第二讲：等差数列及求和公式(教师)

第二讲计算二一、数列1.数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项．数列中共有的项的个数叫做项数．2.等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差．3.常用公式：等差数列的总和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项−首项)÷公差+1末项=首项+公差×(项数−1)首项=末项−公差×(项数−1)公差=(末项−首项)÷(项数−1)等差数列(奇数个数)的总和=中间项×项数二、分数小数混合运算在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数．技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便．技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数．此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数．技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便．技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定．技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要．三、循环小数化分数1.17的“秘密”10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=，…，60.8571427∙∙=2.推导以下算式⑴ 10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵ 121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；5123411370.123499901110-==以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==．3.0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，……四、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点．渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助．五、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（）， 5、解方程：求方程的解的过程叫解方程．所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”．6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解六、解方程的步骤1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1．2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号．我们常说“移项变号”．3、移项的目的：是为了把含有x的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解．4、怎样检验方程的解的正确性？判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同．七、解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法：⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程；⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．加减消元法：⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；⒉将两条方程相加或相减消元；⒊解一元一次方程；⒋代入法求另一未知数．加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．八、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算．基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算．关键问题：正确理解定义的运算符号的意义．注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．我们学过的常用运算有：+、−、×、÷等.如：2+3=5 2×3=6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，“−”，“×”，“÷”运算不相同.九、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题1⑴计算468103436++++++⑵以质数71做分母的最简真分数有123,,......,7171716970,;7171求这列数的和 ⑶计算：56789101113579111313131313131313++++++【分析】 ⑴这是一个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(436)172340+⨯÷=⑵方法一：将这列数的分子从左往右排起来是1，2，3，4…69，70．可以发现这是一个等差数列，首项是1，末项是70，项数是70．我们可以用等差数列求和公式“和=(首项+末项)⨯项数2÷”求出分子相加的和，再求出以质数71做分母的最简真分数的和．123469701234.....6970(170)702......357171717171717171+++++++⨯÷++++++=== 方法二：将这列数排列起来，可以发现：第二项比第一项多171，第三项比第二项多171，第四项比第三项多171，…………因此，可以直接使用等差数列求和公式求和． 12346970170.....702357171717171717171⎛⎫++++++=+⨯÷= ⎪⎝⎭⑶带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分都可以利用等差数列求和公式进行计算.56789101113579111313131313131313567891011(135791113)()13131313131313(511)72(113)721344941345313++++++=++++++++++++++⨯÷=+⨯÷+=+=例题2一列由两个数组成的数组：（1，1），（1，2），（2，2），(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：（1）第100组内的两数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？ 【分析】 观察每一组内的第二个数，则知第二组是几，第二位是这个数就有几个，由于1231391++++=，则第100组内的两个数为，9+14=23； 同样，据上面所述规律，由于1231055++++=，当该组的第二个数是5时，这样的组数有5+1=6个，当该组的第二个数是6、7、 8、9、10时，分别对应的有1个5，所以5共出现了10次．例题3【一】计算：1231736182434320⎛⎫⎛⎫+++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】 原式13213333[(31)(68)](515)3344332020=+++⨯=+⨯=【二】计算：()151030.85126.3206⎡⎤+-÷÷=⎢⎥⎣⎦（ ）【分析】 0.1例题4【一】将下列分数化为小数：38，56，449，27，1013．【分析】 根据题意，有30.3758=，50.836=，44 4.89=，20.2857147=，100.76923013=【二】把下列循环小数转化为分数：0.48，0.1353，3.1703，6.36538461．【分析】 48160.489933==；1353410.135********==；17031233.1703339990135-==；3653846136196.36538461669999990052-==；例题5计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++；（4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+. 【分析】（1） 原式=20.10.20.30.63++==；（2） 原式=0.20.30.40.91++==；（3） 原式=0.30.50.70.90.7 1.6++=+=；（4） 原式=1121123121111113210.10.120.1230.356990900990900900--++=++=++==； （5） 原式=0.120.230.354+=；例题6解下列方程：（1）31714612x x xx +-++=+；（2）32172(1)223423x x ⎡⎤⨯⨯++-=⎢⎥⎣⎦；（3）355412x x +=+；（4）（1x +）（7x +）2(2)5x =++.【分析】 (1)()()123321712x x x x +++-=+ （2）17213423x x ++-=12392271210512x x x x x x +++-=+== 5112265x x == （3）()()235541x x +=+ （4）2287445x x x x ++=+++610205514x x x +=+=； 4212x x ==例题7解下面的方程组：（1）11949,13317;x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）21,13859;y x x y -=⎧⎨-=⎩ （3）1829307,1628284.x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】 （1）2x =，3y =；（2）7x =，4y =；（3）9x =，5y =例题8定义两种运算＊◎，对任意两个整数A ，B ，A ＊B =A +B −1，A ◎B =A ×B −1，求（1）[（6*8）*（3*5）]，（2）若x *(x ◎4)=30，求x 【分析】 （1）[（6*8）*（3*5）]=13*7=19.（2）(x ◎4)=4x −1，x *(x ◎4)=x +4x −1−1=5x −2=30，解得x =6.4练习1计算：⑴ 2469698100135959799++++++-++++++（）（）⑵ 13467910121366676970+++++++++++++；⑶ 1000999998997996995106105104103102101+-++-+++-++-． ⑷ 616926993699946999956999996+++++ 【分析】 ⑴ 和式2498100++++，1359799+++++中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法．这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：21-，43-，65-，，10099-，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个．由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而， 原式214398*********=-+-++-+-=（）（）（）（）．⑵ 以把这个数列拆分为两个数列14710136770+++++++和369126669++++++，对 它们分别求和：原式1702423692321680=+⨯÷++⨯÷=（）（）；⑶ 本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：10001997110611031++++++++．这是1000997106103++++和1111++++的组合，分别计算结果即可： 原式100010330021300165750=+⨯÷+⨯=（）⑷ 原式709700870007700006700000570000004=-+-+-+-+-+-（）（）（）（）（）（）77777709876547777731=-+++++=（）练习2在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了90分（满分为100分）．已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？ 【分析】 他们的平均分为656÷8=8282+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6…… 若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4−1）×2=89分，不符合题意，舍； 若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4−1）×4=96分，不符合题意； 若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4−1）×6=103分，不符合题意． 因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分练习3【一】131415314151223344÷+÷+÷=【分析】 观察发现如果将1312分成30与112的和，那么30是除数32的分子的整数倍，112则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．原式131415301401501223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭345301401501234=÷++÷++÷+2030403=+++ 93=【二】计算：1130.42(4.3 1.8)26524⎡⎤⨯÷⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦【分析】 原式=2练习4 把下列分数化为小数：（1）34，138，1325；（2）29，311，433；（3）56，522，790；（4）27，313，437.【分析】（1）0.75；1.625;0.52;（2）0.2，0.27，0.12；（3）0.83，0.227，0.07；（4）0.285714,0.230769,0.108；练习5把下列循环小数转化为分数：（1）0.1，0.4；（2）0.01，0.35；（3）0.08，0.38．【分析】（1）14,99；（2）135,9999；（3）840.089045==，38370.389018-==；练习6解下列方程：（1）12225x xx-+-=-；（2）125(1)356x x⨯-=；（3）111233xx-=+.【分析】（1）()()10512022x x x--=-+11055202471117x x xxx--==-+=；（2）22155x x⎛⎫-=⎪⎝⎭425529251029x xxx-===；（3）()31123x x-=+3332352826x x x x -=+==练习7解下面的方程组：（1）4222,17780;x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）47144,12824.x y x y +=⎧⎨-=⎩【分析】 （1）1x =，9y =；（2）15x =，12y =练习8定义运算※为a ※b =a ×b −(a +b )，(1)求5※7，7※5（2）12※（3※4），（12※3）※4（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？（4）如果3※（5※x ）=3，求x 【分析】 （1）5※7=5×7−（5+7）=23=7※5（2）12※（3※4）=12※5=43（12※3）※4=21※4=59 （3）有交换律 没有结合律（4）3※（5※x ）=3※（4x −5）=8x −13=3x =2。

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【高考命题】一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（4）{}n a 为等差数列，公差为d ，则11n n a a += 【小测】1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2·a 11－q 91－q＝a 11－q 31－q＋a 11－q 61－q，所以2q 9＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8.4．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.【考点1】等差数列与等比数列的综合【例1】 (2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根． 再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列． 设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31. 由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得 ⎩⎨⎧2b 1q 2－a 1q 1＝b 1－a 1＋b 1q 22－a 1q 21，2b 1q 22－a 1q 21＝b 1q 2－a 1q 1＋b 1q 32－a 1q 31，即⎩⎨⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ②①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0， 由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． (ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．[方法总结] 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【变式】 (2012·苏州市自主学习调查)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线(x ＋1)2＝4y 上．(1)求数列{a n }的通项公式；第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. [方法总结] 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【变式】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2.∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8nn ＋1. 【考点4】错位相减法求和【例4】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .审题视点 (1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法． 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n 1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.[方法总结] 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 【变式】 (2011·辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)n2n －1.即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5，∴a 5＝q 5＝25＝32， ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n .4．(2012·重庆卷)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12，得⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)得S n ＝na 1＋a n 2＝n2＋2n 2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1·S k ＋2，即(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)， 也即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．7．(2012·常州一中期中)已知数列{a n }与{2a n ＋3}均为等比数列，且a 1＝1，则a 168＝________.解析 设{a n }公比为q ，a n ＝a 1q n －1＝q n －1， 则2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3也为等比数列， ∴5,2q ＋3,2q 2＋3也为等比数列， 则(2q ＋3)2＝5(2q 2＋3)，∴q ＝1， 从而a n ＝1为常数列，∴a 168＝1.10．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.13(4n－1)． 14.(2012·盐城市二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 解析 由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.11。

等差数列求和的应用基本公式：和=（首项＋末项）×项数÷2 末项=首项＋（项数－1）×公差项数=（末项－首项）÷公差＋1 首项=末项－（项数－1）×公差一、例题解析：【例1】计算：1＋3＋5＋……＋95＋97＋99【例2】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？【例3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？【例4】如果把1991表示成11个连续奇数的和，那么其中最大奇数是多少？【例5】小明住在一条小胡同里，一天，他算了算这条小胡同的门牌号码。

他发现，除掉他自己的家不算，其余各门牌号码之和正好是100。

这条小胡同一共有多少户（即有多少个门牌号码）？小明家的门牌号码应该是多少号？【例6】7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？最多种了多少棵？【例7】一个平面内共有１００条直线，这些直线最多可以将平面分成多少个部分？【例8】求1－99个连续自然数的所有数字之和。

思维拓展：【例9】某班有若干名学生，学号顺次编为１，２，３，……所有学生学号的和减去3正好是100的整数倍，且所有学号之和在714与1000之间，那么这个班共有多少名学生？二、课堂练习：【1】1＋2＋3＋……＋48＋49＋50=【2】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于50。

问：共有多少个同学?我报的数是几?【3】求1－299个连续自然数的所有数字之和。

三、反馈练习：【1】计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？【2】丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，第11天学会了16个，丽丽这11天中共学会了多少个单词？【3】胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

等差数列的求和公式与性质等差数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

等差数列的求和公式是一种重要的工具，用于求解等差数列的各项和。

本文将介绍等差数列的求和公式及其性质，帮助读者更好地理解和应用等差数列。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差是指数列中相邻两项的差值。

一般来说，等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

根据等差数列的定义，我们可以总结出等差数列的性质：1. 每一项与它的前一项之差都等于公差d。

2. 每一项与它的后一项之差也等于公差d。

3. 第n项与第m项之差等于(m-n)d。

这些性质对于理解等差数列的求和公式有很大的帮助，下面将进一步介绍等差数列的求和公式及其推导过程。

二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是一种通过已知数列的首项、末项和项数来求解数列和的公式。

下面将介绍两种求和公式：算术平均数法和通项公式法。

1. 算术平均数法算术平均数法是一种通过求出数列的项数及其平均值来计算数列和的方法。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的平均值为：平均值 = (a1 + an) / 2根据等差数列的性质，我们知道每一项与平均值的差值等于公差d。

所以，数列的和可以通过平均值乘以项数来求解：数列和 = 平均值 ×项数 = (a1 + an) / 2 × n2. 通项公式法通过等差数列的通项公式也可以求解数列的和。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

根据等差数列的性质，我们知道第n项与第一项之间有(n-1)个公差d。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和可以分解为n个等差数列的和：数列和 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)通过将每一项与首项的差值相加，得到数列和的通项公式：数列和 = n / 2 * (a1 + an)三、等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在实际问题中有许多应用，下面将介绍两个常见的应用。

等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。

学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。

本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。

该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。

一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。

等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。

2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。

3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。

二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。

等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。

三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。

以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。

这两个部分的和恰好等于整个数列的和。

3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。

4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。

四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。

1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。

首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。

代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。

等差数列与等差数列的求和等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中常见的数列类型之一。

它的特点是每个相邻的数之间的差值是相等的，这个差值被称为公差。

等差数列在实际问题中有着广泛的应用，比如金融、物理等领域。

本文将会介绍等差数列的定义、公式以及求和公式，并通过一些例题来进一步说明。

一、等差数列的定义和公式等差数列是指一个数列中的每个数都与它的前一个数之差相等的数列。

设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项。

例如，如果一个等差数列的首项为2，公差为3，那么它的通项公式为：aₙ = 2 + (n-1)3二、等差数列的求和公式等差数列的求和是指将该数列中的所有项相加得到一个和。

求和公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明，这里不做详细展开。

等差数列的求和公式可以表示为：Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。

例如，对于一个等差数列的前4项求和，首项为2，公差为3，根据求和公式，可以得到：S₄ = 4/2 * (2 + 2 + (4-1)*3)三、等差数列与求和的应用举例下面通过一些具体的例题来进一步说明等差数列和求和的应用。

例题1：一个等差数列的首项为3，公差为4，求它的第10项。

解析：根据等差数列的通项公式，可以得到第10项的数值：a₁₀ = 3 + (10-1)*4 = 39所以，该等差数列的第10项为39。

例题2：一个等差数列的前8项和为144，首项为4，公差为6，求该数列的第15项。

解析：根据等差数列的求和公式，可以得到前8项和的数值：S₈ = 8/2 * (4 + a₈) = 144由此可以推算出第8项的数值：4 + a₈ = 144 * 2/8 = 36解方程可得：a₈ = 36 - 4 = 32再根据等差数列的通项公式，可以得到第15项的数值：a₁₅ = 4 + (15-1)*6 = 88所以，该等差数列的第15项为88。

第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。

3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。

例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。

4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。

2考虑此项与它前一项之间的关系。

3考虑此项与它前两项之间的关系。

4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。

5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。

（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。

1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。

2.在解题中应用数列相关知识。

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】知识导航被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。

高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2，=（大+小）×个数÷2，但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式：最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1）个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1精典例题例1：下面算式求和，你有妙招吗？1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20思路点拨：方法一：凑整法。

从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20，每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。

方法一：凑整法。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20=20+20+20+……+20+10=20×10+10=210方法二：配对求和。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11）=21+21+21+……+21+11=21×10=210模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19=（1+19）×10÷2=20×5=100例2：你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路点拨如果我们还是按照配对求和的方法，1+9，2+8，3+7，4+6，那么还剩下5就不能配对了，为了解决这样的问题，高斯又发现了有新的绝招：现在你该知道怎么写算式了吧！快快行动吧！方法一：等差数列求和法。

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

《等差数列求和公式》详细教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义解释等差数列的定义，即数列中每一项与它前一项的差是一个常数。

通过示例来让学生理解等差数列的特点。

1.2 等差数列的性质介绍等差数列的性质，包括：1) 任何两个连续项的差是常数。

2) 等差数列中任意一项都可以用首项和公差表示。

第二章：等差数列的通项公式2.1 通项公式的推导引导学生通过观察等差数列的性质，推导出通项公式。

解释通项公式中各项的物理意义。

2.2 应用通项公式求等差数列的项教授如何使用通项公式来求等差数列中任意一项的值。

提供练习题，让学生巩固通项公式的应用。

第三章：等差数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义解释等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。

强调前n项和公式的意义和应用。

3.2 等差数列的前n项和公式的推导通过数学推导，引导学生得出等差数列的前n项和公式。

解释公式中各项的物理意义。

第四章：应用前n项和公式求等差数列的和3.1 应用前n项和公式求等差数列的和教授如何使用前n项和公式来求等差数列的和。

提供练习题，让学生巩固前n项和公式的应用。

3.2 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生更好地理解和应用等差数列的前n项和公式。

第五章：总结与复习5.1 总结对本节课的内容进行总结，回顾等差数列的概念、通项公式和前n项和公式的推导过程。

强调等差数列的性质和公式的应用。

5.2 复习练习提供一些复习练习题，让学生巩固本节课所学的知识和技能。

第六章：等差数列的图形表示6.1 等差数列的图形特征介绍等差数列的图形表示方法，包括数列项的连线和数列曲线的特点。

强调图形表示在理解等差数列性质方面的重要性。

6.2 等差数列前n项和的图形表示解释如何通过图形来表示等差数列的前n项和。

提供练习题，让学生通过图形来求解等差数列的和。

第七章：等差数列的实际应用7.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的应用，如计算存款利息、统计数据等。

等差数列的性质和求和公式等差数列是数学中常见且重要的数列类型之一。

它的性质和求和公式在数学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将介绍等差数列的性质，讨论其求和公式，并举例说明。

1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

以$a_1$表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数，则等差数列可以表示为：$$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, ..., a_1 + (n-1)d$$其中，$a_k$表示第$k$项。

等差数列具有以下性质：(1) 首项：$a_1$(2) 公差：$d$(3) 第$n$项：$a_n = a_1 + (n-1)d$(4) 第$n$项和：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$2. 等差数列的求和公式为了求得等差数列的前$n$项和$S_n$，我们可以利用等差数列的性质和求和公式。

首先，我们知道等差数列的第$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$$将等差数列中的各项按照首项与公差的关系进行重排，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_1 + (n-1)d) + (a_1 + d + a_1 + (n-2)d) + ... + (a_1 + (n-1)d + a_1)$$将每对括号内的两项相加，可以得到：$$S_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + ... + (2a_1 + (n-1)d)$$由于括号内的每项都相同，因此可以简化为：$$S_n = n(2a_1 + (n-1)d)$$这就是等差数列的求和公式。

3. 求和公式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明等差数列的求和公式的应用。

例1：求等差数列$5, 8, 11, 14, 17$的前$5$项和$S_5$。

等差数列与等差数列求和公式等差数列是指数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等的数列。

等差数列的求和公式可以帮助我们快速计算数列中所有元素的和。

本文将介绍等差数列的定义、特点以及求和公式的推导过程。

一、等差数列的定义与特点等差数列的定义是指一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。

这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。

假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中n表示数列中的第n个元素。

等差数列有以下几个特点：1. 公差为常数：等差数列中的每个相邻元素之差都是相等的，这个差值在整个数列中保持不变。

2. 首项与公差确定整个数列：等差数列的首项和公差确定了整个数列的所有元素。

3. 等差数列的相邻元素之和相等：等差数列中，相邻两个元素之和都等于中间元素的两倍。

二、等差数列求和公式的推导为了更加方便地计算等差数列的和，我们需要推导出等差数列求和公式。

下面将介绍一种常见的推导方法——倍差法。

假设等差数列的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn。

我们可以利用倍差法进行推导，具体步骤如下：1. 将数列分为两行，第一行是从首项开始的数列，第二行是从末项开始的数列。

两行的所有元素分别相加，得到两个和分别为Sn和Sn。

第一行：a₁ a₂ a₃a₄⋯aₙ₋₁第二行：aₙaₙ₋₁aₙ₋₂⋯a₂ a₁2. 将两行对应的元素相加，得到一个新的数列。

每一项的和都等于首项与末项的和。

Sn + Sn = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ⋯ + (aₙ +a₁)3. 根据等差数列的性质，利用等差数列的通项公式将上式进行变形。

Sn + Sn = (2a₁ + (n-1)d) + (2a₁ + (n-2)d) + (2a₁ + (n-3)d) + ⋯ +(2a₁ + d)4. 对上式进行化简，得到Sn = n(2a₁ + (n-1)d) / 2这就是等差数列求和公式。

等差数列与等差数列求和公式数学是一门重要的学科，也是许多中学生头疼的学科之一。

其中，等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

在本文中，我将向大家介绍等差数列的概念、性质以及等差数列求和公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之差都相等的数列。

比如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。

等差数列的概念很简单，但是它却有着一些重要的性质。

首先，等差数列的通项公式是一个重要的性质。

通项公式可以用来表示等差数列中的任意一项，它的一般形式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

通过通项公式，我们可以轻松地计算等差数列中的任意一项。

其次，等差数列的性质还包括首项、末项和项数之间的关系。

对于一个等差数列来说，首项a1、末项an和项数n之间的关系可以表示为an=a1+(n-1)d。

这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中的末项。

最后，等差数列的性质还包括前n项和的计算公式。

等差数列的前n项和可以用公式Sn=n/2(a1+an)来表示，其中Sn表示前n项和。

这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而更好地理解和掌握等差数列的性质。

二、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。

它可以帮助我们解决许多实际问题，比如计算连续数的和、计算等差数列中某个区间的和等等。

下面，我将通过一些具体的例子来说明等差数列求和公式的应用。

例1：求等差数列1，3，5，7，9的前4项和。

解：根据等差数列求和公式Sn=n/2(a1+an)，我们可以得到Sn=4/2(1+9)=20。

所以，等差数列1，3，5，7，9的前4项和为20。

例2：某连续数列的首项为3，公差为5，末项为103，求该数列的项数和前n项和。

解：根据等差数列的性质，我们可以得到an=a1+(n-1)d，代入已知条件，得到103=3+(n-1)5，解方程得到n=21。

等差公式求和公式等差数列是数列的一种形式，其中每一项与前一项之差保持相等。

求和公式是用于计算等差数列所有项的和的公式。

本文将介绍等差数列和求和公式，并提供详细的推导和示例。

1.等差数列等差数列的一般形式为：a,a+d,a+2d,a+3d,...,a+(n-1)d其中，a是首项，d是公差（每一项与前一项之差），n是项数。

例如，2,5,8,11,14就是一个等差数列，其首项a=2，公差d=3，项数n=52.求和公式等差数列的求和公式为：Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)其中，Sn是等差数列的前n项和。

3.推导过程要理解等差数列的求和公式，我们需要对其进行推导。

下面是一个基本的推导过程：首先，我们将等差数列从左向右和从右向左对齐，如下所示：a,a+d,a+2d,...,a+(n-2)d,a+(n-1)da+(n-1)d,a+(n-2)d,...,a+2d,a+d,a接下来，我们将这两行的每一列相加，得到：2a+(n-1)d,2a+(n-1)d,...,2a+(n-1)d上述结果中的每一项都相等，其个数为n个。

因此，我们可以将这n 个项的和表示为：Sn=n(2a+(n-1)d)但我们会发现，上面的和多算了一遍。

我们通过除以2的方式消除重复项，即：Sn/2=(n/2)(2a+(n-1)d)最终，我们得到了等差数列的求和公式：Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)4.示例让我们通过一个实际的示例来演示如何使用等差数列求和公式。

假设有一个等差数列，首项a=3，公差d=2，项数n=8首先，我们可以使用求和公式计算出该等差数列的前8项和：Sn=(n/2)(2a+(n-1)d)=(8/2)(2*3+(8-1)*2)=4(6+7*2)=4(6+14)=4(20)=80因此，该等差数列的前8项和为80。

5.结论等差数列的和求和公式是非常有用的工具，在计算等差数列的和时提供了一个简单且快速的方法。

通过理解等差数列的定义和推导过程，我们可以更好地理解求和公式的原理。