高中数学必修五知识点详细解答附答案

知识点串讲必修五第一章：解三角形1．1．1正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abA B =sin cC =一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知∆ABC 中,∠A 060=，a =求sin sin sin a b c A B C++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C++++ 解:设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C== 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin a A =2k ==，所以sin sin sin a b c A B C++++=2 评述：在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。

3、已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c（答案：1:2:3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba2、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:⑵解法一：∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ,即00＜A ＜090,∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。

作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

第一部分必修五三角函数知识点整理第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,⇒ 222A B C π+=-⇒sin cos 22A B C+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ........................... A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π;22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ∆外接圆的直径)2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章 解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角．答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A.答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析 在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5.答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a2－2a22·a ·3a＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a2＋3a2－a 22·2a ·3a＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定 解析 由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinAa ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°.答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32.∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3.答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35.答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3.答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( ) A ．0.5 km B ．1 km C ．1.5 kmD.32km 解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝ACtan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A.答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析 由B ＝A ＋60°，得sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA.又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA.即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0， ∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案 30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______. 解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴103＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8.答案 60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a2b＝sinA2sinB， ∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B. 则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B)－3＝0.求： (1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32.19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值 ②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理授课提示：对应学生用书第1页[基础认识]知识点一 正弦定理预习教材P 2－3，思考并完成以下问题在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？ (1)如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C 分别等于什么？三者有什么关系？提示：要联系正弦函数的定义．(a sin A ＝c ，b sin B ＝c ，csinC＝c ，三者相等)． (2)在一般锐角三角形中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？提示：成立．(3)如图，△ABC 的角B 为钝角，如何验证a sin A ，b sin B ，csin C 的关系？提示：要构造直角三角形．设AB 边上的高为CD ，如图．根据三角函数的定义有， CD ＝a sin(π－B )＝a sin B ， CD ＝b sin A ，所以a sin B ＝b sin A . 得到a sin A ＝b sin B .同理得到b sin B ＝csin C ，故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 知识梳理 (正弦定理law of sines)设△ABC 的外接圆的半径为R . (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)． (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(4)三角形的边长之比等于其对角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (5)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (6)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ．思考 正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示：适合于任意三角形． 知识点二 解三角形知识梳理 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考 任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其他元素吗？ 提示：不一定，如已知三角形三个角A 、B 、C ，则不能确定其各边的大小．[自我检测]1．在△ABC 中，C ＝90°，a ＝12c ，则sin A ＝________.答案：122．在△ABC 中，C ＝120°，A ＝45°，c ＝2，则a ＝________. 答案：2633．在△ABC 中，若B ＝30°，b ＝2，则asin A＝________. 答案：4授课提示：对应学生用书第2页 探究一 已知两角及一边解三角形[阅读教材P 3例1及解答]在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解三角形．题型：已知两角及一边 方法步骤：(1)根据A ＋B ＋C ＝180°求角C . (2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B 求边b .(3)根据正弦定理a sin A ＝csin C求边c .[例1] 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解这个三角形． [解析] 由三角形内角和定理知A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由a sin A ＝csin C，得 c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin B sin A ＝5sin 45°sin 30°＝5 2.[例2] 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4，求AB 的长．[解析] 因为B 为三角形的内角且cos B ＝45，所以sin B ＝35，因为AB sin C ＝ACsin B ，所以AB 22＝635⇒AB ＝5 2.方法技巧 解决已知两角及一边类型的解题方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．延伸探究 1.将例1中的“C ＝105°”改为“A ＝105°”，解这个三角形． 解析：由三角形内角和定理知C ＝30°. 又sin A ＝sin 105°＝6＋24，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5×226＋24＝5(3－1)．同理，c ＝a sin Csin A ＝5×126＋24＝5(6－2)2.2．若例2条件不变，求BC 的长． 解析：由cos B ＝45，知sin B ＝35，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝35×22＋45×22＝7210. 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，∴BC ＝AC ·sin Asin B ＝6×721035＝7 2.探究二 已知两边及一边的对角解三角形[阅读教材P 4例2]在△ABC 中，已知a ＝20 cm ，b ＝28 cm ，A ＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．题型：已知两边及一边的对角 方法步骤：(1)根据正弦定理求sinB ．(2)判断角B 解的情况(本题两解)． (3)讨论角B ，求解角C 和c .[例3] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6 C.π4D .π3 [解析] 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0， 所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝csin C 得2sin3π4＝2sin C ，即sin C ＝12，得C ＝π6. [答案] B(2)在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b .[解析] 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22.因为c ＞a ，所以C ＞A ，所以A ＝π4.所以B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C＝6·sin 5π12sinπ3＝3＋1.延伸探究 3.若把本例(2)中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B ，b .解析：因为c ·sin A ＝6×22＝3＜2，所以6sin π4＜2＜6，即c ·sin A ＜a ＜c ，所以本题有两解．因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.方法技巧1．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知两边及一边对角的三角形解的个数 (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin Aa.①若b sin A a ＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若b sin A a ＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解D ．无法确定解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝25×sin 150°30＝512， 又a ＞b ，所以B 为锐角，角B 有唯一的解． 进一步，可以求角C 和边c ，都是唯一的． 答案：A2．已知△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解析：由正弦定理，可得a sin A ＝b sin B， 所以sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝60°或120°. ①当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝90°， 此时c ＝a 2＋b 2＝(23)2＋62＝43，②当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝30°， 此时c ＝a ＝2 3.探究三 判断三角形的形状[教材P 10习题1.1 B 组第2题]在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，试问这个三角形的形状具有什么特点？解析：设△ABC 的外接圆的半径为R ， 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴由a cos A ＝b cos B 得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B . 由于A 、B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 故A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[例4] 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状． [解析] 由正弦定理， 得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0， 因为A ，B 为△ABC 的内角， 故A －B ＝0，A ＝B ， 即△ABC 为等腰三角形．延伸探究 4.将例4中的条件改为“sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ”，判断三角形的形状．解析：由正弦定理得 sin A a ＝sin B b ＝sin Cc ， 又sin A a ＝cos B b ＝cos Cc， 两式相除得1＝tan B ＝tan C ， 又0＜B ＜π，0＜C ＜π， 所以B ＝C ＝π4，所以A ＝π2.所以△ABC 为等腰直角三角形．5．将例4中的条件改为“a 2tan B ＝b 2tan A ”，判断三角形的形状． 解析：设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ， 所以a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，即4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A ，因为0＜A ＜π，0＜B ＜π， 所以sin A ≠0，sin B ≠0，可得sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 方法技巧1．判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 2．用正弦定理进行边角互化的两种方法授课提示：对应学生用书第4页[课后小结]对正弦定理的认识(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化． (5)正弦定理可用于求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数值)和一边；二是已知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)．第一种三角形只有一解，第二类三角形可能一解、两解或无解．[素养培优]1．不理解三角形解的情况与条件的关系在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜433D ．2＜x ≤433易错分析 对两组解存在的条件理解不清，只认为a ＜b 即可或理解“反”，即a ＞b ，考查逻辑推理、数学运算的学科素养．自我纠正 当a sin B ＜b ＜a 时，△ABC 有两组解， 已知b ＝2，B ＝60°，a ＝x ，如果△ABC 有两组解， 那么x 应满足x sin 60°＜2＜x ， 即2＜x ＜43 3.答案：C2．忽视边或角的大小关系在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝π6，a ＝3，b ＝1，则A ＝( )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6易错分析 忽视条件a 与b 的大小关系和作用，只盲目得一种结果，错选A 或B.考查数学运算及分类讨论思想．自我纠正 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝3sin π61＝32， 因为b ＜a ，所以A ＞B ＝π6，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3或2π3.答案：C3．解答不完备，题意审不清在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．易错分析 将此题的两个条件割裂开应用，致题意审不清，解答不完备或混淆概念．考查数学运算、逻辑推理的学科素养及基本知识的综合应用能力．自我纠正 法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°＜B ＜90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0. 又－90°＜B －C ＜90°， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．单独成册：对应学生用书第79页[A 组 学业达标]1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A.75 B.57 C.712D.512解析：由正弦定理得sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝7∶5. 答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( )A.22B ．1 C. 2D ．2解析：根据三角形内角和定理得C ＝30°， 根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin Csin B ＝22×1222＝2.答案：D3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝45°，a ＝32，则b ＝( )A.32B ． 3C ．2 3D ．4 3解析：由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝32sin 45°sin 60°＝32×2232＝2 3.答案：C4．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A. 2 B ．3－ 3 C ．2D ．3＋ 3解析：由正弦定理得 BC ＝AB sin A sin C ＝3×sin 45°sin 75°＝3×2222×32＋22×12＝266＋2＝3－ 3.答案：B5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°， 所以此三角形为正三角形，有唯一解． 答案：B6．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝1，A ＝45°，则C 的大小为________． 解析：sin B ＝b sin A a ＝1×222＝12. ∵a ＞b ，∴B ＝30°， ∴C ＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105°7．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________.解析：sin B ＝b ·sin Aa ＝3×3233＝12.a ＞b ，∴B ＝π6.C ＝π2.答案：π28．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝________.解析：∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 答案：79．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．求角C 的大小．解析：由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C ．又cos C ≠0， 所以tan C ＝1，则C ＝π4.10.如图所示，AB ⊥BC ，CD ＝33，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝75°，∠BDC＝45°，求AB 的长．解析：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理知：33sin 60°＝BC sin 45°，求得BC ＝11 6.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.[B 组 能力提升]11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin B ＝sin B ＋2sin B cos C ，即sin A cos C ＝2sin B cos C ，由于△ABC 为锐角三角形，所以cos C ≠0，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b .答案：A12．在△ABC 中，A ＝23π，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.85 B ．58C.53D.35解析：由正弦定理得BC sin A ＝ABsin C， 所以sin C ＝AB sin ABC ＝5×sin 23π7＝5314.又因为A ＝23π，所以C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1114＋⎝⎛⎭⎫－12×5314＝3314， 所以sin B sin C ＝33145314＝35.答案：D13．在△ABC 中，已知B ＝45°，b ＝2，若用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是________．解析：因为a sin A ＝b sin B ＝222＝22，所以a ＝22sin A ，A ＋C ＝180°－45°＝135°，由A 有两个值，得到这两个值互补，若A ≤45°，则互补的角大于等于135°，这样A ＋B ≥180°.不成立，所以45°＜A ＜135°，又若A ＝90°，这样补角也是90°，一解，所以22＜sin A ＜1，又a ＝22sin A ，所以2＜a ＜2 2.答案：(2,22)14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________.解析：由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. 因为sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. 因为sin C ＞0，所以3sin B －cos B －1＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.答案：π315．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C . (1)求B 的范围； (2)试求ab的范围．解析：(1)在锐角三角形ABC 中，0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2解得π6＜B ＜π4.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab 的范围是(2，3)．16．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，判断△ABC 的形状．解析：因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB ．由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．1.2 余弦定理授课提示：对应学生用书第4页[基础认识]知识点 余弦定理预习教材P 5－7，思考并完成以下问题(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角(如已知a ，b 及角C )，这个三角形大小、形状完全确定吗？可以用a ，b 及C 表示边c 吗？提示：完全确定三角形，可以用a 、b 及C 表示c . (2)如果C ＝90°，边c 如何表示？ 提示：c 2＝a 2＋b 2.(3)如果C 是任意角，C ∈(0，π)，如图． 设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如何运用向量求|AB →|?提示：c ＝a －b ，|c |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab.思考 (1)勾股定理c 2＝a 2＋b 2与余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 有什么关系 提示：前者是后者的特例(C ＝90°)．(2)△ABC 中，B ＝60°，a ＝12c ，△ABC 一定是直角三角形吗？提示：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝14c 2＋c 2－2×12c 2×12＝34c 2.∴a 2＋b 2＝14c 2＋34c 2＝c 2，故C ＝90°，△ABC 为直角三角形．[自我检测]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．62 D ．219 答案：D2．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________. 答案：12授课提示：对应学生用书第5页探究一 已知两边及夹角解三角形[阅读教材P 7例3]方法步骤： (1)先用余弦定理求a 2. (2)用正弦定理求较小的角C . (3)由A ＋B ＋C ＝180°求角B .[例1] (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . [解析] ∵cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°.(2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C 和a .[解析] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出第三边，其他角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求解；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． (2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好．跟踪探究 1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17答案：D2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：∵b ＋c ＝7，∴c ＝7－b .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，解得b ＝4. 答案：4探究二 已知三边解三角形[阅读教材P 7例4]方法步骤： (1)用余弦定理变式求某角的余弦值． (2)用余弦定理变式求另一角的余弦值． (3)结合A ＋B ＋C ＝180°，求第三个角．[例2] △ABC 中，a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，解该三角形． [解析] 法一：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋8＋43－843(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝75°. 法二：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22×3223＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°， ∴A ＝60°，B ＝45°，C ＝75°.延伸探究 1.将本例改为：若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶2∶ 3D.2∶3∶2解析：设三角形三边长分别为m ，3m,2m (m ＞0)，最大角为A ， 则cos A ＝m 2＋(3m )2－(2m )22m ·3m ＝0，∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2m )2＋(3m )2－m 22·2m ·3m ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案：A方法技巧 已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值非负，角为锐角或直角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 探究三 已知三边关系解三角形[教材练习P 25B 组3题]研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质： (1)三边是连续的三个自然数； (2)最大角是最小角的2倍．解析：设△ABC 的三边分别为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1(n ≥2，且n ∈N )，同时C ＝2A . 由sin C sin A ＝n ＋1n －1得2cos A ＝n ＋1n －1. 又∵cos A ＝(n ＋1)2＋n 2－(n －1)22n (n ＋1)＝n ＋42(n ＋1)，∴2×n ＋42(n ＋1)＝n ＋1n －1，∴n ＝5适合题意．故存在这个三角形，三边分别为4,5,6.[例3] 在△ABC 中，已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，且sin A ∶sin C ＝(3＋1)∶2，求角C . [解析] ∵a 2＋c 2＝b 2＋ac ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ． ∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵sin A sin C ＝3＋12，∴2sin A ＝(3＋1)sin C .∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C .∴2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＝(3＋1)sin C ， ∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.延伸探究 2.将本例条件变为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝2ac 2ac ＝22，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°. 答案：A3．将本例条件改为：“在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ”，求角C . 解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A ·sin B －sin 2B ，结合正弦定理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π3.方法技巧 在三角形的边角关系中，含有a 2，b 2，c 2或ab ，bc ，ca 等形式的等式条件，可以变形为余弦定理的形式，求角或求边．探究四 用余弦定理判定三角形的形状[教材P 10B 组第2题]在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，试问这个三角形的形状具有什么特点？用余弦定理如何判定？解析：由于cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[例4] 在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．[解析] 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和a cos A＋b cos B ＝c cos C 得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴(a 2－b 2－c 2)(a 2－b 2＋c 2)＝0， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法技巧 判断三角形形状的基本思想和两条思路跟踪探究 3.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，原式变为a 2＋b 2＜c 2，又结合余弦定理变形得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：A授课提示：对应学生用书第6页[课后小结]余弦定理的特点(1)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．(2)适用的三角形的条件：主要适用于已知三角形的两边及一角或三边． ①已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．②已知三边解三角形的方法：先用余弦定理的变式求两个内角的余弦值，再求角，最后用内角和为180°求第三角． (3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，求边c 的取值范围．易错分析 此题易出现两个错误：一是只考虑了角C 是钝角的情况，事实上角B 也可能是钝角；二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件．考查了分类讨论思想、逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养． 自我纠正 因为a ＝1，b ＝2，所以1＜c ＜3. 若角B 是钝角，则cos B ＜0，即12＋c 2－222×1·c ＜0，解得1＜c ＜3；若角C 是钝角，则cos C ＜0，即12＋22－c 22×1×2＜0，解得5＜c ＜3.综上，边c 的取值范围是(1，3)∪(5，3)．单独成册：对应学生用书第81页[A 组 学业达标]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441 B.45 C.425D.44141解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，所以b ＝5.cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－35， sin C ＝1－cos 2C ＝45.答案：B2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°. 答案：B3．在△ABC 中，若a ＜b ＜c ，且c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不存在解析：因为c 2＜a 2＋b 2，所以C 为锐角，因为a ＜b ＜c ，所以C 为最大角，所以△ABC 为锐角三角形． 答案：B4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B ．34C.32D.78解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a＝78.答案：D5．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误．答案：A6．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以a ＝3b 5，c ＝7b5，A 为三角形的最小内角，所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋49b 225－9b 2252×b ×7b 5＝1314.答案：13147．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________.解析：因为C ＝60°， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .①又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②比较①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：438．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：349．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解析：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根． 解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac .求角B 的值．解析：因为(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝3cos B 2sin B ，即cos B ＝3cos B 2sin B ，所以sin B ＝32， 又因为B ∈(0，π)，所以B 为π3或2π3.[B 组 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：由余弦定理得cos ∠ABC ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝72＋52－822×7×5＝17，因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 答案：D12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2a －b ＝2c cos B ，则角C 的大小为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入已知条件得：2a －b ＝a 2＋c 2－b 2a，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.答案：B13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝12a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案：3414．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·(－12)，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2， 得2＝b 2c 2＋bc c 2，即2＝(b c )2＋b c.令t ＝bc (t ＞0)，有2＝t 2＋t ，即t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2(舍去)，故bc ＝1.答案：115．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解析：法一：在△ABC 中，由cos 2A2＝b ＋c2c，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．法二：在△ABC 中， 设其外接圆半径为R ，由正弦定理， 得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 由cos 2A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin B sin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角，∴A ≠0，A ≠π. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝52，b ＝6，4a －36cosA ＝0.(1)求a 的值；(2)若B ＝λA ，求λ的值． 解析：(1)因为4a －36cos A ＝0， 故4a ＝36cos A ，所以4a ＝36×b 2＋c 2－a 22bc ，因为c ＝52，b ＝6，所以12a 2＋80a －147＝0， 解得a ＝32或a ＝－496(舍去)，故a ＝32.(2)由(1)可知cos A ＝436×32＝63，所以sin A ＝33， 故cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝13.因为a ＝32，c ＝52，b ＝6，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，所以cos 2A ＝cos B ，因为在△ABC 中，c ＞b ＞a ，故B ＝2A ，即λ的值为2.1．2 应用举例 第1课时 距离测量问题授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]预习教材P 11－12，思考并完成以下问题知识点基线的概念与选择原则图1(1)如何测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离？如图1，测量AB的距离．图2提示：测出AC与∠BAC和∠ACB.(2)如何测量两个不可到达点之间的距离？如图2，测量AB的距离．提示：测出DC及∠ADB，∠BDC，∠DCA，∠ACB.知识梳理(1)基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．(2)选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高．[自我检测]1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile答案：B2．A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC＝60 m，BC ＝160 m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________．答案：140 m授课提示：对应学生用书第7页探究一测量一个不可到达点的距离[阅读教材P11例1]测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)在河的一岸选基线AC . (2)测出基线长AC .(3)测量角度∠BAC 和∠ACB . (4)利用正弦定理计算AB .[例1] 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A 处，经观察，在河的对岸有一参照物C ，与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后到达点B ，测得该参照物与前进方向成75°角．求点A 与参照物C 的距离．[解析] 由题意得AB ＝200 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°. 由正弦定理得AB sin 45°＝ACsin 105°，∴AC ＝AB ·sin 105°sin 45°＝200×2＋6422＝100(1＋3)，即A 与C 的距离为100(1＋3) m.延伸探究 如果本例条件不变，求河的宽度． 解析：作CD ⊥AB 于D 点(图略)，由于∠CAB ＝30°，∴CD ＝12AC ＝50(1＋3)(m)．即河的宽度为50(1＋3) m.方法技巧 测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．探究二 测量不可到达的两点间的距离[阅读教材P 11例1]测量器材：米尺、测角仪 方法步骤：(1)选基线CD ，并测量长度．(2)测角度∠BCA ，∠ACD ，∠CDB ，∠BDA . (3)用正弦定理计算AC ，BC . (4)用余弦定理计算AB .[例2] 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距32a km 的军事基地C 和D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．[解析] ∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°. ∵∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AD ＝CD ＝32a km. 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC，得BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a (km)．在△ADB 中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB＝34a 2＋(3＋34a )2－2·3＋34a ·32a ·32＝38a 2， ∴AB ＝64a km. 故蓝方这两支精锐部队间的距离为64a km. 方法技巧 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题．其实质是综合应用正、余弦定理求解边长．跟踪探究 1．如图，对于河对岸A 、B 两点，给出不同于本例题解法的另外一种测量方法．解析：测量者可以在河岸边选定点E ，C ，D ，使A ，E ，C 及D ，E ，B 三点共线，测得EC ＝a ，ED ＝b ，并且分别测得∠BEC ＝∠AED ＝α，∠BCA ＝β，∠ADB ＝γ，在△AED 和△BEC 中，应用正弦定理得 AE ＝b sin γsin[π－(α＋γ)]＝b sin γsin (α＋γ)，BE ＝a sin βsin[π－(α＋β)]＝a sin βsin (α＋β).在△ABE 中，应用余弦定理计算出A ，B 两点间的距离 AB ＝AE 2＋BE 2＋2AE ×BE cos α.探究三 测量不通、不可视的两点间的距离[阅读教材P 24 A 组第3题]如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向．已测得隧道两端的两点A ，B 到某一点C 的距离a ，b 及∠ACB ＝α，求A ，B 两点的距离，以及∠ABC ，∠BAC . 解析：AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α，cos ∠ABC ＝a 2＋AB 2－b 22a ·AB ＝2a 2－2ab cos α2a a 2＋b 2－2ab cos α＝a －b cos αa 2＋b 2－2ab cos α，从而确定∠ABC 的大小．则∠BAC ＝π－α－∠ABC .[例3] 如图所示，为了开凿隧道，要测量隧道上DE 间的距离，为此在山的一侧选取适当的点C ，测量AC ＝400 m ，BC ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(点A ，D ，E ，B 在同一直线上)，试计算隧道DE 的长(精确到1 m)．[解析] 在△ABC 中，由余弦定理可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝4002＋6002－2×400×600×12＝280 000，∴AB ＝2007，∴DE ＝AB －AD －EB ＝2007－80－40≈409(m)． 方法技巧 此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题，故直接用余弦定理． 跟踪探究 2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )①测量A ，B ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a . 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：①AB ＝b sin (A ＋B )sin B ；②AB ＝a 2＋b 2－2ab cos C ；③AB ＝a sin (A ＋B )sin A .答案：A探究四 海平面上两点间的距离[阅读教材P19习题A 组第1题] 如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿着方位角为148°的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126°，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是78°.求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离．解析：在△ABC 中，∠ABC ＝148°－126°＝22°， ∠BAC ＝126°－78°＝48°， BC ＝352.由正弦定理BC sin 48°＝AC sin 22°，故AC ＝35sin 22°2sin 48°.[例4] 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救并在B 处追上商船．求“黄山”舰追上商船所需要的最短时间及所经过的路程．[解析] 如图所示，A ，B ，C 构成一个三角形．。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

人教版数学必修5知识点总结第一章解三角形—面积公式一、面积公式1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（）A. 10B. 10√3C. 20D. 20√32.已知△ABC的面积为√3，且∠C=30∘，BC=2√3，则AB等于（）A. 1B. √3C. 2D. 2√33.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3√2，b=2√3，cosC=13，则△ABC的面积为（）A. 3√3B. 2√3C. 4√3D. √34.△ABC中，a.b.c分别为∠A.∠B.∠C的对边，如果a.b.c成等差数列，∠B=30∘，△ABC的面积为32，那么b等于（）A. 1+√32B. 1+√3 C. 2+√32D. 2+√35.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（）A. 12B. 14C. 1D. 26.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2√2，cosA=34，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（）A. √7B. √74C. 165D. 857.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b−√3c=2acosC，sinC=√32，则△ABC的面积为（）A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√32二、面积公式与余弦定理8.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120∘，△ABC的面积S=15√34，则c=（）A. 5B. 6C. √39D. 79.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是（）A. √3B. 9√32C. 3√32D. 3√310.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=√3，则S△ABC=（）A. √2B. √3C. √32D. 211.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3，则AC的长为（）A. 3B. √13C. √21D. √5712.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3√3，则BC的长是______．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60∘,b=4,S△ABC=4√3，则a=______ ．14.已知△ABC的面积为4√33，AC=3，B=60∘，则△ABC的周长为______ ．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积S=a2+b2−c24√3，则角C=______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA+√3cosA=0，a=2√7，b=2(Ⅰ)求c；(Ⅱ)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．17.△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=√32AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若b+c=5，a=√7，求△ABC的面积的大小．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A2=2√55，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3．(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6，求a的值．三、正余弦定理，面积公式综合19.在△ABC中，A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则csinC=（）A. 8√381B. 2√393C. 26√33D. 2√720.在△ABC中，a=1，B=45∘，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. 5√22B. 5C. 5√2D. 6√221.在△ABC中，A=30∘，AB=2，且△ABC的面积为√3，则△ABC外接圆的半径为（）A. 2√33B. 4√33C. 2D. 422.a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B−sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A. 12B. 1C. 2D. 423.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinBsinCsinA =3√72，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．24.设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinC=4sinA，(ca+cb)(sinA−sinB)=sinC(2√7−c2)，则△ABC的面积为______ ．25.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=√2sinC,cosC=13，△ABC的面积为4，则c=______．26.如图，在平面四边形ABCD中，△ACD的面积为√3，AB=2，BC=√3−1，∠ABC=120∘，∠BCD=135∘，则AD=______．27.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2．3sinA(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．28.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．29.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π，tan∠ADC=−2，求：4(1)CD的长；(2)△BCD的面积．30. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2b −c)cosA −acosC =0(1)求角A ．(2)若边长a =√3，且△ABC 的面积是3√34，求边长b 及c ．31. 如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4．(Ⅰ) 求∠ACP ；(Ⅱ) 若△APB 的面积是3√32，求sin∠BAP ．32. 如图，在△ABC 中，B =π4，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设∠BAD =α，sinα=√55． (Ⅰ)求sinC ； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =28，求AC 的长．33.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为accosB，BC的中点为D．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)若c=2，asinA=5csinC，求AD的长．34.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=(2a+c)sinA+(2c+a)sinC．(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若b=√3，A=π，求△ABC的面积．435.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c=√3asinC−ccosA．(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为√3，求b、c．36.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=3．5(1)若b=4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．37.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1)求角A的大小；(2)若a=2,B=π，求△ABC的面积．3c.38.在△ABC中，角A，B，C所对的边分別为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=13(1)若c=1，sinC=1，求△ABC的面积S；3(2)若D是AC的中点，且cosB=2√5，BD=√26，求△ABC的最短边的边长．539.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=√3bcosC，a2−c2=2b2(Ⅰ)求C的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积为21√3，求b的值．40.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC=b+c．(1)求A；(2)若a=√7，△ABC的面积为3√3，求b与c的值．241.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+ccosA=−2bcosA．(1)求角A的值；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．42.设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．(1)求角A的大小；(2)若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．43.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60∘，CD=2．(Ⅰ)若AD=BD=3，求△ABC的面积；(Ⅱ)若AD=2，BD=4，求sinB的值．44.设钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=(2b−√3c)sinB+(2c−√3b)sinC．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，b=2√3，求△ABC的面积．45.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，c=2，求△ABC的面积．46.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60∘，AB=2√7，BD=4．(1)求▵ABD的面积．(2)若∠BAC=120∘，求AC的长．47.在▵ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA−ccosB=(c−a)cosB．(1)求角B的值；(2)若▵ABC的面积为3√3，b=√13，求a+c的值．48.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A=2sin2B，c=2b．(1)求cosB；(2)若△ABC的面积为√7，求△ABC的周长．人教版数学必修5知识点总结（教师版）第一章 解三角形—面积公式一、 面积公式1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =7，b =5，c =8，则△ABC 的面积S 等于( B ) A. 10 B. 10√3 C. 20 D. 20√3 2. 已知△ABC 的面积为√3，且∠C =30∘，BC =2√3，则AB 等于( C )A. 1B. √3C. 2D. 2√33. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =3√2，b =2√3，cosC =13，则△ABC 的面积为( C ) A. 3√3B. 2√3C. 4√3D. √34. △ABC 中，a.b.c 分别为∠A.∠B.∠C 的对边，如果a.b.c 成等差数列，∠B =30∘，△ABC 的面积为32，那么b 等于( B )A. 1+√32B. 1+√3C. 2+√32D. 2+√35. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A =sinA ，bc =2，则△ABC 的面积为( A )A. 12B. 14C. 1D. 26. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，cosA =34，sinB =2sinC ，则△ABC 的面积是( A )A. √7B. √74C. 165 D. 85【解析】∵a =2√2，cosA =34，sinB =2sinC ，可得：b =2c.sinA =√1−cos 2A =√74， ∴由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得：8=4c 2+c 2−3c 2，解得c =2，b =4． ∴S △ABC =12bcsinA =12×2×4×√74=√7．故选A ．7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =1，2b −√3c =2acosC ，sinC =√32，则△ABC 的面积为( C )A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√32【解析】∵2b −√3c =2acosC ，∴由正弦定理可得2sinB −√3sinC =2sinAcosC ，∴2sin(A +C)−√3sinC =2sinAcosC ，∴2cosAsinC =√3sinC ， ∴cosA =√32∴A =30∘，∵sinC =√32，∴C =60∘或120∘A =30∘，C =60∘，B =90∘，a =1，∴△ABC 的面积为12×1×2×√32=√32，A =30∘，C =120∘，B =30∘，a =1，∴△ABC 的面积为12×1×1×√32=√34，故选：C ．二、面积公式与余弦定理8.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120∘，△ABC的面积S=15√34，则c=( D )A. 5B. 6C. √39D. 79.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是( C )A. √3B. 9√32C. 3√32D. 3√310.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=√3，则S△ABC=( C )A. √2B. √3C. √32D. 2【解析】∵A、B、C依次成等差数列，∴B=60∘∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，得：c=2∴由三角形面积公式得：S△ABC=12acsinB=√32，故选C．11.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3，则AC的长为( B )A. 3B. √13C. √21D. √57【解析】解：∵BC=1，B=π3，△ABC的面积为√3=12BC⋅AB⋅sinB=12×AB×1×√32，∴AB=4，∴AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=√16+1−2×4×1×12=√13．故选：B．12.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3√3，则BC的长是______．【答案】√1313.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60∘,b=4,S△ABC=4√3，则a=______ ．【答案】4【解析】解1：∵A=60∘,b=4,S△ABC=4√3=12bcsinA=12×4×c×√32，∴解得c=4，由b=c=4，且A=60∘有∆ABC是等边三角形，故a=4解2：a=√b2+c2−2bccosA=√42+42−2×4×4×12=4．故答案为：4．14.已知△ABC的面积为4√33，AC=3，B=60∘，则△ABC的周长为______ ．【答案】8【解析】由三角形面积公式可知12acsin60∘=4√33，ac=163，由余弦定理可知：b2=a2+c2−2ac⋅cos60，即9=a2+c2−ac，可得：a2+c2=433，推出(a+c)2=25，则：a+c=5，所以周长：a+c+b=5+3=8．故答案为：8．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积S=2224√3，则角C=______．【答案】616. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinA +√3cosA =0，a =2√7，b =2(Ⅰ)求c ；(Ⅱ)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【解析】(Ⅰ)∵sinA +√3cosA =0，∴tanA =−√3， ∵0<A <π，∴A =2π3，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即28=4+c 2−2×2c ×(−12)，即c 2+2c −24=0， 解得c =−6(舍去)或c =4，故c =4． (Ⅱ)∵c 2=b 2+a 2−2abcosC ，∴16=28+4−2×2√7×2×cosC ，∴cosC =2√7，∴CD =ACcosC =22√7=√7∴CD =12BC ，∵S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√32=2√3，∴S △ABD =12S △ABC =√3．17. △ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是，a 、b 、c ，△ABC 的面积S =√32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)若b +c =5，a =√7，求△ABC 的面积的大小．【解析】(Ⅰ)∵S =√32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32bccosA ， 又∵S =12bcsinA ，可得：tanA =√3，∴由A ∈(0,π)，可得：A =π3 (Ⅱ)∵由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得：7=b 2+c 2−bc ，∴可得：(b +c)2−3bc =7，∴由b +c =5，可得：bc =6，∴△ABC 的面积S =12bcsinA =3√3218. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2=2√55，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3． (1)求△ABC 的面积；(2)若b +c =6，求a 的值． 【解析】(1)因为cos A2=2√55，所以cosA =2cos 2A 2−1=35，sinA =45．又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3得bccosA =3，所以bc =5因此S △ABC =12bcsinA =2． (2)由(1)知，bc =5，又b +c =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−165bc =20，所以a =2√5．三、 正余弦定理，面积公式综合19. 在△ABC 中，A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则csinC =( B )A. 8√381B. 2√393C. 26√33D. 2√7【解析】△ABC 中，A =60∘，b =1，S ∆ABC =√3，∴12bcsinA =12×1×c ×sin60∘=√3， 解得c =4；∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =12+42−2×1×4×cos60∘=13，∴a =√13； ∴c sinC=a sinA=√13√32=2√393．故选B ．20. 在△ABC 中，a =1，B =45∘，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A. 5√22B. 5C. 5√2D. 6√221. 在△ABC 中，A =30∘，AB =2，且△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( C )A. 2√33B. 4√33C. 2D. 4【解析】在△ABC 中，由A =30∘，c =AB =2，得到S △ABC =12bcsinA =12b ×2×12=√3， 解得b =2√3，根据余弦定理得：a 2=12+4−2×2√3×2×√32=4，解得a =2，根据正弦定理得：asinA =2R(R 为外接圆半径)，则R =22×12=2．故选C ．22. a ，b ，c 是非直角△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且sin 2A +sin 2B −sin 2C =absinAsinBsin2C ，则△ABC的面积为( A )A. 12B. 1C. 2D. 4【解析】∵sin 2A +sin 2B −sin 2C =absinAsinBsin2C ，∴由正弦定理可得：a 2+b 2−c 2=2a 2b 2sinCcosC ，∴2abcosC =12absinC ⋅4abcosC ， ∵cosC ≠0，∴S △ABC =12absinC =2abcosC4abcosC =12．故选：A ．23. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinBsinC sinA =3√72，b =4a ，a +c =5，则△ABC 的面积为______．【答案】3√74【解析】由正弦定理及sinBsinC sinA =3√72，得bsinC a =3√72， 又B =4α，∴sinC = 3√78，∵△ABC 为锐角三角形，∴cosC = 18，∴cosC ==a 2+b 2−c 22ab =a 2+(4a)2−(5−a)22a×4a，18解得A =1，B =4，c =4，∴S △ABC = 12absinC = 12×1×4×3√78= 3√74。

现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标必修五数学知识点归纳资料第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=,sin( A B) sin C ， cos( A B) cosCA B2C sinA2 B cosC222②.在 ABC 中 , a b ＞c , a b ＜ c ; A ＞ Bsin A ＞ sin B ,A ＞ BcosA ＜ cosB, a ＞bA ＞B ③.若 ABC 为锐角，则 A B ＞ ,B+C ＞,A+C ＞ ;222a 2b 2 ＞c 2 ， b 2 c 2 ＞ a 2 ， a 2 ＋ c 2 ＞ b 22、正弦定理与余弦定理：①.正弦定理：abc 2R (2R 为 ABC 外接圆的直径 )sin Bsin Asin Ca 2R sin A 、b 2Rsin B 、c 2R sin C（边化角）sin Aa 、 sin Bb 、 sin Cc（角化边）2R2R 2R面积公式： S ABC1ab sin C1bc sin A1ac sin B222②. 余 弦 定 理 ： a 2b 2c 2 2bc cos A、 b 2 a 2 c 22ac cos B 、c 2a 2b 22ab cosCcos A b 2 c 2 a 2 、 cos B a 2 c 2 b 2 、 cosCa 2b 2c 2 （角化边）2bc 2ac2ab补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ coscos cos sin sin ；⑵ coscos cos sin sin ； ⑶ sinsin cos cos sin ；⑷ sinsin coscos sin ；⑸ tantan tan（ tantantan1 tan tan）；1 tantan现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标⑹ tantan tan（ tantantan1 tan tan）．1 tan tan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴ sin 2 2sin cos ． 1 sin 2sin 2cos 22 sincos(sincos )2⑵ cos2cos 2sin 22cos 2 1 1 2sin 2升幂公式 1 cos2 cos 2 ,1 cos2 sin 222降幂公式 cos2cos2 1， sin 21 cos2 ．223、常见的解题方法：（边化角或者角化边）第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①.a n( ) ，数列是定义域为 N 的函数 f (n) ，当 n 依次取 ， ， 时的一列函f n1 2 数值②. a n 的求法：i. 归纳法ii.a nS 1 , n 10 ，则 a n 不分段；若 S 00 ，则 a n 分段S n S n若 S 01, n 2iii. 若 a n 1pa nq ，则可设 a n 1 m p(a n m) 解得 m,得等比数列 a n miv.若 S nf (a n ) ，先求 a 1 ，再构造方程组 ： S n f (a n )得到关于 a n 1 和 a n 的递推S n 1 f (a n 1 )关系式例如：2 a n 1S n 2a n 12a n 1 2a nS n 先求 a 1 ，再构造方程组：（下减上） a n 1Sn 12a n 1 12. 等差数列：① 定义： a n 1 a n = d （常数） , 证明数列是等差数列的重要工具。

高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n≥2，n∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）.⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

目录必修5知识点总结 2含参不等式9一元二次不等式12均值不等式17整式不等式(高次不等式) 25 分式不等式26绝对值不等式27不等式关系28线性归纳29必修5知识点总结1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b cRC ===A B ．2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =；②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2cC R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。

2、已知两角和一边,求其余的量。

)⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

(一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A(A 为锐角)求B 。

具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 点旋转,看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。

法二:是算出CD ＝bsinA,看a 的情况: 当a ＜bsinA,则B 无解 当bsinA ＜a ≤b,则B 有两解 当a ＝bsinA 或a>b 时,B 有一解注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B ,2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222cos 2a b c C ab +-=．(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。

数学必修五知识点总结1、数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N某或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1、等差数列通项公式an=a1+（n—1）dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn—Sn—1an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①Sn=an+an—1+an—2+······+a1=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n 个）=n（a1+an）∴Sn=n（a1+an）÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）亦可得a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷nan=2sn÷n—a1有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d它可以看作等差数列广义的通项公式。

高中数学必修5课后习题答案高中数学必修5课后习题答案高中数学必修5是一门重要的课程，其中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将介绍一些高中数学必修5课后习题的答案，帮助学生更好地理解和掌握知识。

一、函数的概念与性质1. 函数的定义答案：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

通常用f(x)表示函数。

2. 函数的性质答案：函数具有唯一性、有界性、单调性、奇偶性、周期性等性质。

二、三角函数1. 三角函数的定义答案：正弦函数、余弦函数、正切函数等是常见的三角函数，它们分别表示一个角的正弦值、余弦值、正切值与角度之间的关系。

2. 三角函数的性质答案：三角函数具有周期性、对称性、单调性等性质，可以通过函数图像进行可视化分析。

三、数列与数学归纳法1. 数列的定义答案：数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

2. 数学归纳法答案：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它包括基础步骤和归纳步骤。

四、排列与组合1. 排列与组合的概念答案：排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的方式，组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。

2. 排列与组合的计算公式答案：排列的计算公式是An = n!/(n-r)!，组合的计算公式是Cn = n!/(r!(n-r)!)。

五、概率与统计1. 概率的概念答案：概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数表示。

2. 统计的概念答案：统计是指对数据进行收集、整理、分析和解释的过程，可以通过统计方法得出一些结论和推断。

六、导数与微分1. 导数的定义答案：导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。

2. 微分的概念答案：微分是导数的微小变化，可以用来求函数在某一点的近似值。

七、不等式与线性规划1. 不等式的性质答案：不等式具有传递性、加法性、乘法性等性质，可以通过不等式进行数值范围的推断。

2. 线性规划的概念答案：线性规划是一种优化问题，旨在求解一个线性目标函数在一组线性约束条件下的最优解。

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理一。

知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA=a c ,sinB=bc ⇒c=sin a A ,c=sin bB⇒sin a A =sin b B ,又sinC=1⇒sin a A =sin b B =sin c C二。

学习提纲： <一>.正弦定理：（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即：sin a A =sin b B =sin cC（2）证明： j C①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当∆ABC 为锐角三角形时， A B过A 作单位向量j ⊥AB ,则j 与AB 的夹角为2π，j 与BC 的夹角为2π-B ，j 与CA 的夹角为2π+A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. AB +BC +CA =0,∴j (AB +BC +CA )=j 0∴j AB +j BC +j CA =0 ∴|j ||AB |cos2π+|j ||BC |cos(2π-B )+|j ||CA |cos 2π+A )=0∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin bB同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin cC当∆ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin cC（3）正弦定理的变形：①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC③sin a A =sin b B =sin c C=2R （R 为∆ABC 外接圆的半径） ⇒a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ⇒ sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R（二）余弦定理：（1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2a =2b +2c -2bccosA; 2b =2a +2c -2accosB; 2c =2a +2b -2abcosC 变形：2sin A=2sin B+2sin C-2sinBsinCcosA 2sin B=2sin A+2sin C-2sinAsinCcosB 2sin C=2sin A+2sin B-2sinAsinBcosC求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +-变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B CA B +-(2)勾股定理：2c =2a +2b推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222a b c >+（3）三角形的面积公式： ①ABC S ∆=12ah ②ABC S ∆=12absinC=12bcsinA=12acsinB③ABC S ∆(p=12(a+b+c) ④ABC S ∆=4abcR(4)对于任意的三角形，都有：sinA>0①A+B+C=π; sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ③sin2A B +=cos 2C , cos 2A B +=sin 2C④sinA>0 ⑤若A>B,则有:sinA>sinB ⑥ CosAcosBcosC>0是△ABC 为锐角三角形的充要条件⑦ CosAcosBcosC=0是△ABC 为直角三角形的充要条件 ⑧ CosAcosBcosC<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件 注意：在三角形中，应该满足成立三角形的条件：① 任意两边之和大于第三边；② 大边对大角,小边对小角；最大角要大于60°，最小角要小于60°； ③ A+B+C=π应用举例：1.在△ABC 中，若A>B 是sinA>sinB 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要2. 在△ABC 中，a=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数有（ ）A. 0B. 1C. 2D.无数个3. 在△ABC 中，°,则c=_______.4. 在△ABC =2bsinA,则B=_____.5.在△ABC 中，,∠A=4π,则∠B=_______. 6.在△ABC 中，AB=4,AC=7,BC 边上的中线AD=72, 那么BC=________.7. 在△ABC 中,bcosA=acosB 则三角形为__________ 8.在△ABC 中,A,B 均为锐角且cosA>sinB, 则△ABC 是________.9.（bixiu5P10）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，且a=2bsinA.(1)求B 的大小 （2）求cosA+sinC 的取值范围10. （bixiu5P12）（2010山东）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若，b=2,,则角A 的大小为__________。

高中必修五数学知识点笔记整理高中必修五数学知识点一、基础知识(1)常用逻辑用语：四种命题(原、逆、否、逆否)及其相互关系;充分条件与必要条件;简单的逻辑联结词(或、且、非);全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否定.(2)圆锥曲线：曲线与方程;求轨迹的常用步骤;椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质(注意离心率与形状的关系);双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质(注意双曲线的渐近线)、等轴双曲线与共轭双曲线;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的简单几何性质;直线与圆锥曲线的常用公式(弦长公式、两根差公式).圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等.(3)空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算(加法、减法、数乘、数量积);空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示;平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法.二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解.(1)区分逆命题与命题的否定;(2)理解充分条件与必要条件;(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义;(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题;(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题;(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明;(8)轨迹与轨迹求法;(9)运用空间向量求空间中的角度与距离;(10)立体几何中的动态问题探究.高中必修五数学必背知识点一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异性,(3) 元素的无序性,3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

《必修五知识点整理》第一章解三角形正弦定理和余弦定理正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c.a b csin A sin B sin C 2R （R为三角形外接圆的半径）正弦定理推论：①sin Bsin A sin Ca sin A ,b sin B ,a sin A② a 2R sin A, b 2R sin B, c2R sin C③b sin Bc sin C c sin C④ a : b : c sin A :sin B :sin C⑤a b c a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C2、解三角形的观点：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。

任何一个三角形都有六个元素：三条边( a, b, c) 和三个内角( A, B,C ) .在三角形中，已知三角形的几个元素求其余元素的过程叫做解三角形。

3、正弦定理确立三角形解的状况图形关系式解的个数① a b sin A一解② a bA为b sin A a b两解锐角a b sin A无解A为 a b一解钝角或直 a b无解角4、随意三角形面积公式为：S VABC 1bc sin A1ac sin B1ab sin C abc 2224Rp( p a)( p b)( p c)r(a b c)2R2 sin A sin B sin C余弦定理25、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bc cos A ， b2a2c22ca cos B ， c2a2b22ab cosC .余弦定理推论：cos A b2c2a2a2c2b2a2b2c2 2bc，cosB2ac，cosC2ab6、不常用的三角函数值15°75°105°165°sin 62626262 4444cos626262624444 tan23232323应用举例（阅读即可）1、方向角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。