2021年新高考数学总复习讲义：积分

2021年新高考数学总复习讲义：三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα；21cos2sin 2xα． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα；212cos cos2αα，21cos2sin αα，1tan4π．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．﹣79D ．﹣894．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π4)=（ ）A ．1B ．1﹣cos2xC ．1+cos2xD ．1+sin2x5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π4)=2，则tan2α=（ ）A．﹣3B．3C．−34D．346．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=43，则cos2(π4−α)=（）A．19B．29C．49D．597．（2018•佛山一模）已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=（）A．12B．13C．14D．158．（2018•开封三模）已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4−α）=（）A．45B．−45C．35D．−359．（2018•全国一模）已知s in(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=（）A．13B．−13C．2√23D．−√2310．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√59B ．4√2+√59C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5911．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．√2212．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π4B ．2α+β=π4C ．α﹣β=π4D ．α+β=π413．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π4] B ．[π4，π] C ．[0，3π4]D ．[3π4，π]14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|＜π2，则sin2θ=（ ）A ．8√29B ．2√23C ．4√29D ．2√2915．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形二．填空题（共7小题）16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是 ．19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16．则tanα= ．20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12）= ．22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．三．解答题（共5小题）23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π2）．（1）求tanα的值；（2）求sin （2α﹣π3）的值．24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π4）+2cos 2（ax﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2． （Ⅱ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π4]上的最大值和最小值．25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，π）．若AC →⋅BC →=25，求（1）cosα+sinα的值；（2）sin(α+π6)的值．26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA ）（1﹣tanB ）=2． （1）求角C ；（2）若b=2√2，c=4，求△ABC 的面积S △AB C ．27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。

第五章平面向量与复数考情探究2022新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅰ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅱ，1复数的概念复数的几何意义运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅰ，2复数的运算复数的除法运算运算求解基础性数学运算【命题规律与备考策略】本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要集中于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理知识点一向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)模：|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．.2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±a|a|3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．(√)(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)题组二走进教材2．(必修2P 22T4改编)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝(B )A.AD →B ．0C ．BC→D ．DA→[解析]AB→＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.3．(必修2P 15T3改编)八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OA→－ED →＝(B )A.OD →B ．DO →C ．DA→D ．AD→[解析]OA→－ED →＝EO →－ED →＝DO →.故选B.4．(多选题)(必修2P 15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(BC )A ．向量CH →，DG →的模相等B ．|AE→|＝10C ．向量DG →，HF →共线D ．|DG→|＋|HF →|＝10[解析]对于ABD ，通过计算向量的模进行判断即可，对于C ，通过判断直线DG ，HF 的位置关系来判断两向量是否共线．因为|CH→|＝32＋12＝10，|DG →|＝22＋22＝22，所以|CH →|≠|DG →|，所以A 错误；因为|AE →|＝32＋12＝10，所以B 正确；因为∠CDG ＝∠CFH ＝45°，所以DG ∥HF ，所以向量DG→，HF →共线，所以C 正确；因为|DG →|＋|HF →|＝22＋22＋32＋32＝52≠10，所以D 错误，故选BC.题组三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝(A )A ．2CD →－CA →B ．2CA →－CD →C ．2CD→＋CA →D ．2CA→＋CD →[解析]∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴CB →＝2CD →－CA →.故选A.6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12.[解析]∵a 、b 不平行，∴a ＋2b ≠0，由题意可知存在唯一实数m ，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，－m＝0，m－1＝0，解得λ＝12.向量的基本概念——自主练透1.(多选题)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(BC)A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[解析]A正确，AB→与BA→是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D正确，因为零向量与任何一个向量共线．故选BC.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是(D) A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同[解析]a|a|表示a方向的单位向量，因此a|a|＝b|b|的充要条件是a∥b且a与b 同向．名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．4．非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.向量的线性运算——多维探究角度1向量加、减法的几何意义设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则(A )A ．a ⊥b B ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析]解法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .解法二：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b .∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .角度2向量的线性运算1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA→＝m ，CD →＝n ，则CB →＝(B )A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n[解析]CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.2.(2024·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA→＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝(B )A.1225a ＋925b B ．1625a ＋1225b C.45a ＋35b D ．35a ＋45b[解析]BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →＋34－34BF →＋BA →，即BF →＝BC →＋34－34BF →＋BA →BF →＝1625BC →＋1225→，即BF →＝1625a ＋1225b .角度3根据向量线性运算求参数(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE→，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝(C )A ．1B ．6C.16D ．13[解析]因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB→＝DC →，AD →＝BC →，因为CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF ，在△AEF 中，所以EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是(D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb [解析]因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以a 与b 共线同向，故D 正确．2．(角度2)(2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →＝a ，BC →＝b ，则BE →＝(D )A.12a ＋14b B ．13a ＋56bC.23a ＋23b D ．12a ＋34b[解析]解法一：如图所示，取BC 的中点F ，连接AF ，因为BC ＝2AD ，所以AD ＝CF ，又AD ∥CF ，所以四边形ADCF 为平行四边形，则AF ∥CD ，所以CD→＝F A →.因为DE ＝EC ，所以CE →＝12CD →＝12FA →，所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12F A →＝BC →＋12(BA →－BF →)＝BC →－12BC ＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.解法二：如图，连接BD ，因为DE ＝EC ，所以BE →＝12(BD →＋BC →)＝12(BA →＋AD →＋BC →)＋12BC →＋＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.3．(角度3)(2023·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN→＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝(A )A.13B ．12C ．－12D ．－13[解析]由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB→)＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.故选A.共线向量定理及其应用——师生共研设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[分析](1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析](1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，－λ＝0，－1＝0，解得k ＝±1.[引申]本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝－1；若k a ＋b 与a＋k b 同向，则k ＝1.[解析]由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练】1．若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则实数k 等于(B )A ．－1B ．1C ．32D ．2[解析]由题意知，NQ→＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.故选B.2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于(D )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析]解法一：∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .①又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .②由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a .1＋1＝0，2＝－1，1＝－1，2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.故选D.解法二：①－②得a －c ＝λ1c －λ2a ∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a ＋b ＋c ＝0.易错警示——都是零向量“惹的祸”下列命题正确的是(D )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线[解析]易知ABC 错误．对于D.∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，－1＝0，＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．故D正确．名师点拨：在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．【变式训练】下列叙述正确的是(D)A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同C.AB→＋BA→＝0D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b[解析]对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA→＝0；对于D，λ(a－b)＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a＝b.故选D.提能训练练案[30]A组基础巩固一、单选题1．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边的中点，则下列结论成立的是(B)A.DE →＝DF →B ．EF→＝12BC →C.EF →＝CD →D ．2DE →＝AC →[解析]本题可通过相等向量的性质得出结果.DE→与DF →方向不同，A 错误；因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF ∥BC 且EF ＝12BC ，故EF→＝12BC →，B 正确；EF →与CD →方向相反，C 错误；DE →与AC →方向相反，D 错误．故选B.2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是(D )A.AP→＝13AB →B ．AQ→＝23AB →C.BP→＝－23AB →D ．AQ→＝BP →[解析]由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误．3．(2022·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则(B )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上[解析]∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝(A )A.AD →B ．12AD→C ．BC→D ．12BC→[解析]EB→＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.5．(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB→＝a ＋5b ，BC →＝－2a＋8b ，CD→＝3(a －b )，则(A )A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线[解析]∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB →，∴AD →与AB →共线，即A ，B ，D 三点共线，故选A.6．(2024·南昌质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(A )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2[解析]∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，使AB→＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ＝t ，＝1消去参数t ，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB →＝1μa ＋b ＝1μ(a ＋μb )＝1μAC →，此时存在实数1μ使AB →＝1μAC →，故AB→和AC →共线．∵AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线，故选A.7．如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 上，且AD→＝3AE →，则下面不正确的是(C )A.AD→＝13AC →＋23AB →B ．CE→＝13AD →－AC →C.CE →＝29AB →＋89AC →D ．CE→＝29AB →－89AC →[解析]∵CD ＝2DB ，点E 在AD 上，AD →＝3AE →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB→＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，∴CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝19AC →＋29AB →－AC →＝29AB →－89AC →.故选C.8.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于(C )A.34B ．23C ．12D ．14[解析]连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF→＝12(AD →＋AE →)，而AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＋AB →＋12AD ＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.二、多选题9．(2023·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(BC )A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等[解析]对于A ，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B 正确；对于C ，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C 正确；对于D ，零向量与它的相反向量相等，所以D 错误，故选BC.10．下列选项中的式子，结果为零向量的是(AD )A.AB→＋BC →＋CA →B.AB →＋MB →＋BO →＋OM →C.OA→＋OB →＋BO →＋CO →D.AB →－AC →＋BD →－CD→[解析]利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．11．(2023·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(AC )A ．|AB →|＝|AD →|一定成立B.AC→＝AB →＋AD →一定成立C.AD→＝CB →一定成立D.BD →＝AD →－AB →一定成立[解析]在平行四边形ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →一定成立，AD →＝CB →一定不成立，BD →＝AD →－AB →一定成立，但|AB →|＝|AD →|不一定成立，故选AC.三、填空题12．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA ＝a ，OB →＝b ，则DC→＝b －a ，BC→＝－a －b .(用a ，b 表示)[解析]如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .13．如图所示，下列结论正确的是①③.①PQ→＝32a ＋32b ；②PT →＝－32－32；③PS →＝32a －12b ；④PR→＝32a ＋b .[解析]由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS→＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.14．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于－4.[解析]∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.15.如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA→和OB →来表示向量OC →，则OC →＝34OA →＋14OB →.[解析]易知OC→＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.四、解答题16．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.[证明](1)若m ＋n ＝1，则OP→＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP→－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP→与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP→－OB →＝λ(OA →－OB →)．∴OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →，①又OP →＝mOA →＋nOB →，②由①②得λOA →＋(1－λ)OB →＝mOA →＋nOB →，∵OA →，OB →不共线，＝m ，－λ＝n ，∴m ＋n ＝1.B 组能力提升1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是(C )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形[解析]∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD→∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．2．(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA→＋2EB →＋3FC →＝(D )A.12AD →B ．32AD→C ．12→D ．32AC→[解析]∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋12CA →＋AB →＋CB →＋32AC →＋32BC →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝32AC →.3．(2023·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF →＝(D )A ．－12AB →＋34AD→B ．12AB →＋23AD→C.13AB →－12AD →D ．12AB →－34AD→[解析]DF→＝AF →－AD →，AE →＝AB →＋BE →.∵E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →，BE →＝12BC →，∴DF→＝AF →－AD →＝12AE →－AD →＝12(AB →＋BE →)－AD →＝12AB →＋14BC →－AD →，又BC →＝AD →，∴DF →＝12AB →－34AD →.4．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC 的重心，则用向量AB→、AC →表示BG →为(B )A.BG →＝－13AB →＋23AC→B ．BG →＝－23AB →＋13AC→C.BG→＝－23AB →－13AC →D ．BG →＝23AB →＋13AC →[解析]根据三角形重心关系有AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →，即可化简得解．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →＝13(AB →＋AC →)－AB →＝－23AB →＋13AC →.故选B.5.(多选题)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是(ACD )A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM→＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM→＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12[解析]若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM→＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；若AM→＝－BM →－CM →，即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM→＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，得B 、N 、C 三点共线．设AN →＝2AM →，则M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．故选ACD.6．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.①求证：A ，B ，D 三点共线；②若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；(2)已知a ，b 不共线，若向量2k a －b 与a －k b 共线反向，求实数k 的值．[解析](1)①证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →，又AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．②由①可知BD →＝e 1－4e 2，又BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，＝3，k ＝－4λ，解得k ＝12，(2)∵2k a －b 与a －k b 共线反向，∴存在实数λ使2k a －b ＝λ(a －k b )(λ<0)．k ＝λ，＝1，∴k ＝±22.又λ<0，∴k ＝－22.。

专题22两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (4)【考点1】公式的基本应用 (4)【考点2】公式的逆用及变形 (5)【考点3】角的变换问题 (6)【分层检测】 (7)【基础篇】 (7)【能力篇】 (8)【培优篇】 (9)考试要求：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φtan φf (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φtan φ1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-2．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）．A ．38B ．18-C ．34D ．14-+3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473二、多选题6．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【考点1】公式的基本应用一、单选题1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C ．2D ．22．（2024·山东枣庄·模拟预测）在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．BC D 二、多选题3．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角α，()0πβαβ<<<的始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．N 为 AB 的中点，则下列说法中正确的是（）A ．N 点的坐标为cos ,sin 22βαβα--⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．cos 2OM βα-=C ．()1cos cos coscos 222βααβαβ+-+=D ．若αβ+的终边与单位圆交于点C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足为R ，S ，T ，则CT AR BS <+4．（2024·全国·模拟预测）已知角α的终边过点()1,2P -，则（）A ．sin cos 12sin cos αααα-=-+B ．2sin 3sin cos 2ααα-=C ．3cos25α=D ．π1tan 43α⎛⎫+=-⎪⎝⎭三、填空题5．（2024·江西鹰潭·二模）已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭.6．（2024·河北承德·二模）已知1tan 3x =，则sin sin cos3cos2cos2cos x xx x x x+=.反思提升：1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.【考点2】公式的逆用及变形一、单选题1．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（）A ．1-B ．C ．12-D ．122．（2024·江西·模拟预测）若πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=（）A ．85B ．1C ．65D ．43二、多选题3．（2024·安徽·三模）已知函数()sin f x x x =，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦D ．()f x 在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增4．（2023·全国·模拟预测）已知π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin sin sin αγβ+=，cos cos cos βγα+=，则下列说法正确的是（）A ．()1cos 2αγ+=B ．()1cos 2βγ+=-C ．π3βα-=D ．π3βα-=-三、填空题5．（2024·江西·模拟预测）已知()3cos 5αβ+=，2cos cos 5αβ=，则()cos 22αβ-=.6．（2023·四川成都·二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()tan sin tan tan 12tan tan A A B C B C -=，sin sin B C >，且sin sin sin b B c C ma A +=，则实数m 的取值范围为．反思提升：1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.【考点3】角的变换问题一、单选题1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫-= ⎝⎭（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-2．（2024·贵州贵阳·一模）已知,αβ满足ππ1tan()3,tan()6122αβ+=-=，则)tan(2αβ+=（）A ．13-B ．13C ．34D ．23二、多选题3．（23-24高三上·河南洛阳·开学考试）已知π02αβ<<<，cos 5β=，()cos 10βα-=，则（）A ．sin β=B ．()sin βα-=C ．4sin25β=D ．π4α=4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()5cos13αβ+=，()3sin 5αβ-=，则（）A ．()12sin 13αβ+=-B ．()4cos 5αβ-=C ．63sin 265α=D ．()12tan 5αβ+=三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若α是锐角，π1sin()34α-=，则cos α=．反思提升：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α－β2，π3＋α＝π2－α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝π2等.【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南·二模）若锐角,αβ满足()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B C ．13D 3．（23-24高三下·安徽六安·()0,πα∈，且3sinα4cosα5+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·江西南昌·二模）已知ππ12cos 2cos cos 312124x x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C ．78D ．78-二、多选题5．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =++的图象为C ，以下说法中正确的是（）A ．函数()f x 的最大值为12B ．图象C 关于π8,0⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D ．函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到12y x =+6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列四个式子中，计算正确的是（）A ．cos13cos17sin13sin172︒︒-︒︒B ．()sin π2sin 2+=C ．ππsincos 88=D ．22cos 22.5cos 67.52︒-︒=7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（）A ．1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒=-B ．tan24tan361tan24tan36︒︒︒-︒+=C ．ππsin1212=D ．sin1054︒=三、填空题8．（2024·广西·二模）已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.9．（2024·全国·二模）已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.10．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知33πcos ,π52θθ=-<<，则2sin sin cos 222θθθ+=.四、解答题11．（23-24高一下·北京房山·期中）设函数π()sin cos cos sin 002f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，由下列三个条件中的两个来确定：①(0)2f =-；②最小正周期为π；③06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)写出能确定函数()f x 的两个条件，并求出()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及相应的x 的值．12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数2()22cos f x x x =+．(1)求π()3f 的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()f x 的单调递增区间．【能力篇】一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（）A ．12B ．14C ．34-D ．14-二、多选题2．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A ．crd3030︒=B ．若crd 120α=，则180α=︒C ．crd α=D ．crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）三、填空题3．（2024·北京海淀·二模）已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a .四、解答题4．（2024·北京海淀·二模）已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.(1)求ω的值；(2)若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ(2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【培优篇】一、单选题1．（2024·江苏·二模）正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q-ABC 共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为α，β，则当αβ+最大时，tan()αβ+=（）A ．13-B ．23-C ．-1D ．43-二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正半轴的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为(),()x f y g θθ==，则下列说法中正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()()1f g θθ+>对于0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦恒成立C ．设()()()h f g θθθ=+，若()(0)h ωθω>在[0,]θπ∈上有且仅有3个极值点，则91344ω≤<D ．函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为2三、填空题3．（2021·浙江·模拟预测）若向量x y ，满足2212x y += ，则21||2x x y ++ 的最大值是.。

第六章数列考情探究和和2021新高考Ⅱ，12求通项公式新定义逻辑思维创新性逻辑推理【命题规律与备考策略】重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n 项和公式，考查错位相减、裂项相消等求和方法.有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查化归与转化思想，运算求解能力.第一讲数列的概念与简单表示法知识梳理知识点一数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n }的第n 项a n 通项公式数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表达，这个公式叫做数列{a n }的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列{a n }的前n 项和知识点二数列的表示方法列表法列表格表示n 与a n 的对应关系图象法把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法知识点三a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ，n ≥2.知识点四数列的分类归纳拓展1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点.2．常见数列的通项公式(1)自然数列：1,2,3,4，…，a n ＝n .(2)奇数列：1,3,5,7，…，a n ＝2n －1.(3)偶数列：2,4,6,8，…，a n ＝2n .(4)平方数列：1,4,9,16，…，a n ＝n 2.(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，a n ＝2n .(6)乘积数列：2,6,12,20，…，a n ＝n (n ＋1).(7)正整数的倒数列：1，12，13，14，…，a n ＝1n .(8)重复数串列：9,99,999,9999，…，a n ＝10n －1.(9)符号数列：－1,1，－1,1，…，或1，－1,1，－1，…，a n ＝(－1)n 或a n ＝(－1)n ＋1.3．在数列{a n }中，若a n n ≥a n －1，n ≥a n ＋1，(n ≥2，n ∈N ＋)；若a n 最小，n ≤a n －1，n ≤a n ＋1，(n ≥2，n ∈N ＋).双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都可以用公式表示出来.(×)(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√)(3)数列的项与项数是同一个概念.(×)(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对于任意n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.(×)[解析](1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误.(2)比如数列1,0,1,0，…的通项公式为：a n ＝|sinn π2|或a n ＝|cos(n －1)π2|或a n ＝1－(－1)n2，所以正确.(3)数列{a n }中第n 项a n ，其中n 为项数，a n 为项.(4)由数列前n 项和的定义可知，当n ∈N *，且n ≥2都有a n ＝S n －S n －1，而n ＝1时a 1＝S 1，所以不正确.题组二走进教材2．(选修2P 5T4改编)数列1，－34，23，－58，35，…的通项公式可能是(C )A.a n ＝(－1)n －1n ＋12nB ．a n ＝(－1)n n ＋12nC.a n ＝(－1)n －1n ＋12nD ．a n ＝(－1)nn ＋12n[解析]将数列1，－34，23，－58，35，…变为22，－34，46，－58，610，…，找出规律，即可求解.将数列1，－34，23，－58，35，…变为22，－34，46，－58，610，…，则分母的规律为2n ，分子的规律为n ＋1，在结合正负的调节，可知其通项为a n ＝(－1)n－1n ＋12n.故选C.3．(选修2P 8T2改编)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则32是数列的(C )A.第4项B ．第5项C.第6项D ．第7项[解析]由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝a 2＋2a 1＝4，a 4＝a 3＋2a 2＝8，a 5＝a 4＋2a 3＝16，a 6＝a 5＋2a 4＝32.故选C.4．(选修2P 8T3改编)下列数列是递减数列的是(B )A.a n ＝n －2nB ．a n ＝12nC.a n ＝－n 2＋4n D ．a n ＝|n －4|[解析]根据数列的函数的性质判断即可.a n ＝n －2n ＝1－2n 为递增数列，故A错误；a n ＝12n 为递减数列，故B 正确；a n ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，先增后减数列，故C 错误；a n ＝|n －4|，先减后增数列，故D 错误.故选B.5．(选修2P 9T5改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝124.[解析]a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.题组三走向高考6．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1α1，b 2＝1＋1α1＋1α2，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1,2，…).则(D )A.b 1<b 5B ．b 3<b 8C.b 6<b 2D ．b 4<b 7[解析]解法一：当n 取奇数时，由已知b 1＝1＋1α1，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，因为1α1>1α1＋1α2＋1α3，所以b 1>b 3，同理可得b 3>b 5，b 5>b 7，…，于是可得b 1>b 3>b 5>b 7>…，故A 不正确.当n 取偶数时，由已知b 2＝1＋1α1＋1α2，b 4＝1＋1α1＋1α2＋1α3＋1α4为1α2>1α2＋1α3＋1α4，所以b 2<b 4，同理可得b 4<b 6，b 6<b 8，…，于是可得b 2<b 4<b 6<b 8<…，故C 不正确，因为1α1>1α1＋1α2，所以b 1>b 2，同理可得b 3>b 4，b 5>b 6，b 7>b 8，又b 3>b 7，所以b 3>b 8，故B 不正确.故选D.解法二(特殊值法)：不妨取αk ＝1，则b 1＝1＋11＝2，b 2＝1＋11＋11＝1＋1b 1＝1＋12＝32，b 3＝1＋11＋11＋11＝1＋1b 2＝1＋23＝53，所以b 4＝1＋1b 3＝1＋35＝85，b 5＝1＋1b 4＝1＋58＝138，b 6＝1＋1b 5＝1＋813＝2113，b 7＝1＋1b 6＝1＋1321＝3421，b 8＝1＋1b 7＝1＋2134＝5534.逐一判断选项可知选D.7．(2020·浙江，11,4分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数.n ∈N *)的前3项和是10.[解析]的前三项依次为1×22＝1，2×32＝3，3×42＝6，∴所求和为1＋3＋6＝10.由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式a n .(1)－1,7，－13,19，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)5,55,555,5555，…；(4)1,0，13，0，15，0，17，0，…；(5)32，1，710，917，….[解析](1)符号可通过(－1)n 或(－1)n ＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2)观察各项的特点：每一项都比2的n 次幂多1，所以a n ＝2n ＋1.(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).(4)把原数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此原数列的一个通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12n.(5)将原数列改写为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，故可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.名师点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.2．具体策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一.由a n与S n的关系求通项公式——多维探究角度1已知S n求a n问题1.若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n，则此数列的通项公式为a n＝2n －11.[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以a n＝2n－11.故填2n－11.2．若数列{a n}的前n项和S n＝2n＋1，则此数列的通项公式为a n＝3(n＝1)，2n－1(n≥2).[解析]当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.综上有a n 3(n＝1)，2n－1(n≥2).3(n＝1)，2n－1(n≥2).3．(2023·福州质检)已知数列{a n}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝n2，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为a n＝12n(n∈N*).[解析]∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝n2，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝n－1 2，②①－②得，2n－1a n＝12，∴a n＝12n(n≥2)，③又∵a1＝12也适合③式，∴a n＝12n(n∈N*).角度2由S n与a n的关系求a nS n是各项均为正数的数列{a n}的前n项和，且S n＝a2n＋12a n－14，则a n＝(A)A.n＋72B．n＋3C.n＋92D．n＋83[解析]由题得S n＝a2n＋12a n－14，S n－1＝a2n－1＋12a n－1－14(n≥2)，两式相减得a n＝a2n－a2n－1＋12a n－12a n－1(n≥2)，所以a2n－a2n－1－12a n－12a n－1＝0(n≥2)，所以(a n－a n－1)(a n＋a n－1)－12(a n＋a n－1)＝0(n≥2)，所以(a n＋a n－1)·(a n－a n－1)－12＝0(n≥2).因为数列各项均为正数，所以a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1－12＝0(n≥2)，所以a n－a n－1＝12(n≥2)，所以数列{a n}是以a1为首项，以12为公差的等差数列.令n＝1得a1＝a21＋12a1－14，解得a1＝4或－72(舍去)，所以a n＝4＋12(n－1)＝n＋72.故选A.名师点拨：已知S n求a n的一般步骤1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值.2．当n≥2时，由a n＝S n－S n－1，求得a n的表达式.3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示a n.4．写出a n的完整表达式.S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.1．利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式.2．利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.【变式训练】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n ＋1)＝n＋1，则数列{a n}的通项公式(B)A.a n ＝2nB ．a n ，n ＝1，n ，n ≥2C.a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1[解析]由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n，n ≥2.故选B.2．(角度2)(2023·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式为(B )A.a n ＝2n －1B ．a n ＝2n －1C.a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1[解析]当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n－2a n －1，∴a n ＝2a n －1.因此a n ＝2n －1(n ≥2).又n ＝1时，2n －1＝1＝a 1，∴a n ＝2n －1.故选B.3．(角度1)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3.则a n ＝13n .[解析]因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2).由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .用累加法、累乘法求通项公式——多维探究角度1形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n(2024·河南师大附中月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋12n ，a 1＝1，则a n＝2－12n －1.[解析]由题意知a n －a n －1＝12n －1∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝12n －1＋12n －2＋…＋12＋1＝1－12n 1－12＝2－12n －1.角度2形如a n ＋1＝a n f (n )，求an已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(n ＋2)n ＋1a n ，则{a n }的通项公式为_(n ＋1)·2n－1__.[解析]因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(n ＋2)n ＋1a n ，则a n ＋1a n＝2(n ＋2)n ＋1，所以，当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a3a 2·…·a n a n －1＝2×2×32×2×43×…×2(n ＋1)n ＝(n ＋1)·2n －1，a 1＝2也满足a n ＝(n ＋1)·2n －1，所以，对任意的n ∈N *，a n ＝(n ＋1)·2n －1.名师点拨：1．累加法求通项公式如果数列{a n }的递推公式满足a n ＋1－a n ＝f (n )的形式，且f (n )可求和，那么就可以运用累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1(n ≥2)，求出数列{a n }的通项公式.2．累乘法求通项公式如果数列{a n }的递推公式满足a n ＋1a n＝f (n )(a n ≠0)的形式，且f (n )可求积，那么就可以运用累乘法a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1(n ≥2)，求出数列{a n }的通项公式.【变式训练】根据下列条件，写出数列{a n }的通项公式：(1)(角度1)若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n ＝n 2－2n ＋2；(2)(角度2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则a n ＝2n ＋1.[解析](1)∵a n ＋1＝a n ＋2n －1，∴当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，∴a n－a1＝(1＋2n－3)(n－1)2＝(n－1)2，∴a n＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n＝1时符合上式.∴a n＝n2－2n＋2.(2)∵na n－1＝(n＋1)a n，∴a na n－1＝nn＋1，又a1＝1，∴a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·n－2n－1 (2)3＝2n＋1.数列的函数性质——多维探究角度1数列的周期性在数列{a n}中，a n＋1a n，a n<12，a n－1，a n≥12，若a1＝45，则a2025的值为(A)A.45B．35C．25D．15[解析]a1＝45>12，∴a2＝2a1－1＝35>12，∴a3＝2a2－1＝15<12，∴a4＝2a3＝25<12，∴a5＝2a4＝45，…可以看出数列的周期为4，故a2025＝a4×506＋1＝a1＝45.角度2数列的单调性已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋k2n，若数列{a n}为递减数列，则实数k 的取值范围为(D )A.(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C.(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞).故选D.角度3数列的最大(小)项问题(2023·衡水联考)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n＝2，则an n 的最小值为(C )A.293B ．47－1C.485D ．274[解析]由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a66＝293，故选C.名师点拨：1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.3．求数列中最大(小)项的方法：(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式n ≥a n －1n ≥a n ＋1n ≤a n －1n ≤a n ＋1n 的值，进而求得a n 的最值.【变式训练】1．(角度1)(2022·广州四校联考)数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝11－a n(n∈N*)，则a2025等于(D)A.－2B．－1C．2D．12[解析]∵数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝11－a n(n∈N*)，∴a2＝11－2＝－1，a3＝11－(－1)＝1 2，a4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即a n＋3＝a n，则a2025＝a3＝12.2．(角度2)(2024·滕州模拟)设数列{a n}的通项公式为a n＝n2＋bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(B)A.[1，＋∞)B．(－3，＋∞)C.[－2，＋∞)D－92，＋∞[解析]∵数列{a n}是单调递增数列，∴对任意的n∈N*，都有a n＋1>a n，∴(n ＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又n＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即实数b的取值范围为(－3，＋∞).故选B.3．(角度3)已知数列{a n}，a n＝n－1n2＋4n－1，则下列说法正确的是(B)A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a3C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2[解析]令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，则y＝tt2＋6t＋4，当t＝0时，y＝0，当t>0时，y＝1t＋4t＋6≤12t·4t＋6＝110，当且仅当t＝2，即n＝3时，取等号，所以数列{a n}有最大项a3，有最小项a1.故选B.递推数列的通项公式的求法热点一a n＋1＝Aa n＋B(A、B为常数)型(2024·西北师大附中调研)已知数列{a n}满足a1＝－2，且a n＋1＝3a n＋6，则a n＝3n－1－3.[解析]∵a n＋1＝3a n＋6，∴a n＋1＋3＝3(a n＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{a n＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n＋3＝3n－1，∴a n＝3n－1－3.[名师点拨]形如a n＋1＝Aa n＋B(其中A，B均为常数，AB(A－1)≠0)，可把原递推公式转化为a n＋1－t＝A(a n－t)，其中t＝B1－A，再利用换元法转化为等比数列求解.热点二a n＋1＝Aa nBa n＋C(A、B、C为常数)型已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*).[解析]∵a n＋1＝2a na n＋2，a1＝1，∴a n≠0，∴1a n＋1＝1a n＋12，即1a n＋1－1a n＝12，又a1＝1，则1a1＝1，1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴a n＝2n＋1(n∈N*).名师点拨：形如a n＋1＝Aa nBa n＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.热点三an＋1＝pa n＋f(n)(p为常数)型(1)在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝4a n－3n＋1，n∈N*，则a n＝4n－1＋n.(2)若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3n，n∈N*，则a n＝3n－2n.[分析]观察递推式特征：a n＋1＝pa n＋f(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设a n＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(a n＋λn＋μ)，整理得a n＋1＝4a n＋3λn＋(3μ－λ)λ＝－3，μ－λ＝1，＝－1，＝0转化成功.[解析](1)∵a n＋1＝4a n－3n＋1，∴a n＋1－(n＋1)＝4(a n－n)，即a n＋1－(n＋1)a n－n＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{a n－n}是首项为1，公比为4的等比数列，∴a n－n＝4n－1.∴a n＝4n－1＋n.(2)解法一：∵a n＋1＝2a n＋3n，令a n＋1＋λ·3n＋1＝2(a n＋λ·3n)比较系数得λ＝－1.∴a n＋1－3n＋1＝2(a n－3n)，即a n＋1－3n＋1a n－3n＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{a n－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴a n－3n＝－2n，∴a n＝3n－2n.解法二：∵a n＋1＝2a n＋3n，∴a n＋13n＝23·a n3n－1＋1，∴a n＋13n－3a1＝1，2，公比为23的等比数列，∴a n3n －1－3＝－－1，∴a n ＝3n －2n .名师点拨：1．形如a n ＋1＝pa n ＋An ＋B (p 、A 、B 为常数)的类型，可令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝p (a n ＋λn ＋μ)，求出λ、μ的值即可知{a n ＋λn ＋μ}为等比数列，进而可求a n .2．形如a n ＋1＝pa n ＋Aq n (p 、A 为常数)的类型.当p ≠q 时，可令a n ＋1＋λq n ＋1＝p (a n ＋λq n )，求出λ的值即可知{a n ＋λq n }是等比数列，进而可求a n ，当p ＝q 时可化为a n ＋1q n ＝a n q n －1＋A 即a n ＋1qn －a n q n －1＝A (常数)a n .【变式训练】在数列{a n }中，(1)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝2×3n －1－1.(2)a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝12n －1；(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n －3n ，n ∈N *，则a n ＝－5·2n －1＋3n ＋3；(4)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3·2n ，n ∈N *，则a n ＝(3n －2)·2n －1.[解析](1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴{a n ＋1}是首项为2公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.(2)将a n ＝a n －12a n －1＋1两边取倒数，得1a n －1a n －1＝2，首项是1a 1＝1，公差为2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，即a n ＝12n －1.(3)∵a n ＋1＝2a n －3n ，令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝2(a n ＋λn ＋μ)，＝－3，－λ＝0，即＝－3，＝－3，∴a n ＋1－3(n ＋1)－3＝2(a n －3n －3).又a 1＝1，∴{a n －3n －3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴a n －3n －3＝－5·2n－1∴a n ＝－5·2n －1＋3n ＋3.(4)∵a n ＋1＝2a n ＋3·2n ，∴a n ＋12n －a n2n －1＝3，又a 1＝1，1，公差为3的等差数列，∴a n 2n －1＝1＋3(n －1)，∴a n ＝(3n －2)·2n －1.提能训练练案[35]A 组基础巩固一、单选题1．(2023·河北省“五个一”名校联盟高三上学期数学摸底试卷)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是a n ＝(C )A.n 2－n ＋22B ．n 2－n C.n 2＋n 2D ．2n 2－n[解析]因为数列1,3,6,10，…的前n 项可写为1×22，3×22，3×42，…则可知其一个通项公式是n (n ＋1)2，也可以通过验证法排除得到选项C.2．已知数列6，10，14，32，22，…，则52是这个数列的(B )A.第11项B ．第12项C.第13项D ．第14项[解析]根据题意，归纳数列的通项公式，进而可得a n ＝4n ＋2＝52，解可得答案.根据题意，数列6，10，14，32，22，…，则通项公式a n ＝4n ＋2，若a n ＝4n ＋2＝52，解可得n ＝12，即52是这个数列的第12项，故选B.3．(2023·安徽淮南一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和.若a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则S 2025＝(B )A.20132B ．20252C.20272D ．20242[解析]在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，以此类推可知，对任意的n ∈N *，a n ＋3＝a n ，即数列{a n }是以3为周期的周期数列.又2025＝3×675，因此S 2025＝675S 3＝6751＋＝20252.故选B.4．若数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n ＝2a n －1，则a 5＝(D )A.32B ．132C ．－116D ．－16[解析]方法一：因为3S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，3S n －1＝2a n －1－1，两式作差得3a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝－2a n －1(n ≥2)，又当n ＝1时，3S 1＝2a 1－1，所以a 1＝－1，所以数列{a n }是以－1为首项，－2为公比的等比数列.所以a n ＝－1×(－2)n －1，则a 5＝－1×(－2)5－1＝－16.故选D.方法二：因为3S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，3S n ＝2(S n －S n －1)－1，整理得S n ＝－2S n －1－1(n ≥2)，即S n ＋13＝－n －1n ≥2)，又当n ＝1时，3S 1＝2a 1－1，所以S 1＝－1，所以S 1＋13＝－23，所以数列n 是以－23为首项，－2为公比的等比数列.所以S n ＋13＝－23×(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13，则a 5＝S 5－S 4＝－23×[16－(－8)]＝－16.故选D.5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋a n 等于(A )A.2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝·n －1n －2·…2＝ln n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2也符合上式.综上，a n ＝ln n ＋2.6．(2023·辽宁沈阳交联体期中)已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是(C )A.a n ＝2n －1B ．a n －1C.a n ＝nD ．a n ＝n 2[解析]解法一：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，a n ＋1n ＋1＝a nn ，常数列，即a n n ＝a11＝1，所以a n ＝n .故选C.解法二：当n ＝1时，a 1＝a 2－a 1，∴a 2＝2，否定A 、B 、D ，故选C.7．数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋90n ，则数列{a n }中的最小项是(B )A.310B ．19C ．119D ．1060[解析]令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝n ＋90n ，所以n ＋90n ≥290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝19最小，故选B.8．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第(C )A.22项B ．23项C.24项D ．25项[解析]两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项.故选C.二、多选题9．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是(ABD )A.a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数C.a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋110．(2022·潍坊一模)已知数列{a n }的通项公式为a n n ＋1，n 为奇数，－2n ，n 为偶数，则(BC )A.a 6＝19B ．a 7>a 6C.S 5＝22D ．S 6>S 5[解析]因为a n n ＋1，n 为奇数，－2n ，n 为偶数，所以a 1＝4，a 2＝－2，a 3＝10，a 4＝－6，a 5＝16，a 6＝－10，a 7＝22，所以A 错误，B 正确；S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C 正确；因为a 6＝－10，所以S 6－S 5＝a 6<0，所以S 6<S 5，故D 错误，故选BC.11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *).则下列说法正确的是(BC )A.这个数列的第10项为2731B.97100是该数列中的项C.数列中的各项都在区间14，D.数列{a n }是单调递减数列[解析]a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得a 10＝2831，故选项A 不正确；令3n －23n ＋1＝97100，得n ＝33，故97100是该数列中的第33项，故选项B 正确；因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以数列{a n }是单调递增数列，所以14≤a n <1，所以数列中的各项都在区间14，C 正确，选项D 不正确.故选BC.三、填空题12．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝.[解析]当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n －5，n ≥2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝1，S 5＝121.[解析]解法一：1＋a 2＝4，2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝n n 是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，所以S 5＝121.解法二：1＋a 2＝42＝2a 1＋11＝12＝3，又a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＋2＝2S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝3，又a 2a 1＝3，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝3n，∴S n ＝3n －12，∴S 5＝121.14．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝8164.[解析]∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164.四、解答题15．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，求数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有a n＋1>a n，求实数k的取值范围.[解析](1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因为n∈N*，所以n＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.因为a n＝n2－5n＋4－9 4，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，a n有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由a n＋1>a n，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2<32，解得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).16．已知在数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n＝n＋23a n.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式.[解析](1)由S2＝43a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有a n＝S n－S n－1＝n＋23a n－n＋13a n－1，整理，得a n＝n＋1n－1a n－1，于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，…，a n－1＝nn－2a n－2，a n＝n＋1n－1a n－1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得a n＝n(n＋1)2，经检验n＝1时，也满足上式.综上，{a n}的通项公式a n＝n(n＋1)2.B组能力提升1．设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝(－1)n a n＋12n，则S1＋S3＋S5＝(D)A.0B．1764C．564D．2164[解析]数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝(－1)n a n＋12n，当n为偶数时，S n＝S n－S n－1＋12n，即有S n－1＝12n，所以S1＋S3＋S5＝14＋116＋164＝2164.故选D.2．(2022·辽宁省实验中学模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a n＝(C)A.2n B．2n－1C．2n D．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n －1＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，∴数列{a n}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为a n＝2n.故选C.3．(多选题)下列四个命题中，正确的有(ABD)A.k项为1＋1kB.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D.数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列[解析]对于Ak 项为1＋1k ，A 正确；对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确.4．(多选题)在数列{a n }中，a n ＝(n＋，则数列{a n }中的最大项可以是(AB )A.第6项B ．第7项C.第8项D ．第9项[解析]假设a n n ≥a n ＋1，n ≥a n －1，n ＋1≥(n ＋2)78n ＋1，n ＋1≥n－1，1≥78(n ＋2)，n ＋1)≥n ，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项.5．已知数列{a n }满足：a n 3－a )n －8，n ≤6，n －6，n >6，(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a的取值范围是(C )A.(2,3)B ．[2,3)D ．[2,3][解析]根据题意，由数列的通项公式和数列的函数特性分析可得－a>0，>1，(3－a)－8<a7－6，解可得a的取值范围，即可得答案.根据题意，数列{a n}满足：a n＝3－a)n－8，n≤6，n－6，n>6，(n∈N*)，且数列{a n}是递增数列，必有－a>0，>1，(3－a)－8<a7－6，解可得107<a<3，即aC.6．(2024·江西省婺源天佑中学高三上学期)若数列{a n}满足a n＋1＝|cos nπ2|－n＋2n，则a1＋a2＋…＋a8＝(B)A.28B．32C．36D．40[解析]由a n＋1|cos nπ2|－n＋2n可得，a2＝－a1＋2，a3＝a2＋4＝－a1＋6，a4＝－a3＋6＝a1，a5＝a4＋8＝a1＋8，a6＝－a5＋10＝－a1＋2，a7＝a6＋12＝－a1＋14，a8＝－a7＋14＝a1.所以a1＋a2＋…＋a8＝32，故选B.7．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1，求数列{b n}的通项公式.[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n －1)n＝2n，∵a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)∵a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1(n≥1)，①∴a n＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1＋b n＋13n＋1＋1.②②－①，得b n＋13n＋1＋1＝a n＋1－a n＝2，b n＋1＝2(3n＋1＋1).故b n＝2(3n＋1)(n∈N*).。

考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a n＝2n2－n.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用A ．39B ．20C ．19D ．10B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n－34n－3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A.2945 B.1329 C.919 D.1930 C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：。

§2.7函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？提示 f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是__________．提示g(x)＝2b－f (2a－x)题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × )(3)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f (x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．函数f (x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()答案 A解析依题意，得函数定义域为R，且f (－x)＝ln(x2＋1)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，即函数f (x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f (x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A. 6．将函数f (x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．答案y＝(2x＋3)2作函数的图象分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．函数图象的辨识例1(1)(2019·甘肃、青海、宁夏回族自治区联考)函数f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为()答案 B解析∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f (x)<0，排除A，C.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为()答案 B作关于y轴对称的图象解析y＝f (x)――――――――→向右平移2个单位y＝f (－x)――――――――→作关于x轴对称的图象y＝f (2－x)――――――――→y＝－f (2－x)．选B.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( )答案 A解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合． (2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设y ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 画出y ＝max{2x ,2x －3,6－x }的示意图，如图所示．由图可知，y 的最小值为22＝6－2＝4，故选C.命题点2 确定零点个数、解不等式例3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.对本例中函数f (x )，不等式f (x )≤1的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝0或110≤x ≤10 解析 由图象可知f (0)＝1，当110≤x ≤10时，f (x )≤1.∴不等式f (x )≤1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝0或110≤x ≤10. 命题点3 求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 如图作出函数f (x )的图象，当－1≤k<1时，2直线y＝kx的图象恒在函数y＝f (x)的下方．思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案 C解析画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是______．答案(－1,0)解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．(3)设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．x2ln|x|1．函数y＝|x|的图象大致是()答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，13log x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析 方法一 先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，13log x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.方法二 由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x ，x ≥0，13log (1)x － ，x <0，故该函数过点(0,3)，排除A ；过点(1,1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.3．将函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1 D ．e－x －1答案 D解析 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴y ＝f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.5．(2019·成都诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.6．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案 C解析 由f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0.当x ＝0时，f (0)＝bc 2>0，所以b >0，当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－ba >0.所以a <0，选C.7．已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________． 答案 3解析 y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是__________． 答案 (2,2 021)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020， 所以2<a ＋b ＋c <2 021.9．函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g (x )的定义域为[－1,2]，图象如图2所示，若集合A ＝{x |f (g (x ))＝0}，B ＝{x |g (f (x ))＝0}，则A ∩B 中元素的个数为________．答案 3解析 由图可知，当f (x )＝0时，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，由g (x )＝－1，g (x )＝0，g (x )＝1得，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，x ＝2，即A ＝{－1,0,1,2}，当g (x )＝0时，x ＝0，x ＝2，由f (x )＝0，f (x )＝2得，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，所以B ＝{－1,0,1}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}，所以A ∩B 中有3个元素．10．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)． 记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象在[－1,3]内有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.11．设a 为实数，且1<x <3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数． 解 原方程即a ＝－x 2＋5x －3.作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋134(1<x <3)的图象，得当a>134或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a＝134或1<a≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3<a<134时，原方程的实数解的个数为2.综上，a>134或a≤1时有0个解；a＝134或1<a≤3时有1个解；3<a<134时有2个解．12．已知函数f (x)＝2x，x∈R.(1)当实数m取何值时，方程|f (x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f (x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．解(1)令F (x)＝|f (x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F (x)的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F (x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个实数解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )答案 B解析 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x )的图象；∵函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数， ∴函数f (x －1)的图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，1)解析 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．15．函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题：①函数y＝f (x)一定是偶函数；②函数y＝f (x)可能是奇函数；③函数y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增；④若y＝f (x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)．其中正确的序号为________．(把所有正确的序号都填上)答案②解析由题意可得，函数y＝f (x)的图象是双曲线x2－y2＝1的一部分．由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；由图(2)(4)可知函数y ＝f (x )可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误； 由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误． 综上可知，填②.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．解 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞.。