有界线性算子空间中最佳逼近的强惟一性

摘要R，1971年，Coifman和Weiss引进了齐型空间的概念。

一个典型的情形是欧氏空间n另一个典型例子是Heisenberg群，它是一类非交换群，与欧氏空间有着本质的差别。

欧氏空间上交换调和分析得到了长足发展，非交换调和分析则是一个重要的发展方向。

本文研究齐型空间上几类算子的性质，包括积分算子的有界性和微分算子的唯一延拓性。

主要内容由以下四部分组成：第一部分通过发展欧氏空间上经典Morrey空间的一些性质研究齐型空间上加权极大算子，Hardy-Littlewood极大算子，奇异积分算子及其交换子在广义加权Morrey空间中的有界性。

第二部分在齐型空间上考察广义消失Morrey空间，它是广义Morrey空间的一类子空间。

通过发展欧氏空间中经典Morrey空间关于极大函数的估计，建立分数次积分算子的交换子在广义消失Morrey空间中的有界性。

第三部分在齐型空间上引进广义加权Campanato空间，并对其建立一估计式，该结果对Littlewood-Paley算子在Campanato空间有界性的研究起着重要作用。

第四部分研究Heisenberg型群上一类微分算子的唯一延拓性，所得结果包含Heisenberg 群和四元Heisenberg群的相应结论。

关键词：齐型空间；积分算子；有界性；微分算子；唯一延拓性AbstractIn 1971, Coifman and Weiss introduced the definition of homogeneous type spaces. A typical case is the Euclidean space, and the other example is the Heisenberg group, a class of non-Able group which exists substaintial distinguish from the Euclidean space. The commutative harmonic analysis has been studied very well in the Euclidean space, and then the harmonic analysis for non-Able groups naturally becomes extensively attention. The paper is concerned with properties of several class of operators in the homogeneous type space, which includes boundedness of integral operator and unique continuation proerties of a differential operator. The following four parts consist in the mian results of this paper.In the first part, by generalizing classical Morrey spaces in the Euclidean space, Boundedness of the weighted maximal operator,the Hardy-Littlewood maximal operator, the singular integral operator and the commutator of the singular integral operator is showed in the generalized weighted Morrey space, respectively.In the second part, we are interested in the vanishing generalized Morrey space, which is a subspace of the generalized Morrey space in homogeneous type spaces. Moreover, a sufficient condition of boundedness for the commutator of the fractional integral operator is established on the vanishing generalized Morrey space, based on estensions concerning the sharp maximal function and the fractional maximal function on classical Morrey spaces in the Euclidean space.The third part focus on the generalized weighted Campanato space in homogeneous type spaces. An estimate which plays a crucial role in investigating the boundedness of the Littlewood-paley operator in the Campanato space is established.In the last part, we pay attention to unique continuation properties for a class of differential operator in Heisenberg type group. The results obtained involve those in Heisenberg groups and quaternionic Heisenberg groups.Key words：homogeneous type spaces；integral operator；boundedness；differential operator；unique continuation property.第一章绪论1.1 论文的研究意义分析理论中的很多重要问题最终都归结为算子在函数空间上的性质，因此，研究算子在相应函数空间上的性质，一直是泛函分析、偏微分方程和调和分析等领域专家共同关注的热点。

有界解析函数空间上一个算子的有界性与紧性周林【摘要】主要讨论了单位圆盘上有界解析函数空间上算子μD2 Cφ的有界性和紧性,算子μD2 Cφ定义为(uD2Cφf)(z)=μ(z)(f(φ(z)))",u∈H(D),得到了有界解析函数空间μD2Cφ算子的有界性和紧性的充要条件.【期刊名称】《淮海工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(024)004【总页数】3页(P1-3)【关键词】有界解析函数;有界性;紧性【作者】周林【作者单位】连云港广播电视大学建筑工程系,江苏连云港222006【正文语种】中文【中图分类】O177.2;O174.5首先介绍一些本文将要用到的记号.记复平面上的单位圆盘D={z∈:|z|<1},H(D)表示D上所有的解析函数的集合.若f∈H(D),‖则称函数f属于有界解析函数空间H∞.本文将要讨论的算子如下:文献[1-7]讨论了有界解析函数空间以及Bloch空间.受上述文献影响,本文利用得到的有界性以及紧性条件,讨论有界解析函数空间上算子μD2Cφ的有界性和紧性.本文中字母C是一个正常数,不同的地方可以不同.为了证明的需要,引用文献[5]中的引理如下.引理1[5] 设f∈H∞,那么对于任意自然数n,存在一个与f无关的正常数C,使得由Montel定理及紧算子定义,可以得出下面的引理.引理2[5] 设u∈H(D),φ是D上的解析自映射,则算子uD2Cφ:H∞→H∞是紧算子的充要条件为uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子且对于H∞中在D的任一紧子集上一致收敛于0的任意有界序列(fk)k∈有‖uD2Cφfk‖∞,k→∞.定理1 设u∈H(D),φ是D上的解析自映射,则算子uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子的充要条件为证明首先假设式(1)和(2)成立,那么对于任意f∈H∞,由引理1可得从上式以及式(1)和(2)可得uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子.相反地,假设uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子,那么存在一个正常数C，对于任意f∈H∞,‖uD2Cφf‖∞≤C‖f‖∞.固定w∈D,取检验函数显然fw,1,fw,2∈H∞,且‖fw,1‖∞≤C,‖由于uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子,所以所以所以因为所以由以上两式可得所以由式(3)～(8)可得式(1)和(2)成立.证毕.定理2 设u∈H(D),φ是D上的解析自映射,则算子uD2Cφ:H∞→H∞是紧算子的充要条件为uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子且证明首先假设uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子且式(9)和(10)成立.让(hi)i∈是H∞中使得‖hi‖∞≤C且hi在D的任一紧子集上一致收敛于0的序列.由假设知∀ε>0存在一个当δ<|φ(z)|<1时,因为uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子,由定理1可知式(1)和(2)成立.因为hi是在D的任一紧子集上一致收敛于0的序列,由柯西估计可知是在D的任一紧子集上一致收敛于0的序列,所以∃i0∈,使得当i>i0时,有由式(11)～(14)可知,当i>i0时有所以‖uD2Cφhi‖∞=0,由引理2可得uD2Cφ:H∞→H∞是紧算子.相反地,假设uD2Cφ:H∞→H∞是紧算子,显然uD2Cφ:H∞→H∞是有界算子.若‖φ‖∞<1,由引理2,显然uD2Cφ:H∞→H∞是紧算子.下证‖φ‖∞=1的情况,令(zi)i∈∈D是使得|φ(zi)|→1,i→∞的点列.取检验函数fi,1(z)=fφ(zi)(z),fi,2(z)=fφ(zi)(z),那么‖fi,2‖∞≤C，且fi,1,fi,2在D的任一紧子集上一致收敛于0.由引理2可得‖uD2Cφfi,1‖∞=0,‖uD2Cφfi,2‖∞=0,于是在式(15)和(16)两边令i→∞,可得所以式(9)和(10)成立.证毕.[1] ZHAO Ruhan. Composition operators from Bloch type spaces to Hardy and Besov space[J]. Journal of Mathematics Analysis and Application, 1999, 233(2): 749-766.[2] ZHU Kehe. Bloch type spaces of a nalytic functions[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1993, 23(3): 1143-1177.[3] STEVIC S. On an integral operator from the Zygmund space to the Bloch-type space on the unit ball[J]. Bull Science Mathematics, 2010, 134(4): 329-339.[4] STEVIC S. On an integral operator between Bloch-type spaces on the unit ball[J]. Glasg Mathematics, 2009, 51(2): 275-287.[5] STEVIC S. Composition followed by differentiation from H∞ and the Bloch space to nth weighted-type spaces on the unit disk[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 216(12): 3450-3458.[6] YU Yanyan, LIU Yongmin. The product of differentiation and multiplication operator from the mixed-norm to the Bloch-type space[J]. Acta Mathematica Scientia, 2012, 32(1): 68-79.[7] LI Songxiao, STEVIC S. Products of Volterra type operator and composition operator from H∞ and Bloch spaces to Zygmund spaces [J]. Journal of Mathematics Analysis and Application, 2008, 345(1): 40-52. [8] 周林，曹成堂.Bloch空间上的积分算子的有界性和紧性[J].淮海工学院学报：自然科学版,2014,23(3):9-11.。

§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。

定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。

（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。

若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。

v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。

如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。

和是的两个子空间，称为平凡子空间。

若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。

E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。

若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。

若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。

E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。