2020高考数学 9.5曲线与方程核按钮课件 全国新课标 理科

目录第一章集合与常用逻辑用语 (1)§1.1集合 (1)§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (13)单元测试卷 (18)第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 (21)§2.1函数及其表示 (21)§2.2函数的单调性与最大(小)值 (28)§2.3函数的奇偶性与周期性 (35)§2.4二次函数 (41)§2.5基本初等函数(Ⅰ) (47)§2.6函数与方程 (55)§2.7函数的图象 (60)§2.8函数模型及其应用 (66)单元测试卷 (74)第三章导数 (78)§3.1导数的概念及运算 (78)§3.2导数的应用(一) (83)§3.3导数的应用(二) (88)§3.4定积分与微积分基本定理 (92)单元测试卷 (97)第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) (100)§4.1弧度制及任意角的三角函数 (100)§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式 (107)§4.3三角函数的图象与性质 (112)§4.4三角函数图象的变换 (121)§4.5三角函数模型的应用 (129)§4.6三角恒等变换 (136)§4.7正弦定理、余弦定理及其应用 (144)单元测试卷 (152)第五章平面向量 (157)§5.1平面向量的概念及线性运算 (157)§5.2平面向量的基本定理及坐标表示 (164)§5.3平面向量的数量积 (169)§5.4平面向量的综合应用 (176)单元测试卷 (183)第六章数列 (187)§6.1数列的概念与简单表示法 (187)§6.2等差数列 (194)§6.3等比数列 (201)§6.4数列求和及应用 (207)单元测试卷 (214)第七章不等式 (218)§7.1不等关系与不等式 (218)§7.2一元二次不等式及其解法 (223)§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (231)§7.4基本不等式及其应用 (239)单元测试卷 (244)第八章立体几何 (248)§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图 (248)§8.2空间几何体的表面积与体积 (255)§8.3空间点、线、面之间的位置关系 (261)§8.4空间中的平行关系 (268)§8.5空间中的垂直关系 (275)§8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算 (283)§8.7空间向量的坐标表示、运算及应用 (290)单元测试卷 (302)第九章平面解析几何 (308)§9.1平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程 (308)§9.2两条直线的位置关系 (314)§9.3圆的方程 (320)§9.4直线、圆的位置关系 (325)§9.5曲线与方程 (332)§9.6椭圆 (338)§9.7双曲线 (345)§9.8抛物线 (351)§9.9直线与圆锥曲线的位置关系 (357)单元测试卷 (366)第十章算法初步 (370)§10.1算法与程序框图 (370)§10.2基本算法语句 (378)单元测试卷 (383)第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布 (388)§11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (388)§11.2排列与组合 (393)§11.3二项式定理 (400)§11.4随机事件的概率 (406)§11.5古典概型 (411)§11.6几何概型 (416)§11．7离散型随机变量及其分布列 (425)§11．8独立事件与二项分布及其应用 (431)§11．9离散型随机变量的均值与方差 (439)§11．10正态分布 (447)单元测试卷 (453)第十二章统计 (458)§12.1随机抽样 (458)§12.2用样本估计总体 (463)§12.3变量间的相关关系与线性回归方程 (471)§12.4统计案例 (478)单元测试卷 (487)第十三章推理与证明 (492)§13.1合情推理与演绎推理 (492)§13.2直接证明与间接证明 (497)§13.3数学归纳法 (501)单元测试卷 (505)第十四章数系的扩充与复数的引入 (509)§14.1数系的扩充和复数的概念 (509)§14.2复数代数形式的四则运算 (513)单元测试卷 (516)第十五章选考内容 (519)§15.1几何证明选讲 (519)§15.2坐标系 (527)§15.3参数方程 (533)§15.4不等式选讲 (540)单元测试卷 (547)第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．从近几年高考来看，集合的运算考查比较频繁，新课标强调用韦恩图表达集合的关系及运算，高考试卷中的相应内容也明显增加，应引起足够的重视．1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集⊆A， B(B≠) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________ Venn图表示(阴影部分)意义5.集合的运算(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；⑥∁U(A∩B)＝(∁U A)________(∁U B)；⑦∁U(A∪B)＝(∁U A)________(∁U B)．(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.【自查自纠】1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N*(N＋)N Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A⇐B B⇑A非空集合2n4．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U⑥∪⑦∩(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2013·重庆)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．故选D.已知全集U＝R，集合M＝{x|||x－1≤2}，则∁U M＝()A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x≤－1或x≥3}解：可以解得集合M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以∁U M＝{x|x＜－1或x＞3}，故选C.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝______________．解：因为全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝{x|0<x<1}，故填{x|0<x<1}．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解：∵3∈B，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.故填1.类型一集合的概念(2013·河南调考)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12满足题意，故a＝－32.【评析】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果∁S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由.解：由题意得x3－x2－2x＝0，∴x(x＋1)(x－2)＝0，解得x＝0，或x＝－1，或x＝2.当x＝0时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；当x＝－1或x＝2时，经检验满足条件．∴实数x存在，且x＝－1或x＝2.类型二集合间的关系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}.(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围；(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围；(3)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围.解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)因为B⊆A，所以，①若B＝Ø，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；②若B≠Ø，则⎩⎪⎨⎪⎧m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5， 解得m ∈Ø，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆ B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－5，m ≤4，m ≥3， 故3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．【评析】本例主要考查了集合间的关系，当B ⊆ A 时，B 可能为空集很容易被忽视，要注意这一“陷阱”.(1)已知集合A ＝{x |x ＞1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}.若B ⊆ A ，求m 的取值范围.解：若B ⊆ A ，当B ＝Ø时，则m ＞m ＋3，不成立；当B ≠Ø时，则有m ＞1，故m 的取值范围为(1，＋∞)．(2)(2012·全国大纲)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆ BB ．C ⊆ B C ．D ⊆ CD ．A ⊆ D解：∵正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，∴C ⊆ B ⊆ A ，C ⊆ D ⊆ A .故选B.类型三 集合的运算设集合M ＝{y |y ＝||cos 2x －sin 2x，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1] 解：y ＝||cos 2x －sin 2x ＝||cos2x ∈[0，1]，所以M ＝[0，1]；因为⎪⎪⎪⎪x －1i <2，||x ＋i <2，又因为x ∈R ，根据复数模的定义，x 2＋1<2，即x 2<1，所以 －1<x <1，从而N ＝(－1，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．故选C.【评析】某些基本概念(公式或性质)与集合运算的简单综合题是高考考查的热点题型．本题确定出集合的元素是关键，通过集合M 考查三角函数的倍角公式和三角函数的性质；通过集合N 考查复数的基本性质和模的定义以及简单不等式的解法．(2012·辽宁)已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}解：A ∪B ＝{0，1，2，3，4，5，6，8}．由集合运算的性质知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7，9}．故选B.类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解：作出Venn 图．当M ∩P ≠Ø时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝Ø时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝Ø＝M ∩P .故选B .【评析】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M －P ”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn 图将问题简单化．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≤2}解：图中阴影部分的集合表示∁U M 与集合N 的交集，又∁U M ＝{x |x ≤2}，故可知(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.类型五 和集合有关的创新试题设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集，下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.【评析】本题具有高等数学背景，这些新的定义是我们平时学习中很难碰到的．对此，我们可以利用特例和熟知的内容进行分析，看结果是否符合题意，从而得出正确的判断．总之，化陌生为熟悉，化非常规为常规是解决这类问题的基本方法．定义A ⊗B ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( )A ．1B ．3 C．9D ．18解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋xy＝0；当x ＝2，y ＝1时，xy ＋xy＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy＋x y ＝5，∴A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .1.解集合问题注意“三化”(1)代表元素“意义化”：代表元素反映了集合中元素的特征.解题时要紧紧抓住代表元素及其属性，可通过列举元素，直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析.应做到“意义化”，即分清集合的类型(数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等).(2)元素组成“具体化”：有些集合中的元素所满足的条件是可以化简的，如果先化简再研究其关系，则可使问题变得简单明了，易于解决.(3)数形结合“直观化”：结合数轴、坐标系(包括函数图象、平面区域等)及韦恩(Venn)图可使问题直观化，更便于求解．2.正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题.例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围.这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，⇒58≤a ＜3，a ＞4a －9从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.3.两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同和混淆.4.五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝Ø是两两等价的.5.空集与全集是两个特殊的集合，应了解其含义，解题时要特别注意对含空集情况的分析.1.已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∩N ＝{2，3} D ．M ∪N ＝{1，4} 解：由已知得M ∩N ＝{2，3}，则C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C.2．(2012·湖南)设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}， ∴M ∩N ＝{0，1}．故选B.3.已知三个集合U ，A ， B 及元素间的关系如图所示，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8}解：易知U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5，6}，∴∁U A ＝{0，4，5，6，7，8}．∴(∁U A )∩B ＝{5，6}．故选A.4.(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2 解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D.5.(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.所以B 中元素个数为5，故选C.6.(2013·上海)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解：当a ＞1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝ [a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1＜a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a ＜1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1≤a ，∴A ∪B ＝R ，故a ＜1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．故选B.7.已知集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∪B ＝______.解：∵A ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故填(－∞，1]．8.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫121－x >1，N ＝{x |||x －1≤2}，则N ∩(∁R M )＝______________. 解：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫121－x >1＝(1，＋∞)，N ＝{x |||x －1≤2}＝[－1，3]，N ∩(∁R M )＝[－1，1]．故填[－1，1]．9．记关于x 的不等式x －ax ＋1＜0的解集为P ，不等式||x －1≤1的解集为Q .(1)若a ＝3，求P ；(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围.解：(1)由x －3x ＋1＜0，得P ＝{x |－1＜x ＜3}．(2)∵Q ＝{x |||x －1≤1}＝{x |0≤x ≤2}，∴由a ＞0，得P ＝{x |－1＜x ＜a }，又Q ⊆P ，∴a ＞2，即a 的取值范围是(2，＋∞)．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.(1)当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.解：∵6x ＋1≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，6≥x ＋1⇔－1＜x ≤5，∴A ＝{x |－1＜x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}， ∴∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}可知x ＝4是方程x 2－2x －m ＝0的一个根，∴42－2×4－m ＝0，∴m ＝8；x ＝－1可能是方程x 2－2x －m ＝0的另一根， ∴(－1)2－2×(－1)－m ＝0，∴m ＝3. 当m ＝8时，B ＝{x |－2＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}符合题意；当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜3}不合题意．综上知，m ＝8.11.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}.(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的值.解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a ＝0时，B ＝Ø，不合要求． 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，解集为Ø.∴当43≤a ≤2时，A ⊆B .(2)要满足A ∩B ＝Ø，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，显然A ∩B ＝Ø.∴a <0时成立．验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝Ø.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然当a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}， 故所求a 的值为3.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：易知A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝Ø时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1；②当Ø≠B⇐A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，－2（a＋1）＝－4，a2－1＝0.解得a＝1.综上所述，a的取值范围为{}a|a≤－1或a＝1.§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.本节内容多以选择题与填空题的形式出现，是高考热点内容之一，一般以高中数学知识为载体，考查学生的逻辑推理能力，掌握本节内容的关键是深刻理解相关概念.1.命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题.(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________.(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________.(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________.(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________________就叫做原命题的逆命题；______________________就叫做原命题的否命题；__________________就叫做原命题的逆否命题.2.四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.3.充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p 的_________.(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________.(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的______________条件.(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件.(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件.【自查自纠】1.(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2.(1)(2)①相同②没有关系3.(1)充分条件必要条件(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)p q q⇒p(5)p q q p下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D .(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：“a ＝3” ⇒ “A ⊆B ”，反之，A ⊆B ⇒a ＝2或3.故选A.(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，tan α≠1B ．若α＝π4，tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解：“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.故选C.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________.解：∵“＝”的否定为“≠”，“≥”的否定为“<”，∴ 命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”.故填若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.已知下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可). 解：对于①，“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；对于②，“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不等的三角形不全等”为真命题；对于③，“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，当m ≤1时，Δ＝4－4m ≥0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0有实根，原命题为真，故③为真；对于④，“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，故原命题为假，故④为假．故填①②③.类型一 四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3. 解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB ＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC . 这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题．【评析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”.写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角 相等；(4)有理数都能写成分数.解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零． 否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零． (2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． (3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数． 否命题：非有理数不都能写成分数．类型二 定义法判定充要条件在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝csin A ，由正弦定理可得a b ＝b c ＝ca＝k .∴⎩⎨⎧a ＝kb ，b ＝kc ，⇒a ＝b ＝c .c ＝ka则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A . 因此p ⇒q 且q ⇒p ， 即p 是q 的充要条件．故选C .【评析】判断p 是q 成立的什么条件，就是根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p ，则q ”与“若q ，则p ”是否成立，若只有一个成立，则p 是q 的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p 是q 的充要条件．(2013·福建)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为点P (2，－1)满足直线l 的方程，所以它在直线l 上，反之不能推出点P 的坐标必为(2，－1)，故选A.类型三 集合法判定充要条件“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：令A ＝{α|p (α)}，B ＝{α|q (α)}，则可得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sin α＝12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|1－2sin 2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sin α＝±12.显然，A ⇐B ，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.【评析】利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p ，q 与集合的特征性质结合起来，即p ，q 是集合A ，B 的特征性质，A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，再由集合A ，B 之间的关系就可以得到命题p ，q 之间的关系．这里用数形结合的思想方法，能使问题的解答直观、简捷．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A ⇐B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．类型四 充要条件的证明与探求数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B 适合a n ＝2An ＋B －A . 所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，即得S n ＝An 2＋Bn ，因此，必要性成立．所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件．【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p ”(或“q ”)分别作为条件，推出“q ”(或“p ”)．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.解：x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N ＋，取n ＝1，2，3，4，验证可知n ＝3，4符合题意；反之，n ＝3，4时，可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．故填3或4.类型五 充要条件的应用设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解：p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，p q . 设A ＝{x |p (x )}＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0}＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |q (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0＝{}x |2＜x ≤3，则B ⇐A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，3a ＞3⇒1＜a ＜2，又当a ＝2时也满足B ⇐A .∴1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．【评析】此题和变式5难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错．应注意：①充分运用充要条件的定义；②条理清晰，细心作答；③借助数轴，准确运算．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x >2}．∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件， ∴A ⇐B . ∴a ≤－4或3a ≥2. 又a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－4]．1.命题及命题真假的判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.只有这两个条件都具备的语句才是命题.(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论，只有将条件与结论分清，才有可能正确地判断其真假.2.四种命题的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提.(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性来判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.(4)分清“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论.3.充要条件的判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论.(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假.(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A ⇐B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件； ④若B ⇐A ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⑥若A ∨B 且B ∨A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B .2.若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( ) A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0；反之，若(a－1)(a－2)＝0，则a可以为1.故选A.3．(2013·上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件解：条件p：货便宜，q：货不好．“便宜没好货”可以表示成“若p，则q”，所以它的逆否命题“若綈q，则綈p”，即“好货不便宜”成立，因此“不便宜”是“好货”的必要条件．故选B.4.(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：φ＝π⇒曲线y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过坐标原点，反之，曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ还可以取其他值．故选A.5.(2013·山东)给定两个命题p，q，若⌝p是q的必要而不充分条件，则p是⌝q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为⌝p是q的必要而不充分条件，可得⌝q 是p的必要而不充分条件，从而得出p是⌝q的充分而不必要条件，故选A.6.(2013·上海春季高考)已知a，b，c∈R，“b2－4ac<0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当b2－4ac＜0时，若a＜0，则f(x)的图象在x轴的下方，充分性不成立；反之，当f(x)的图象在x 轴的上方，则b2－4ac＜0或a＝b＝0，c＞0，必要性不成立．故选D.7.(2012·山东改编)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的______________条件.解：由“函数f(x)＝a x在R上是减函数”知0＜a＜1；∵y＝x3在R上为增函数，2－a＞0，∴g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数；反之，若a＜20＜a＜1.故填充分不必要．8.已知a，b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：||a＋b>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p2：||a＋b>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π；p3：||a－b>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p4：||a－b>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.其中真命题的是____________.解：p1：||a＋b>1⇔a2＋2a·b＋b2>1⇔1＋2cosθ＋1>1⇔cosθ>－12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3.p4：||a－b>1⇔a2－2a·b＋b2>1⇔1－2cosθ＋1>1⇔cosθ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.故填p1，p4.9．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a ＞0).若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0) ⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q p，∴{}x|－2≤x≤10⇐{x|1－a≤x≤1＋a}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a＜－2，1＋a＞10，a＞0解得a＞9.又当a＝9时，也满足条件．因此，所求实数a的取值范围为[9，＋∞)．10.已知p：⎪⎪⎪⎪1－x－13≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.解：⌝p：⎪⎪⎪⎪1－x－13＞2，即x＜－2，或x＞10，取A＝{x|x＜－2，或x＞10}，⌝q：x2－2x＋1－m2＞0，解得x＜1－m，或x＞1＋m，取B＝{x|x＜1－m，或x ＞1＋m}，∵⌝p是⌝q的必要非充分条件，∴B⇐A，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m＜－2，1＋m＞10，解得m＞9.当m＝9时，B＝{x|x＜-8或x＞10}也满足条件，所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．11.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根。

2020年全国高考数学 第44讲 曲线与方程考纲解读了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，理解曲线与方程的概念命题趋势探究从内容上看，求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，一般与平面向量结合。

从形式上看，以解答题为主，难度中档。

从能力要求上看，高考中注重考查学生的逻辑思维，运算，分析和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，恰好能很好的反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性比较强，属于较南题：若出现在客观题中，则通常可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题。

轨迹问题是每年必考内容之一，求解方程比较有规律，难度以中等偏难为主。

知识点精讲一、曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。

事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F ，上诉定义中C F ⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件(1)C F 条件(2)F C二、直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系-----建立适当的坐标系；（2）设点-----设轨迹上的任一点(),P x y ；（3）列式-----列出有限制关系的几何等式；（4）代换-----将轨迹所满足的条件用含,x y 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y 的方程式化简；（5）证明（一般省略）-----证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）。

简记为：建设现代化，补充说明。

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。

9.6 曲线与方程挖命题【考情探究】给条件选择适当的直角坐标系，运用求轨迹方程的常用方法（如：直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等）求轨迹方程3本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主，分值约为12分,属中高档题•破考点【考点集训】考点曲线与方程1. （2018晋冀豫三省联考，6）已知A（-1,0）,B（1,0）两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若=入•，则当入＜0时，动点M的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案C2 22. （2018广东七校二联,15）已知点P是圆F1：（x+1） +y=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F关于原点对称，线段PF2的垂直平分线m分别与PF,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为_________________ .由题设得A（-1,0）,B（1,0）,|AB|=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为一—=1（y和）.（4分）炼技法 【方法集训】方法求轨迹方程的方法1.（2018湖南怀化调研，8）已知F i 、F 2分别为椭圆C:_+_=1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上 的动点,则厶PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为（ ）2A. —+—=1（y ^0）B. —+y =1（y ^0） 222C. 一+3y =1（y 书）D.x +-y =1（y 和）答案 C 2.（2018山西临汾模拟,9）已知椭圆C:-+-=1（a>b>0）的左，右顶点分别为 A,B ，点M,N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点,若直线AM 与 BN 相交于点P,则点P 的轨迹方程是（）A.x= ± a （y 和） 2B.y =2b （|x|-a ）（y旳）C.x +y =a +b （y 用）D. ----- =1（y ^0）答案 D过专题 【五年高考】A 组统一命题课标卷题组分）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为 A,直线I 过点B （1,0）且与x 轴不重合,1交圆A 于C,D 两点，过B 作AC 的平行线交 AD 于点E. （1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；⑵ 设点E 的轨迹为曲线 C,直线l 交C 于M,N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆 A 交于P,Q 两点，求四边形MPN （面积的取值范围.解析 （1）因为 |AD|=|AC|,EB // AC,故/ EBD=/ ACD=/ ADC. 所以 |EB|=|ED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.答案 一+—=11.（2016 课标 I ,20,12又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.（2 分）⑵当I与x轴不垂直时，设I的方程为y=k(x-1)(k 旳)，M(x i,y i),N(x 2,y 2).由得(4k 2+3)X2-8k 2x+4k 2-12=0.贝y X i+X2= ----- ,x 1X2= ---- .所以|MN|= |x 1-x 2|= ---------- .(6 分)过点B(1,0)且与I垂直的直线m:y=- - (x-1),A 至U m的距离为^=,所以|PQ|=2 - =4 ——.故四边形MPNQ勺面积S=_|MN||PQ|=12 ——.(10 分)可得当I与x轴不垂直时，四边形MPN3积的取值范围为(12,8 _).当I与x轴垂直时，其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ勺面积为12.综上，四边形MPNQ^积的取值范围为［12,8 —).(12分)方法总结定义法求轨迹方程的一般步骤：(1) 判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；(2) 设标准方程，求方程中的基本量；(3) 写出轨迹方程.2.(2016课标川,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线丨1」2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.(1) 若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明AR// FQ;(2) 若厶PQF的面积是△ ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F - .设11:y=a,l 2：y=b,贝V ab电且A— ,B — ,P -- ,Q -- ,R ----------------------- ----- .记过A,B两点的直线为I,则I的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3 分)由题设得A（-1,0）,B（1,0）,|AB|=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为一—=1（y和）.（4分）(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1 ==-b=k 2.所以AR// FQ.(5 分)⑵设I 与x 轴的交点为D(x i,O),则ABF=|b-a||FD|= -|b-a| --,S ^PQF=.由题设可得2X-|b-a| 所以x i=0（舍去）,或x i=1.（8分）设满足条件的AB的中点为E（x,y）. 当AB与x轴不垂直时, 由k AB=k DE可得———（x力）.2而——=y,所以y=x-1（x M|）.当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2=x-1.（12分）疑难突破第⑴ 问需把AR// FQ的证明转化为k AR=k FQ的证明；第⑵问需找到AB中点所满足的几何条件，从而将其转化为等量关系B组自主命题省（区、市）卷题组1. （2015湖北,21,14分）一种作图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆0N可绕0转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3i栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时,N也不动）,M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求曲线C的方程；⑵设动直线I与两定直线l 1 :x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△ OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在,说明理由.图2解析(1)设点D(t,O)(|t| €),N(x o,y o),M(x,y),依题意，=2 ,且| |=| |=1,所以(t-x,-y)=2(x o-t,y 0),且且t(t-2x o)=O.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,于是t=2x o,故x o=_,y o=-_,代入+ =1,可得一+—=1,即所求的曲线C的方程为一+—=1.⑵(i) 当直线I的斜率不存在时，直线I为x=4或x=-4,都有S A OP= X 4X 4=8.(ii)当直线I的斜率存在时，设直线l:y=kx+m -,2 2 2由消去y,可得(1+4k )x +8kmx+4m16=o.因为直线I总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△ =64k m-4(1+4k )(4m -16)=0,即m=16k +4.①又由可得P ----------- ;同理可得Q- -------------- .由原点O到直线PQ的距离为d=^=和|PQ|=|x P-X *可得S A OP=-|PQ| d=|m||x P-X d=- |m|————=—.②将①代入②得，S △OP(= ---- =8 ------- .当k >-时,S △OPQ=8 --- =8 --- >8;当0* 时,S △OPQ=8 -—=8 - —— .因0家<.,则0<1-4k 2勻，一支,所以S^ OPQ=8 -当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S △OPC的最小值为8.综合(i)(ii) 可知,当直线I与椭圆C在四个顶点处相切时,△ OPQ的面积取得最小值8.2. (2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P(-2,1).求直线I与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析⑴设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即- =|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=2⑵在点M的轨迹C中，记C:y =4x,C2：y=0(x<0),依题意，可设直线l的方程为y-仁k(x+2).由方程组-可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①i) 当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程，得x=-.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点-.2ii) 当k和时，方程①的判别式为△ =-16(2k +k-1).②设直线I与x轴的交点为(x 0,0),贝y由y-仁k(x+2),令y=0,得x o= -------- .③若由②③解得k<-1或k>-,即当k€ (- 8,-1) U - 时,直线|与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线I与轨迹C恰好有一个公共点.若或则由②③解得k € - -或一-詠<0,即当k€ --时,直线I与C只有一个公共点，与C2有一个公共点.当k€ -- 时,直线|与C1有两个公共点，与G没有公共点，故当k€ -- U --时,直线I与轨迹C恰好有两个公共点.若则由②③解得-1<k<--或0<k<_.即当k€ - -_ U -时,直线I与C i有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线I与轨迹C恰好有三个公共点.综合i)和ii)可知，当k € (- -1) U - U {0}时,直线I与轨迹C恰好有一个公共点；当k€ -- U --时,直线I与轨迹C恰好有两个公共点；当k€ - -- U -时,直线I 与轨迹C恰好有三个公共点.C组教师专用题组2 2 2 2(2013 课标I ,20,12 分,0.150)已知圆M:(x+1) +y =1,圆N:(x-1) +y =9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1) 求C的方程；(2) l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径n=1;圆N的圆心为N(1,0),半径「2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+“=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为—的椭圆(左顶点除外)，其方程为一+—=1(x工2).⑵对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2电，所以R电，当且仅当圆P的圆心为2 2(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x-2) +y =4.若I的倾斜角为90° ,则I与y轴重合，可得|AB|=2 _.若I的倾斜角不为90° ,由「1汞知I不平行于x轴，设I与x轴的交点为Q,则——=—,可求得Q(-4,0),所以可设I:y=k(x+4).由I与圆M相切得=1,解得k=±—.当k=一时，将y=-x+ —代入一+—=1,所以|AB|=|x 2-x 1|=并整理得7X2+8X-8=0,解得X1,2 = --------- .当k=-—时,由图形的对称性可知|AB|=—.综上，|AB|=2 —或|AB|=—.思路分析（1）由动圆P与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心P的轨迹，进而求得曲线C的方程，注意检验特殊点是否符合题意；（2）根据条件确定圆P的半径最长时圆P的方程，对直线I的倾斜角进行讨论•当直线的斜率不存在时，直接求|AB|.当直线的斜率存在时，利用相切关系求其斜率与方程，将直线方程代入曲线C的方程，解出X，再利用弦长公式求|AB|.方法总结应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出动点满足的等量关系，由等量关系结合相应曲线定义判断是何种曲线，进而得出曲线标准方程中的相关量•【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共15分）1. （2018福建漳州八校联考，8）已知圆M:（x+ 一）2+丫2=36,定点N（一，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2 ，• =0,则点G的轨迹方程是（）A. —+—=1 B.—+—=1 C. ------ =1 D. ------ =1答案 A2. （2018 广东韶关模拟，9）设M是圆O:x2+y2=9上的动点，直线I过M且与圆O相切，若过A（-2,0），B（2,0）两点的抛物线以直线I为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A.—-—=1（y 老） B.—-—=1（y 旳）C.—+—=1（y 老）D.—+—=1（y M D）答案C3. （2017 河北衡水中学期中,11）已知A（-1,0）,B 是圆F:x -2x+y -11=0（F为圆心）上一动点, 线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为（）A.—+—=B. —-—=11答案D 二、 填空题(每小题5分，共15分)4. (2017 河南豫北名校 4月联考，15)已知△ ABC 的顶点B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长 |CD|=3,则顶点A 的轨迹方程为 _______________________ .2 2答案(x-10) +y =36(y 用)5. (2018江西九江3月联考,14)设F(1,0),点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且 =2, 丄当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为 _________ .2 答案 y =4x6. (2018河北唐山调研,14)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P,Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方程是 _________ .答案 y 2=2x-2三、 解答题(共50分) 7. (2019届山东济南历城二中 11月月考,21)已知圆M:(x+1) +y =1,圆N:(x-1) +y =9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线C 的方程；⑵过点Q(1,1)作圆M 的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标. 解析 (1)由已知得圆 M 的圆心为M(-1,0),半径L=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径「2=3.设动圆P 的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|+|PN|=(R+r J+(r 2-R)=r 1+「2=4>|MN|,根据椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左、右焦点的椭圆(左长轴端点除外),2即 2a=4, - - a=2,c=1, •・b =3,•••椭圆的方程为 一+—=1(x 乂2).C. ——=1 D. —+—=1172 2 2 2则|QA|=|QB|=2,以Q为圆心，|QA|为半径的圆Q:(x-1) +(y-1) =4与圆M:(x+1) +y =1公共弦所在直线AB的方程为y=-2x-1,联立曲线C:—+—=1(x 乂2)与直线AB:y=-2x-1 可得219x+16x-8=0, △ >0,设直线AB与曲线C的交点为E(x i,y i),F(x 2,y 2),则x i+X2=-—,所以中点的横坐标为—— =-—,代入y=-2x-1得中点的纵坐标为-—,即所求中点坐标为 -----------思路分析(1)已知动圆P与圆M外切，与圆N内切，利用圆心距和半径的数量关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得曲线C的方程； (2)先求直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，再根据一元二次方程根与系数的关系求得相交弦的中点的横坐标，进而得中点坐标•8. (2019届河南开封10月联考,20)已知直线l i：y=—x,l 2：y=- —x,动点P,Q分别在l i,l 2上移动,|PQ|=2 _,N是线段PQ的中点，记点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；⑵过点M(0,1)分别作直线MA,MB交曲线C于A,B两点，设这两条直线的斜率分别为k i,k2,且k i+k2=2,证明：直线AB过定点•解析(1)根据条件设P( m,m),Q(- n,n),2 2•/ |PQ|=2 , ••• 3(m+n) +(m-n) =12.设N(x,y)是线段PQ的中点，则2消去m,n可得曲线C的方程为-+y=1.⑵证明：由⑴知，点M(0,1)为椭圆—+y2=1的上顶点，当直线AB的斜率不存在时,设A(x o,y 0),则B(x o,-y 0),由k i+k2=2 得——+ -- =2,得x o=-1;当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(mMl),A(x 1 ,y i),B(x 2,y 2),联立一?(1+9k )x +18kmx+9nm9=0,得X l+X2= ------ ,x 1 X2= ------ ,k i+k2 =2?—+—=2? ------------ ------------- - -- =2,2即(2-2k)x 1X2=(m-1)(x 1+X2) ?(2-2k)(9m -9)=(m-1) (-18km), 由m^l, 得(1-k)(m+1)=-km ?m=k-1,即y=kx+m=kx+k-1 ?y=k(x+1)-1,故直线AB过定点(-1,-1). 经检验，此时直线与椭圆有两个交点,满足题意•综上所述,直线AB过定点(-1,-1).9. (2018湖南郴州模拟,20)已知抛物线E:y2=8x,圆M:(x-2) 2+y2=4，点N为抛物线E上的动点,0为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C的方程；⑵点Q(X0,y 0)(x 0为)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A、B两点，求A QAB面积的最小值.2 2解析(1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y =8x 上，二4y =16x,•••曲线C的方程为y2=4x.(2) 由题意知切线斜率存在.设切线方程为y-y 0=k(x-x 0).令y=0,可得x=X0-「圆心(2,0)到切线的距离 d —=2,整理可得(-4x 0)k2+(4y 0-2x 0y°)k+ -4=0.设两条切线的斜率分别为k1,k 2,贝V k1+k2= -------- ,k 1k2= ----- ,• - △ QAB的面积S= I -— - -— |y 0|=2 —.,f (t)在[4,+ g )上单调递增，••• f(t)4,即△ QAB 面积的最小值为一•10.(2018云南玉溪模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P 满足 •=6| |.(1)求动点P 的轨迹C ； ⑵ 在曲线C 上求一点Q,使点Q 到直线l:x+2y-12=0的距离最小. 解析 ⑴ 设动点 P(x,y),•••点/1(4,0)、N(1,0), =(x-4,y),=(-3,0), =(x-1,y).(3 分) 由 •=6| |,得-3(x-4)=6 - ,(4 分) 2 2 2 • x -8x+16=4(x -2x+1)+4y ,故 3x +4y =12,即一+—=1,(6 分)•轨迹C 是焦点为(土 1,0),长轴长为 4的椭圆.(7分)⑵椭圆C 上的点Q 到直线I 的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0 直线l 1与直线I 的距离.设直线l 1的方程为x+2y+m=0(mr-12).(8 分)2 2 由消去 y 得 4x +2mx+m-12=0(*). 、, 2 2依题意得△ =0,即 4m-16(m -12)=0,故 m=16,解得 m=± 4.当m=4时，直线I 1：x+2y+4=0,直线I 与11的距离d=^== --------- .当m=-4时，直线l 1：x+2y-4=0,直线l 与11的距离d=- _____ =由于一＜——,故曲线C 上的点Q 到直线I 的距离的最小值为一.(12分) 当 m=-4 时,方程(*)化为 4x 2-8x+4=0,即(x-1) 2=0,解得 x=1.由 1+2y-4=0,得 y=-,故 Q - ,(13 分) •曲线C 上的点Q -到直线I 的距离最小.(14分)设 t=x 0-1 € [4,+ g ),贝y f(t)=2 且与椭圆C 相切的。