第6章第2讲 等差数列及其前n项和(习思用.数学理)

第2讲 等差数列及其前n 项和,1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 ． 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ ．(2)前n 项和公式：S n ＝ ＝ ． 3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则 ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为 ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1. 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项2. 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( )A ．45B ．54C ．63D ．274．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．等差数列的基本运算(高频考点)(1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172 B ．192 C ．10 D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[题点通关]角度一 求公差d 、项数n 或首项a 11．已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．3角度二 求通项或特定项2．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．[通关练习]1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．402．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 173．等差数列{a n }中，如果 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．152．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．123．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( )A ．20B ．17C ．42D ．84 4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．1215．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．95B ．100C ．135D ．806．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．97．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________．9．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．13．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．。

等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。

其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。

这种方法适用于数列项数较多的情况。

2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。

这种方法适用于数列项数较少的情况。

三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。

考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。

根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。

因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。

等差数列及其前n 项和【学习目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n 项和公式的性质特点。

注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。

【要点梳理】要点一、等差数列的定义 文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

要点诠释：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）； 符号语言形式对于数列{}n a ,若1n n a a d --=(n N +∈，2n ≥,d 为常数)或1n n a a d +-=(n N +∈，d 为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差。

要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关。

等差中项如果a ,A ,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2ba A +=. 要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。

任意两实数a ，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ,A ,b 成等差数列的充要条件是2ba A +=. 要点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为：推导过程： （1）归纳法：根据等差数列定义1n n a a d --=可得：1n n a a d -=+， ∴211(21)a a d a d =+=+-，32111()2(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， 43111(2)3(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-，……d n a a n )1(1-+=当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为：d n a a n )1(1-+=（n N +∈）。

等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。