第八章分离变数(傅里叶级数)法

u( x,t ) 2π 2π = sin( x ) cos( at ) = X ( x ) T (t ) 2A λ λ
t = T/2
4
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 utt − a u xx = 0, (0 < x < l ) (8.1.1) u |x =l = 0 (8.1.2) 边界条件 u |x =0 = 0, 初始条件 u |t =0 = ϕ ( x ), ut |t =0 = ψ ( x ) (8.1.3)
2.波节：振动中始终不动的点
sin kn x = 0
kl x = , ( k = 0, 1, 2, L , n ) n
nπ nπ kl , kn x = x = kπ , x = kn = l l n 波腹： |un(x,t)| 极大点
sin kn x = 1
1 ( k + )l 2 , ( k = 0,1,2, L n − 1) x= n
2
求解步骤如下：
第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下驻波形式的特解： u( x, t ) = X ( x ) T (t ) (8.1.4) 代入方程（8.1.1）： 2 XT "−a X " T = 0 两边同除 a XT
2
T" X" = 2 a T X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数 (-λ)。
第八章
分离变量（傅里叶级数）法
§8.1 齐次方程的分离变量法 (一) 分离变数法介绍 常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件确定待定常数； 偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难， 因通解中含有任意函数。因此直接求满足定 解条件的特解。 分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解 常微分的问题 偏微分方程 的定解问题 分离变量 常微分方程
所求解 =
∑ 本征解
本征值
初始条件延拓 (确定叠加系数) ↑
方程及边界条 件必须为齐次 的，才能分离 变数！
（二）例题 例1 两端自由杆的纵振动
utt − a u xx = 0, (0 < x < l ) (8.1.17)
2
u x |x =0 = 0,
u x |x =l = 0,
(8.1.18) (8.1.19)
3.满足定解条件的解由各不同频率、不同位相、不 同振幅的驻波叠加而成。其中振幅和位相与初值 有关，而频率与初值无关，故称本征频率或固有 频率。
求解过程图解
偏微分 方程 齐次边 界条件 常微分方程2 → 解2(时间函数) 分离变数 常微分方程1 → 解1(空间函数) 分离变数 边界条件 本征值问题 (本征函数) 本征解 (解2 × 解1)
+ C2 e
− −λ x
代入边界条件X (0) = X (l ) = 0 C1 + C2 = 0, C1e
−λ l
C1 = 0 C2 = 0
+ C2 e
− −λ l
=0
(2)
λ = 0:
X " = 0, X ( x ) = C1 x + C2
C1 = 0 C2 = 0
代入边界条件 X (0) = X (l ) = 0 C2 = 0 C1l + C2 = 0
即： u |
nπ x = ϕ ( x) t = 0 = ∑ An sin l n =1
∞ ∞
nπ a nπ x ut |t =0 = ∑ Bn sin = ψ ( x) l l n =1
其中 A
2 l nπξ n = ∫0 ϕ (ξ ) sin l dξ l 2 l nπξ Bn = ∫0 ψ (ξ ) sin l dξ nπ a
2
X ' (0) T (t ) = 0, X ' (l ) T (t ) = 0 T (t ) ≠ 0 X ' (0) = 0, X ' (l ) = 0 X "+ λX = 0,
X ' = − A0 − λ e
− −λ x
+ B0 − λ e
−λ l
−λ x
X ' ( 0) = 0 → X ' (l ) = 0 → − A0 e − X ≡0
(0 < x < l )
u |t =0 = ϕ ( x ), ut |t =0 = ψ ( x ),
解： u ( x, t ) = X ( x ) T (t ),
X T "− a X " T = 0
2
T" X" = = −λ 2 a T X
X ' (0) = 0, X ' (l ) = 0 T "+ λa T = 0 由微分方程和边界条件求出X λ < 0 : X = A0 e − − λ x + B0 e − λ x
第五步：叠加原理： 因为方程和边界条件是线性齐次的，故
u( x, t ) nπ at nπ at nπ x = ∑ An cos + Bn sin sin l l l n =1
∞
也是方程（8.1.1）且满足（8.1.2）的解。 其中系数 An, Bn 由初始条件（8.1.3）决定：
最后得到问题的解为：
nπ X (x) = C2 sin x l
nπ λ= 2 l
2
2
(n = 1, 2, 3,⋅ ⋅ ⋅) l = 波长× n
λ 的取值不是任意的，只能取某些 特定的数值，方程(8.1.8)才有满足条 件的非零解。这些特定的λ 值称为本 征值，(8.1.8)相应的非零解称为本征 函数。求本征值λ和相应的本征函数的 X 问题称为本征值问题。 "+λ X = 0 (8.1.8)
本征解为 u0 ( x, t ) = A0 + B0t X(λ=0)=C0 n=0 nπ a nπ a nπ un ( x, t ) = An cos t + Bn sin t cos x l l l n=1,2,…
能否对初始条件
u |t =0 = ϕ ( x ) ut |t =0 = ψ ( x )
也进行分离变量？
X ( x ) = ϕ ( x ) / T (0),
X ( x ) = ψ ( x ) / T ' ( 0)
即 X ( x )T (0) = ϕ ( x ), X ( x )T ' (0) = ψ ( x ) 而 ϕ (x) 和 ψ(x) 是任意函数，一般不满足 X (x ) 的方程
λ l = nπ
nπ λ= 2 l
2 2
( n = 1, 2, 3,...)
nπ x X ( x ) = C1 cos ( n = 1, 2, 3,...) l
综合λ=0及λ>0:
nπ λ= 2 l
2
2
( n = 0, 1, 2,3,...) ( n = 0, 1, 2,3,...)
nπ x X ( x ) = C1 cos l
d cos(nπx / l ) dx
x =0
=0
d cos( nπx / l ) dx
24
x =l
=0
相应关于 T 的方程
n 2π 2 a 2 T " = 0 ( λ = 0) 及 T "+ T = 0 (λ > 0) 2 l
解为 T0 = A0 + B0t
nπ a nπ a Tn = An cos t + Bn sin t l l
这里等价于对ϕ(x), ψ(x)作 奇延拓，周期延拓为[-l, l ]
解的物理意义 ∞ 可把 u(x, t) 改写为 u( x, t ) = ∑ Cn sin kn x cos(ωn t − δ n ) n =1 其中： Bn 2 2 Cn = An + Bn , δ n = arctan An nπ a nπ , kn = ωn = l l 1. un(x,t) 代表驻波。 Cn sin kn x ：弦上各点的振幅分布 (ωn t − δ n ) ：相位因子 ωn ：圆频率 δ n ：初位相
− A0 + B0 = 0 A0 = B0 = 0 −λ l + B0 e = 0
λ = 0:
[D0=0才能满足 X = C0 + D0 x = C0 X’(0)=0， X’(l)=0]
λ > 0 : X = C1 cos λ x + C2 sin λ x
X ' = −C1 λ sin λ x + C 2 λ cos λ x X ' (0) = 0, X ' (l ) = 0, C1 ≠ 0, C 2 λ = 0, C 2 = 0 − C1 λ sin λ l = 0
问题：上述特解能否满足初始条件（2） u(x,0) = ϕ (x) , ut (x,0) = ψ (x) ？
nπ un |t =0 = An sin x l ∂un nπ a nπ x |t =0 = Bn sin ∂t l l
显然，un(x,t) 是不可能满足初始条件的，因为 ϕ(x) 和 ψ (x) 是任意函数。 sin(nπx/l), (n=1,2,3,…,→ ∞） 才能构成ϕ (x) 和 ψ (x) Fourier展开完整基矢族。
X (0) = X (l) = 0
方程及边界条件必须为齐次 的，才能分离变数！
第四步：解时间部分：
n 2π 2 a 2 T "+ T =0 2 l
通解为：
nπ at nπ at T (t ) = A cos + B sin l l
因此，泛定方程（8.1.1）且满足边界条件 (8.1.2)的特解为