应用等量关系建立函数关系式

[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、应用等量关系建立函数关系式典型例题：例1. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。

为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.例2. （2012新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A 村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A元，y B 元．（1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式；C D 总计A x吨200吨B 300吨总计240吨260吨500吨（2）当x为何值时， A村的运费较少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．例3. （2012甘肃白银10分）衬衫系列大都采用国家5.4标准号、型（通过抽样分析取的平均值）．“号”指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小），单位均为：厘米．下表是男士衬衫的部分号、型和码数的对应关系： 号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 … 码数…3839404142…（1）设男士衬衫的码数为y ，净胸围为x ，试探索y 与x 之间的函数关系式； （2）若某人的净胸围为108厘米，则该人应买多大码数的衬衫？例4. （2012湖北荆门3分）已知：多项式x 2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数k 1y=x-的解析式为【 】 A ．1y=x B ． 3y=x - C ． 1y=x 或3y=x - D ．2y=x 或2y=x- 例5. （2012北京市7分）已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。

列方程怎么找等量关系初中
在解决实际问题时，我们经常需要找到等量关系来列方程。

等量关系是指两个量之间相等的关系。

以下是一些常见的等量关系：
1. 总量等量关系：总量 = 部分量 + 部分量
2. 差量等量关系：差量 = 被减数 - 减数
3. 速度、时间、距离等量关系：速度 = 距离 / 时间，距离 = 速度× 时间，时间 = 距离 / 速度
4. 工作、效率、时间等量关系：工作效率 = 工作量 / 工作时间
5. 比例等量关系：比例关系 = 一个量 / 另一个量
例如，我们可以根据速度、时间和距离的关系来列方程。

假设我们有一个问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶了3小时，求汽车行驶的距离。

我们可以根据速度、时间和距离的关系列出方程：
速度 = 60公里/小时
时间 = 3小时
距离 = 速度× 时间
所以，我们可以得到方程：60 × 3 = d，其中d是汽车行驶的距离。

通过这个例子，我们可以看到，找到等量关系是列方程的关键。

我们需要理解问题的背景，明确各个量之间的关系，然后根据这些关系列出方程。

应用题常用等量关系式一、行程问题：速度×时间=路程（一）相遇问题:1、同时出发（两段）：甲的路程+乙的路程=总路程2、不同时出发（三段)：先走的路程+甲的路程+乙的路程=总路程（二）追及问题：（快者的速度－慢者的速度）×追及所用的时间=两者相距的路程1、不同地点出发：慢者行驶的路程+两者相距的路程=快者行驶的路程2、同地不同时出发:慢着先走的路程+慢者后走的路程=快者走的路程（三）飞行、航行的速度问题：顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度－水流速度二、利润、利率问题:（一）利润问题：售价=标价×打折数利润=售价－进价利润率=(利润÷进价）×100℅=（售价－进价）÷进价×100﹪进价=利润÷利润率利润=进价×利润率售价－进价=进价×利润率=利润销售额=售价×销售量( 二）利率问题：利息=本金×利率×存期(年数、月数）本息和=本金+利息=本金+本金×利率×存期三、工程问题（一般把工作总量设为单位1)工作总量=工作效率×工作时间各工作量之和=总工作量各队合作工作效率=各队工作效率之和四、等积、等长问题长方形的周长=(长+宽）×2 长方形面积=长×宽正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长圆的周长=πd=2πr 圆的面积=π r²长方体体积=长×宽×高圆柱体体积=底面积×高五、分段计费问题：应交缴费用=标准内费用+超标部分费用。

二轮复习关于求函数表达式的常用方法由实际问题建立函数关系式，一般可通过研究自变量与函数间的等量关系，再确定自变量的取值X 围。

根据条件求函数表达式是高中数学的重要内容，也是教学难点，本文介绍求函数表达式的常用方法。

常用方法主要有：1 定义法 （配方法）由已知条件f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成为g(x)的表达式，然后以x 代g(x)，便得f(x)的表达式。

例1已知f(xx 1+)=221x x x ++，求f(x)的表达式。

解 ∵221x x x ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12–x x 1++1，∴ f(x)=x 2–x+1(x ≠1). 2 待定系数法由未知出发的转化，通常设一个函数，来求这个函数的系数。

例 2已知f(x+2)=x 2+x+2, 求f(x)的表达式。

解 设f(x)=ax 2+bx+c,∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax 2+(4a+b)x+4a+2b+c,又f(x+2)=x 2+x+2,比较同类项的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=.524,34,1c b a b a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==.15,7,1c b a ∴f(x)=x 2–7x+15,3 变量代换法由已知条件f[g(x)]=F(x)，可令t=g(x),然后反解出x=g -1(t).代入F(x)即可得f(t)的表达式。

例3 已知f(e x-1)=2x 2–1,求f(x)的表达式。

解 令t=e x-1(t>0), 则x=1+lnt ，代入已知，得f(t)=2(1+lnt)2–1=2ln 2t+4lnt+1,即f(x)=2ln 2x+4lnx+1(x>0).4 函数方程法将f(x)作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得f(x)的表达式。

例4 已知af(x n ) +f(-x n )=bx ，其中a 2≠1，n 为奇数，试求f(x)的表达式。

分析 已知是关于f(x n ) 和f(-x n )的一个方程，利用n 为奇数,用–x 代x,又得到一个f(x n ) 和f(-x n )的一个方程。

第19讲函数的表示法【学习目标】函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．【基础知识】1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．2、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．3、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．【考点剖析】考点一：解析法例1．已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．【难度】★【答案】223033S t tæö=+££ç÷èø．【解析】路程=速度×时间，可知汽车行驶路程s与t的关系即为40s t=，由此汽车与A站的距离2333S s t=+=+，本题注意函数自变量取值范围，汽车运动时间为40分，单位换算即为23h，由此可得23t££．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．例2．若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x （分）表示行走的路程y （米）的解析式为______________，这样行走20公里需要__________小时．【难度】★【答案】100y x =，103．【解析】路程=速度×时间，可知行走路程y 与x 的关系即为100y x =，行走20公里，注意单位换算，令100201000x =´，解得200x =，10200min 3h =．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意题目中的单位统一，进行单位换算．例3．已知物体有A 向B 作直线运动，A 与B 之间的距离为20千米，求运动的速度v （千米/时）与所用时间t （小时）的函数解析式．【难度】★【答案】20v t=．【解析】路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，则运动速度与所用时间关系即为20v t =．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算．例4．两个变量x 、y 满足：(2)(1)3x y -+=，则用变量x 来表示变量y 的解析式为________________．【难度】★★【答案】52xy x -=-．【解析】由(2)(1)3x y -+=，即得312y x +=-，则有35122xy x x -=-=--．【总结】利用等式的性质进行变形即可．例5．若点P （x ，y ）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x 来表示变量y 的函数解析式为_______________．【难度】★★【答案】y x =-．【解析】点P （x ，y ）在二、四象限角平分线上，则角平分线与坐标轴夹角即为45°，过点P向坐标轴作垂线，即可得y x =，点在二、四象限，根据象限内点的正负性可知y x =-．【总结】二、四象限的角平分线表示直线y x =-，一、三象限的角平分线表示直线y x =．例6．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．【难度】★★【答案】（1）480vt=；（2）100/km h．【解析】（1）路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，根据题意可得返回路程与去的行程相同，即为806480km´=，则运动速度与所用时间关系即为480vt =；（2）令 4.8t=，则有480100/4.8v km h ==．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可求出函数关系，根据题意代值计算即可．例7．收割机的油箱里盛油65kg，使用时，平均每小时耗油6kg（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？（3）写出油箱里剩下的油y与使用收割机时间t之间的函数关系式？（4）在此函数关系式中，求函数定义域．【难度】★★【答案】（1）41kg；（2）6h；（3）665y t=-+；（4）656t££．【解析】（1）654641kg-´=；（2）3666h¸=；（3）收割机用油量=平均耗油量×工作时间，可知收割机耗油量即为6t，即得剩余油量656y t=-；（4）实际问题中，xy³ìí³î，即得函数定义域为656t££．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．考点二：列表法例1．两个变量之间的依赖关系用列表来表达的，这种表示函数的方法叫做_______．【难度】★【答案】列表法【总结】考查函数的表示法中列表法的概念．例2．一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车运行速度的变化情况，如下表：时间t（分）01 1.52345 5.5678速度v（千米/时）01462173003003003003002811210根据表中提供的信息回答下列问题：（1）在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？（2）在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？（3）在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？【难度】★【答案】（1）0~2分钟时间段；（2）2~5.5分钟时间段，列车走了17.5千米；（3）5.5~8分钟时间段．【解析】分析图表可知，自变量是表示的时间t，函数表示的速度v，图表表示的是函数v 和自变量t之间的依赖关系，观察表格可知：（1）速度逐渐加快的是0~2分钟时间段；（2）匀速行驶的是2~5.5分钟时间段，注意单位换算，这段时间持续75.52 3.5min120h -==，列车行程即为730017.5120km´=；（3）速度逐渐减慢的是5.5~8分钟时间段．【总结】考查列表法表示函数关系，考查读表能力，注意观察表格中变量和变量之间的联系．例3．一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:所售豆子数量x(千克)00.51 1.52 2.53 3.54售价y(元)012345678(1)上表反映的变量是_____和____，_______是自变量，________是因变量，_____随_____的变化而变化，_____是______的函数．(2)若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．(3)根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元(4)请写出售价与所售豆子数量的函数关系式________________．【难度】★【答案】（1）x，y，x，y，y，x，y，x；（2）5；（3）10.5；（4）2y x=．【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x 和y 是变量，其中x 是自变量，y 是因变量，y 随x 的变化而变化，y 是x 的函数；（2）查看上表可知 2.5x =，5y =；（3）根据上表，可知每1kg 豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg ¸=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关系式为：2y x =．【总结】把握相关定义，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．例4．按照我国的税法规定，个人所得税的缴纳方法是：月收入不超过3500元，免缴个人所得税；超过3500元不超过5000元，超出部分需缴纳5%的个人所得税；例如下表：月收入（元）30003200360041004500月缴付个人所得税（元）53050试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税y （元）与月收入x （元）之间的函数解析式，并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税．（x 为正整数）【难度】★★【答案】()5%3500y x =-，65元．【解析】月收入在3500元到5000元之间，超过3500元，超过部分即为()3500x -元，这一部分要缴纳5%个人所得税，可知缴税额()5%3500y x =-；令4800x =，即得()5%4800350065y =´-=元．【总结】纳税问题，要弄清楚是哪一部分需要缴税，以及对应的缴税比例，各个部分相加即为所应缴税额．例5．一根弹簧不挂重物时长10厘米，当弹簧挂上质量为xkg 的重物时，其长度用y 表示，测得有关的数据如下表：（1）写出弹簧总长度y （cm ）随所挂重物质量x （kg ）变化的关系式；所挂重物的质量x （kg ）1234……弹簧的长度y （cm ）10+0.510+1.010+1.510+2.0……（2）若弹簧所挂重物的质量为10千克，则弹簧的长度是多少？（3）所挂重物的质量为多少千克时，弹簧的长度是18cm？【难度】★★【答案】（1）0.510y x=+；（2）15cm；（3）16kg【解析】（1）根据上表可知弹簧原长，即不挂重物时长度为10cm，随着挂上重物，弹簧伸长的长度与所挂重物质量成正比，重物质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，所挂重物质量xkg，弹簧伸长长度为0.5xcm，弹簧总长度y=弹簧原长+弹簧伸长长度0.510x+；（2）令10x=，0.5101015y cm=´+=；（3）令0.51018x=．y x=+=，解得16【总结】弹簧在弹性形变范围内伸长量与所挂重物质量成正比，注意观察表格，分清弹簧原长和伸长量的变化规律．考点三：图像法例1．填空：1、两个变量之间的依赖关系用图像来表达的，这种表示函数的方法叫做____________；2、_____________、_____________、_____________是表示函数的三种常用方法；【难度】★【答案】1、图像法；2、解析法、列表法、图像法．【总结】考查函数的三种表示方法及相关概念．例2．图中是某水池有水Q立方米与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题：（1）抽水前，水池内有水________立方米；（2）抽水10小时后，水池剩水________立方米；（3）剩水400立方米时，已抽水_________小时；（4）写出Q与t的函数关系式______________．【难度】★【答案】（1）1000；（2）750；（3）24；（4）()251000040Q t t =-+££【解析】（1）直线与纵轴交点，即0t =时，1000Q =，可知水池有水31000m ；（2）根据函数图像，40h 正好把水排干，可知每小时排水量为310002540m =，则10小时后剩水量为310002510750m -´=；（3）剩水3400m 时，排水时间为10004002425h -=；（4）每小时排水量为325m ，排干为止，由此可知Q 与t 的函数关系式即为251000Q t =-+，其中0t Q ³ìí³î，即得：040t ££．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示每小时排水量，在作图精确的前提下也可根据函数图像确定对应函数值．例3．已知A 城与B 城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A 城驶向B 城，求：（1）火车与B 城的距离S （千米）与行驶的时间t （小时）的函数关系式；（2）t （小时）的取值范围；（3）画出函数的图象．【难度】★【答案】（1）20060S t =-；（2）1003t ££；【解析】（1）根据路程=速度×时间，可知火车驶离A 城的距离即为60tkm ，火车与B 城的距离20060S t =-；（2）根据行程和时间的意义，可知0200600t t ³ìí-³î，即得：t 的取值范围为1003t ££；（3）图像只是其中一部分，注意取值范围．【总结】考查利用一般的等量关系来建立函数关系式解决问题，即把题目中的各个相关量分别列清楚然后进行相应计算．例4．如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：（1）谁走的快？（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围．（3）当4t =时，甲、乙两人行程差多少？【难度】★【答案】（1）甲；（2）甲：5s t =，乙：103s t =；（3）203km ．【解析】（1）根据甲、乙行程函数图像，可知甲2h 走10km ，乙3h 走10km ，可知105/2v km h ==甲，10/3v km h =乙，可知甲走的快；（2）根据路程=速度×时间，即可知甲的函数解析式为5s t =，乙函数解析式为103s t =，其中自变量取值范围均为0t ³；（3）4t =时，5420s km =´=甲，1040433s km =´=甲，即得甲乙行程差为：40202033km -=．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度．例5．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？【难度】★★【答案】37.2min ．【解析】由图像可知小明上坡速度为3.60.2/min 18km =，下坡速度为9.6 3.60.5/min 3018km -=-，返回时，先走上坡路，上坡时间为9.6 3.630min 0.2-=，后走下坡路，下坡时间为3.67.2min 0.5=，即所用总时间为307.237.2min +=．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，注意返程时上坡变下坡，下坡变上坡．例6．为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x （单位：千瓦时）与应付电费y （单位：元)的关系如图所示．（1）根据图像，请求出当050x ££时，y 与x 的函数关系式．（2）请回答：①若每月用电量不超过50千瓦时，收费标准是多少?②若每月用电量超过50千瓦时，收费标准是多少?【难度】★★【答案】（1）0.5y x =；（2）①0.5元/千瓦时；②0.9元/千瓦时．【解析】（1）050x ££时，y 与x 是正比例关系，过点()5025，，由此可得：0.5y x =；（2）①用电不超过50千瓦时，收费标准为250.550=元/千瓦时；②用电超过50千瓦时，收费标准为70250.910050-=-元/千瓦时．【总结】考查分段计费函数中直线倾斜程度的意义，本题中表示电费单价．例7．甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为1(060)12S t t=££．（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（2）甲修车后行驶的速度是每分钟_________千米；（3）甲、乙两人在出发后，中途_________分钟时相遇．【难度】★★【答案】（1）虚线图像即为所求；（2）320；（3）24．【解析】（1）函数图像是一条经过原点的直线，终点与甲相同，即如图所示虚线图像；（2）甲修车后20min行驶523km-=，即得甲速度为3/min 20km；（3）由图像可知甲骑自行车速度较快，甲乙在甲修车期间相遇，即此时乙的行程为2km，令2s=，即得24t=．【总结】考查解读函数图像的能力，同时考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，倾斜程度变化即速度发生变化．例8．汽车由天津驶往相距120千米的北京，S（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示（1）汽车用几小时可到达北京？速度是多少？（2）汽车行驶1小时，离开天津有多远？（3）当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？【难度】★★【答案】（1）4h，30/km h；（2）30km；（3）103h．【解析】（1）由图像可知汽车4h行驶120km，即到达北京，汽车速度为120430/km h¸=；（2）汽车速度为30/km h，即得行程与时间函数关系式为30s t=，令1t=，得30s=；（3）距北京20km，即行程为12020100km-=，令100s=，解得103t=．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示汽车速度．例9．一农民带了若干千克土豆进城销售，为了方便他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数x与手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系式如下图所示，结合图像解答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前每千克土豆的出售价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手里的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？【难度】★★【答案】（1）5元；（2）0.5/kg 元；（3）45kg ．【解析】（1）由函数图像可知，未售出土豆时，农民身上有5元钱，即自带了5元零钱；（2）降价前，农民卖出30千克土豆，身上的钱增加到20元，即卖得20515-=元，由此可得土豆单价为1530¸=0.5/kg 元；（3）最终农民身上有26元，即可得降价后土豆卖得26206-=元，则降价的土豆数量为60.415kg ¸=，则农民带的土豆总量为301545kg +=．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示土豆单价，同时考查分段函数的计算．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数1y k x =和2k y x=（120k k <且12k k <）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答．【详解】由条件12120k k k k <<、可知，12 0,0k k <>，当1 0k <时1y k x =的图像经过第二、四象限，当20k >时2k y x=的图像经过第一、三象限，故选B ．【点睛】本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k 的关系．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一水池蓄水20 m 3，打开阀门后每小时流出5 m 3，放水后池内剩余的水量Q(m 3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为( )A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）【答案】D 【分析】由生活经验可知：水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．池内剩下的水的立方数Q （m 3）与放水时间t （时）都应该是非负数．由此即可解答.【详解】选项A ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而增长，选项A 错误；选项B ，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q 的量不变，选项B 错误；选项C ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了20 m 3，选项C 错误；选项D ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而减少，选项D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，根据实际情况确定图象是解题的基本思路．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量V 和m 的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（ ）m 123456V2.41 4.910.3317.2125.9337.02A ．21V m =+B ．2V m =C ．31V m =-D ．2V m=．【答案】A 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12；4.9-1=3.9，接近22；10.33-1=9.33，接近32；17.21-1=16.21，接近42；25.93-1=24.93，接近52；37.02-1=36.02，接近62；故m与v之间的关系最接近于v=m2+1．故选：A．【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式．二、填空题4．（2018·上海八年级期末）已知函数f（x）=，那么f（0）=_____．【答案】﹣．【分析】把x=0代入函数解析式进行计算即可得解．【详解】f(0)==﹣故答案为：﹣.【点睛】本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．5．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）如果f（x）＝2x2﹣1，那么f_____．【答案】9．【分析】把自变量【详解】将x代入f（x）＝2x2﹣1得：f2×5﹣1＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查函数值，二次根式的化简求值.6．（2019·上海八年级课时练习）把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为 _________ ．【答案】y=2x﹣3【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式.【详解】解：2x﹣y=3，移项得y=2x﹣3.故答案为：y=2x﹣3.【点睛】本题主要考查函数的一般形式.y=kx+b （k≠0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k ，截距是b.7．（2018·上海市闵行区上虹中学）已知常值函数f(x)=3.那么f(7)=_____.【答案】3.【分析】根据常值函数的意义，即可得到答案.【详解】解：∵f(x)是常值函数，且f(x)=3，∴f(7)=3；故答案为：3.【点睛】本题考查了常值函数的意义，解题的关键是掌握常值函数的意义，无论x 取何值，函数值都是3.8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题．（1）风力持续增强了______小时．（2）风力最高达到_______ 级．（3）风力从_______点开始明显减弱．【答案】20 12 20【分析】根据图象进行解答即可．【详解】由图象可知，从0点到20点图象呈上升趋势，在20点达到最高，然后图象开始下降，∴风力持续增强了20小时，最高达到12级，从20点开始明显下降．故答案为：20；12；20．【点睛】本题考查了变量之间的关系-图象法，读懂图象是解题的关键．9．（2017·上海）当x_________有意义．【答案】≤1【解析】∴10x -³，解得，1x £.故答案为：≤1.10．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）已知函数f （x ）＝1x x -，则f）＝_____．【答案】【分析】将x =【详解】解：∵f （x ）＝1x x -，∴f，故答案为：．【点睛】本题考查求函数值，及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数2y ax =的部分对应值如下表：x…1-012…y …202b…根据表格回答：（1）a =_________，b = ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．【答案】2 8 22y x = 一切实数 y【分析】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，可得22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y 值，然后观察数据即可得到结论．【详解】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，∴函数解析式为：22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8，故答案为：a=2，b=8．（2）函数的解析式为22y x =，定义域是一切实数，故答案为：22y x =，一切实数．（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y 轴对称．故答案为：y ．【点睛】本题主要考查了二次函数2y ax =的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．三、解答题12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）“十一”黄金周的某一天，小王全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离s （千米）与小汽车离家后时间t （时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题：（1）“番茄农庄”离家________千米；（2）小王全家在“番茄农庄”游玩了________小时；（3）去时小汽车的平均速度是________千米/小时；（4）回家时小汽车的平均速度是________千米/小时.【答案】（1）180；（2）4；（3）90；（4）60【分析】（1）根据s 轴上的最高点即可确定答案；（2）根据s 轴上不变的时间即可解答；（3）根据去时路程除以去的时间即得答案；（4）根据图象上14-15时所走的路程解答即可.【详解】解：（1）由图可知：“番茄农庄”离家180千米；（2）14－10=4小时，所以小王全家在“番茄农庄”游玩了4小时；（3）()18010890¸-=千米/小时，所以去时小汽车的平均速度是90千米/小时；（4）由图象可得：14-15时，汽车行驶了（180－120）=60千米，所以回家时小汽车的平均速度是60千米/小时.故答案为：180；4；90；60.【点睛】本题考查了函数的图象，读懂图象提供的信息、正确理解横、纵坐标的含义是解题的关键.13．（2018·上海市西南模范中学八年级月考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣110x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b ，将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b 中，得1504560k b b +=ìí=î，解得：11060k b ì=-ïíï=î，∴该一次函数解析式为y=﹣110x+60；（2）当y=﹣110x+60=8时，解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.。

中考数学函数的图象与实际应用综合问题【方法归纳】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．【真题再现】1．（2015·北京·中考真题）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是____；（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值：（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.2．（2016·北京·中考真题）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x的几组对应值.小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;（2）根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：__________________．3．（2017·北京·中考真题）如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.⌢与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上4．（2018·北京·中考真题）如图，Q是AB⌢于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，一动点，连接PQ并延长交ABP，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．2．（2022·北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O 为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．3．（2022·北京北京·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；(3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．4．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．(3)求表格中m的值．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中√10≈3.2）5．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．6．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？7．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE=x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．8．（2022·北京市十一学校模拟预测）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米．4①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多②现将发球机向下平移了1516少米？9．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）10．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m．11．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）12．（2022·北京市十一学校二模）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．13．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．14．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d 函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．15．（2022·北京一七一中一模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米.8①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多②现将发球机向上平移了58少米？16．（2022·北京市燕山教研中心一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度m=____________米．(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．17．（2022·北京·东直门中学模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．18．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．19．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．20．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．21．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．22．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．23．（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为9平方米的矩形小花园，他考虑至少4需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；(2)列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：表中a=________，b=________；(3)描点、画出函数图象：,b)补充完整，并根据描出的如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92点画出该函数的图象；。

一、解答题1、已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。

专题：几何图形问题。

分析：（1）底边长=周长﹣2×腰长；（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．解答：解：（1）依题意有：y=12﹣2x，故y与x的函数关系式为：y=12﹣2x；（2）依题意有：，即，解得：3＜x＜6．故自变量x的取值范围为3＜x＜6．点评：本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。

专题：应用题。

分析：当摄氏温度每次增加10℃，华氏温度每次就增加18℉，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解．解答：解：根据表格可知，y与x是一次函数关系，设y=kx+b，把x=0，y=32和x=10，y=50代入函数关系式得：，解得：．所以：y=1.8x+32．点评：本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式．3、某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。

专题：应用题。

分析：直接根据题意可求得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：储油量=45000﹣1500×加油天数．自变量根据1500x≤45000和天数是非负整数列不等式组即可求解．解答：解：根据题意得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：y=45000﹣1500x，∵1500x≤45000，x≥0，∴0≤x≤30，即y=45000﹣1500x（0≤x≤30）．点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值范围要结合实际意义列不等式求解．4、某商人进货时，进价已按原价a扣去了25%．他打算对此货订一新价销售，以便按新价让利20%销售后，还可获得售价的25%的利润．试写出此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式．考点：根据实际问题列一次函数关系式。