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高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 理解余弦定理的定义和表达式。
2. 学会运用余弦定理解决三角形中的边角问题。
3. 掌握余弦定理在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 余弦定理的定义和表达式。
2. 余弦定理的应用举例。
三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的定义和表达式，余弦定理的应用。
2. 难点：余弦定理在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解余弦定理的定义和表达式。
2. 采用案例分析法，通过举例让学生学会运用余弦定理解决实际问题。
3. 采用练习法，巩固学生对余弦定理的理解和应用。
五、教学过程1. 导入：通过复习正弦定理和余弦函数的知识，引出余弦定理的概念。
2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，举例说明余弦定理的应用。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用余弦定理解决问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固余弦定理的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性和应用。
教案仅供参考，具体实施可根据实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对余弦定理的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 课后作业：布置课后作业，巩固学生对余弦定理的知识。
七、教学拓展1. 引导学生思考余弦定理在现实生活中的应用，如测量三角形的角度和边长。
2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
八、教学反思1. 反思本节课的教学效果，检查学生对余弦定理的掌握程度。
2. 分析学生的反馈意见，调整教学方法和策略。
九、教学资源1. 教案、PPT、教材等教学资料。
2. 练习题、测试题等教学资源。
3. 互联网资源，如相关学术文章、教学视频等。
十、教学计划1. 下一节课内容：介绍余弦定理在实际问题中的应用，如几何图形中的角度计算。
2. 教学目标：让学生学会运用余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
高中数学余弦定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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余弦定理的教案（通用3篇）余弦定理的篇1一、单元教学内容运算定律P——P二、单元教学目标1、探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。
2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。
3、会应用运算律进行一些简便运算，掌握运算技巧，提高计算能力。
4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中，体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。
5、在经历运算定律的字母公式形成过程中，能进行有条理地思考，并表达自己的思考结果。
6、经历简便计算过程，感受数的运算与日常生活的密切联系，并在活动中学会与他人合作。
7、在经历解决问题的过程中，体验运算律的价值，增强应用数学的意识。
三、单元教学重、难点1、理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。
2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。
四、单元教学安排运算定律10课时第1课时加法交换律和结合律一、教学内容：加法交换律和结合律P17——P18二、教学目标：1、在解决实际问题的过程中，发现并掌握加法交换律和结合律，学会用字母表示加法交换律和结合律。
2、在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。
3、培养学生的观察能力和概括能力。
三、教学重难点重点：发现并掌握加法交换律、结合律。
难点：由具体上升到抽象，概括出加法交换律和加法结合律。
四、教学准备多媒体五、教学过程（一）导入新授1、出示教材第17页情境图。
师：在我们班里，有多少同学会骑自行车？你最远骑到什么地方？师生交流后，课件出示李叔叔骑车旅行的场景：骑车是一项有益健康的运动，你看，这位李叔叔正在骑车旅行呢！2、获取信息。
师：从中你知道了哪些数学信息？（学生回答）3、师小结信息，引出课题：加法交换律和结合律。
（二）探索发现第一环节探索加法交换律1、课件继续出示：“李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km，一共骑了多少千米？”学生口头列式，教师板书出示： 40+56=96（千米） 56+40=96（千米）你能用等号把这两道算式写成一个等式吗？ 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗？学生独自写出几个这样的等式，并在小组内交流各自写出的等式，互相检验写出的等式是否符合要求。
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
“余弦定理”教学设计作为一位不辞辛劳的人民教师，可能需要进行教学设计编写工作，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
那么应当如何写教学设计呢？下面是作者整理的“余弦定理”教学设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
“余弦定理”教学设计1教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时。
标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。
本章内容与三角函数、向量联系密切。
作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
教学目标知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感目标：通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
教学方法探究式教学、讲练结合重点难点1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
高中数学《余弦定理》教案第一章：导入与概念介绍1.1 导入教师通过一个实际问题引入余弦定理的概念，例如在直角三角形中，斜边与两个直角边的关系。
引导学生思考如何用数学表达式来描述这个关系。
1.2 余弦定理的概念教师介绍余弦定理的定义，即在三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和与这两边乘积的余弦的两倍之和。
用数学表达式表示为：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。
第二章：证明与推导2.1 余弦定理的证明教师引导学生思考如何证明余弦定理。
通过画图和几何推理，引导学生理解并证明余弦定理。
可以使用三角形的正弦定理和余弦定理的平方关系来证明。
2.2 余弦定理的推导教师引导学生利用余弦定理推导出其他相关的定理，例如正弦定理。
引导学生理解余弦定理与其他定理之间的关系。
第三章：余弦定理的应用3.1 求解三角形的问题教师通过例题展示如何使用余弦定理求解三角形的问题。
引导学生运用余弦定理计算三角形的边长和角度。
3.2 求解三角形的面积教师引导学生利用余弦定理推导出三角形的面积公式，并引导学生运用该公式计算三角形的面积。
第四章：余弦定理的拓展4.1 余弦定理在几何中的应用教师引导学生思考余弦定理在几何中的应用，例如求解三角形的面积、角度等问题。
4.2 余弦定理在物理中的应用教师引导学生思考余弦定理在物理中的应用，例如振动问题、波动问题等。
第五章：巩固与练习5.1 巩固知识教师通过例题和练习题帮助学生巩固余弦定理的理解和应用。
引导学生运用余弦定理解决不同类型的问题。
5.2 练习题教师布置一些练习题，让学生独立完成，巩固对余弦定理的理解和应用。
第六章：解三角形问题6.1 解三角形的概念教师介绍解三角形的概念，即通过已知的三角形一边和两个角，求解其他两边和角度。
引导学生理解解三角形的重要性。
6.2 利用余弦定理解三角形教师通过例题展示如何利用余弦定理解三角形问题。
引导学生运用余弦定理计算三角形的边长和角度。
第七章：余弦定理与向量7.1 向量与余弦定理的关系教师介绍向量与余弦定理的关系，即向量的点积与余弦定理的关系。
《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义和意义，掌握余弦定理的表达式。
2. 培养学生运用余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：余弦定理的定义和表达式，运用余弦定理解决三角形问题。
2. 教学难点：余弦定理的推导过程，运用余弦定理解决复杂三角形问题。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究余弦定理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三角形中余弦定理的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括余弦定理的定义、表达式和应用实例。
2. 准备几何画板或实物模型，用于展示三角形中余弦定理的应用。
3. 准备相关练习题，用于巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，引导学生理解余弦定理的意义。
3. 实例演示：利用几何画板或实物模型，展示三角形中余弦定理的应用。
4. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用余弦定理解决实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 练习巩固：让学生解答相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固余弦定理的应用。
六、教学延伸1. 引导学生思考余弦定理在实际生活中的应用，例如测量三角形的角度、计算三角形的面积等。
2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义、表达式和应用。
2. 强调余弦定理在解决三角形问题中的重要性。
八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，巩固余弦定理的知识点。
九、教学反馈1. 在下一节课开始时，检查学生的作业完成情况，了解学生对余弦定理的掌握程度。
数学必修五余弦定理教案(可编辑教案：数学必修五，余弦定理一、教学目标：1.理解余弦定理的概念及原理；2.学会运用余弦定理解决三角形中的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点：1.理解余弦定理的概念及原理；2.运用余弦定理解决三角形中的实际问题。
三、教学难点：1.运用余弦定理解决具体问题。
四、教学过程：Step 1 引入与导入（5分钟）1.利用平面上两点间距离公式引入余弦定理；2.通过几个具体实例让学生感触余弦定理的作用。
Step 2 定理说明与证明（10分钟）1.介绍余弦定理的概念和原理；2.利用几何图示证明余弦定理。
Step 3 理解与运用（20分钟）1.引导学生理解余弦定理；2.利用余弦定理计算未知角度的大小；3.利用余弦定理计算未知边长的长度。
Step 4 实际问题的应用（25分钟）1.给出一些实际生活中的问题，如解决航海、测距等问题；2.分组讨论，利用余弦定理解决问题；3.学生进行展示，互相评价讨论，找出最佳解决方案。
Step 5 拓展与应用（15分钟）1.将余弦定理与三角函数的其他定理进行对比；2.引导学生思考余弦定理在其他数学领域的应用。
五、教学辅助手段及教学资源1.平面图示，辅助教学；2.三角量角器，用于演示与实践；3.教学PPT，展示定理证明与解题方法；4.实际问题的示例。
六、教学评估及反馈1.课堂练习，检测学生对概念和原理的理解程度；2.实际问题的解答，评价学生的应用能力；3.学生互相评价讨论，提供解决方案改进的建议。
七、教学延伸1.学生通过解决实际问题，培养分析和解决问题的能力；2.鼓励学生进一步探索余弦定理在其他数学领域的应用。
八、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理有了更深入的理解，尤其是在解决实际问题的过程中，学生能够灵活运用余弦定理解决问题。
同时，在教学中引入实例和思考问题的环节，激发了学生的学习兴趣和思辨能力，培养了他们的创新思维和问题解决能力。
[文件] sxgdja0009.doc[科目] 数学[年级] 高中[章节][关键词] 余弦定理/应用[标题] 余弦定理[内容]北京二十二中 田名凤教学目的1.使学生掌握余弦定理及其证明方法.2.使学生初步掌握余弦定理的应用.教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理.教学过程设计一、复习师：直角△ABC 中有如下的边角关系)(设∠C=90°)：(1)角的关系 A+B+C=180°A+B=90°(2)边的关系 c2=a2+b2.(3)边角关系 sinA=ca=cosB. cosA=cb =sinB. tanA=ba =cotB. cotA=ab =tanB.二、引入师：在△ABC 中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2.若a,b 边的长短不变，变换∠C 的大小时，c 2与a 2+b 2有什么关系呢?请同学们思考.如图1，若∠C ＜90°时，由于AC 与BC 的长度不变，所以AB 的长度变短，即c 2＜a 2+b 2.如图2，若∠C ＞90°时，由于AC 与BC 的长度不变，所以AB 的长度变长，即c 2＞a 2+b 2.经过议论学生已得到当∠C＞90°时,c2≠a2+b2,那么c2与a2+b2到底相差多少呢?请同学们继续思考.如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2在Rt△BDC中，BD=BD·sinC=asinC，DC=BD·cosC=acosC.所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b-acos C)2+(asin C)2,c2=b2-2abcos C+a2cos2C+a2sin2Cc2=a2+b2-2abcosC.我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a,b,c具有c2=a2+b2-2abcosC的关系.从以上分析过程，我们对∠C为锐角c2=a2+b2-2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的.这种未知向已知的转化在数学中经常碰到.下面请同学们自己动手推导结论.如图4,当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D.△ACB 是两个直角三角形之差.在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2在Rt △BCD 中,∠BCD=π-C.BD=BC ·sin(π-C),CD=BC ·cos(π-C)所以AB 2=AD 2+BD 2化为c 2=(AC+CD)2+BD 2=［b+acos(π-C)］2+［asin(π-C)］2 =b 2+2abcos(π-C)+a 2cos 2((π-C)+a 2sin 2(π-C)=b 2+2abcos(π-C)+a 2因为cos(π-C)=-cosC.所以c 2=b 2+a 2-2abcosC.这里∠C 为钝角,cosC 为负值,-2abcosC 为正值,所以b 2+a 2-2abcosC ＞a 2+b 2,即a 2＞a 2+b 2.从以上我们可以看出，无论∠C 是锐角还是钝角，△ABC 的三边都满足c 2=a 2+b 2-2abcos C.这就是余弦定理，我们轮换∠A ，∠B ，∠C 的位置可以得到a 2=b 2+c 2-2bccos A.b 2=c 2+a 2-2accos B.三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的.这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦.现在我们已学完了三角函数，无论∠a 是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论.我们仍就以∠C 为主进行证明.如图5，我们把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b,CB=a,AB=c ，则A ，B ，C 点的坐分别为A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).请同们分析B 点坐标是怎样得来的.生：∠ACB=∠C,CB 为∠ACB 的终边，B 为CB 上一点，设B 的坐标为(x,y),则sinC=BC y =a y ,cos C=BC x =ax 所以B 点坐标x=acosC,y=asinC. 师：回答很准确，A ，B 两点间的距离如何求?生：｜AB ｜2=(acosC-b)2+(asinC-0)2=a 2cos 2C-2abcosC+b 2-a 2sin 2C=a 2+b 2-2abcos C,即c 2=a 2+b 2-2abcos C.师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法.这种方法以后还要详细学习.余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍，即：a 2=b 2+c 2-2bccos A.c 2=a 2+b 2-2abcos C.b 2=a 2+c 2-2accos B.若用三边表示角，余弦定理可以写为 cos A=bca cb 2222-+ cos B=aca cb 2222-+ cos C=aba cb 2222-+ 四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.例如：已知△ABC 的三边之比为7：2：1，求最大的内角.解 设三角形的三边为a,b,c 且a:b:c=7:2:1.由三角形中大边对大角可知：∠A 为最大的角.由余弦定理 cos A=122)7(21222⨯⨯-+=-21 所以∠A=120°.再如△ABC 中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC 之长.解 由余弦定理可知BC 2=AB 2+AC 2-2AB ×AC ·cos A=4+9-2×2×3×21=7， 所以BC=7.以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC 中，c 2=a 2+b 2-2abcos C 若∠C=90°,则cos C=0,于是c 2=a 2+b 2-2ab ·0=a 2+b 2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.另外，cos A=bca cb 2222-+中，当∠C=90°时，c 2=a 2+b 2,则 cos A=bc a b a b 2)(2222-+=cb bc b =222这与Rt △ABC 中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数余弦定理的特例.六、应用举例例1 在△ABC 中，求证c=bcos A+acos B.师：请同学们先做几分钟.生甲：如图6，作CD ⊥AB 于D.在Rt △ACD 中，AD=b ·cos A;d 在Rt △CBD 中,DB=a ·cos B.而c=AD+DB ，所以 c=bcos A+acos B.师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论.生乙：他的证法有问题，因为作CD ⊥AB 时垂足D 不一定落在AB 上.若落在AB 的延长线上时，c≠AD+DB ，而C=AD-DB.师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢? 生丙：还不够.因为作CD ⊥AB 时，垂足D 还可以落在B 处.师：其实垂足D 有五种落法，如落在AB 上；AB 的延长线上；A 点或B 点处，我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了.请大家借用余弦定理证明.生：因为 acos B+bcos A=a ·ac b c a 2222-++b ·bca cb 2222-+ =ca cb bc a 2222222-++-+ =cc 222=c 所以 c=acosB+bcosA.师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论.你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗? 生：因为余弦定理本身适用于各种三角形.例2 三角形ABC 中，AB=2,AC=3,BC=4，求△ABC 的面积.师：我们通常要求三角形的面积要用公式S △=21a ·h a 或 S △=21ab ·sin C. 这个题目，我们应该如何下手呢?生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式.解 因为 a=4,b=3,c=2,所以 cosA= bca cb 2222-+=412321649-=⨯⨯-+. 由sin 2A+cos 2A=1,且A 为△ABC 内角，得sinA=415)41(12=-- 因此 S △ABC =21bc ·sin A=21×3×2·4153415= 例3 在三角形ABC 中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB 边的中线长.请同学们先设计解题方案.生甲：我想在△ABC 中，已知三边的长可求出cos B.在△BCD 中，由BC=7,BD=4.5及cosB 的值，再用一次余弦定理便可求出CD.师：这个方案很好.请同学们很快计算出结果.解 设D 为AB 中点，连CD.在△ACB 中，由AC=8,BC=7,AB=9,得 cos B=211112666972897222==⨯⨯-+ 在△BCD 中，BC=7,BD=4.5,cosB=2111,得 CD 2=72+(4.5)2-2×7×4.5×2111=49+481-33=.4145所以 CD=14521 生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD 到E 使DE=CD,想在△BCE中解决.已知BC=7,BE=AC=8,若再知道cos ∠CBE ，便可解决，但我不知怎样求cos ∠CBE ，便可解决，但我不知怎样求cos ∠CBE.师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点.(学生开始议论.)生丙：连接AE ，由于AD=DB,CD=DE,所以四边形ACBE 为平行四边形，可得AC ∥BE ，∠CBE 与∠ACB 互补.我能利用余弦定理求出cos ∠BCA,再利用互补关系解出cos ∠CBE.师：大家看看他讲得好不好.请大家用第二套方案解题.解 延长CD 至E ，使DE=CD.因为CD=DE,AD=DB ，所以四边形ACBE 是平行四边形.所以BE=AC=8,∠ACB+∠CBE=180°在△ACR 中，CB=7,AC=8,AB=9，由余弦定理可得cos ∠ACB=72716327829782222222=⨯=⨯⨯-+=∙∙-+BC AC AB BC AC 所以cos ∠EBC=-72 在△CBE 中， CE 2=72+82-2×7×8(-72)=49+64+32=145, 所以CE=145.因此AB 边上的中线长为14521 这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的.七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法.它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角.余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数.余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题.注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性.若cos A ＞0，则A 为锐角；若cos A=0,则A 为直角；若cosA ＜0，则A 为钝角.另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法.请大家解决问题时要考虑全面.如果能回避分类讨的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等.八、作业1.已知△ABC 中a=3,b=4,c=13，求∠C 的大小.2.已知△ABC 中a=3,b=4,c=37，求∠C 的大小.3.已知△ABC 中a=3,b=5,sin C=54,求c 边的大小. 4.已知△ABC 中a=3,b=32,∠B=150°,求c 边的长.5.已知△ABC 中，acos B=bcos A,请判断三角形的形状.课堂教学设计说明1.余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视.本内容安排两节课适宜.第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用.2.当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性.。
