结构位移计算-4温度、支座位移、互等定理 结构力学 哈工大

第三章 虚功原理和结构的位移一 判 断 题1. 已知P M ,Mk 图，用图乘法 求位移的结果为：（ω1у1+ω2у2）/（EI ）。

（ ） （X ） 题1图 题2图 题3图2. 图示结构中B 点挠度不等于零。

（ ）（√）3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C 点的竖向位移影响。

（ ）（X ）4. 求图示A 点竖向位移可用图乘法。

（ ）（X ）题4图 题5图5. 图示梁的跨中挠度为零。

（ ）（√）6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系：12δ=21ϕ。

这里12δ，21ϕ与只是数值相等而量纲不同。

（ ）（X ）7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。

（ ）（√）8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。

（ ）（X ）9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。

（ ）（√）10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。

（ ）（√）11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。

（ ）（X ）12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任一个都可看作是虚设的。

（ ）（√）13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力，因而也不产生位移。

（ ）（X ）14. 计算自由度W 小于等于零是体系几何不变的充要条件。

（ ）（X ）15．若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。

（ ）（X ）16．平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。

（ ）（√）17．三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。

（ ）（X ）18．图示三铰刚架，EI 为常数，A 铰无竖向位移。

为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By

MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx

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第四章 超静定结构计算
4-4-1 位移法的基本概念 以桁架为例 结点只有竖向位移 ，如设法求出，
各杆伸长量即知，从而内力确定；
i
FP FP
Δ
ui
Δ
FNi
1、取一杆分析（拆 修改）
FN i EAi ui li
杆件刚度方程

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M

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第四章 超静定结构计算
例题
FP
E C 2EI
有侧移刚架内力计算
l/2
FP
Z1 Z2
D
EI
A l
EI
l
B
基本体系
k11Z1 k12 Z 2 R1P 0 k21Z1 k22 Z 2 R2P 0
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第四章 超静定结构计算
Z1 1
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第四章 超静定结构计算
2.典型方程法
B
FP A
C
l 2 l 2
Z1
EI=常数
l
FP
基本体系
Z1 k11Z1 R1P 0
基本未知量 基本方程

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第四章 超静定结构计算
3ik11 7i
R1P
1 Z1 FP l 56i
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第四章 超静定结构计算
例题5
A
支座移动引起的内力图
2EI B EI c
l
C
l
原始结构
C

A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理