高中数学必修5数列复习提纲

必修5数列知识点总结1. 数列的概念数列是按一定规律排列的数字集合。

一般情况下，数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母代表。

数列中第n个项称为第n项，一般用an表示。

2. 数列的分类2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公差为d，则有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。

2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公比为q，则有a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q。

等比数列的通项公式为：an=a1q^(n-1)。

2.3 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，规律为前两项的和等于后一项。

数列以0和1开始，后续每一项都是前两项的和。

例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …3. 数列的性质3.1 通项公式根据数列的规律，可以得出数列的通项公式，即表示数列任意一项与项数之间的关系式。

3.2 前n项和公式数列的前n项和是指数列中前n项之和。

对于等差数列，前n项和公式为：Sn = n/2(a1+an)。

对于等比数列，前n项和公式为：Sn = a1 (q^n - 1)/(q - 1)。

3.3 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项的运算得到，这种关系称为递推关系。

例如，斐波那契数列中的第n项可以通过前两项的和得到。

3.4 有限数列和无限数列有限数列指数列中项数有限，而无限数列指数列中项数无限。

4. 应用题的解题思路在解数列的应用题时，需要根据题目中的条件和要求，确定数列的类型以及通项公式。

然后根据题意使用相应的公式求解。

常见的数列应用题包括递推关系式的求解、前n项和的计算、求某一项、确定数列范围等。

5. 典型例题5.1 例题1已知等差数列的公差为2，前3项的和为9，求该数列的通项公式。

解答过程：设数列的首项为a，通项公式为an=a+(n-1)d。

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

北师⼤版⾼中数学必修五《数列知识点总结》.pdf S=a+a+……+a+an12n?1n相加2S=a+a+a+a+…+a+a…()()()n1n2n?11nS=a+a+……+a+annn?121?2x［练习］已知fx()=，则21+x111f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=2342122??11xxx由f(x)+f=+=+=12222x1+x1+x1+x11+x11111∴原式=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=+1+1+1=323422(附：a.⽤倒序相加法求数列的前n项和如果⼀个数列{an}，与⾸末项等距的两项之和等于⾸末两项之和，可采⽤把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到⼀个常数列的和，这⼀求和⽅法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同⼀类知识的⼯具，例如：等差数列前n项和公式的推导，⽤的就是“倒序相加法”。

b.⽤公式法求数列的前n项和对等差数列、等⽐数列，求前n项和Sn可直接⽤等差、等⽐数列的前n项和公式进⾏求解。

运⽤公式求解的注意事项：⾸先要注意公式的应⽤范围，确定公式适⽤于这个数列之后，再计算。

c.⽤裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的⼀项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从⽽求出数列的前n项和。

d.⽤错位相减法求数列的前n项和错位相减法是⼀种常⽤的数列求和⽅法，应⽤于等⽐数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等⽐数列，在和式的两边同乘以公⽐，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.⽤迭加法求数列的前n项和迭加法主要应⽤于数列{an}满⾜an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等⽐数列的条件下，可把这个式⼦变成a-a=f(n)，代⼊各项，得到⼀系列式⼦，把所有的式⼦加到⼀起，经过整理，可求出a，n+1nn从⽽求出S。

《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法 2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A af n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a += ,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。

（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。

必修5.2.1 数列及其相关概念二.重要题型1.“知三求二”原则例1.(1)在等差数列{}n a 中， 已知153,,562n n a a S ==-=-，求,n d ； (2)在等差数列{}n a 中，已知2,5,35n d n S ===，求1,n a a ； (3)在等比数列{}n a 中，已知11,32,63,n n a a S ===，求,n q ；2、列二元方程组求1,a d 或者1,a q ；例2.(1)在等比数列{}n a 中，若1346510,,4a a a a +=+=求45,a S (2)(2013北京)在等比数列{}n a 中，若243520,40,a a a a +=+=求,n q S(3)在等差数列{}n a 中，451,10,a S ==求n S 的最大值及对应n 的值。

练习1. 在等差数列{}n a 中，3913,45,a S =-=-问n S 是否存在最大值或最小值。

若存在，求出其最值及对应n 的值。

2.在等比数列当{}n a 中，212a a -=且22a 是13a 和3a 的等差中项，求该数列的前n 项和。

总结：1.必须已知条件是可以列两个关于1,a d 或1,a q 的方程.2.公式选择：求1,a d 时11(1)(1)2n n a a n dn n S na d =+--=+⎧⎪⎨⎪⎩，求1,a q 时11(1)1n n n n a aq a q S q -=-=-⎧⎪⎨⎪⎩3.等差数列{}n a 中，求最值时使用2n S An Bn =+的二次函数的最值决定。

必修5.2.2 求数列通项公式的常见方法一.公式法：已知n a 是等差或等比数列例1.(1)已知数列1,1,3,5,7,----⋅⋅⋅依次下去，求数列的通项公式，请问-89是该数列的项吗？(2)已知等比数列{}n a 中，已知312n n S -=，求n a .二.已知n S 求n a例2.已知数列{}n a 中，已知5n n S =求1,n a a ；练习21.已知数列{}n a 中，0n a >，且2(1)4n n a S +=，求n a2.已知数列{}n a 中，且n n a S n +=，(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求n a三.或常数d )例3、已知数列n 中，且112,21n n a a n +==+-，求n a练习3.1.已知数列{}n a 中，且111,21n n n a a a +==++，求n a2.已知数列{}n a 中，121,2a a ==且2122n n n a a a ++=-+， (1)设1n n n b a a +=-，求证{}n b 是等差数列. (2)求n a四.或常数q ) 例4.已知数列{}n a 中，且12131,,(2)2n n a a na n a +===+，求n a ； 练习4.已知等比数列{}n a 中，首相为1a ，公比为q ，求证：11n n a a q -=；五.递推公式法：1n n a Aa B +=+(,A B 为常数)此种形式的递推公式，一定可以化成：公比q A =的等比数列{}n a λ+(λ为常数)，所以这种题目我们可以先设数列为：1n n a A a λλ++=+(或1()1n n B a A a A λλλ++=+⇒=- 例5.(2014全国)已知数列{}n a 中，且111,31n n a a a +==+，求n a练习5.已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--，(1)设1n a +与n a 的关系；(2)求n a必修5.2.3 求数列前n 项和的常见方法一.1.等差数列：12n n S =或1(1)2n n n S na d -=+；2.等比数列：1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n n a a qS q q -=≠-；1(1)n S na q == 3.2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=4.223333(1)1234n n n ++++⋅⋅⋅+=例1.(2014重庆)已知{}n a 是首相是1，公差为2的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和，(1)求,n n a S ;(2)设{}n b 是首项是2，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式和前n 项和。

数学必修五数列知识点提纲很多同学面对数学这门学科时都特别苦恼，中学数学学习是是一个长期的过程。

以下是我给大家整理的数学必修五数列学问点提纲，盼望对大家有所协助，欢送阅读!数学必修五数列学问点提纲1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b那么得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简洁的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1好玩的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、随意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

第二章 数列一、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式就是相应函数的解析式 二、等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

1．等差数列的判断方法：1）定义法：111=()(2)n n n n n n a a d a a a a n ++---=-≥常数或。

2）等差中项法：{}{}1+2=+n n n n n a a a a a +对于数列，若2，则数列是等差数列。

3）通项公式法：n a An B =+4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（大题不能直接用）2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

提醒：等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

5．等差数列的性质：1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += （m+n 是偶数，即m 、n 同奇或同偶，两项才有等差中项）2）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈也成等差数列 3）232,,n n n n n S S S S S -- ，…成等差数列 4）若{}n a 是等差数列，则{}n aa 成等比数列5）若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.6）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，1S nS n =-奇偶 7）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则12-12112-121++n n n n n n a a a A b b b B --== 6．等差数列前n 项和的最值问题： 1111000,0,n;0,0,n;00n n n n n n n a a a d S a d S a a a ++≥≤⎧⎧><<>⎨⎨≤≥⎩⎩①有最大值，利用求此时（的②有最小值，利用法：求此时的1）21 )2:(n,2n n n d dS n a n S =+-由利用二次函数的对称轴求得取得最值时()S 并求出2法7.等差数列绝对值的前n 项和问题【练习16】已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩ 8.等差数列的“巧设项”问题做题时，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三、等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。