第9章 多元函数积分学

第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l y n z d V m x l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →.解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F tht)](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d解 先交换y 和z 的次序，则1122000sin ()sin (1)(1)xxx zz x z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰. 111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x 解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。

（完整版）侯风波版《⾼等数学》练习答案第⼀章函数习题函数⼀、填空题：略.⼆、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同⼀个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第⼆章极限与连续习题⼀极限的概念⼀、判断题：略.⼆、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f ⽆定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在；（2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ；（3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题⼆极限的四则运算⼀、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4.41．⼆、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4.61．四、求下列极限 1.32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三两个重要极限⼀、求下列极限1. 1；2. 16；3.241；4. 1；5. 1；6. 8．⼆、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4.2e1．习题四⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、1. ∞→x ； 2. -→0x ．⼆、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是⽐⾼阶的⽆穷⼩．六、提⽰：由极限运算及等价⽆穷⼩定义．习题五函数的连续与间断⼀、选择题：略.⼆、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第⼆类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章导数与微分习题⼀导数的定义⼀、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . ⼆、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平⾏于直线.习题⼆导数的四则运算⼀、填空题：略．⼆、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='．三、①定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三复合函数求导⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin xx x x y x ?+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e1cos x x x y x x +='； 5. x x x y 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e)(x f f f y x x x x f '+'='.习题四隐函数对数函数求导⾼阶导数⼀、是⾮题：略．⼆、求下列⽅程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x x y y x x -+-='e sin e 1；2. xy y y x yx --='++e e ．三、⽤对数求导法求下列函数的导数 1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x y x ．四、切线⽅程为0=y ．五、求下列函数的⼆阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''； 3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x xx y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e1e 3d 2613+++=. 三、求⽅程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x d cos 2e d 2--=； 2. x ya xb y d d 22-=. 四、利⽤微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩⼤约为3πcm 1800.第四章微分学的应⽤习题⼀洛必达法则⼀、是⾮题：略.⼆、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题⼆函数的单调性⼀、单项选择题：略．⼆、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞Y ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞Y ，单减区间)0,1(-．三、提⽰：利⽤函数单调性证明．四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三函数的极值⼀、单项选择题：略．⼆、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极⼩值； 4. 3)1(=f ．三、最⼤值为10)1(=-f ，最⼩值为22)3(-=f ．四、极⼤值为0)0(=f ，极⼩值为41)22()22(-==-f f ．五、当直径r 2与⾼h 之⽐为11∶时，所⽤的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点⼀、填空题：略．⼆、曲线在)332,(--∞及),332(+∞内上凹,在)332,332(-内下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-．三、函数在)2,0(上的极⼤值为2723)31(-=f，极⼩值为1)1(-=f；最⼤值为1)2(=f，最⼩值为1)1(-=f；拐点为)272532(-，.四、⽰意图:第五章不定积分习题⼀不定积分的概念与基本公式⼀、填空题：略.⼆、选择题：略.三、计算下列不定积分1. Cx+13 3；2. C xxx + -5 3 ln 5 3 3；3. C xxx + + --ln 2 sin 3 1；4. C xxx+ +arcsin2cos.四、求解下列各题1. Cxxf x+='2e2d)(；2. xxf x2sece)(+=；3.所求函数为233+-=xxy.习题⼆不定积分的换元积分法⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2.C x +2arcsin 21； 3.C x x +++24arctan )1ln(41； 4.C x x ++3tan 31tan ； 5.()()C x x ++-+1213223； 6.C xx +--3arccos 392．习题三分部积分法简单有理函数的积分⼀、填空题：略.⼆、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22； 3. C x x x ++-e )22(2； 4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3 )2(ln 2. 四、?''x f x x d )e (e 2C f f xx x +-'=)e ()e (e ．第六章定积分习题⼀定积分的概念微积分基本公式⼀、选择题：略.⼆、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61. 三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4='； 2. 23d )(lim 200=?→x t t f x x ； 3.67d )(21=?-x x f .习题⼆定积分的换元积分法与分部积分法⼀、填空题：略.⼆、求下列定积分 1. )e 2(2-； 2. 32π2； 3. )1e (412+； 4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三定积分的应⽤⼀、32=S . ⼆、h r V 23π=. 三、（1）2=S ；（2）2π2=V . 四、两部分⾯积⽐为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ?=ρ.六、g P ρ18=.习题四反常积分⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列⼴义积分 1.21； 2. 2π．四、?∞+∞-+x x x d 12发散．第七章常微分⽅程习题⼀常微分⽅程的基本概念与分离变量法⼀、判断正误：略.⼆、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C xy +=-3112（其中1C C -=为任意常数）； 2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题⼆⼀阶线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三⼆阶常系数齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、求下列微分⽅程的通解1. =y x x C C -+e e 261；2. =y x x C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +； 4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分⽅程满⾜初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第⼋章空间解析⼏何习题⼀空间直⾓坐标系与向量的概念⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. 939393,, 和---939393,,； 4. ),,(002-C ．习题⼆向量的点积与叉积⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. -±837833835,,； 2. {}4,6,12-±=b ； 3. 213S ABC =?．习题三平⾯和直线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四曲⾯与空间曲线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. ⽅程为x z y 422=+，是旋转抛物⾯； 2. 投影⽅程为?==+;0,52x z y 3. 投影⽅程为?==++．0,0422y z x第九章多元函数微分学习题⼀多元函数及其极限⼀、填空题：略．⼆、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图三、4 142lim 00-=+-→→xy xy y x ．四、表⾯积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．五、)0,0(),(f y x f -??=22)()())((y x y x ?+．习题⼆偏导数及⾼阶偏导数⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z=??； 3. y x x z ln 2+=??，y xy x y z=+=??10，222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z 12=； 4. z y x f arctan =??，z x y f arctan =??，21z xyz f +=??．四、略．习题三全微分⼀、填空题：略．⼆、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=?z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对⾓线变化约为m 045.0．五、所需⽔泥的近似值为3m 4.9．习题四复合函数的偏导数⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、解下列各题 1.1d d -=t z ； 2. y z x z =??，2)(y y x z y z +-=??； 3.)cos sin 2(cos 2x x x y xy xz +=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z -=??．习题五偏导数的⼏何应⽤⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 切线⽅程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ； 2. 切平⾯⽅程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线⽅程为 1191161--=-=-z y x ，法平⾯⽅程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六多元函数的极值⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极⼩值24-；2. 当端⾯半径与半圆柱⾼满⾜2:1:=h r 时，所⽤材料最省．第⼗章多元函数积分学习题⼀⼆重积分及其在直⾓坐标系下的计算⼀、判断题：略．⼆、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①?==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2 1d e d 1002==y y x x y I ．习题⼆极坐标下⼆重积分的计算及⼆重积分的应⽤⼀、填空题：略．⼆、多步填空题提⽰：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010d e d 2r r θr ?π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=．三、求解下列各题 1. π2 2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提⽰：化为极坐标下的⼆重积分）； 2. π32=V ；3. 薄⽚的质量为121．第⼗⼀章级数习题⼀数项级数⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. ΛΛ+++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-21n nn 收敛；5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题⼆幂级数⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数ΛΛ+-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三函数的幂级数展开⼀、填空题：略.⼆、求解下列各题1. 展开为ΛΛ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为ΛΛ+-++?-?=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2=ΛΛ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。

第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。

2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。

除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。

多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。

在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。

本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。

一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。

它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。

二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。

根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。

•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。

•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。

2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。

它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。

三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。

二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。

它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。

Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。

对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。

2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。

极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。

通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。

在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。

三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

第九章 多元函数积分学习题课题目见幻灯片例１【解】使用轮换对称性：若D 关于直线x y =对称，则⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=Dd x y f σ),(．⎰⎰+=Dd b a σ)(21D b a )(21+=的面积π)(21b a +=．故选【Ｄ】． 例２【解】由于122≤+y x ，则≤+≤222)(0y x 212222π<≤+≤+y x y x ，又在指定区间，x cos 是减函数，则cos )cos(222≥+y x 0cos )(2222≥+≥+y x y x ，且等号不能总成立，由积分单调性，知 321I I I <<，故选【Ａ】． 例３【解】使用奇偶对称性．积分区域D 关于x 轴是对称的，且由于)()()()(x g y f x g y f -=-，0)()(=⎰⎰Dd x g y f σ，故选【Ａ】． 例４【解】使用奇偶对称性，知 042==I I ；在区域1D 上，0cos ≥x y 且不总等于０，故01>I ；在区域3D 上，0cos ≤x y 且不总等于０，故03<I ，因此选【Ａ】． 例５【解】设),(11y x M ，),(22y x N ，则由题意，21x x <，21y y >，0),(1221>-==⎰⎰x xdx dx y x f x x T；0),(1221<-==⎰⎰y y dy dy y x f y y T；=⎰Tds y x f ),(0>⎰Tds ；0),('),('=+⎰Ty xdy y x f dx y x f ，故选【Ｂ】． 例６ 【解】积分区域为如图所示梯形区域，则取y有 原积分＝⎰⎰-ydx y x f dy4121),(，故选【Ｃ】． 例７【解】积分区域如图，则取y 为外积分变量，原积分＝⎰⎰-ππydx y x f dyarcsin 1),(，故选【Ｂ】．例８【解】作出积分区域为圆扇形区域，若取x 为外积分变量，则积分应为两积分之和，故取y 为外积分变量，原积分＝⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，故选【Ｃ】． 例９【解】利用极坐标下的积分，则原积分＝⎰⎰uvdr r f d 12)(θ⎰=udr r f v 12)(，)(2u vf uF=∂∂，故选【Ａ】． 例１０【解】由于积分区域D 既对x 轴又对y 轴对称，利用奇偶对称性及轮换对称性，⎰⎰+=D dxdy y x )(212242110320πθπ==⎰⎰dr r d ． 例１１【解】⎰⎰121ln xdy x dx y ⎰=2110|dx x y 21)1(21=-=⎰dx x ． 例１２【解】利用轮换对称性及球面坐标计算．⎰⎰⎰⋅=122020sin 31ρϕρρϕθππd d d ππ154512231=⋅⋅⋅=． 例１３【解】曲线L 的方程为 2x y =，则dx x ds 241+=，（20≤≤x ），故⎰⎰+=20241dx x x xds L ⎰++=222)41(4181x d x 613|)41(328120232=+⋅=x ． 例１４【解】因积分区域D 关于x 轴对称，且被积函数关于y 是奇函数，故0122=++⎰⎰Ddxdy y x xy． 2ln 2|)1ln(2011021222ππθππ=+=++=⎰⎰-r dr r r d ． 例１５【解】积分区域为如图左上半圆盘，故采用极坐标计算较简便．用极坐标表示积分区域：434πθπ≤≤，)sin (cos 20θθ+≤≤r 38|)sin (cos 41384/34/4-=+⋅=ππθθ． 例１６【解】取y 为外积分变量，则10≤≤y ，y x ≤≤0，⎰⎰-Ddxdy xy y 2⎰⎰-=ydx xy y dy 021⎰-⋅-=10032])(321[dy xy y y y923212==⎰dy y ．例１７【解】令}0,0,1|),{(221≥≥<+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，1]1[22=++y x ；在区域2D 上，2]1[22=++y x ，2sin cos 132+=⎰⎰dr r d πθθθ83412124121sin cos 2132=⋅⋅+⋅=⎰⎰dr r d πθθθ． 例１８【解】令}0,0,1|),{(221≥≥≤+=y x y x y x D ，}01,01,1|),{(222≥≥≥≥≥+=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，)(1|1|2222y x y x +-=-+； 在区域2D 上，1|1|2222-+=-+y x y x ，⎰⎰--1)1(22D dxdy y x 8)1(1220πθπ=-=⎰⎰rdr r d ，但 ⎰⎰-+1)1(22D dxdy y x⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x ⎰⎰-+=Ddxdy y x )1(22，故=-+⎰⎰2)1(22D dxdy y x⎰⎰-+Ddxdy y x)1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ，⎰⎰-+=102210)1(dy y x dx =--⎰⎰10220)1(rdr r d πθ8)32(12π+-⎰dx x 831π+-=，所以 ⎰⎰-+Ddxdy y x |1|223148318-=+-=πππ． 例１９【解】令}20,20,1|),{(1≤≤≤≤≤=y x xy y x D ，}20,20,1|),{(2≤≤≤≤≥=y x xy y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，1)1,max(=xy ；在区域2D 上，xy xy =)1,max(，⎰--=221)12(4dx x ⎰-+221)212(dx x x 2ln 419)2ln 415()2ln 23(4+=-+--=．例２０【解】由被积函数及积分区域关于两轴的对称性，知4),(=⎰⎰Ddxdy y x f ⎰⎰*),(D dxdy y x f ，其中}0,0,1|),{(1≥≥≤+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(2≥≥≤+<=y x y x y x D ， 而21*D D D ⋃=．在区域1D 上，2),(x y x f =；在区域2D 上，221),(yx y x f +=，)223ln(21121++=， 所以4),(=⎰⎰Ddxdy y x f ⎰⎰*),(D dxdy y x f ．例２１【解】（１）用ADB 表示从A 通过D 到B 的有向弧．则由题目条件知k yx xydydx y BEAACB =++⎰+4222)(ϕ（常数），k yx xydydx y BDAACB =++⎰+4222)(ϕ，从而⎰++=ACBy x xydydx y 422)((ϕ⎰+++BDAy x xydydx y 422)(ϕ）⎰+++=BDAACB yx xydydx y 4222)(ϕ022)(42=-=++-⎰+k k yx xydydx y BEAACB ϕ．证完（２）由（１）知，曲线积分在全平面内与积分路径无关，故由 y P x Q ∂∂=∂∂，可知 =+-24225)2(42y x yx y 242342)2()(4)2)(('y x y y y x y +-+ϕϕ， 比较两端的分子，即可知 y y 2)('-=ϕ，5342)(4)('y y y y y =-ϕϕ．前一式说明C y y +-=2)(ϕ，代入后一式，得 52352)(42y C y y y =+---，因此 0=C ，所以 2)(y y -=ϕ例２２【解】令),(y x yf P =，),(y x xf Q -=，则由等价条件知，只需证明yPx Q ∂∂=∂∂即可， 即证 ),('),(),('),(21y x yf y x f y x xf y x f +=--， 也即 ),(2),('),('21y x f y x yf y x xf -=+． 等式 ),(),(2y x f t ty tx f -= 两边对参数t 求导，得 ),(2),('),('321y x f t ty tx yf ty tx xf --=+，令 1=t ，即得 ),(2),('),('21y x f y x yf y x xf -=+． 证完．。

多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。

与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。

在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。

一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。

重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。

在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。

而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。

重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。

同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。

二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。

它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。

在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。

因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。

极坐标变换在数学中有着广泛的应用。

例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。

三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。

在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。

《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。

通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。

通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。

Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。

多元函数积分学多元函数积分学是一门研究多元函数及其应用的数学分支。

这门学科涉及多变量函数的积分、定积分、无穷积分以及分析在多变量函数上的积分问题。

在多元函数积分学中，多元函数的定义以及它们的性质是基本的。

它们可以在任何给定的多元函数空间中定义，是多元函数积分学的基本概念和研究的重要内容。

多元函数积分学的主要任务是研究多变量函数的积分问题。

在多元函数积分学中，多变量函数积分可以分为定积分和无穷积分两类。

定积分是指在给定积分问题的多变量函数中求解积分，它一般包括一元函数积分、二元函数积分、多变量函数的积分和曲线的积分等。

它可以使用多种方法求解，比如高斯积分、梯形积分、拉斯维加斯积分以及蒙特卡罗积分等。

而无穷积分则是指在多变量函数中对积分域上的数学函数进行积分，它可以使用泰勒级数展开、拉普拉斯变换、拉格朗日变换等进行求解。

多变量函数积分与一元函数积分也有不同之处。

一元函数积分是指积分域上的一元函数，这是一种非常直观的概念，我们可以使用经典的定积分方法来解决一元函数的积分问题。

而多变量函数积分则不同，因为它需要考虑多变量函数的复杂性，在求解多变量函数积分时，我们需要考虑几何图形及其各种变换，这为求解多变量函数积分提出了新的问题。

另外，多变量函数积分学还涉及空间几何的概念，它的主要任务是研究多变量函数的空间性质，比如曲面的概念、曲面的法线、曲线的曲率等。

这些涉及空间几何的概念，可以帮助我们更深入地理解多元函数的积分过程，从而更加深入地研究多元函数积分的性质和特性。

多元函数积分学的研究主要是为了理解多变量函数的性质和特征，从而使用多元函数更好地描述现实中的现象和事物。

它也为研究多变量函数的更复杂的应用如无限维空间函数提供基础，比如用多元函数积分来研究抽象代数结构，研究计算机图形学相关的概念等。

因此，多元函数积分学是一门重要的学科，它是理解多元函数的性质和特征的基础。

它不仅为许多应用提供了理论依据，而且还可以帮助我们更深入地理解多元函数的性质和特征，从而更加深入地研究多元函数的积分和抽象代数结构。