高考数学 第八章第八节曲线与方程课后练习 理 人教A版

第八讲曲线与方程(理)知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤归纳拓展1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)__．[解析] 设P (x ，y )，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|P A ||PB |＝|OA ||OB |＝2， 即|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y ≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)． 题组三 走向高考4．(2020·山东改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．则下列结论错误的是( B ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－mnx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y 21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n 的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m nx ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n ＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选B ．5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0， 所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0， 解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一 曲线与方程——自主练透例1 关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是 ①焦点在x 轴上的椭圆 ②焦点在y 轴上的椭圆 ③焦点在x 轴上的双曲线 ④圆 其中正确结论个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－63∪⎝⎛⎭⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，①正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，②正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，③正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以④正确．故选D ．〔变式训练1〕(2021·山东青岛一中期末改编)已知点F (1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为 ①y 2＝4x ②x 2＝4y ③x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 ④x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 其中正确结论个数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选B ． 考点二 定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y 24＝1B ．x 236＋y 231＝1C ．x 29－y 24＝1D ．x 236－y 231＝1(3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y 28＝1 B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1) D ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M |＝r ＋1，|C 2M |＝3＋r ，∴|C 2M |－|C 1M |＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选D ． [引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≤－2)__． [引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≥2)__． [引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y 28＝1(x ≥1)__． [引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕 (1)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是__①②__．①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 [解析] (1)双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB |＝|CD |时，∵∠BP A ＝∠DPC ，∴|P A |＝|PC |， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线， ②当|AB |＝λ|CD |(λ≠1，λ＞0)时， 由∠BP A ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP ||CP |＝|AB ||CD |＝λ， 以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 记A (－1,0)，C (1,0)，P (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝λ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12，轨迹为圆，故答案为①②．考点三,直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A (0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4yB ．x 2＝8yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C (x ，y )， 由题意知x 2＋(y －2)2＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P (x ，y )，线段MN 的中点为E ， 则|P A |2＝|PE |2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb )x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)， 设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )， 则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2，若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k (x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 〔变式训练3〕(1)已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q (1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P (x ，y )， 则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ．(2)①设P (x ，y )，由|PR →|＝2|PQ →|， 得|2－x |＝2·(x －1)2＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n )2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n 3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)， 所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1， 代入得8n 29＋4n 29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－233，33或者M ⎝⎛⎭⎫233，－33， 当n ≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形．考点四,代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M (－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P (1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D (异于点P )，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则MC →＝(x ＋2，y )，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y .因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y )2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D (t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ， 所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°， 故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2． 因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0， 即－4m ＋2m ·(1－t )＝0，所以t ＝－1． 故存在点D (－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律． (2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； ②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程； ④检验：注意检验所求方程是否符合题意． 〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆[解析] 设P (x ，y )，Q (x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －22，y 0＝y 2又x 2016＋y 2010＝1，∴(x －2)264＋y 240＝1，故选D ． 考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN |＋1|OQ |2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． [分析] 显然点P (x ，y )的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α， 则B (2cos α，2sin α)，D (2cos α，2sin α)， 所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2，同理得x 2P ＝41＋k 2， 所以x 2P ＋2y 2P ＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足． (2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22mm 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2，所以1|MN |＝11＋m 2|y1－y 2|＝m 2＋24(m 2＋1)，又射线OQ 方程为y ＝－mx ， 代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx )2＝4，即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ |2＝1＋2m 24(m 2＋1)， 所以1|MN |＋1|OQ |2＝m 2＋24(m 2＋1)＋1＋2m 24(m 2＋1)＝34，又当直线l 的斜率为0时，也符合条件． 综上，1|MN |＋1|OQ |2为定值，且为34．名师点拨](1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫1－1k ，y ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝⎛⎭⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x ≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫x ≠12． 当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上． 综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP |＝|MO |， ∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线， 其方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． [解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论[解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2．记u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎨⎧y ＝k2(x －u )x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uku (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k ．所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2ukk 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2．设t ＝k ＋1k ，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号，因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．[解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设C (x ，y )，A (－c,0)，B (c,0)，c ＞0， 则AC →＝(x ＋c ，y )，BC →＝(x －c ，y )， 由AC →·BC →＝1，得(x ＋c )(x －c )＋y ·y ＝1， 即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0， ∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。

2013高考数学人教A 版课后作业1.已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ|＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线[答案] A[解析] |QF 1|＝|PF 1|＋|PQ| ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．2．(2010·重庆一中)已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设M(x ，y)，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y)·(1－x ，－y)＝0， ∴x 2－1＋y 2＝0，故选B.3．(2011·浙江金华联考)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.52B.54C. 2 D ．2[答案] A[解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52. 4．(2011·大连部分中学联考)已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为抛物线的焦点F(p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px 中得，y 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 5．过椭圆x 29＋y24＝1内一点R(1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，则4x 21＋9y 21＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B ．y 2－x 2＝1 C. x 24－y 2＝1D. y 24－x 2＝1[答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝ca ＝2，∴c ＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B.7．F1、F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．[答案]x2＋y2＝4[解析]延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知|DO|＝12|F2B|＝12(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.8．(2011·聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B 两点，则AB中点M的轨迹方程为________．[答案]x＋y－1＝0[解析]设l1：y－1＝k(x－1)，则l2：y－1＝－1k(x－1)，l1与x轴交点A(1－1k，0)，l2与y轴交点B(0,1＋1k)，设AB中点M(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝121－1ky＝121＋1k，消去k得，x＋y －1＝0.1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝13，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( ) A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线[答案] B[解析]由P向AD作垂线垂足为N，由题意知|PN|2＋1－|PM|2＝1，∴|PN|＝|PM|，即动点P到直线AD的距离等于动点P到点M的距离，∴点P的轨迹是抛物线．2．(2010·华北师大附中模考)已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|＝4，△ABC外心的轨迹S的方程为( )A．y2＝2x B．x2＋y2＝4C．y2＝4x D．x2＝4y[答案] C[解析]设△ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，由G点在BC的垂直平分线上知y＝a＋2∵|GA|2＝|GB|2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a)2， 整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x.3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( ) A ．x 2－y28＝1(x>1)B ．x 2－y28＝1(x<－1)C ．x 2＋y28＝1(x>0)D ．x 2－y210＝1(x>1)[答案] A[解析] 设另两个切点为E 、F ，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF| ＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|N B|＝4－2＝2<|MN|，所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故方程为x 2－y28＝1(x>1)．4．(2010·河北正定中学模拟)已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y22①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y y 1－y 2＝233x ②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.5．(2011·宿迁模拟)已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是________．[答案] (x ＋1)2－y 2＝65[解析] 设P(x ，y)，动圆半径为r ，P 到l 1，l 2的距离分别为d 1、d 2，由题意知d 21＋169＝r 2＝d 22＋144，∴d 22－d 22＝25，即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25，整理得，(x ＋1)2－y 2＝65.6.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由． [解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|，∴|PA|＋|PB|＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3.可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC|＝12|AP|＝12(|AN|－|PN|)＝12(4－|PB|)＝2－12|PB|. ∴两圆内切．7．(2011·新课标全国理，20)在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．[解析] (1)设M(x ，y)，由已知得B(x ，－3)．又A(0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y)，MB →＝(0，－3－y)，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即(－x ，－4－2y)·(x，－2)＝0. 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2， 所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2. 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.1．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l 与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析]设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C.3．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x ，y)的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x(x>0，y>0)，故选A.4．设x 1、x 2∈R ，常数a>0，定义运算“*”，x 1*x 2＝(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2，若x≥0，则动点P （x ，x *a ）的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1*x 2＝(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2， ∴x *a ＝x ＋a2－x －a2＝2ax ，则P(x,2ax)．设P(x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2011·南京模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y24b 2＝1。

第八节 曲线与方程【最新考纲】 1.了解曲线与方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y)＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y)＝0，则C 1、C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x 0，y 0)＝0是点P(x 0，y 0)在曲线f(x ，y)＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．答案：D3．已知△ABC 的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．解析：设A(x ，y)，则D(x 2，y2)∴|CD|＝（x 2－5）2＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y≠0. 答案：(x －10)2＋y 2＝36(y≠0)4．已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分．以OM 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，它与⊙O 的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤x<1)． 答案：(x －2)2＋y 2＝4(0≤x<1)5．(2016·某某模拟)在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．解析：以BC 的中点为原点，中垂线所在直线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|. 所以|AB|－|AC|＝22，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y22＝1(x>2)．答案：x 22－y22＝1(x>2)一个核心通过坐标法，由已知条件求轨迹方程；通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题．两点区别1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括X 围)．2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． 三种方法——用轨迹方程三种常用方法1．直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F(x ，y)＝0.2．定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．3．代入(相关点)法：动点P(x ，y)依赖于另一动点Q(x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x ，y)的轨迹方程．一、选择题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x≥3或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．答案：D2．(2016·某某质检)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q(x ，y)，则P 为(－2－x ，4－y)，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.答案：D3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2解析：如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连结MA ，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，则|PM|2＝2. ∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：D4．已知点F(0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x 解析：设点P(x ，y)，则Q(x ，－1)． 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y. 答案：A5．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＝λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C(x ，y)，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5.答案：A6．有一动圆P 恒过定点F(1，0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则圆心P 的轨迹方程是( )A.（x ＋3）212－y 24＝1 B.（x ＋3）212＋y 24＝1C.（x －3）212＋y 24＝1 D.（x －3）212－y 24＝1解析：设圆心P(x ，y)，半径为R ， 由圆的几何性质，|x|＝32R ， 又R ＝|PF|＝（x －1）2＋y 2，所以2|x|＝3·（x －1）2＋y 2，即(x ＋3)2－3y 2＝12， ∴点P 的轨迹方程为（x ＋3）212－y24＝1.答案：A二、填空题7．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2， BC →＝(x ，y)－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x. 答案：y 2＝8x8．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离．故点P 的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y.答案：x 2＝12y9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．解析：设P(x ，y)，由|PA|＝2|PB|， 得（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案：4π 三、解答题10．如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t<3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0)，又曲线的对称性及A(x 0，y 0)，得B(x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y)，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A(x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 29.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x<－3，y<0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x<－3，y<0)．11．设F(1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解：设M(x 0，0)，P(0，y 0)，N(x ，y)， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y)＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ， ∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x.故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x.。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．答案：B2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．答案：B6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得x －12＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |， 所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，y 1＋y 22， 其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．② 因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③ 把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0.则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2.x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)， 所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2， 即y ＝x 22－x 214x 1＋x 2(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线．B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线PA 的斜率为k ，∵PA ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k.切线PA 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0x 29＋y24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线PA 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0， 化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 2k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.②由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0， 即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13， 故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。

第八节 曲线与方程[A 组 根底对点练]1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y ＝xB ．y ＝|x |C ．x 2＋y 2＝0D ．y 2＝x 2解析：设动点的坐标为(x ，y ).因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x |＝|y |，即y 2＝x 2，动点的轨迹方程是y 2＝x 2.答案：D2．(2021·某某某某模拟)点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．假如过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，如此点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：由得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线． 答案：D3．△ABC 中， A ，B 的坐标分别为(0，2)和(0，－2)，假如三角形的周长为10，如此顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29＋y 25＝1(y ≠0)B ．x 236＋y 220＝1(y ≠0) C ．x 25＋y 29＝1(x ≠0) D ．x 232＋y 236＝1(x ≠0) 解析：由题知|AB |＝4，|CA |＋|CB |＝6，且6＞|AB |，所以C 点轨迹是以A ，B 为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点．答案：C4．点A (－1，0)，B (2，4)，△ABC 的面积为10，如此动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5，设动点C (x ，y ).由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 答案：B5．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，如此圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2，0)，如此圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，如此圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B6．A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1 解析：由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|ACF 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1). 答案：A 7．(2020·某某模拟)平面直角坐标系中，两点A (3，1)，B (－1，3)，假如点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，如此点C 的轨迹是( )A.直线 B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线．答案：A8．(2020·某某某某模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3，0)连线的中点的轨迹方程是________．解析：设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，可得A (2x －3，2y )，因为点A 在圆上，将点A 的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：(2x －3)2＋4y 2＝19．设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y轴上运动时，点N 的轨迹方程为________________．解析：设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ， 所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .答案：y 2＝4x10．圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)假如∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解析：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2x －2，2y ).因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.化简得(x －1)2＋y 2＝1，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，如此ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，即x2＋y2－x－y－1＝0.11．(2021·某某某某第一次质量预测)坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．解析：(1)设点M(x，y)，由题意，得|MP||MQ|＝5，即〔x－26〕2＋〔y－1〕2〔x－2〕2＋〔y－1〕2＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8，所以l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝|3k＋2| k2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＋2＝0或5x －12y ＋46＝0.[B 组 素养提升练]1．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP →＝2PB →，如此点P 的轨迹方程是________________．解析：设P (x ，y )，A (a ，0)，B (0，b )，如此a 2＋b 2AP →＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a3，y ＝2b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36， 得9x 2＋94y 2＝36，即x 24＋y 216＝1. 答案：x 24＋y 216＝1 2．圆的方程为x 2＋y 2＝4，假如抛物线过点A (－1，0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，如此抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，如此|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0) 3．过点A (－2，0)的直线与x ＝2相交于点C ，过点B (2，0)的直线与x ＝－2相交于点D ，假如直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，求直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程．解析：设直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，如此直线AC ，BD 的方程分别为y ＝k 1(x ＋2)，y ＝k 2(x －2)，据此可得C (2，4k 1)，D (－2，－4k 2)，如此k CD ＝4k 1＋4k 22－〔－2〕＝k 1＋k 2， 直线CD 的方程为y －4k 1＝(k 1＋k 2)(x －2)，整理可得(k 1＋k 2)x －y ＋2(k 1－k 2)＝0，又直线与圆相切，如此|2〔k 1－k 2〕|〔k 1＋k 2〕2＋1＝2， 据此可得k 1k 2＝－14， 由于y ＝k 1(x ＋2)，y ＝k 2(x －2)，两式相乘可得y 2＝k 1k 2(x 2－4)＝－14x 2＋1，即直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1(y ≠0).4．如下列图，圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足如下条件的动点P 的轨迹方程．(1)△PAB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心).解析：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝5. 因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0). (2)设圆P 的半径为r ，如此|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|PA |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .。

高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：设Q (x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP →·OQ →＝0，且|OP →|＝|OQ →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0，消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1. 答案：B2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．答案：C4．(2013·东北三校高三第二次联合模拟考试)已知圆M 过定点(2,0)且圆心M 在抛物线y 2＝4x 上运动，若y 轴截圆M 所得弦为AB ，则弦长|AB |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值解析：设M 坐标为(x 0，y 0)，圆的半径r 2＝(x 0－2)2＋y 20＝x 20－4x 0＋4＋4x 0＝x 20＋4，圆心到y 轴的距离为x 0(如图)，|AB |＝2r 2－x 20＝24＝4，选A.答案：A5．(2013·江西省高三联考)如图，单位圆O 上有一动直径AB ，其中点A 以速度π沿圆周逆时针运动，同时动直径AB 上有一动点P 以速度2从A 出发沿AB 往返运动．则点P 的轨迹是( )1 2秒时，如图(1) 当运动1秒时，如图(2)解析：当运动所以点P 的轨迹是答案：A 二、填空题 6．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程________．解析：设直线xa ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)7．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·y2＝0.得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是__________________．解析：如图，连接AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|＝|PB|，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径 .又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题9．已知椭圆C：x216＋y29＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①由x2116＋y219＝1，x2216＋y229＝1两式相减得x1－x2x1＋x216＋y1－y2y1＋y29＝0.又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴2x x1－x216＝－2y y1－y29，②由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0，③当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.10．(2013·襄阳调研统一测试节选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2 6.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－b 2，解得a ＝62b ① 由题意可知12·2a ·2b ＝26，即ab ＝6，②由①②得：a ＝3，b ＝2， 所以椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵点M 在线段PF 2的垂直平分线上，∴|MP |＝|MF 2|，故动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， 因此动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线， 所以点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .11．(2013·江西省高三联考)过动点M (x ，y )引直线l ：y ＝－1的垂线，垂足为A ，O 是原点，直线MO 与l 交于点B ，以AB 为直径的圆恒过点F (0,1)．(1)求动点M 的轨迹C 的方程．(2)一个具有标准方程的椭圆E 与(1)中的曲线C 在第一象限的交点为Q ，椭圆E 与曲线C 在点Q 处的切线互相垂直且椭圆E 在Q 处的切线被曲线C 所截得的弦的中点横坐标为－2，求椭圆E 的方程．解：(1)设M (x ，y )，则A (x ，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，－1，又F (0,1)．由FA →·FB →＝0. 得x 2＝4y (x ≠0)(2)设Q (x 0，y 0)，所求椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0，a ≠b )，则过点Q 的曲线C的切线方程为x 0x －2y －2y 0＝0，E 的切线方程为b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2，由(x 0，－2)·(b 2x 0，a 2y 0)＝0，而x 20＝4y 0≠0，得a 2＝2b 2， 将b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2代入x 2＝4y 得y 0x 2＋2x 0x －4b 2＝0，得x 1＋x 2＝－2x 0y 0＝－22，得x 0＝2y 0，结合x 20＝4y 0得x 0＝22，y 0＝2，代入椭圆方程得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.12．(2013·云南昆明高三检测)如图，已知抛物线P ：y 2＝x ，直线AB 与抛物线P 交于A ，B 两点，OA ⊥OB ，OA →＋OB →＝OC →，OC 与AB 交于点M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)求四边形AOBC 的面积的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)， ∵OA →＋OB →＝OC →， ∴M 是线段AB 的中点． ∴x ＝y 21＋y 222＝y 1＋y 22－2y 1y 22，①y ＝y 1＋y 22.②∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0. 依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22，即y 2＝12(x －1)．∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为 S ＝|OA →||OB →|＝y 212＋y 21·y 222＋y 22＝y 21＋1y 22＋1y 1y 22＝y 21y 22＋y 21＋y 22＋1 ＝2＋y 21＋y 22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立， ∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. [热点预测]13．(2013·内江市第二次模拟)已知动圆P 过定点F (0，－2)，且与直线l 相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，一个焦点是F ，点A (1，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心P 的轨迹M 的方程和椭圆N 的方程；(2)已知与轨迹M 在x ＝－4处的切线平行的直线与椭圆N 交于B 、C 两点，试探求使△ABC 面积等于32的直线l 是否存在？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知：点P 到定点F (0，－2)和直线y ＝2的距离相等，故P 的轨迹M 是以F 为焦点，y ＝2为准线的抛物线．∴p2＝2，∴p ＝2 2∴轨迹M 的方程为：x 2＝－42y又由题意：可设椭圆方程为：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)∴2a ＝1－02＋2＋22＋1－02＋2－22＝4∴a ＝2，又c ＝2，∴b ＝2， ∴椭圆N 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不存在满足条件的直线l . 理由如下：若存在这样的直线l ，∵轨迹M 为抛物线x 2＝－42y ，它在x ＝－4处的切线斜率为k ＝ 2. 故可设l 的方程为：y ＝2x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m y 24＋x 22＝1消去y 整理得，4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0∴Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，∴m 2<8且m ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，由两点间的距离公式可求得|BC |＝ 3 4－12m 2又点A 到l 距离d ＝|m |3，∴12· 34－12m 2·|m |3＝32∴m 4－8m 2＋18＝0，显然此方程无解，即m 不存在， 故这样的直线l 不存在．。

【优化方案】2021年高考数学 第八章 第8课时 曲线与方程知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对 解析：选C ．(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．假设点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，那么点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C ．点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0，2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，因此P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .3．(2021·河南焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A|＝1，那么P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D ．如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接M A ，那么M A ⊥P A ，且|M A|＝1.又∵|P A|＝1，∴|PM |＝|M A|2＋|P A|2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，假设点C 知足O C →＝λ1O A →＋λ2O B →(O为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，那么点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A ．设C(x ，y )，则O C →＝(x ，y )，O A →＝(3，1)，O B →＝(－1，3)． ∵O C →＝λ1O A →＋λ2O B →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角极点作等腰直角三角形OP Q ，那么动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B ．设Q(x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，那么有OP →·O Q →＝0，且|OP →|＝|O Q →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0， 消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y 2y 2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1.6．(2021·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P (x ，y )，知足P A →·P B →＝x 2－6，那么动点P 的轨迹是________．解析：∵动点P (x ，y )知足P A →·P B →＝x 2－6，∴(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，∴动点P 的轨迹方程是y 2＝x ，轨迹为抛物线．答案：抛物线7．已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F且知足A E→⊥A F→，还有动点P，知足EP→∥O A→，FO→∥OP→(O为坐标原点)，那么动点P的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)．由EP →∥O A →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x.由A E →⊥A F →⇒y 2＝4x (x ≠0)． 答案：y 2＝4x (x ≠0)8．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线C P 的交点为Q ，那么点Q 的轨迹方程是______________．解析：依题意有|Q P |＝|Q F |，那么||QC|－|Q F ||＝|C P |＝2，又|C F |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为核心的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 9．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程． 解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4. 故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43， AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4，得c ＝24或c ＝－16， 故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段M N 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，那么N(2x －x 0，2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.①由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1，即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1， 代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，即点P 的轨迹方程为2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长别离是定值26和24，那么圆心的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2－y 2＝65B ．(x －1)2－y 2＝65C ．(x ＋1)2＋y 2＝65D ．(x －1)2＋y 2＝65解析：选A ．设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离别离为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144， 消去r 得动点M 知足的几何关系为d 22－d 21＝25，即（3x －2y ＋3）213－（2x －3y ＋2）213＝25. 化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程．2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选B ．设N(a ，b )，M (x ，y )，那么a ＝x －22，b ＝y 2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，现在|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．3．直线x a ＋y 2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程为______________． 解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 的轴交点为A(a ，0)，B(0，2－a )，AB 中点为M (x ，y )，那么x ＝a 2，y ＝1－a 2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1. 答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)4．(2021·四川成都质检)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个核心，O 为坐标原点，有一动点Q 知足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是______________．解析：由O Q →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q(x ，y )，则OP →＝－12O Q → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2. 又P 在椭圆上，那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b 2＝1 5．(2021·高考辽宁卷) 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B(M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线M A 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2，且切线M A 的斜率为－12，因此A 点坐标为(－1，14)，故切线M A 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线M A 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－（1－2）22p ＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N(x ，y )，A(x 1，x 214)，B(x 2，x 224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线M A ，M B 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥ 由⑤⑥得M A ，M B 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，因此x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦ 由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标知足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .6．(选做题)(2021·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，O N →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A(5，0)、B(1，0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q(点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是不是存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|，并说明理由．解：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，那么M 1的坐标为(0，y ′)， O N →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255x ′，0， 因此M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，255y ′. 由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，255y ′， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝255y ′. 由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，因此x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1， 即所求的方程表示的曲线C 是椭圆．(2)点A(5，0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，因此直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k （x －5），得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0. 依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0， 得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，P Q 的中点为R(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4. ∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k 5k 2＋4. 又|B P |＝|BQ|⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不成立，因此不存在直线l ，使得|B P |＝|BQ|.。

第八节曲线与方程[备考方向要明了]考什么怎么考了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向，通常以解答题形式出现，一般是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与所求轨迹的位置关系，难度较大，如2012年辽宁T20，湖南T21等.[归纳·知识整合]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．[探究] 1.若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．2．求曲线方程的基本步骤3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．[自测·牛刀小试]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．2．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D 当a ＝3时，点P 的轨迹是线段，当a ≠3时，点P 的轨迹是椭圆． 3．一条线段AB 的长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一分支C ．圆D ．椭圆解析：选C 法一：设A (a,0)，B (0，b )，AB 中点为M (x ，y )则a ＝2x ，b ＝2y ，由AB ＝2，得2x －02＋0－2y2＝2，即x 2＋y 2＝1.法二：当A ，B 分别在x ，y 轴上时，由△AOB 是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为1.当点A 或B 与原点重合时，中点到原点的距离也是1，故中点轨迹为单位圆．4. 已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是______________________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y2＋2x －4y －5＝0.答案：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝05．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA u u u r ·PB u u u r ＝x 22，则点P 的轨迹是______________．解析：设点P (x ，y )，则PA u u u r ＝(1－x,1－y )，PB u u u r ＝(－1－x ，－1－y )，所以PA u u u r ·PBu u u r＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )·(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，所以点P 的轨迹为椭圆． 答案：椭圆直接法求轨迹方程[例1] 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[自主解答] (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F (0,1)的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积的最大值．解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C 为椭圆，其方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．由题意知，l 的斜率存在．设l 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程中整理得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个实根， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. 设d 为点O 到直线AB 的距离，则S △OAB ＝12|AB |·d ＝12 1＋k 2|x 1－x 2|·1k 2＋1＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝124k 2k 2＋22＋4k 2＋2＝2·k 2＋1k 2＋22＝2·1k 2＋1＋1k 2＋1＋2≤22， 当且仅当k ＝0，上式取等号． 故当k ＝0时，△OAB 的面积取最大值为22. ———————————————————直接法求轨迹方程如果动点满足的几何条件是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x ，y 的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹的方法称为直接法．1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，若动点P 满足PA u u u r ·PB u u u r＝2，则动点P 的轨迹方程为________．解析：设P 的坐标为(x ，y )则PA u u u r＝(－2－x ，－y ，) PB u u u r ＝(3－x ，－y )．由PA u u u r ·PB u u u r＝2，得(－2－x )(3－x )＋y 2＝2，即x 2＋y 2－x －8＝0.答案：x 2＋y 2－x －8＝0定义法求轨迹方程[例2] 已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值． [自主解答] (1)由题意得|PA |＝|PB |. 则|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2， 所以动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3. 所以动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1， 则曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， 故a 的最小值为－3＋1.———————————————————定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，故点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．3．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程．解：已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC|＝8－r.从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，因此M点的轨迹方程为x216＋y27＝1.代入法(相关点法)求轨迹方程[例3] (2012·辽宁高考)如图所示，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．———————————————————代入法(相关点法)求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x ′，y ′表示成x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，整理化简即得动点P 的轨迹方程．4．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ uuu r ＝OM u u u ur ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解：(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，两交点距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2， 得d ＝1.所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ uuu r ＝OM u u u ur ＋ON u u u r ，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4， 即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴上，长轴为8、短轴为4且除去短轴端点的椭圆．1个主题——坐标法求轨迹方程通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．3种方法——求轨迹方程的三种常用方法明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键．(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程．在运用直接法求轨迹方程时要注意：化简方程的过程中有时破坏了方程的同解性，此时要补上遗漏点或删除多余的点，这是不可忽视的．(2)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度．(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，且相关点P满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成x，y的式子，同时要注意x′，y′的限制条件.数学思想——分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用分类讨论思想是中学数学解题的重要思想，解析几何中许多问题涉及到分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数范围问题等都可能遇到因变量范围不同而结果就不同的情形，因此要对变量进行讨论，才能确定最后的结果．分类讨论题的一般步骤：确定分类的标准及对象→进行合理地分类→逐类进行讨论→归纳各类结果．[典例] (2011·湖北高考)平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；(2)当m ＝－1时，对应的曲线为C 1；对给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C 2.设F 1，F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2.若存在，求tan ∠F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设动点为M ，其坐标为(x ，y )， 当x ≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝y x ＋a·y x －a＝y 2x 2－a2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )．又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2， 故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1 <m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．(2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2；当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1(－a 1＋m ，0)，F 2(a 1＋m ，0)． 对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N (x 0，y 0)(y 0≠0)使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝a 2，y 0≠0， ①12·2a 1＋m |y 0|＝|m |a 2. ②由①得0<|y 0|≤a ，由②得|y 0|＝|m |a1＋m.当0<|m |a1＋m≤a ，即1－52≤m <0或0<m ≤1＋52时，存在点N ，使S ＝|m |a 2； 当|m |a1＋m>a ，即－1<m <1－52或m ＞1＋52时，不存在满足条件的点N .当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，由NF u u u r 1＝(－a 1＋m －x 0，－y 0)，NF u u u r 2＝(a 1＋m －x 0，－y 0)，可得NF u u u r 1·NF u u u r 2＝x 20－(1＋m )a 2＋y 20＝－ma 2，设|NF u u u r 1|＝r 1，|NF u u u r2|＝r 2，∠F 1NF 2＝θ，则由NF u u u r 1·NF u u u r 2＝r 1r 2cos θ＝－ma 2，可得r 1r 2＝－ma 2cos θ，从而S ＝12r 1r 2sin θ＝－ma 2sin θ2cos θ＝－12ma 2tan θ，于是由S ＝|m |a 2，可得－12ma 2tan θ＝|m |a 2，即tan θ＝－2|m |m .综上可得， 当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－52，0时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝2；当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝－2；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N .[题后悟道]1．对参数m 的分类讨论是本题的一个特色，同时本题的求解思维需要考生回归课本，真正理解和体会解析几何中运动变化的参数的存在价值．2．解析几何中对几何图形的探究，对轨迹方程的探究，其实就是对方程问题中涉及的参数进行分类讨论与整合归纳，要求对参数讨论遵循“不重不漏”的原则．[变式训练]设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．解：设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)， 可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0,m 2－1)．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP uuu r ＋AP u u u r|＝2，则P 点的轨迹方程是( )A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP uuu r ＝(x ，y )，AP u u u r ＝(x －1，y －2)，OP uuu r ＋APu u u r＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1)D ．(1，－2)解析：选D 验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2，则(1，－2)点在曲线上．4．(2013·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．已知A ⎝⎛⎭⎪⎫x －2，y 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AC u u u r ⊥BC uuu r ，则动点C 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8(x －2)D ．y 2＝－8(x －2)解析：选B AC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，BC uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，则AC u u u r ⊥BC uuu r 得2x ＋y 24＝0，即y 2＝－8x .6．(2013·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP u u u r ＝2PA u u u r ，且OQ uuu r ·AB u u u r＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP u u u r ＝2PA u u u r，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ uuu r ·AB u u u r ＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案：16x 2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程__________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．解析：F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．答案：y 2＝2(x －1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过双曲线x 2－y 2＝1上一点M 作直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．解：设动点P 的坐标为(x ，y )点M 的坐标为(x 0，y 0)， 则N (2x －x 0,2y －y 0)．由N 在直线x ＋y ＝2上，得2x －x 0＋2y －y 0＝2.① 由PM 垂直于直线x ＋y ＝2，得y －y 0x －x 0＝1， 即x －y －x 0＋y 0＝0.②由①②得x 0＝32x ＋12y －1，y 0＝12x ＋32y －1，代入双曲线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.即点P 的轨迹方程2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. 11．已知动圆P 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14且与直线y ＝－14相切．(1)求圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．解：(1)由已知，点P 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2. 故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.两式相减，得x N ＝x 1＋x 22，又x M ＝x 1＋x 22，所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．12．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．解：(1)法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.② 由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根， 所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.1．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选A ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|PA |＝|PQ |.又∵|PA |＋|OP |＝r ， ∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |.由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆． 2．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，D 是AB 的中点．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)过点N (1,0)作与x 轴不垂直的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点，若在线段ON 上存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，试求m 的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22.因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12. 所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12，即x 29＋y 2＝1. 故点D 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x 29＋y 2＝1， 得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k 21＋9k2. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k 1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9k21＋9k 2，－k1＋9k 2. 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2. 因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1. 综上，0<m <89. 3．(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA u u u r ＋MB u u u r |＝OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB uuu r )＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．解：(1)由MA u u u r ＝(－2－x,1－y )，MB u u u r ＝(2－x,1－y )，得|MA u u u r ＋MB u u u r |＝－2x 2＋2－2y 2，OM u u u u r ·(OA u u u r ＋OB uuu r )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x 2＋2－2y 2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 204，分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204， 故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QABS △PDE＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。

最新人教版A版高三数学（理）高考一轮复习8.8 曲线与方程教学设计及答案最新人教版a版高三数学（理）高考一轮复习8.8曲线与方程教学设计及答案第八节曲线和方程式轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与方程的对应关系知识点曲线与方程1．曲线与方程通常，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与二元方程f（x）有关，y)＝0的实解建立了如下关系：（1）曲线上各点的坐标就是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2.求解运动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标．(2)写出适合条件p的点m的集合p＝{m|p(m)}．(3)用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x，y)＝0.(4)方程f(x，y)＝0为最简形式．（5）结果表明，以简化方程的解为坐标的点都在曲线上。

3.曲线的交点设曲线c1的方程为f1(x，y)＝0，曲线c2的方程为f2(x，y)＝0，则c1，c2? f1的交点坐标即为方程组?? f2x，y＝0，x，y＝0问题的真正解决方案若此方程组无解，则两曲线无交点．（1）曲线和曲线方程，轨迹和轨迹方程是两个不同的概念。

前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自我测试练习]1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈r)所表示的直线()a．恒过定点(－2,3)b．恒过定点(2,3)c、恒定交叉点（-2,3）和点（2,3）d是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选a.答：ay??2.有三个点a（-2，y），B？0 C（x，y），如果→ ab⊥ → BC，然后是移动点C2？？轨迹方程是_____y?→?y???y?y→分析：ab=？2，－?，卑诗省？十、从…起→ ab⊥ → 公元前，→ ab→ BC=0，即2x+？-？2?2????2?2＝0，∴动点c的轨迹方程为y＝8x.答案：y2=8x3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点a(－1,0)，b(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．分析：让抛物线的焦点为f，通过a、B、O的垂直线Aa1、BB1、oo1作为准直器，然后| Aa1 |+| BB1 |=2 | oo1 |=4和| Aa1 |+| BB1 |=FA |+| FB，∴|fa|＋|fb|＝4，故f点的轨迹是以a，b为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1（Y）≠ 0)43通过连接测试点求解弹道方程|1．(2021津南一模)平面直角坐标系中，已知两点a(3,1)，b(－1,3)，若二x2y2。

第八章 平面解析几何 8.8 曲线与方程练习 理[A 组·基础达标练]1．[2015·某某模拟]已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12()OF 1→＋OP →(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案 D解析 因为点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)，所以Q 是线段PF 1的中点，设P (a ，b )，由于F 1是椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －62，b 2，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则P 点的轨迹方程为a －6264＋b 240＝1，故点P 的轨迹方程为椭圆．2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )答案 C解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x ＋y ＋1≥0或x ＋y ＋1＝0.显然方程表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0的右上方部分，故选C.3．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x >3)．4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 答案 D解析 如图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q .∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PM |＋|F 2N |＝|F 1N |＋|F 2N |＝|F 1F 2|＋2|F 2N |＝2a ， ∴|F 2N |＝a －c ， ∴N 点是椭圆的右顶点， ∴⊥x 轴，∴圆心C 的轨迹为直线．6．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1) 答案 A解析 设另两个切点为E 、F ，如图所示， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3， ∴b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x >1)．故选A.7．已知|AB |＝2，动点P 满足|PA |＝2|PB |，试建立恰当的平面直角坐标系，动点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169解析 如图所示，以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)．设P (x ，y )，因为|PA |＝2|PB |，所以x ＋12＋y 2＝2x －12＋y 2.两边平方，得(x ＋1)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 整理，得x 2＋y 2－103x ＋1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169.故动点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169.8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是________．答案 以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支解析 ⊙C 2的圆心为C 2(4,0)，半径为2，设动圆的圆心为M ，半径为r ，因为动圆与⊙C 1外切，又与⊙C 2内切，所以r >2，|MC 1|＝r ＋1，①|MC 2|＝r －2.②由①－②得|MC 1|－|MC 2|＝3<|C 1C 2|＝4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线靠近C 2的一支． 9．设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案x 212＋y 216＝1解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋y ＋22＋x 2＋y －22＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.10．[2016·某某高三调研]已知平面上的动点P (x ，y )及两个定点A (－2,0)，B (2,0)，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2且k 1k 2＝－14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于不同两点M ，N ，当OM ⊥ON 时，求O 点到直线l 的距离(O 为坐标原点)．解 (1)设P (x ，y )， 由已知得yx ＋2·y x －2＝－14， 整理得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，得4k 2＋1－m 2>0.x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1，∵OM ⊥ON ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即x 1·x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)·4m 2－44k 2＋1＋km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋m 2＝0，∴m 2＝45(k 2＋1)满足4k 2＋1－m 2>0，∴O 点到l 的距离为d ＝|m |1＋k2，即d 2＝m 21＋k 2＝45，∴d ＝255. [B 组·能力提升练]1．[2015·某某一模]如图，△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，若tan ∠ADP ＋2tan ∠BCP ＝10，则点P 在平面α内的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 答案 B解析 由题意可知PAAD ＋2PB BC＝10.则PA ＋PB ＝40>AB ＝6，又因P 、A 、B 三点不共线，故点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．2．[2016·皖南八校联考]如图，正方体AC 1中，DF DD 1＝AE AA 1＝23，CG CC 1＝BH BB 1＝13，点P 为平面EFGH 内的一动点，且满足∠PAA 1＝∠C 1AA 1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 C解析 因为点P 为平面EFGH 内一动点而且保证∠PAA 1＝∠C 1AA 1，故点P 的轨迹为以AA 1为轴，AC 1为母线，将AC 1进行旋转与平面EFGH 相交形成的曲线，又因为DF DD 1＝AE AA 1＝23，CG CC 1＝BH BB 1＝13，所以这个轨迹是椭圆． 3．[2014·某某高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，e ＝ca ＝53， ∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴， 可知P (±3，±2)．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，且k ≠0，则l 2的斜率为－1k ，l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与x 29＋y24＝1联立， 整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0， ∵直线l 1与椭圆相切，∴Δ＝0，即9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)·[(y 0－kx 0)2－4]＝0， ∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，∴k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理，－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，整理得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)． 检验P (±3，±2)满足上式． 综上，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.4．[2014·某某高考]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值X 围．解 (1)解法一(直接法)：设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －12＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )． 故点M 的轨迹C 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥00，x <0.解法二(定义法)：根据题意，设点M (x ，y )， 当x <0时，y ＝0，当x ≥0时，动点M 到F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，所以动点M 的轨迹为以点F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x ，综上，轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥00，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋2y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1)①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(*2) 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.(*3)(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 0≥0，由(*2)(*3)解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(ⅲ)若{ Δ>0，x 0<0，，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．5．[2015·某某高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.(3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。