2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：2.2基本初等函数、函数与方程及函数的应用 Word版含解析

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

第2讲 基本初等函数、函数与方程[做真题]题型一 指数与指数函数1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a详细分析：选B.因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b详细分析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________．详细分析：法一：由x >0可得－x <0， 由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－e a (－x )]＝e －ax ， 则f (ln 2)＝e －a ln 2＝8，所以－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3. 法二：由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )， 所以f (ln 2)＝－f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝－(－e a ln 12)＝8， 所以a ln 12＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3.答案：－3题型二 对数与对数函数(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c详细分析：选C.法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错；因为0<c <1，所以－1<c －1<0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1>a c －1，又ab >0，所以ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，所以0>log c b >log c a ，D 错；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，所以－a log b c >－b log a c >0，所以a log b c <b log a c ，故C 正确．法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．题型三 函数的零点问题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1详细分析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)详细分析：选C.函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 详细分析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：3[山东省学习指导意见]1．指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式，并能进行运算．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)． 3．幂函数了解幂函数的概念：结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．4．函数与方程(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．(2)了解二分法求方程近似解 5．函数模型及其应用(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型的广泛应用．(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ． y ＝2－x C ．y ＝log 12xD ．y ＝1x(2)(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b(3)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(1)对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x 可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，因此函数y ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.(2)因为a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2，b ＝log 38>1，c ＝0.30.2<1，所以c <b <a .故选A.(3)通解：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 (1)A (2)A (3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(一题多解)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6详细分析：选D.法一：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x ，所以g (x )＝log 2x ，所以f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x.所以f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2，4)，因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以函数g (x )的图象经过点(4，2)，所以f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.2．(2019·福建五校第二次联考)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b详细分析：选D.a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象易知b ＝⎝⎛⎭⎫1413∈(0，1)，故c >a >b ，选D.3．(2019·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．详细分析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x－1，则f (log 32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：⎝⎛⎭⎫－2，－89 1函数与方程 [典型例题]命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ， 所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1](2)(2019·济阳模拟)若关于x 的方程e x ＋ax －a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，0]B ．[0，e 2)C ．(－e ，0]D ．[0，e)(1)当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1]，故选D.(2)由题意可知只需证e x ＋ax －a >0恒成立，即证e x >－a (x －1)．当x <1时，－a >e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2<0，则f (x )单调递减，即有f (x )<0，解得－a ≥0，即a ≤0；当x ＝1时，e>0成立，a 可以是任意实数；当x >1时，－a <e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2，当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝2时，f (x )取得极小值，也是最小值e 2，即有－a <e 2，解得a >－e 2.综上，实数a 的取值范围是(－e 2，0]，故选A. 【答案】 (1)D (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]上所有零点的和为( )A ．4B ．8C ．12D ．16详细分析：选D.令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．详细分析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e x x －kx ＝0只有一个根，即方程e xx 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）e x x 3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24.答案：⎝⎛⎭⎫0，e 24函数的实际应用 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1RD ．3M 23M 1R(2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg 10.1D ． 10－10.1(1)由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D. (2)根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.【答案】 (1)D (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解+析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年D ．2024年详细分析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.详细分析：由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b ＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k ＝12，所以e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.答案：24一、选择题1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3详细分析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数， 所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0，0) B ．(0，－1) C ．(－2，0)D ．(－2，－1)详细分析：选C.令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b详细分析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数详细分析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lgx ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，选D.5．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍详细分析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.6．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1详细分析：选 A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3详细分析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．8．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 3 2＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，1详细分析：选D.由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 32＋x2－x ＝log 3 x －2＋42－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m>1，解得12<m <1，故选D.9．(多选)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C．f(2) D．f(5)详细分析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．10．(多选)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.则关于x的方程f(x)＝k的根的情况，下列结论正确的是()A．当k＝1时，方程有一个实根B．当k>1时，方程有两个实根C．当k＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根详细分析：选ABD.方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的直线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD.11．(多选)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1>1详细分析：选AC.函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2，2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2.12．(多选)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)．下列命题正确的有( )A ．f (2 016)＋f (－2 017)＝0B ．函数f (x )在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点D ．函数f (x )的值域为(－1，1)详细分析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如图所示，根据图象可知，A ，f (2 016)＋f (－2 017)＝0正确；B ，函数f (x )在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；C ，根据图象可知y ＝x 与f (x )的图象有1个交点，所以C 正确；D ，根据图象，函数f (x )的值域是(－1，1)，所以D 正确．二、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f (log 216)＝________． 详细分析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是________．详细分析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， 所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e <x <e.答案：⎝⎛⎭⎫1e ，e15．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1，2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 详细分析：因为函数f (x )＝log 3 x ＋2x －a 在区间(1，2)内有零点，且f (x )在(1，2)内单调，所以f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.答案：()log 32，116．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫43＝________，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．详细分析：因为偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数， 则f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－2＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23， 若－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， 则f (－x )＝－x ＝f (x )， 即f (x )＝－x ，－1≤x ≤0，由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝k (x ＋1)， 函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，等价为函数f (x )与h (x )＝k (x ＋1)有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图所示， h (x )过定点A (－1，0)，f (3)＝1，则k 满足0<h (3)≤1，即0<4k ≤1，得0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：23 ⎝⎛⎦⎤0，14。

二、综合性——着眼题型凸显能力数学文化三角与向量解+析几何与向量函数与不等式概率与实际应用直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解+析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系；(2)建立知识网络关系；(3)注重目标的达成．依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6{2－x，x≤，x>0，则满足f(x＋时，函数f(x)＝2－x是减函数，则1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(xy2＝a2记为②式，①OF为直径的圆与圆的相交弦所在直线的方程为x高考小题集训(二)1．[2019·河南郑州第二次质量预测]已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝ln(1－x 2)}，B ＝{y |y ＝4x －2}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．(－1,0)B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(－1,0]详细分析：A ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y >0}，所以∁U B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1,0]，故选D.答案：D2．[2019·四川乐山调研]若a ＋b ii (a ，b ∈R )与(1－i)2互为共轭复数，则a －b 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3详细分析：∵a ＋b i i ＝(a ＋b i )(－i )－i 2＝b －a i ，(1－i)2＝－2i. 又a ＋b ii 与(1－i)2互为共轭复数， ∴b ＝0，a ＝－2，则a －b ＝－2，故选A. 答案：A3．[2019·广东广州调研]已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b详细分析：因为0<ln 2<1，所以a ＝2ln 2∈(1,2)，c ＝(ln 2)2∈(0,1)． 又b ＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈(3,4)， 故c <a <b .故选B. 答案：B4．[2019·陕西渭南月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，则( )A ．S 11＋S 12<0B ．S 11＋S 12>0C ．S 11·S 12<0D ．S 11·S 12>0详细分析：∵a 6<0，∴S 11＝11a 6<0，又a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，∴S 12＝6(a 6＋a 7)>0. ∴S 11·S 12<0，故选C. 答案：C5．[2019·天津七校联考]已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β详细分析：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A 不正确；若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β或α与β相交，故B 不正确；若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故D 正确．故选D.答案：D6．[2019·浙江杭州八中月考]在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，AB ＝4，AD →＝14AC →＋λAB →，则AC 的长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12详细分析：∵AD →＝14AC →＋λAB →且B ，C ，D 三点共线，∴λ＝34，∴AD →＝14AC →＋34AB →， ∴BD →－BA →＝14BC →－14BA →－34BA →， ∴BD →＝14BC →.又AD 为∠A 的平分线， ∴AB AC ＝BD DC ＝13，又AB ＝4，∴AC ＝12.故选D.答案：D7．[2019·成都一诊]设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6详细分析：通解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线经过点A (0,1)时z 取得最小值，z min ＝3×0＋1＝1，故选A.优解由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，此时z ＝1；由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝3；由⎩⎨⎧x ＝1，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，此时z ＝6.综上，目标函数z ＝3x＋y 的最小值为1，故选A.答案：A8．[2019·北京第八十中学阶段测试]阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，1]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0] 详细分析：由程序框图可得分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∉[－2，2]，令2x∈[14，1]，则x ∈[－2,0]，∴输入的实数x 的取值范围是[－2,0]．故选D.答案：D9．[2019·河北衡水中学调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°详细分析：∵S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴12bc sin A ＝12bc cos A ，∴tan A ＝1，∵0°<A <180°，∴A ＝45°，故选C.答案：C10．[2019·河北六校联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.64－82π3B.64－42π3C.32－82π3D.32－42π3详细分析：由三视图知，这个几何体是由一个四棱锥S －ABCD 挖去18个球得到的，其直观图放在正方体(正方体是虚拟图，起辅助作用)中如图所示，故该几何体的体积为13×4×4×4－18×4π3×(22)3＝64－82π3，选A.答案：A11．[2019·广东珠海摸底]某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )A ．获得参与奖的人数最多B ．各个奖项中三等奖的总费用最高C ．购买奖品的平均费用为9.25元D ．购买奖品的费用的中位数为2元详细分析：设全班人数为a ，由扇形统计图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占65%.获得参与奖的人数最多，故A 正确；一等奖的总费用为5%a ×20＝a ，二等奖的总费用为10%a ×10＝a ，三等奖的总费用为30%a ×5＝32a ，参与奖的总费用为65%a ×2＝1310a ，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B 正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋65%×2＝4.8(元)，故C 错误；参与奖占65%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D 正确．故选C.答案：C12．[2019·全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R详细分析：本题主要考查考生对背景材料的审读能力、逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1(1＋α)2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D.答案：D13．[2019·山西太原一中月考]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．详细分析：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－16.答案：－1614．[2019·湖南郴州质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x >0，1－x ，x ≤0，若f (f (－2))＝－2，则a ＝________.详细分析：f (f (－2))＝f (3)＝a ＝－2.答案：－215．[2019·河南期末联考]三棱锥P －ABC 的侧棱两两垂直，D 为棱P A 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上的点，DE ∥平面ABC ，PF ＝2FC ，若从三棱锥P －ABC 内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P －DEF 内部的概率为________．详细分析：因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面P AB ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ∥AB ，所以V P －DEFV P －ABC＝12×12×23＝16，即所求概率为16.答案：16 16．[2019·江西红色七校第一次联考]已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.详细分析：将双曲线的方程x 2－y 2＝2化为x 22－y22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2. 因为|PF 1|＝2|PF 2|①， 所以点P 在双曲线的右支上．由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22②. 由①②，得|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 在△PF 1F 2中，根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：34。

课时跟踪检测(二) 基本初等函数、函数与方程一、选择题1．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知，f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1,2)．故选B.2．(2019·成都模拟)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D 由已知得，c ＝log 23>log 2e ＝a >1，b ＝ln 2<1，∴c >a >b ，故选D.3．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎨⎧g (g ≥h )，h (g <h )，已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )解析：选B 由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，∴f (x )＝2x ，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1，∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，1，x <0，其图象易作出，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.4．(2019·南宁模拟)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 解法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6. 解法二：∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.5．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)． 6．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．7．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是()解析：选B由函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数，故选B.8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：选C函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，则f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2 log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，故c<a<b，故选C.9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A．11 000元B．22 000元C．33 000元D．40 000元解析：选C设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L ＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，∴当x＝60时，有最大利润33 000元．10．(2019·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )的周期为2，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象，由图可知有两个交点，即函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有2个，所以选B.11．(2019·保定模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋1＋1)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，所以f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，在同一坐标系内作出f (x )与g (x )在(－1,3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x ＝1对称，其和为2×2＝4，故选B.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )－ax ＝0恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，43 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析：选B 方程f (x )－ax ＝0有两个不同的实根，即直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示．当x >1时，由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x ，设直线y ＝kx 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象相切， 切点为(x 0，y 0)，则y 0x 0＝ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e>1，则k ＝1e ，即y ＝1e x 是函数f (x )＝ln x (x >1)的图象的切线．当a ≤0时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有一个交点，不合题意； 当0<a <13时，直线y ＝ax 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象有两个交点，但与射线y ＝13x ＋1(x ≤1)也有一个交点，共有三个交点，不合题意；当a ≥1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象至多有一个交点，不合题意； 只有当13≤a <1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个交点，符合题意．故选B.二、填空题13．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________． 解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④14．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －[log 14(4x )－1]·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －[log 14(4x )－1]≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2[log 14(4x )－1]≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，415．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，所以当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0，得a ＝2x ，因为2x 单调递增且0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1.答案：(0,1]16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 答案：①④。

2020年高考数学二轮复习：02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、单选题（共12题；共24分）1.若 a =log 67 ， b =log 54 ， c =log 134 ，则（ ） A. a <b <c B. b <a <c C. c <b <a D. c <a <b【答案】 C【考点】对数函数的单调性与特殊点2.已知函数 f(x)={e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,若 f(a)≥1 ，则 a 的取值范围是（ ） A. [1,2) B. [1,+∞) C. [2,+∞) D. (−∞,−2]∪[1,+∞)【答案】 B【考点】分段函数的应用3.已知函数 f(x)={4x +3,x ≤02x +log 9x 2−9,x >0，则函数 y =f(f(x)) 的零点所在区间为（ ） A. (3,72) B. (−1,0) C. (72,4) D. (4,5)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理4.已知 a =log πe ， b =ln πe ， c =ln e 2π ，则（ ） A. a <b <c B. b <c <a C. b <a <c D. c <b <a【答案】 B【考点】对数函数的单调性与特殊点5.对于任意实数 x ，符号 [x] 表示 x 的整数部分，即 [x] 是不超过 x 的最大整数，例如 [2]=2 ；[2.1]=2 ；则 [log 31]+[log 32]+[log 33]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[log 327] 的值为（ ）A. 42B. 43C. 44D. 45【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化6.如图是二次函数 f(x)=x 2−bx +a 的部分图象，则函数 g(x)=alnx +f ′(x) 的零点所在的区间是（ ）A. (14,12)B. (12,1) C. (1,2) D. (2,3)【答案】 B【考点】函数零点的判定定理7.描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位:小时)如下:则完成这三件原料的描金工作最少需要（）A. 43小时B. 46小时C. 47小时D. 49小时【答案】B【考点】函数模型的选择与应用8.已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围（）A. (0, 12) B. (12,1] C. (0,1] D. （0,1）【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系9.已知函数y=f(x)在区间(−∞,0)内单调递增，且f(−x)=f(x)，若a=f(log123)，b=f(2−1.2)，c=f(12)，则a、b、c的大小关系为（）A. a>c>bB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合，换底公式的应用10.三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A. log0.87<0.87<70.8B. log0.87<70.8<0.87C. 0.87<70.8<log0.87D. 70.8<0.87<log0.87【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点11.设f(x)是定义在R上的函数，满足条件f(x+1)=f(−x+1)，且当x≤1时，f(x)=e−x−3，则a=f(log27)，b=f(3−23),c=f(3−1.5)的大小关系是（）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a【答案】 B【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点12.已知 f(x)={x 2019,x ≤a x 2018,x >a，若存在实数m ， 使函数 y =f(x)−m 有两个零点，则a 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (−∞,0)∪(1,+∞) C. (0,1)∪(1,+∞) D. (−∞,0)【答案】 B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的零点与方程根的关系二、填空题（共11题；共11分）13.设函数 f(x)={e −x +2019,x ≤02020,x >0，则满足 f(x 2−3)≤f(−2x) 的 x 取值范围是________. 【答案】 (−∞,−√3]∪[1,+∞)【考点】函数单调性的性质，分段函数的应用14.已知函数 f(x)=ax 3−3x 2+2 ，若函数 f(x) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0>0 ，则实数 a 的取值范围________.【答案】 (−∞,−√2)【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，极限及其运算，函数零点的判定定理15.已知函数 f(x)={|lg(−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0，若关于 x 的方程 f 2(x)−bf(x)+1=0 有8个不同根，则实数 b 的取值范围是________．【答案】 (2,174]【考点】函数的零点与方程根的关系16.已知函数 f(x) 是指数函数，如果 f(3)=9f(1) ，那么 f(8) ________f(4) （请在横线上填写“ > ”，“ = ”或“ < ”）【答案】 >【考点】指数函数的单调性与特殊点17.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x ）=f （2-x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x·2x .则方程f （x ）-|lgx|=0的根的个数为________.【答案】 100【考点】函数的零点与方程根的关系18.已知函数 f(x)={(12)x +1,x ≥13x 2,0<x <1 ，若函数 g(x)=f(x)−k 有两不同的零点，则实数 k 的取值范围是________．【答案】 (1,32)【考点】函数的零点与方程根的关系19.设函数 f(x)=log a (x −1)+1 （ a >0 且 a ≠1 ）恒过点 (m,n) ，则 m −n = ________.【答案】 1【考点】对数函数的图象与性质20.已知 f(x)={a x ，x >1(4−a 2)x +2，x ≤1 满足对任意x 1≠x 2 ， 都有 f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2 >0成立，那么a 的取值范围是________．【答案】 [4,8)【考点】函数单调性的性质，分段函数的应用21.若函数 f(x)=a x (a >0,a ≠1) 在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数 g(x)=(1−4m)√x 在 [0,+∞) 上是增函数，则a ＝________.【答案】 14【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数单调性的应用22.设 a >0,a ≠1,M >0,N >0， 我们可以证明对数的运算性质如下： ∵a log a M+log a N =a log a M a log a N =MN ，① ∴log a MN =log a M +log a N .我们将 ① 式称为证明的“关键步骤”.则证明 log a M r =rlog a M （其中 M >0,r ∈R ）的“关键步骤”为________.【答案】 a log a M r = （ a log a M ）r ＝M r【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质23.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB ，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据 64MB 内存．（ 1MB =1024KB ）【答案】 45【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的实际应用。