第06节 建立函数关系式举例

第六节 多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16*数学建模举例★ 线性回归问题 ★ 线性规划问题★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-6内容要点一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步 求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲二元函数极值的概念例1 (E01) 函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2 (E02) 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-= 表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）.例3 (E03) 函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马 鞍面）（图7-6-3）例4 (E04) 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.解 先解方程组解得驻点为),0,1(),2,1(),0,3(-).2,3(-再求出二阶偏导数),(y x f xx ,66+=x ),(y x f xy ,0=),(y x f yy .66+-=y在点 (1, 0) 处, ,06122>⋅=-B AC 又,063),(0963),(22⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=y y y x f x x y x f y x ,0>A 故函数在该点处有极小值;5)0,1(-=f在点 (1, 2) 处, )0,3(-处，,06122<⋅-=-B AC 故函数在这两点处没有极值;在点)2,3(-处，,0)6(122>-⋅-=-B AC 又,0<A 故函数在该点处有极大值.31)2,3(=-f例5 证明函数 y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值.证 由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=+-='0)1(cos 0sin )1(y x e z x e z y y y x).(1)1(Z k y k x k ∈⎩⎨⎧--==π 又,cos )1(x e z A y xx +-=''=,sin x e z B y xy -=''=).2(cos y x e z C y yy--=''= 在点))(0,2(z n n ∈π处,,2-=A ,0=B ,1-=C ,022>=-B AC又,0<A 所以函数z 取得极大值;在点))(2,)12((z n n ∈-+π处,,12-+=e A ,0=B ,2--=e C ,0422<--=---e e B AC 此时函数无极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6 求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上),,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f例7 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x , x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.解 先求函数在D 内的驻点，解方程组 ,0)4(),(0)4(2),(222⎩⎨⎧=---='=---='y x y x x y x f y x y x xy y x f xx 得唯一驻点),1,2(且,4)1,2(=f 再求),(y x f 在D 边界上得最值，在边界6=+y x 上，即,6x y -=于是),2)(6(),(2--=x x y x f由,02)6(42=+-='x x x fx 得4,021==x x ,264=-==x x y 而,64)2,4(-=f 所以4)1,2(=f 为最大值，64)2,4(-=f 为最小值.例8 求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y =' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0). 由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以, 在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f 在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z 最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f例9 求 122+++=y x yx z 的最大值和最小值.解 x z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x x y x ,0=y z 22222)1()(2)1(+++-++=y x y x y y x ,0=解得驻点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21和,21,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 因为,01lim 22=+++∞→∞→y x y x y x 即边界上的值为零.又 ,2121,21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z ,2121,21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--z 所以最大值为,21最小值为.21-例10 (E05) 某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积 A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x 令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小.例11 (E06) 设1q 为商品A 的需求量, 2q 为商品B 的需求量, 其需求函数分别为,10420,4216212211p p q p p q -+=+-=总成本函数为2123q q C +=，其中21,p p 为商品A 和B 的价格, 试问价格21,p p 取何值时可使利润最大?解 按题意，总收益函数为),10420()42216(2122112211p p p p p p q p q p R -+++--=+=于是总利润函数为)2()3(2211-+-=-=p q p q C R L).10420)(2()4216)(3(212211p p p p p p -+-++--=为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：,08414211=+-=∂∂p p p L )2(10)10420()3(422111---++-=∂∂p p p p p L ,02082821=-+=p p由此解得 ,14,26321==p p 又因 .0)20)(4(8)(22<---=''⋅''-''yy xx xy L L L 故取价格14,26321==p p 时利润可达最大，而此时得产量为.6,921==q q例12 求函数xyz u =在附加条件a z y x /1/1/1/1=++ ()0,0,0,0>>>>a z y x (1)下的极值.解 作拉格朗日函数),,,(λz y x L )./1/1/1/1(a z y x xyz -+++=λ由.3.3/.0)/1/1/1(30/0/0/222a x y x a xyz z y x xyz z xy L y xz L x yz L zy x ===⇒=⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=λλλλλ故)3,3,3(a a a 是函数xyz u =在条件(1)下唯一驻点.把条件(1)确定的隐函数记作),,(y x z z =将目标函数看作),,(),(y x F y x z xy u =⋅=再应用二元函数极值的充分条件判断,知点,3,3(a a )3a 是函数xyz u =在条件(1)下的极小值点.而所求极值为.273a条件极值 拉格朗日乘数法例13 (E07) 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件 ),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1) 下, 求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ 由..,0)(20)(20)(2z y x z x y x z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =例14 在经济学中有个Cobb-Douglas 生产函数模型,),(1a a y cx y x f -=式中x 代 表劳动力的数量, y 为资本数量(确切地说是y 个单位资本), c 与)10(<<a a 是常数, 由各工厂的具体情形而定. 函数值表示生产量.现在已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是=),(y x f ,1004143y x 每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元. 该制造商的总预算是50000元. 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高.解 这是个条件极值问题，求函数4143100),(y xy x f =在条件50000250150=+y x 下的最大值. 令)25015050000(100),,(413y x y x y x L --+=λλ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==-==-=--0250150500000250250150754343141y x L yx L y x L xx x λλ 中的第一个方程解得,21411y x -=λ将其代入第二个方程中，得 ,0125254141343=---y x y x 在该式两边同乘,4341y x 有,012525=-y x 即.5y x =将此结果代入方程组的第三个方程得,50,250==y x 即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资本投入，这时可获得最大产量.16719)50,250(=f例15 (E08) 设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元) 之间的关系为yy x x R +++=101005200 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?解 设利润为,z 有 z y x R --=51.1020540y x y y x x --+++=,限制条件为.25=+y x 这是条件极值问题.令),,(λy x L )25(1020540-++--+++=y x y x yy x x λ 从,01)5(2002=+-+=λx L x 01)10(2002=+-+=λy L y22)10()5(y x +=+又,25x y -=解得,15=x .10=y 根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大.例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c , 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格为p 之间有下面的关系:ap Me x -= )0,0(>>a M (1) 其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= (1,0>>x k ), (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?解 设厂家获得的利润为,u 每台电视机售价为,p 每台生产成本为,c 销售量为,x 则.)(x c p u -=于是问题化为利润函数x c p u )(-=在附加条件(1)、(2) 下的极值问题.利用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数:),,,,(μλc p x L ).ln ()()(0x k c c Me x x c p ap +-+-+-=-μλ令x L x k c p /)(μλ++-=,0=p L ap aMe x -+=λ,0=c L μ+-=x .0=将 (1) 代入 (2),得 ).(ln 0ap M k c c --= (3)由 (1) 及0=p L 知 ,1-=a λ即./1a -=λ (4)由0=c L 知,μ=x 即 .1/=μx将 (3)、(4)、(5) 代入,0=x L 得,0/1)(ln 0=+--+-k a ap M k c p由此得 *p .1/1ln 0akk a M k c --+-=由问题本身可知最优价格必定存在,故这个*p 就是电视机的最优价格.数学建模举例1．最小二乘法数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式. 通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 这是一种广泛采用的数据处理方法. 经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测. 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法.例17 (E09) 测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如下 实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(76543210毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =解 观察散点图，易发现所求函数)(t f y =可近似看作线性函数，因此可设,)(b at t f +=其中a 和b 是待定常数，但因为图中各点并不在同一条直线上，因此希望要使偏差)7,,2,1,0()(Λ=-i t f y i i 都很小.为了保证每个这个的偏差都很小，可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数b a ,的方法叫做最小二乘法.求解本例：可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=702)]([i i i b at yM 最小.把M 看成自变量a和b 的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数),(b a M M =在那些点处取得最小值.令,0)]([20)]([2707⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂∑∑==i i i i i i i b at y b M t b at y a M即 .0)]([0)]([77⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑==i i i i i i i b at y t b at y 整理得.871717171712⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====i i i i i i i i i i i y b t a t y t b t a (1) 计算，得.0.717,5.208,140,28717171271====∑∑∑∑====i ii i i iii ity ytt代入(1)，得 ⎩⎨⎧=+=+5.20882871728140b a b a.125.27,3036.0=-=b a于是，所求经验公式为 .125.273036.0)(+-==t t f y (2) 根据上式算出的)(i t f 与实测的i y 有一定的偏差，见下表：注：偏差的平方和,108165.0=M 其平方根.392.0=M 我们把M 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏.注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.2．线性规划问题求多个自变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题，是一类完全不同的问题，这类问题叫做线性规划问题. 下面我们通过实例来说明.例18 (E10) 一份简化的食物由粮和肉两种食品做成, 每份粮价值30分, 其中含有4单位醣, 5单位维生素和2单位蛋白质; 每一份肉价值50分, 其中含有1单位醣, 4单位维生素和4单位蛋白质. 对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醣, 20单位维生素和10单位蛋白质组成, 问应当选择什么样的食物, 才能使价钱最便宜.解 设食物由x 份粮和y 份肉组成，其价钱为.5030y x C +=由食物的最低要求得到三个不等式约束条件，即：为了有足够的醣，应有;84≥+y x 为了有足够的维生素，应有;2045≥+y x为了有足够的蛋白质，应有;1042≥+y x 并且还有.0,0≥≥y x 上述五个不等式把问题的解限制在平面上如图的阴影区域中，现在考虑直线族.5030y x C +=当C 逐渐增加时，与阴影区域相交的第一条直线是通过顶点S 的直线，S 是两条直线 2045=+y x 和1042=+y x 的交点，所以点S 对应于C 的最小值的坐标是),65,310(即这种食物是由313份粮和65份肉组成. 代入y x C 5030+=即得到所要求的食物的最低价格32141655031030min =⨯+⨯=C 分.下面的例子是用几何方法来解决的.例19 (E11) 一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?解 设制造商出售C B A ,,三类糖果各为z y x ,,盒，总收入是z y x R 4610++=(元). 不等式约束条件由巧克力、核桃和果料的存货限额给出，依次为 .50,100,500543≤≤+≤++x y x z y x当然，由问题的性质知，y x ,和z 也是非负的，所以 .0,0,0≥≥≥z y x 于是，问题化为：求R 的满足这些不等式的最大值.上述不等式把允许的解限制在Oxy 空间中的一个多面体区域之内(如图).在平行平面R z y x =++4610中只有一部分平面和这个区域相交，随着R 增大，平面离原点越来越远.显然，R 的最大值一定出现在这样的平面上，这种平面正好经过允许值所在多面体区域的由图可见，R 的最大值是920元，相应的点是，)30,50,50(所以A 类50盒，B 类30盒，C 类30盒时收入最多.课堂练习1.求函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极值.2.求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f z +-+==在由x 轴, y 轴及直线π2=+y x 所围成三角形中的最大值.3.某工厂生产两种产品A 与B, 出售单价分别为10元与9元, 生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用是:)()33(01.03240022元y xy x y x +++++求取得最大利润时, 两种产品的产量各多少?。

函数关系的建立的案例一、案例背景分析建立函数关系式，是将实际问题抽象成数学问题的第一步，也是函数应用极其重要的关键的一步。

教材中着重研究分析了两类问题：一类是根据几何图形的性质建立函数关系，这类问题往往学生容易接受，较易上手。

另一类问题是需要通过阅读理解分析出函数关系，这类问题往往需要学生具有较高的理解分析能力，需要加强训练。

在本节中，学生经常会遇到二次函数、分段函数等，所以需要熟练掌握列表达式的能力，并能正确求得函数的定义域。

二、案例过程：当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来。

通常，这个过程叫做建模。

而实践中的大量问题是变量之间的关系问题，因此建立变量之间的函数关系是很重要的。

例1 如图，一动点P 自边长为1的正方形ABCD 的顶点出发， 沿正方形的边界运动一周，再回到A 点。

若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y 。

求A 、P 两点间的距离y与点P 的路程式 x 之间的函数关系式。

（1）首先要求学生进行阅读、理解题意，分析条件和要求的结论，然后去尝试建模。

（2）小组进行讨论，并且给出建模的函数。

第一小组：22)3(122+-=-+=x x x y第二小组：这个结论不对，因为当点P 在AB 边上时，y=x教师：第二小组同学讲得对。

但是还不完整。

第三小组：根据点P 的不同位置，A 、P 两点间的距离变化分段表示。

（1）当点P 在AB 边上，即0≤x≤1，时，AP=x ，∴y=x;(2)当点P 在BC 边上，即1<x≤2时,AB=1,BP=x-1,由勾股 定理得222DP AB AP +=.∴22)3(122+-=-+=x x x y ;(3)当点P 在 CD 边上,即2<x≤3时,AD=1,DP=3-x 由勾股定理得222DP AD AP += ∴106)3(122+-=-+=x x x y ;(4)当点P 在AD 边上,即3<x≤4时,AP=4-x, ∴ y=4-x .教师：我们同学通过自己的自主实践，通过与同学的相互讨论、合作，逐步完善结论，从而使问题得到解决。

函数的运算与函数关系的成立一、知识梳理＆方法总结( 一 ) 函数关系的成立1.解函数应用问题的步骤（四步八字）(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数目关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转变为数学语言，将文字语言转变为符号语言，利用数学知识，成立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)复原：将数学识题复原为本质问题的意义。

2.以上过程用图表示以下剖析、联想本质问题成立函数模型抽象、转变答复原本质结果数学结果( 二 ) 函数的运算3.和函数与积函数的观点① 定义一般的，函数 f x x D1 与 g x x D2 ，设 D D1 D2并且D 不是空集，我们把 y f x g x x D 叫做函数 f x 与g x 的和；把 y f x g x的积叫做 f x 与g x ②分析式函数 f x 与g x 的和 F x 或积G x 的分析式由 f x 与g x 的分析式的和（ F x f x g x ）或积（ G x f x g x ）表示注意：①如果 f x 的定义域与 g x 的定义域的交集是空集，那么 f x g x ，f xg x 无心义② 两个函数的和与积，都是在两函数的公共定义域中定义的，在这个公共定义域 D 中，任取x D ，f x g x , f x g x 都有独一的一个值和它对应，所以，这样的和与积都是函数。

③ 近似可定义两函数的差函数与商函数4.和函数与积函数的图像与应用和函数的图像能够看做是由若干个函数的图像在其对应的地点上的叠加而成的，的图像一般只好用列表描点法达成。

积函数比如：函数y ax ba, b R 是由y ax 和yb两个函数相加获得的和函数。

x x二、典型例题剖析【例一】等腰三角形周长为20（1）若底边是x，腰长是y，将y表示成x的函数（2）若腰长是x，底边长是y，将y表示成x的函数变式练习某工厂今年 1 月， 2 月， 3 月分别生产某产品 1 万件， 1.2 万件， 1.3 万件，为了估测此后每个月的产量，以这三个月的产品数目为依照，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数x的关系，模拟函数可选函数y ab x c （此中a, b,c 为常数）或二次函数。

课题3.2：（1）函数关系的建立教学目标1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量之间的函数关系式，并确定函数的定义域。

2. 通过函数关系式的建立，提高实际问题转化为数学问题的能力。

3. 培养数学应用意识和理论联系实际的观点。

教学重点及难点1．建立实际问题中两个变量之间的函数关系式；2．实际问题转化为数学问题教学过程一、复习：1、若函数f(x)＝3x 2－2x ，则f [f (2)]＝ 。

2、函数1|x |13x 2x 4y 2-++⋅-=的定义域是 。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--∞∈+=时，当时，当时，当),2[x ,x 2)2,1(x ,x ]1,(x ,2x )x (f 2那么当=x 时，f(x)＝3。

4、有下列四组函数中，表示同一函数的有 组。

①55x y =与33x y = ②x 3x y -=与x3x y -= ③1x )2x )(1x (y 22+-+=与y ＝x －2 ④|x |)x (f =与2t )t (g = 二、新课讲授：例1、如图，一个边长为a ，b(a ＞b)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x 的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积S 表示成x 的函数。

解：分析：右下阴影部分的长为a －x ，宽为b －x ，面积为(a －x)(b －x)；左上阴影部分面积为x 2得S ＝x 2＋(a －x)(b －x)＝2x 2－(a ＋b)x ＋ab解析式容易求，定义域容易忘！x 取值范围：0＜x ≤b则S ＝2x 2－(a ＋b)x ＋ab ，0＜x ≤b注：求函数解析式不能忘记函数定义域。

例2、等腰三角形周长为20。

(1) 若底边长为x ，腰长为y ，将y 表示成x 的函数；(2) 若腰长为x ，底边长为y ，将y 表示成x 的函数。

解：(1) ∵x ＋2y ＝20 ∴y ＝20x 2－，0＜x ＜10 (2) ∵2x ＋y ＝20 ∴y ＝20－2x ，5＜x ＜10注：函数定义域的确定需要仔细分析。

函数的概念——函数关系的建立这个过程是认识函数的初级阶段。

【示范例题】例5 如图，为使长24cm ，宽16cm 的长方形绿地的造型更加美观，计划在它的四个角建造四个相同的边长为x (cm)的小正方形艺术花坛.试将绿地面积y 表示成x 的函数.解 大长方形的面积为：()21624384m ⨯=，一个小正方形艺术花坛的面积为：2x所以， 23844y x =- ()08x <≤ 例6 上海长江大桥跨江段全长10000米，老王的轿车以时速60千米驶入跨江段，行驶4000米后轿车遇故障停车.老王立刻检修，排除故障，耗时15分钟.然后，以同样的时速驶离跨江段.试根据这一情景，将老王行驶距离S(米)表示成时间t (分钟)的函数，并画出这个函数图像.解 1000,04400019100015000,25t t S t t t ⎧≤≤⎪=≤⎨⎪-≤⎩当时；，当4<时；当19<时.【巩固练习】1. 一轮船在甲地出发，航行15千米后，以每小时20千米的速度匀速前进，由原方向航行了x 小时，船离出发点的距离为y 千米.试写出y 与x 的函数解析式.2. 体育课上，老师指导小王进行中长跑训练，要求：前3分钟平均速度为每秒5米；后213分钟平均速度为每秒6米.假设小王跑的距离y (米)是时间x (秒)的函数.(1)试画出这个函数的图像；(2)试写出这个函数关系式.3.某集装箱码头6月份装卸情况如下：上旬每天完成3000箱；中旬进行装卸机械维修；下旬为把中旬因机修而耽误的生产任务抓回来，每天完成6000箱.假设这个月的装卸箱数y是时间x(天数)的函数.(1)试画出这个函数的图像；(2)写出这个函数关系式.六课堂小结1. 学会建立简单的函数模型：当我们要用数学方法解决实际问题的时候，首先要把问题中的变量及其关系用到数学的形式表示出来。

2. 函数关系建立的一般步骤(1) 阅读理解题意；(2) 列出等量关系；(3) 等式变形得出函数解析式；(4) 根据实际意义给出函数的定义域.3、函数关系式的建立需要对具体问题进行深入的分析，有一个循序渐进的过程，要多加强训练。

建立函数关系式的方法1.根据问题的实际背景和已知条件建立函数关系式很多问题都可以通过实际背景和已知条件来建立函数关系式。

首先，需要分析问题中的各个要素，明确各个要素之间的关系。

根据问题的描述，可以将其中的一些要素作为自变量，另一个要素作为因变量，然后建立它们之间的函数关系式。

举例：假设一个问题是：甲乙两人同时从同一地点出发，甲向东走，乙向北走，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米。

问他们在多长时间后，两人离开出发地点的距离为10千米。

根据这个问题，可以设定甲的行走时间为x小时，乙的行走时间为y小时。

由于甲向东走，乙向北走，所以两人的行走路程满足勾股定理，可以建立方程式x^2+y^2=10^2、这样就建立了甲乙两人行走距离的函数关系。

2.根据已知数据点建立函数关系式有时候，问题中已经给出了一些具体的数据点，可以通过这些数据点来建立函数关系式。

首先要观察这些数据点是否满足其中一种规律，如果满足，则可以将自变量和因变量对应起来，然后根据这些对应关系建立函数关系式。

举例：假设问题是：已知正方形的周长和面积的关系式为C=4s，其中C表示周长，s表示边长。

现在给出了一个正方形的面积为16平方米，请问这个正方形的周长是多少？根据已知数据点的关系，可以把面积16对应到边长4，进而建立正方形周长和面积的函数关系式C=4s。

根据这个关系式，可以计算出周长为163.根据已知函数关系式进行变换和组合有时候，问题中已经给出了其中一种函数关系式，可以通过对其进行变换和组合来建立新的函数关系式。

这种方法常见的变换和组合有线性变换、平移变换、反函数、复合函数等。

举例：已知函数y=f(x)表示一些物体的高度随时间的变化关系，现在问题是求该物体的速度随时间的变化关系。

根据物体运动学的定义，速度是位移对时间的导数，所以可以将已知函数关系式y=f(x)对x求导，可以得到速度随时间的变化关系v=f'(x)。

这样就建立了速度和时间的函数关系。