考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习讲义

直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。

当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。

二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。

(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。

若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。

练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。

( )（2）任何直线都有斜率。

( )（3）过点得直线得倾斜角就是。

( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。

2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。

4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。

( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。

( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。

第三章 直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称 方程 适用条件 参数几何意义 斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率 点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

专题9.1直线与直线方程（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠o的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即tankα＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l与x轴平行或重合时,0α=o, tan00k==o.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x≠，，，的直线的斜率公式为2121y ykx x--＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k之间的大小变化关系：（1）当[0,)2πα∈时，0,kα>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,kα<越大，斜率越大.【典例1】（2019·北京高二学业考试）已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【典例2】（2019·北京高考模拟（文））已知A （2，3），B （﹣1，2），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则3yx -的最大值为（ ） A ．1 B ．35C ．12-D ．﹣3【总结提升】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用tan k α=求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；4.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．热门考点02 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=-. 【典例3】（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭【典例4】（2019·吉林高二月考（文））求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为4，在y 轴上的截距为2-.(2)()5,3A . 【总结提升】1．求直线方程的常用方法：（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离． 2.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．热门考点03 两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【典例5】（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【典例6】（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．热门考点04 距离问题1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP =2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =.【典例7】（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【典例8】（2019·吉林高二月考（文））已知点(14)M ，到直线10l mx y ：＋－＝的距离等于1，则实数m 等于（ ）A ．34B ．34-C ．43-D ．43【总结提升】 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．热门考点05 两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合．【典例9】（2018·上海市奉贤中学高二期中）已知对于任意的m R ∈，直线()1210m x y m --++=都经过一个定点，则该定点的坐标为___________【典例10】（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B．1122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C．1123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【总结提升】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．热门考点06 对称问题1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 【典例11】（河北高考模拟（文））若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点（ ） A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(2,4)-D ．(4,2)-【典例12】（2019·河北高考模拟（理））设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点，点(2,0)A -，()2,0B ，则||||PA PB +的最小值为（ ） A．BC．D【总结提升】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的2=0C 的值（注意这里求出的0C 有两个），再结合图形可求得对称直线l '的方程．3．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，则在直线:0l Ax By C ++=上取两点，求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．巩固提升1.（2019·吉林高二月考（文））直线30x y ++=与直线230x y -+=的交点坐标为（ ） A ．()3,0-B ．()2,3--C ．()0,1D ．()1,0-2．（2013·辽宁高考真题（理））已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a ABC 若为直角三角形则必有∆（ ）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 3．（全国高考真题（文））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）. A ．3B ．2C ．D ．4．（2019·北京高二学业考试）直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+B ．112y x =+ C ．112y x =-- D ．21y x =-5．（2018·北京高二学业考试）已知直线l 经过点O （0，0），且与直线垂直，那么直线l 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2018·北京高二学业考试）如果直线与直线平行，那么实数k 的值为 A ．B ．C ．D ．37．（2019·辽宁高考模拟（理））当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．18．（2019·重庆高二月考）直线220x ay +-=与(1)30a x ay --+=平行，则a 的值为（ ） A ．1B ．12或0 C ．12D ．09．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________.10．（浙江高考真题（文））若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 11．（上海高考真题（理））已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 12．（2019·湖南高二学业考试）经过点(,3)P m -，(1,)Q m 的直线的斜率为3，则实数m =________. 13．（2019·上海市第二中学高二期中）已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件14．（2019·上海市第二中学高二期中）点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=的距离为10，则c =________.15．（2019·吉林高二月考（文））已知点()2,2A 和直线34200l x y ：＋－＝. (1)求过点A ，且和直线l 平行的直线方程； (2)求过点A ，且和直线l 垂直的直线方程.16．（2018·上海市川沙中学高二期中）已知直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行，且和两坐标轴的正半轴相交.（1）若直线1l 与直线2l 之间的距离为5，求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线1l 的方程.专题9.1直线与直线方程（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠o的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=o, tan 00k ==o. ②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.【典例1】（2019·北京高二学业考试）已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A.【典例2】（2019·北京高考模拟（文））已知A （2，3），B （﹣1，2），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则3y x -的最大值为（ ） A ．1 B ．35C ．12-D ．﹣3【答案】C 【解析】设Q （3，0），则k AQ 3023-==--3，k BQ 201132-==---， ∵点P （x ，y ）是线段AB 上的任意一点，∴3y x -的取值范围是[﹣3，12-]， 故则3y x -的最大值为12-，故选：C ．【总结提升】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用tan k α=求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；4.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．热门考点02 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=-.【典例3】（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ） A ．（1，0） B ．（0，1）C ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】将选项A 代入直线方程210x y +-=，检验满足题意； 将选项B 代入直线方程210x y +-=，检验不满足题意； 将选项C 代入直线方程210x y +-=，检验不满足题意； 将选项D 代入直线方程210x y +-=，检验不满足题意,故选A .【典例4】（2019·吉林高二月考（文））求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为4，在y 轴上的截距为2-.(2)()5,3A . 【答案】(1)420x y －－＝30y -+-= 【解析】(1)由所求直线的斜截式方程可得所求直线方程为：42y x =-， 再化为一般式方程得：420x y －－＝， 故所求直线的一般式方程为：420x y －－＝.(2) 由所求直线的点斜式方程可得所求直线方程为：35)y x -=-，30y -+-=，30y -+-=. 【总结提升】1．求直线方程的常用方法：（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离． 2.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．热门考点03 两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【典例5】（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．【典例6】（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．热门考点04 距离问题1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP =2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =.【典例7】（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【典例8】（2019·吉林高二月考（文））已知点(14)M ，到直线10l mx y ：＋－＝的距离等于1，则实数m 等于（ ） A ．34B ．34-C ．43-D ．43【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式可得：点(14)M ，到直线10l mx y ：＋－＝的距离d ==，由1=，解得：43m =-，故选：C. 【总结提升】 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．热门考点05 两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合．【典例9】（2018·上海市奉贤中学高二期中）已知对于任意的m R ∈，直线()1210m x y m --++=都经过一个定点，则该定点的坐标为___________ 【答案】(2,3)- 【解析】∵()1210m x y m --++=， ∴(2)10x m x y +--+=，∵对于任意的m R ∈，直线()1210m x y m --++=都经过一个定点，由2010x x y +=⎧⎨--+=⎩，得23x y =-⎧⎨=⎩∴该定点的坐标为(2,3)-．故答案为：(2,3)-．【典例10】（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．21122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜． ③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2． 两边开方可得2（1﹣b ）21a =-＜1，∴1﹣b 2，化简可得 b ＞122-， 故有122-b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是 2112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ． 【总结提升】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．热门考点06 对称问题1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 【典例11】（河北高考模拟（文））若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点（ ） A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(2,4)- D ．(4,2)-【答案】B 【解析】直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).【典例12】（2019·河北高考模拟（理））设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点，点(2,0)A -，()2,0B ，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．210 B ．26C ．25D ．10【答案】A 【解析】依据题意作出图像如下：设点()2,0B 关于直线l 的对称点为()1,B a b ，则它们的中点坐标为：2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，且1PB PB =由对称性可得：()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得：4a =，2b =所以()14,2B因为1||||||||PA PB PA PB +=+，所以当1,,A P B 三点共线时，||||PA PB +最大 此时最大值为1AB ==故选：A 【总结提升】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x xB ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的2=0C 的值（注意这里求出的0C 有两个），再结合图形可求得对称直线l '的方程．3．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，则在直线:0l Ax By C ++=上取两点，求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．巩固提升1.（2019·吉林高二月考（文））直线30x y ++=与直线230x y -+=的交点坐标为（ ） A ．()3,0-B ．()2,3--C ．()0,1D ．()1,0-【答案】A 【解析】 联立两直线方程30230x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得3x y =-⎧⎨=⎩，故两直线的交点坐标为()3,0-，故选：A.2．（2013·辽宁高考真题（理））已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a ABC 若为直角三角形则必有∆A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C 【解析】若A 为直角，则A ，B 两点的纵坐标相等，可得b ＝a 3；若B 为直角，则k OA ·k AB ＝－1，可得b －a 3－1a＝0，若O 为直角顶点显然不合题意，故选C.3．（全国高考真题（文））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）. A ．3 B ．2C ．D ．【答案】A 【解析】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A.4．（2019·北京高二学业考试）直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．112y x =+ C ．112y x =-- D ．21y x =-【答案】D 【解析】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-，所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-， 故选：D.5．（2018·北京高二学业考试）已知直线l 经过点O （0，0），且与直线垂直，那么直线l 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 直线l 与直线垂直，直线l 的斜率为， 则，即故选：C ．6．（2018·北京高二学业考试）如果直线与直线平行，那么实数k 的值为 A ．B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】 直线与直线平行，，经过验证满足两条直线平行．故选：D ．7．（2019·辽宁高考模拟（理））当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3 B ．0C ．1-D ．1【答案】C 【解析】直线120mx y m -+-=可化为()21y m x =-+，故直线过定点()2,1Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故2111,132PQ m k m m m -⋅=⋅=⋅=-=--，故选C. 8．（2019·重庆高二月考）直线220x ay +-=与(1)30a x ay --+=平行，则a 的值为（ ） A ．1B ．12或0 C ．12D ．0【答案】B【解析】直线220x ay +-=与(1)30a x ay --+=，当两条直线的斜率不存在时，即0a =，此时，两条直线方程分别为2x =和3x =，满足题意，当两条直线的斜率存在时， 由两直线平行，得13122a a a --=≠-， 解得12a =， 综上，满足题意的a 的值为0或12. 故选：B. 9．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________. 【答案】 【解析】利用两平行线间的距离公式得. 10．（浙江高考真题（文））若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______【答案】1【解析】121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴= 11．（上海高考真题（理））已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为【答案】23-【解析】两直线平行则斜率相等，所以23m -=，解得23m =- 12．（2019·湖南高二学业考试）经过点(,3)P m -，(1,)Q m 的直线的斜率为3，则实数m =________.【答案】3-【解析】由题意得：331m m-=+，解得：3m =- 本题正确结果：3-13．（2019·上海市第二中学高二期中）已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件【答案】充分不必要【解析】因为5k =时,直线1:210l x y -+=,直线2:4230l x y -+=,即1:21l y x =+,斜率12k =,纵截距11b =;23:22l y x =+,斜率22k = ,纵截距232b =, 因为12k k =,12b b ≠,所以12l l //,即“5k =”能够推出“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行, 因为3k =时,1:1l y =- ,23:2l y =,此时也有12l l //, 所以由12l l //可能推出3k =,不一定推出5k =,所以“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.14．（2019·上海市第二中学高二期中）点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =________.【答案】9-或11【解析】由点到直线的距离公式可得点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=的距离为,d ==,=,化简得,|1|10c -=, 所以110c -=或110c -=-,解得11c =或9c =-.故答案为9-或11.15．（2019·吉林高二月考（文））已知点()2,2A 和直线34200l x y ：＋－＝. (1)求过点A ，且和直线l 平行的直线方程；(2)求过点A ，且和直线l 垂直的直线方程.【答案】(1) 34140x y ＋－＝ (2) 4320x y －－＝【解析】(1)因为所求直线与34200l x y -：+＝平行， 所以设所求直线方程为340x y m ++＝.又因为所求直线过点()2,2A ，所以32420m ⨯+⨯+＝， 所以14m ＝－，故所求直线方程为34140x y +-＝.(2)因为所求直线与直线34200l x y -：+＝垂直， 所以设所求直线方程为430x y n -+＝.又因为所求直线过点()2,2A ，所以42320n ⨯-⨯+＝， 所以2n =-，故所求直线方程为4320x y －－＝.16．（2018·上海市川沙中学高二期中）已知直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行，且和两坐标轴的正半轴相交.（1）若直线1l 与直线2l 之间的距离为5，求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线1l 的方程.【答案】（1）34370x y +-=；（2）340x y +-=【解析】（1）因为直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行，可设直线1l ：340x y m ++=，由直线1l 和两坐标轴的正半轴相交，则0m <，5=，解得13m =或37m =-，又0m <，则37m =-，即所求直线方程为34370x y +-=；（2）由（1）得，令0x =得4my =-，令0y =得3mx =-，则直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1()()1243m m⨯-⨯-=， 又0m <，则m =-故所求直线方程为340x y +-=.。

新高考数学总复习考点知识专题讲解考点41直线方程知识讲解直线的倾斜角(1)泄义：当直线/与A•轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.(2)规龙：当直线/与X轴平行或重合时，规立它的倾斜角为0.(3)范围:直线/倾斜角的取值范围是［0, 7T).二.斜率公式(1)泄义式：直线/的倾斜角为烤)，则斜率k=tana.V-)— Vi(2)坐标式：Pg yi), P1(X2,力)在直线/上，且X］令2,贝IJ /的斜率人2 人I三.直线方程的五种形式(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线h，/2,若其斜率分别为b, k2,则有h〃bUk\=炷.②当直线人，/2不重合且斜率都不存在时，l\〃H.(2)两条直线垂直①如果两条直线人，/2的斜率存在，设为幻，力，则有h丄［却攻2= — 1.②当英中一条直线的斜率不存在，而期一条直线的斜率为0时，人丄(3)两直线相交A］x+Bj+C］=0, ⑴交点：直线h： Aix+Biy+Ci=0和/2： A2x+5y+C2=0的公共点的坐标与方程组)人’ J . 门的Azx+ O2)?+C2 = 0解一一对应.⑵相交Q方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解.(3)平行Q方程组无解.(4)重合o方程组有无数个解.五.三种距离公式(1)两点间的距离公式平而上任意两点P\(X\,户2(兀2，$2)间的距离公式为1卩屮2= ―X2—X]_有_―⑵点到直线的距离公式点Pu(xo, yo倒直线/：Ax+By+C= 0的距离〃= (3)两平行直线间的距离公式l/U)+Byu+CI[厂一「I两条平行直线Ax+By+Ci= 0与Ax+By+C2=0间的距离J=-?==・yJA・+B：六.与对称问题相关的四个结论：⑴点(x, y)关于点("，b)的对称点为(2ci—x,2b—y).(2)点(x, y)关于直线x=a的对称点为(2“一x, y),关于直线)，=〃的对称点为(x.2/?~y).(3)点(x, y)关于直线y=x的对称点为(y, x),关于直线y=~A-的对称点为(一y, —x).(4)点(x, y)关于直线x+y=k的对称点为(k—y, k~x),关于直线x—y=k的对称点为(£+y, x~k).考向一斜率与倾斜角A.【例1】(1) (2020 •全国高三(理))直线x + y/3y + \ = 0的倾斜角是(2)(旧教材必修2P*练习T,改编)若过点M-2,诊，」VU4)的直线的斜率等于1,则肋的值为.(3)(2021 •全国高三月考(理))已知直线y = —x的倾斜角为a,则cos2a =“ 2【答案】(1) 150° (2) 1 (3)-7【解析】(1)因为直线x + V3v + l = 0的斜率为-迺所以其倾斜角为150。

直线与方程第1课：倾斜角与斜率一．学习目标 二．知识梳理： （1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3） 过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 三．典例分析与练习题1．在直角坐标系中，直线30x +-=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若直线过点(1,1)，(2,1+则此直线的倾斜角是 （ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°310y +-=的倾斜角是（）． A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于（ ） A ．11-B ．11C ．3-D ．35．直线cos sin 10x y αα++=，(0,)2πα∈的倾斜角是（ ）A ．αB ．2πα-C ．2πα+D ．πα-第2课：直线与方程一．学习目标二．知识梳理：直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数. 三．典例分析与练习例1．根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.例2．ABC ∆中，顶点(3,4),(5,2)B C ，AC 边所在直线方程为430x y -+=，AB 边上的高所在直线方程为23160x y +-=． （1）求AB 边所在直线的方程； （2）求AC 边的中线所在直线的方程．四．练习题1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．过点(3,4)A 且与直线l ：210x y --=平行的直线的方程是（ ） A ．2110x y +-= B ．2100x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y --=4．已知ABC ∆中有()1,3B ，(5,1)C ，且AB AC =，则BC 边上的中线所在直线方程为()A ．1322y x =-+ B ．1722y x =-+ C ．24y x =+ D ．24y x =-5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-7．过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（） A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=9．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为A ．BC ．2D ．10．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈. （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程.第3课：直线与直线位置关系一．学习目标 二．知识梳理 1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定 （1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直. （2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 三．典例分析与练习1．若直线()1120a x y a +-+-=与()()211150a x a y -+--=平行,则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-1或2D ．±12．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1l ：230mx y m --+=，2l ：0x my m -+=，若12l l //，则m =（ ） A ．±1B ．1C ．-1D ．不存在4．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=，若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为( ) A ．10-B ．10C ．2-D ．26．已知直线()1:1310l a x y ++-=，直线2:210l x ay ++=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值； （2）若12//l l ，求实数a 的值．7．已知直线1:210l ax y +-=，与直线()21:102l x a y +++=． （1）若12l l ⊥，求a 的值； （2）若12l l //，求a 的值.8．已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求 （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.9．已知ABC △中，(2,2)A ，(4,0)B -，(3,1)C -，AD BC ⊥，垂足为D ． （1）求直线AD 的方程；（2）求过点D 且平行于边AC 的直线方程．10．已知直线l ：310kx y k --+=，k ∈R ． （1）证明：直线l 恒过定点；（2）设O 是坐标原点，()1,1A --，若OA l ⊥，求k 的值．第4课：距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题 （1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --.②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程.(2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -.②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行.三．典例分析与练习题1．点(39)，关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ） A ．(13)--， B ．(179)-， C ．(13)-， D ．(179)-，2．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )AB ．4 C．D3．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(17，27)C ．(27，17)D ．(17，114) 4．已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（ ）A B C D ．5．平行线3410x y -+=与3440x y -+=之间的距离等于（ ）．A ．23B ．14C ．35D ．16．若点(3,)P a 到直线40x -=的距离为1，则a 的值为（ ）A B ．3-C ．3或D 3- 7．已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于8．已知直线l ：x ＋2y －2＝0.（1）求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；（2）求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．9．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．本章知识结构直线的倾斜角和斜率 两条直线平行和垂直的判定 直线与方程 两条直线的位置关系 两条平行线间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 相交求交点 平行求距离 直线的斜截式方程直角坐标系中画图直线的截距式方程 方程之间互化 直线的方程 直线的两点式方程 应用直线的点斜式方程直线的一般式方程。

2021年高考数学重点知识点讲解：直线方程数学是学习其他学科的基础。

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一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. 注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。

第一节直线与直线方程[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.直线方程的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x2平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l3[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k4tan_α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k5y2－y1x2－x1．►常用结论1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan α的图象是不连续的．如由－3≤k≤3，得α∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫23π，π.3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.3．直线方程的五种形式1．截距不是距离，它可正可负也可为零．2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．答案：12x－y－18＝03．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0三、易错自纠4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2； 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.5．(2019届西安质检)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程可变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为34x －y ＋10＝154，即3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点 直线的倾斜角与斜率|题组突破|1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 又－sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2．已知直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)3．若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________． 解析：由题意，得k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.答案：1 ►名师点津斜率取值范围的2种求法数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可考点 直线方程【例】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意，得k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，所以所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，得－52a ＋2a ＝1，解得a ＝－12， 所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k ，解得k ＝－25， 所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. ►名师点津直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．|跟踪训练|设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为零，∴a ＝2，∴方程为3x ＋y ＝0；当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，解得a ＝0，∴方程为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，解得a ≤－1. 综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1}．考点 直线方程的创新交汇应用问题直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．【例】 (2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2x x －1在点P (2，4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0[解析] y ′＝2（x －1）－2x （x －1）2＝－2（x －1）2，当x ＝2时，y ′＝－2（2－1）2＝－2，因此k l＝－2.设直线l 的方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意知|2×2＋4－b |5＝25，解得b＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B ．[答案] B ►名师点津处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．|跟踪训练|(2019届沈阳模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：∵直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，∴1a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22， 当且仅当b ＝2a 时等号成立．∴直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 2。

【高三】2021届高考数学难点突破复习直线方程【高三】2021届高考数学难点突破复习直线方程7.1线性方程一、高考考点：1.直线的倾角：。

范围是。

2.线性方程的五种形式：点斜型、截距型、两点型、斜截面型和一般型。

3.两条直线⑴平行：（2）垂直：4.直线的交角：（1）从直线到：⑵两条相交直线与的夹角：5.点到线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.（2）两条平行线之间的距离公式。

如果距离是，那么就有6.两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)的距离公式：.7.固定比率分界点的坐标分数。

如果点P（x，y）被划分为有向线段，其中P1（x1，Y1），P2（X2，Y2）为中点坐标公式；三角形重心坐标公式。

8.两点钟二、例题例1直线+y+2=0的倾角范围为（）a.［，）∪（，］b.［0，］∪［，π）c、 [0，]d.[变式训练1.若∈，则直线2cosx+3y+1=0的倾斜角的取值范围.例2假设直线通过该点并与线段Mn相交，直线斜率的取值范围为（）a．b．c、 d。

变式训练2.已知点a（-2，4）、b（4，2），直线l过点p（0，-2）与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是.例如3，当m为值时，已知两条直线L1:（3+m）x+4Y=5-3m和L2:2x+（5+m）y=8，L1和L2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？已知直线L1:ax+2Y+6=0，直线L2:x+（A-1）y+A2-1=0，（1）试判断l1与l2是否平行；（2）当L1⊥ L2，求A的值三．训练反馈1.在以下四个命题中，正确的共同所有权（）（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率（2）直线倾角的取值范围为：（3）若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（4）如果直线的倾角为，直线的斜率为a．0个b．1个c．2个d．3个2.如果两条直线的倾角分别为，则以下四个命题中正确的一个为（）a.若，则两直线的斜率：b.若，则两直线的斜率：c、如果两条直线的斜率：，那么D.如果两条直线的斜率：，那么3、若直线在第一、二、三象限，则（）a、不列颠哥伦比亚省。

第 1 页 共 5 页2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．(2020·东安模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，2π3B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π3答案 B解析 y ′＝3x 2－3≥－3，即tan α≥－3，又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，选B.3．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.4．(2020·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．【多选题】过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程可以是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －5y ＝0。

第40课 直线的方程一、考纲要求：1、了解确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）；2、把握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围，能依据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；3、生疏直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量。

二、学问梳理 回顾要求1．阅读教材第80页~86页，完成以下任务：（1）把握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，能依据条件娴熟地求出直线的方程； （2）能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性；2.教材第83页思考你会回答吗？你能分清121121121211x x x x y y y y x x y y x x y y --=----=--和所表示的图形吗？ 3.平面内的任意一条直线是否都可以用形如)0,(0不全为B A C By Ax =++的方程来表示？并在课本空白处完成：教材87页练习第4题。

要点解析1、确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向（斜率或倾斜角），二是位置（一个定点）；2、点斜式方程是直线方程其它形式的源头，因此尤为重要，斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x 轴垂直的直线。

截距式为两点式的特例，两者均不能表示与x ，y 轴平行的直线，截距式还不能表示过原点的直线。

直线的方程都是二元一次方程，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线。

3、求直线的方程主要有两种方法：①直接法，依据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，依据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程。

4、分类争辩、数形结合是常用的数学思想，分类争辩主要是针对斜率存在与不存在。

三、诊断练习：1、教学处理：课前由同学自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解同学的思路及主要错误。

高中数学复习专题讲座直线方程及其应用高考要求直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的差不多概念；差不多公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定差不多上解析几何重要的基础内容应达到熟练把握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程咨询题不难，但将直线方程与其他知识综合的咨询题是学生比较棘手的重难点归纳1对直线方程中的差不多概念，要重点把握好直线方程的特点值(要紧指斜率、截距)等咨询题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的咨询题等2对称咨询题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一样都可转化为点关于点或点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称咨询题的重要工具3线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,那么此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解4由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数咨询题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力典型题例示范讲解例1某校一年级为配合素养教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分不相距a m,b m,(a＞b)咨询学生距离镜框下缘多远看画的成效最正确？命题意图此题是一个专门实际的数学咨询题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际咨询题转化为数学咨询题的能力知识依靠三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解分析解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使咨询题转化成解析几何咨询题求解；二是把咨询题进一步转化成求tan ACB的最大值假如坐标系选择不当，或选择求sin ACB的最大值都将使咨询题变得复杂起来技巧与方法欲使看画的成效最正确，应使∠ACB Array取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解 建立如下图的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的成效最正确，应使∠ACB 取得最大值 由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分不为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),因此直线AC 、BC 的斜率分不为k AC =tan xCA =x a a -ααcos sin ,.cos sin tan xb b xCB k BC -==αα 因此 tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x x ab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,那么tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-, 当且仅当xab =x ，即x =ab 时，等号成立， 现在∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0), 因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画成效最正确例2预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，期望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子许多于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，咨询桌、椅各买多少才行？ 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际咨询题属于直线方程的一个应用，此题要紧考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解 知识依靠 约束条件，目标函数，可行域，最优解 错解分析 解题中应当注意到咨询题中的桌、椅张数应是自然数那个隐含条件，假设从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设 技巧与方法 先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解 解 设桌椅分不买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，275) 因此满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37故有买桌子25张，椅子37张是最好选择例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0) 一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如以下图所示) (1)设P 、Q 两点坐标分不为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明 y 1·y 2=－p 2； (2)求抛物线的方程；(3)试判定在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？假设存在，要求出此点的坐标；假设不存在，请讲明理由 命题意图 对称咨询题是直线方程的又一个重要应用 此题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生明白得咨询题、分析咨询题、解决咨询题的能力 知识依靠 韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程 错解分析 在证明第(1)咨询题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时 技巧与方法 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)咨询的关键(1)证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p ，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p ) ① 由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p 代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2=－p 2(2)解 因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，因此直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知 y 1·y 2=－p 2,那么4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x(3)解 将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称 例3|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证 abc +2＞a +b +c 证明 设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜a ＜1∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这确实是讲，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c 学生巩固练习 1 设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，那么M 与N 的大小关系为( ) A M ＞N B M =N C M ＜N D 无法判定 2 三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( ) A 15 B 30 C 36 D 以上都不对 3 直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，那么P 点坐标是_________ 4 自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，那么光线l 所在直线方程为_________ 5 函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________ 6 设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，那么x 的范畴为_________ 7 过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分不过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点(1)证明 点C 、D 和原点O 在同一直线上(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标 8 设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0(1)证明 {a n }是等差数列(2)证明 以(a n ,nS n －1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程(3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范畴参考答案:1 解析 将咨询题转化为比较A (－1，－1〕与B (102001，102000〕及C (102002，102001〕连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N 答案 A2 解析 设三角形的另外两边长为x ,y ,那么⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x ,y 〕应在如右图所示区域内 当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11;当x =5时，y =7,8,9,10,11以上共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6〕，(7，7〕，(8，8〕，(9，9〕，(10，10〕、(11，11〕六组，因此共有36个答案 C3 解析 找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点答案 P (5，6〕4 解析 光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切答案 3x +4y －3=0或4x +3y +3=05 解析 f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率 答案34 0 6 解析 原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,那么f (－2)＜0,且f (2)＜0 答案213217+<<-x 7 (1)证明 设A 、B 的横坐标分不为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2) 11C A B11o y x因为A 、B 在过点O 的直线上，因此228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分不为(x 1,log 2x 1〕、(x 2,log 2x 2)由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,那么228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ==== 由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上(2)解 由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1∴x 2=x 13 将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,因此A (3，log 83) 9 (1)证明 由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b 因此{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列(2)证明 ∵b ≠0,关于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上 此直线方程为y －(a －1)= 21 (x －a ),即x －2y +a －2=0 (3)解 当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r 222(1)0 1750 48100 r r r r r ⎧->⎪⎪-+>⎨⎪⎪-+>⎩①即②③由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范畴是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞) 课前后备注。

2021年高三数学知识点总结：直线与方程知识点总结
下面是编辑老师整理的____年高三数学知识点总结：直线与方程，希望对您提高学习效率有所帮助.
(1)直线的倾斜角
定义：_轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与_轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

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___第40课__直线的方程____1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.基础诊断1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB 的一般式方程为__x ＋y －2＝0__．解析：易知直线斜率存在．设直线AB ：y ＝kx ＋b ，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－4k ＋b ，4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线AB ：y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0. 2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为45的直线方程是__y ＝43x ＋23或y ＝－43x ＋103__．解析：由题意知sin α＝45，因为α∈[0，π)，所以tan α＝43或－43，即直线的斜率为43或－43.当斜率为43时，直线方程为y ＝43x ＋23；当斜率为－43时，直线方程为y ＝－43x ＋103.3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y ＝－43x 或x ＋y ＋1＝0__．解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y ＝－43x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入，得a ＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.4. 给出下列命题：①经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b ；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，其中正确命题的个数为__1__．解析：①过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线不能用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于x 轴的直线不能用方程y ＝kx ＋b 表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程x a ＋yb＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，故④正确．范例导航考向❶ 求直线方程例1 已知直线l 过点A(5，2)．(1) 若直线l 的斜率为2，求直线l 的方程；(2) 若直线l 经过点B(3，－2)，求直线l 的方程．解析：(1) 因为直线l 过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y －2＝2(x －5)，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.(2) 因为直线l 过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得y －2－2－2＝x －53－5，故所求直线l 的方程为2x －y －8＝0.若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0__．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9，故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 考向❷ 含有参数的直线方程例2 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R)． (1) 求证：直线l 过定点；(2) 若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围． 解析：(1) 直线l 的方程化简为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， 所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2) 当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤0，1＋2k ≥0，k >0，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，若直线l 在x 轴上的截距是－3，则m ＝__－53__；若直线l 的斜率是－1，则m ＝__－2__．解析：因为直线l 在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.若直线l 的斜率为－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.考向❸ 直线方程的简单运用例3 已知直线l 过点P(2，1)，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若O 为坐标原点，求△OAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：方法一：因为直线l 过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y 轴无交点，所以直线的斜率存在. 若k ＝0，则直线与x 轴无交点，所以k ≠0.又直线与x ，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，所以k<0.设直线方程为y －1＝k(x －2)，分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B(0，1－2k)， 则S △OAB ＝12·OA·OB ＝12⎝⎛⎭⎫2－1k (1－2k) ＝－2k －12k ＋2≥2＋2（－2k ）·1－2k＝4，当且仅当－2k ＝1－2k，即k ＝－12时，等号成立，即△OAB 面积的最小值为4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设 A ，B 两点的坐标分别为A(a ，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a ＋yb＝1.因为直线l 过点P(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.因为22a ·1b≤1，所以ab ≥8， 当且仅当2a ＝1b ，即a ＝4，b ＝2时取等号，所以S △OAB ＝12ab ≥4.此时，直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点．(1) 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；(2) 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长．解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)． (1) 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A(c ，0)， B(0，c)(c ＞0)， 直线l 的方程为x c ＋yc ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3c ＋2c ＝1，则c ＝5，即OA ＝5千米．(2) 设A(a ，0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3>0，则a ＞3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a·2a a －3＝a 2a －3.令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝(t ＋3)2＝t 2＋6t ＋9， 故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t＋6≥29t·t ＋6＝12，当且仅当t ＝3时，等号成立， 此时a ＝6，b ＝4，所以OA ＝6千米，OB ＝4千米．自测反馈1. 若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3x －5y ＋6＝0__．解析：因为两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3x －5y ＋6＝0.2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__x ＝5或3x －4y ＋25＝0__． 解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y －5k ＋10＝0.由点到直线的距离公式可得|－5k ＋10|k 2＋1＝5，解得k ＝34，所以直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上，直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.3. 若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y －2m ＝0在x 轴上的截距是3，则实数m 的值是__－6__．解析：令y ＝0，所以(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入，得m ＝－6.4. 已知直线l 过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l 的截距式方程是__x 6＋y8＝1__．解析：由题意，可设直线l 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，则有⎩⎨⎧3a ＋4b ＝1，12ab ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8，所以直线l 的截距式方程为1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

第 1 讲直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1. 直线的倾斜角⑴定义：当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做直线I的倾斜角.(2) 规定：当直线I与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(3) 范围：直线I的倾斜角的范围是［0 , n)2. 直线的斜率n(1) 直线I的倾斜角为a2，则I的斜率k = tan ay一y1(2) 两点P i(x i, y i), P2(x2 , y2)在直线I 上，且X I M X2,贝U I 的斜率k= 一 .2 X11. 直线的倾斜角和斜率的关系(1) 直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.n⑵不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k= tan a,当a€ 0, 2时，a越大，斜率kn n就越大，同样a€ 2，n时也是如此，但当a€ [0,兀且a㊁时就不是了.2 •识记几种特殊位置的直线方程(1) x 轴：y= 0.(2) y 轴：x= 0.(3) 平行于x轴的直线：y= b(b^ 0).(4) 平行于y轴的直线：x= a(a^ 0).(5) 过原点且斜率存在的直线：y= kx.二、习题改编1. ________________________________________________________________________ (必修2P95练习T1改编)经过点P(2, - 3),倾斜角为45°的直线方程为______________________ .答案：x—y— 5 = 02. ________________________________________________________________________ (必修2P100A组T1(4)改编)经过点A( —1,0), B(2, —2)两点的直线方程为__________________ .答案：2x+ 3y+ 2= 03. (必修2P90B组T5改编)若过两点A( —m, 6), B(1, 3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为_________ .答案：12x—y—18= 0一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大. ()⑵直线的斜率为tan a,则其倾斜角为a((3) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()⑷经过点P(x o , y o )的直线都可以用方程 y — y o = k(x — x o )表示.()⑸经过任意两个不同的点 P i (x i , y i ), P 2(x 2, y 2)的直线都可以用方程(y — y i )(x 2 — x i )= (x—x i )(y 2— y i )表示.()答案：(1)X (2) X (3) X (4) X (5) V 二、易错纠偏常见误区(1)对倾斜角的取值范围不清楚； (2) 忽略截距为0的情况.1.直线x+i 3y + 1 = 0的倾斜角是( )A nA・n2 n C.y2. ______________________________________________________过点P(2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _________________________________________ .解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x — 2y = 0;当纵、横截距均不为 0时，设 x y 2 3直线方程为a + a = 1，则a + a = 1，解得a = 5•所以直线方程为x + y — 5 = 0.a a a a答案：3x — 2y = 0 或 x + y — 5 = 0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)D .解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k = — ,设倾斜角为a,则tan a= —,所以 a=(1)直线xsin a+ y+ 2 = 0的倾斜角的取值范围是()冗，，3 nA」0, n B. 0, - U -, nn n nC. o, 4D. o, 4 U 2，n⑵直线l过点P(1 , 0)，且与以A(2, 1), B(0 , .3)为端点的线段有公共点，则直线I斜率的取值范围为__________ .【解析】⑴设直线的倾斜角为则有tan 0=- sin a因为sin a€ [ —1, 1],所以—K tann 3 n0< 1，又[0 , n)所以0W 0< 4或~4三X n 故选B.1 —0(2) 如图，因为k AP = = 1,2- 13 —0k BP = =—,3，所以直线I 的斜率k€ ( — 8,—■ 3] U [1 ,+s).【答案】(1)B(2)( — 8,—3] U [1,+8 )【迁移探究1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos a—y— 3 = 0 a€ n，n的倾斜角的变化范围为__________ .解析：直线2xcos a—y—3= 0的斜率k= 2cos a由于a€ n, n ,所以\ cos aW冲，因O 3 2 2此k= 2cos [1 , 3].设直线的倾斜角为0,则有tan氏[1 , 3].由于张[0, n)所以茨n；,即倾斜角的变化范围是n n.4’ 3(变条件)若将本例(2)中P(1, 0)改为P(—1 , 0),其他条件不变，求直【迁移探究2】线I斜率的取值范围.—3'1由图可知，直线I 斜率的取值范围为1,3 .(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k =tan a 的取值范围;②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角a 的取值范围. 求倾斜角时要注意斜率是否存在. (2)斜率的求法因为 P(- 1, 0), A(2, 1), B(0, .3),所以 k AP =1-0 2-(- 1)3 — 0 0 -(- 1)—3'①定义法：若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据k= tan a求斜率;y2 —y 1 ②公式法：若已知直线上两点A（x i, y i）, B（X2, y2）,—般根据斜率公式k= （x i^X2）X2 —X i求斜率.1. 若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为____ .5 —3 a —3解析：因为k Ac= = 1, k AB = = a —3.6 —4 5 —4由于A, B, C三点共线,所以a—3= 1,即a= 4.答案：4n n 2 n2. 若直线I的斜率为k,倾斜角为a且a 6，4 U ，n，则k的取值范围是________________解析：当a 6，4 时，k= tan a -3, 1 ；2 n 当a ~, n 时，k= tan a [ —3, 0）.综上得k€ [ —,3, 0）U 于,1 .答案：[—3, 0）U 专，13②当横截距、纵截距都不为零时直线的方程(师生共研)(1)若直线过点A(1, 3)，且斜率是直线1y=-4x的斜率的3，则该直线的方程为____________ •3⑵若直线经过点A(-5, 2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________ •1 4【解析】(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=- 4X - =-4.又直线经过点A(1, 3),4因此所求直线的方程为y—3=- ^(x- 1),即4x+ 3y- 13 = 0.(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y= kx,将(-5, 2)代入y= kx3 3设所求直线方程为2a+a=i，1将(-5, 2)代入所设方程，解得a=- 2,此时，直线方程为x + 2y+ 1 = 0.综上所述,所求直线的方程为x+ 2y+ 1 = 0或2x+ 5y= 0.【答案】(1)4x+ 3y—13= 0(2)x+ 2y+ 1 = 0 或2x+ 5y= 0巧设直线方程的方法(1) 已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2) 已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3) 当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4) 已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程.［注意］(1)当已知直线经过点(a, 0),且斜率不为0时，可将直线方程设为x= my+ a;中，得k =-5此时，直线方程为y= —|x,即2x+ 5y = 0.②当横截距、纵截距都不为零时(2)当已知直线经过点(0, a),且斜率存在时，可将直线方程设为y= kx+ a;(3) 当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y= kx.1.已知△ ABC的三个顶点坐标为A(1 , 2), B(3, 6), C(5, 2), M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A . 2x+ y—12= 0B. 2x —y—12= 0C. 2x+ y—8 = 0D. 2x—y+ 8 = 0解析：选C.由题知y—4 x —2M(2, 4), N(3, 2),中位线MN所在直线的方程为= ,整2—4 3 —2理得2x+ y —8= 0.2. 经过点B(3, 4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为解析：由题意可知，所求直线的斜率为土 1.又过点(3, 4),由点斜式得y —4= ±x—3).所求直线的方程为x—y+ 1 = 0或x+ y—7= 0.答案：x—y+ 1 = 0 或x+ y —7= 0直线方程的综合应用(典例迁移)(一题多解)已知直线I过点M(2, 1), 且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，0为原点，当△ AOB面积最小时，求直线I 的方程.1【解】法一：设直线I 的方程为y— 1 = k(x—2)(k<0), A 2-k 0 , B(0, 1 —2k), S111 11 1AOB = 2(1 —2k) 2 — k = 2 4 +(—4k) + — - >?(4 + 4)= 4,当且仅当一4k= —-,即k =x y等号，此时a = 4, b= 2,故直线I为4+ 2 = 1,即x+ 2y-4= 0.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，当|0A|+ |0B|取最小值时，求直线2 1解：由本例法二知，一+匸=1, a>0, b>0,a b ' ' '2 1 所以|0A|+ |0B|= a + b= (a + b)肓+ b=3+ a + 3+ 2 2,b a当且仅当a = 2+ 2, b= 1 + ■. 2时等号成立，所以当|0A|+ |0B|取最小值时程为x+〔2y= 2+ . 2.I的方程. ,直线I的方直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，等式求解最值.再利用基本不(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.1 •直线X —2y+ b= 0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A • [ —2, 2] B. (— s,—2] U [2,+^ )C. [ —2, 0) U (0, 2]D. ( — m,+m )解析：选C.令x= 0,得y= 2,令y= 0,得x=—b,1b 1 i所以所求三角形的面积为b|= b2,且b丰0, ；b2w 1,所以b2w 4,所以b的取值2 1 1 4 4范围是[—2, 0) U (0 , 2].2.已知直线x+ 2y= 2分别与x轴、y轴相交于A, B两点，若动点P(a , b)在线段AB上，则ab的最大值为__________ .x解析：直线方程可化为2 + y= 1,故直线与x轴的交点为A(2, 0),与y轴的交点为B(0 , 1),由动点P(a , b)在线段AB上,可知0< b< 1,且a+ 2b = 2,从而a = 2 —2b ,故ab = (221 2 1 1 1—2b)b =—2b2+ 2b =—2 b—? + ,由于0w b< 1,故当 b =-时，ab 取得最大值-.［基础题组练］1. 若直线过点（1,1）, （2, 1 + .3），则此直线的倾斜角的大小为（）A . 30°B. 45 °C. 60°D. 90°1 + ^"3 —1 解析：选C.设此直线的倾斜角为a,则k=tan a= ={3.又a€ ［0 , n,所以a2- 1=60。