高考数学：第十六章选修4 第16课 常见曲线的参数方程 Word版含解析

____第16课__常见曲线的参数方程____1. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义．1. 阅读：选修44第42～47页．基础诊断1. 方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t为参数)表示的曲线是________________________________________________________________________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________．3. 参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 为参数)，且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)①线段；②双曲线；③圆弧；④射线． 4. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为________．范例导航考向参数方程与普通方程的互化例1 (1) 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程；(2) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)化为普通方程．在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上求一点，使它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t(t 为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．考向.例2已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝6(1) 写出直线l的参数方程；(2) 设直线l与圆2＋y2＝4相交于A、B两点，求点P到A、B两点的距离之积．点P(，y)是椭圆22＋3y2＝12上的一个动点，求＋2y的最大值．考向例3(1) 求2＋y 的取值范围；(2) 若＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．自测反馈1. P(，y)是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上任意一点，则(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆2＋y 2＝9截得的弦长等于________．3. 若P 为曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为________．4. 曲线C; ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程是________________________，如果曲线C 与直线＋y ＋a ＝0 有公共点，那么实数a 的取值范围是________．1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易被忽视．2. 解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．3. 写出直线，圆，椭圆的参数方程：________________________________________________________________________.第16课 常见曲线的参数方程基础诊断1. 一条射线解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，得y ＝33，≥0，故该参数方程对应的曲线为一条射线．2. 2 解析：直线的普通方程为y ＝12，曲线的普通方程为(－2)2＋y 2＝1，则该曲线是以点(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d ＝|1|⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝255<1，所以直线与曲线的公共点的个数为2.3. ①解析：由题可得⎩⎨⎧t 2＝x －23，t 2＝y ＋1(t 为参数)，则x －23＝y ＋1，即－3y －5＝0，又0≤t ≤5，所以该曲线为线段，故选①.4. (3，－3) 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 22＝－－81×12＝4，所以AB 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，故AB 的中点坐标为(3，－3)．范例导航例1 解析：(1) 方法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝4，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.方法二：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8，相乘得()2x ＋y ()2x －y 64＝1，化简得普通方程为x 216－y 264＝1.(2) 由⎩⎨⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos 2θ(θ为参数)，①②因为θ∈R ，所以－1≤sin θ≤1，则－2≤≤ 2. 由①两边平方得2＝2sin 2θ，③ 由②得y －1＝2cos 2θ，④由③＋④得2＋y －1＝2，即y ＝－2＋3(－2≤≤2)， 故普通方程为y ＝－2＋3(－2≤≤2)．注：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出的取值范围．【教学处理】1. 参数方程的教学要求不要拔高．参数方程与普通方程互相转化时特别要注意等价性，本题是直线与圆的位置关系．2. 本题也可通过画图;解．解析：直线C 2化成普通方程是＋y ＋22－1＝0，设所求的点为P (1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线C 2的距离d ＝|1＋cos θ＋sin θ＋22－1|2＝ |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2|.当θ＋π4＝3π2＋2π，∈，即θ＝5π4＋2π，∈时，d 取最小值1，此时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，－22. 例2 【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书． 解析：(1) 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)．(2) 将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，化简得t 2＋(3＋1)t－2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.解析：将椭圆22＋3y 2＝12化为x 26＋y 24＝1，设＝6cos θ，y ＝2sin θ， ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22(622cos θ＋422sin θ)＝22sin ()θ＋α≤22，其中tan α＝64， 故＋2y 的最大值为22.例3 解析：(1) 由题意得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，所以2＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝2， 所以－5＋1≤2＋y ≤5＋1. (2) ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，所以a ≥－cos θ－sin θ－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，所以a ≥2－1.自测反馈1. 36 解析：因为曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，所以(－5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sinθ＋4)2＝1＋9＋16－6cos θ＋8sin θ＝26－10sin (α－θ)，故(－5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.2. 1255 解析：把直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)代入圆2＋y 2＝9，得(2t －1)2＋(t ＋1)2＝9，化简得5t 2－2t －7＝0，故t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－75，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14425，所以直线被圆截得的弦长为5（t 1－t 2）2＝1255.3.2－1 解析：将题目中参数方程化为普通方程为(－1)2＋(y －1)2＝1，即该曲线表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆，所以点P 到原点最短距离为（0－1）2＋（0－1）2－1＝2－1.4. 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2] 解析：由题意得⎩⎨⎧cos θ＝x ，sin θ＝y ＋1(θ为参数)，所以2＋(y ＋1)2＝1.曲线C 是以(0，－1)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线＋y ＋a ＝0的距离为|－1＋a|2，又因为曲线与直线有公共点，则0≤|－1＋a|2≤1，即1－2≤a ≤1＋ 2.。

课后训练1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,0) 2．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．设曲线C 的参数方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若P (2，－1)为圆O ：15cos ,5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )．A ．cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ B ．1cos sin x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩ C ．cos 1sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=(+)⎩ D ．1cos2sin2x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩6．直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________. 7．两动直线3x ＋2y ＝6t 与3tx －2ty ＝6相交于点P ，若取t 为参数，则点P 的轨迹的参数方程为________．8．已知某条曲线C 的参数方程为212,x t y at =+⎧⎨=⎩(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程． 9．已知弹道曲线的参数方程为2π2cos ,6π12sin ,62x t y t gt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．10．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．参考答案1. 答案：D解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2. 答案：C解析：转化为普通方程为y ＝x －2，但由于x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 答案：B解析：∵曲线C 的方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离|232|7710101910d ++===+. 又∵710<310，1410>310，∴有2个点． 4. 答案：A解析：∵圆心O (1,0)，∴k PO ＝－1．∴k l ＝1．∴直线l 的方程为x －y －3＝0.5. 答案：D解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M .∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴圆的参数方程为cos2,sin2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 6. 答案：π6或5π6解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 7. 答案：221,312t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 解析：两方程联立，得326,32 6.x y t tx ty +=⎧⎨-=⎩①②①×t ＋②，得21t x t +=；①×t －②，得2312t y t(-)=. ∴所求点P 的轨迹的参数方程为221,31.2t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 8. 解：(1)由题意，可知2125,4,t at +=⎧⎨=⎩故2,1,t a =⎧⎨=⎩ 所以a ＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212,.x t y t =+⎧⎨=⎩由第一个方程，得12x t -=，代入第二个方程，得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .9. 解：(1)令y ＝0,2π12sin =062t gt -，∴t 1＝0， 220.204t g=≈.即从发射到落地需0.204. (2)22π132sin6263g y t gt x x =-=-+，是开口向下的抛物线， ∴2max 330.05146y g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≈⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 即最大高度为0.051．10. 解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)， 则cos sin ,cos sin ,x'y'θθθθ=+⎧⎨=⎩①② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21=2'2x'y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线21=22x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一部分1||2,||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121cos cos sin cos cos sin ,sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧=+=+⎪⎨=+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111222 x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求点Q的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆．。

第课常见曲线的参数方程
. 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义．
. 会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．
. 理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用.
. 阅读：选修第～页．
. 解悟：①直线的参数方程．选修第页直线参数方程中参数的几何意义的
理解；②圆的参数方程．选修第页圆参数方程中参数的几何意义的理解．
. 践习：在教材空白处，完成第页例，第～页例、、.
基础诊断
. 方程(为参数)表示的曲线是．
. 直线(为参数)与曲线(θ为参数)的公共点的个数为．
. 参数方程(为参数)，且≤≤表示的曲线是．(填序号)
①线段；②双曲线；③圆弧；④射线．
. 直线(为参数)和圆＋＝交于、两点，则的中点坐标为．
范例导航
考向参数方程与普通方程的互化例() 将参数方程(为参数)化为普通方程；
() 将参数方程(θ为参数)化为普通方程．
在曲线：(θ为参数)上求一点，使它到直线：(为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．
考向求参数方程例已知直线经过点(，)，倾斜角α＝.
() 写出直线的参数方程；
() 设直线与圆＋＝相交于、两点，求点到、两点的距离之积．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程.深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量.二、圆的参数方程1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）.圆的参数方程还可以表示为x=⎩⎨⎧+=+=θθcos ,sin r b y r a x (θ为参数). 方法归纳 有时从参数方程看不出它是否表示圆，可通过消去参数转化为普通方程判断其是否表示圆.三、参数方程和普通方程的互化1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法.2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F （x ，y ）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.误区警示 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.四、参数方程与普通方程的区别与联系最明显的区别是其方程形式上的区别；更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x,y 的直接关系，而参数方程则反映了x,y 的间接关系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但它们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程.需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线时）的等价性，即注意参数的取值范围对x,y 的取值范围的影响. 联想发散 需注意的是，不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便于对其性质的研究，如圆的渐开线和摆线的参数方程，一般都是研究其参数方程.问题·探究问题1 曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普通方程，把一个普通方程化为参数方程呢？在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢?探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F （x ，y ）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，如⎩⎨⎧==ty t x sin ,cos 2(t 为参数),通过消参数得到方程y 2=-(x-1)，而事实上由x=cos 2t 可知0≤x≤1，而由y 2=-(x-1)可知其中x≤1，显然两个范围不同，即两个方程所表示的曲线就不是同一条曲线，可以说y 2=-(x-1)就不是⎩⎨⎧==t y t x sin ,cos 2的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线.问题2 圆是我们最常见的曲线，利用圆的参数方程可以解决许多与圆有关的问题.那么，你能推导出圆的参数方程吗？其形式是否唯一呢？参数的意思是什么？探究：利用换元即可得到相应圆的参数方程.例如:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，可以先将该方程化为(22)()(rb y r a x -+-=1， 然后令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)(c o s s i n ),(sin cos θθθθrb y r a x (其中θ为参数).于是就得到该圆的参数方程为⎩⎨⎧++=++=)cos (sin ),sin (cos θθθθr b r b y r a r a x 或或(其中θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，也有多种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去参数转化为普通方程从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑).这里参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 典题·热题例1已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21aty t x (其中t 是参数,a ∈R )，点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.思路分析：根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上.由点M 的坐标适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解：(1)由题意可知有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+,1,2,4,5212a t at t 故 ∴a=1.(2)由已知及(1),可得曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=.,212t y t x . 由第一个方程,得t=21-x .代入第二个方程,得y=(21-x )2, ∴(x-1)2=4y 为所求.深化升华 把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法等，在消参过程中一定要注意其等价性.例2已知圆x 2+y 2=1，点A(1，0)，△ABC 内接于该圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，求BC 的中点的轨迹方程.思路分析：本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标.解：如图2-1-1所示，M 为BC 的中点，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍). 在△BOC 中，OB=OC=1,所以OM=21.所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41.图2-1-1 图2-1-2又因为x≥41时，如图2-1-2. 虽然∠BOC=120°，但∠BAC=21(360°-120°)=120°≠60°, 所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41(x<41),如图2-1-2. 误区警示 本题主要容易忽视隐含的范围x<41，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点. 例3已知实数x 、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25，求x 2+y 2的最大值与最小值.思路分析：这样的题目可考虑数形结合，把满足(x-1)2+(y-2)2=25的x 、y 视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的动点，待求的x 2+y 2可视为该圆的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解.解：实数x 、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的点，于是可利用圆的参数方程来求解，设⎩⎨⎧+=+=,sin 52,cos 51θθy x 代入x 2+y 2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α),从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+105,30-105.深化升华 本题中出现了圆的方程，像这样的问题,题目本身是以代数题的形式出现，而实际上在考虑相关问题时常常应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍. 例4圆M 的方程为x 2+y 2-4Rxcosα-4Rysinα+3R 2=0(R>0).(1)求该圆圆心M 的坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆.思路分析：本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟哪个是真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解：(1)由题意得圆M 的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R 2，故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为R.(2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2,cos 2R y R x (其中α为参数).两式平方相加,得x 2+y 2=4R 2.所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆. 由于22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=3R-R ，22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=R+R,所以所有的圆M 都和定圆x 2+y 2=R 2外切，和定圆x 2+y 2=9R 2内切.。