、教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。

三、教学重点和难点1.教学重点：等差数列前n项和的公式及公式的运用。

2.教学难点：等差数列前n项和的公式的运用。

灵活运用等差数列的前n项和公式解决些简单的实际问题。

四、教学准备,学情调查本节课准备采用“启发式教学法〞进行教学设计，教师作为“引导者、参谋者、设计者〞组织教学，学生在老师提出的问题后，进行思考讨论，最后解决的问题，在此过程中体验成功与失败，从而建立完善的认知结构。

并利用了现代教育多媒体技术。

鉴于我校学生总体根底较差，所以本节公式的推导要给学生充足的时间进行讨论展示。

五．教学过程<一>.新课导入[创设情景]泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。