线代(2)期末复习题集1706

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【大学资料】线性代数期末习题库及答案

� 则 �r 为秩的 A 阵矩数系 �m 为数个程方 �n 为数个量知未中 B=XA 组程方性线次齐非 �7� 。解零非有 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�D� �解零有仅 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�C� �解多穷无有 B=XA 则�解零非有 0=XA 若�B� �解一唯有 B=XA 则�解零有仅 0=XA 若�A� � � �是的确正论结
L L L L L
0 L 1 0 0
0 L 1 1 0
0 L 0 = nD 1 1
、9
1 0 L 1 1 1
L L L L L L
1 1 L 0 1 1
1 1 L 1 0 1
1 1 L 1 1 0
=
n
a −1 1− a a −1
D 、8 � =
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能不 2β量向而�示表性线 3α�2α�1α由可 1β量向�关无性线 3α�2α�1α组量向设�11�
T T
�6�5�4�3�c+T�4�3�2�1� �D�T�5�4�3�2�c+T�4�3�2�1� �C� �A� �3�2�1�0�c+T�4�3�2�1� �B�T�1�1�1�1�c+T�4�3�2�1� � �=X 解通的
0 λ− L 0 0 L L L L L 0 0 0 0 L L 1 λ− 0 1
01 01 1− 1 1− 1+ χ 0 1− 1 1− χ 1 L = 01D � = = 4D 、3 、4 1− 1 + χ 1− 1 0 1− χ 1 1− 1
λ−
k 1 1 1 �= 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k = 4D 、2

线性代数期末复习题及参考答案

线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。

大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别姓名成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是。

线性代数期末考试试题汇总(最新整理)

16.设
A为三阶方阵，
A 为
A的伴随矩阵，
A＝－
1
，则
(4 A)1 3A*
＝
3
______________
17 设 n 阶方阵满足 A2 2 A 2E 0 ，试证：矩阵（A+3E）可逆，并求 ( A 3E)1 。
18 设 A 为三阶矩阵， A 为其伴随矩阵， A = 1 ，则 (1 A)1 10 A*
并求出向量组的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组线性表示。
8 已知向量
1
1, a, a 2
T ,2
1, b, b2
T ,3
1, c, c 2
T
, a,b,c 互不相等，则行列式
1, 2 , 3 =____________
9 向量组
1
1, , 2 ,1 T , 2
1 有唯一解， 2 无解， 3有无穷多解，此时求出通解。
1 1 1
3 已知 3 阶矩阵 A，B 有 A= 2 1
0
,
AB=A+2B,求矩阵
B;
1 1 0
4
设有线性方程组
x1 x2 ax3 x1 ax2 x3
1 a
，请解答：a 取什么值时，此方程组有
ax1 x2 x3 a 2
（1）唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解，并在有无限多个解时，计算方程组的通解；
(1 2 2 , 2 2 3 , 3 21 ) ＝_____________________
第二章
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
设矩阵
A=
1
0
0

(完整word版)线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

课程资料：西南财经大学2006线性代数(2)及答案

西南财经大学2006 — 2007学年第二学期财税专业本科 2005 级（ 2 年级 2 学期）人力资源专业本科 2005 级（ 2 年级 2 学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《线形代数》期末 A 卷考题库（下述 —— 四题全作计100分，两小时完卷）考试日期： 2006 1 11 遵守考场纪律，防止一念之差贻误终生一、填空（每小题2分，共10分）5x 1 2 31．在多项式()f x = 1 x -2 1 2 中，4x 的系数项为，3x 的系数1 2 x 3 -1 1 2 2x 项为。

20x y z +-=2．当k = 时，线性方程组 20x ky z +-= 有非零解。

350x z -= 3．设矩阵11112A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则1()A *-= 。

1 2 3 04．设矩阵A = 0 -1 0 3 ，则A 中四个列向量构成的向量组是线性，1 -2 2 1 0 0 0 5且()R A = 。

5．设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11112345,,,,则行列式1BE --= 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。

每小题2分，共20分）1 3 1λ 0 -11．设行列式1D = 2 2 3 ，2D = 0λ 0 ，若1D =2D ，则λ的取值为3 1 5 -1 0 λ （）。

（A ）0，1 （B ）0，2 （C ）1，-1 （D ）2，-1 2．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，且0AB =，则（）（A ） 0BA = （B ） 222()A B A B -=+ （C ） 0B = （D ） 0B =或0A =3，已知A 、B 、C 均为可逆方阵，则1000000C B A -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=（）。

（A ）111000000C B A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）11100000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）111000000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）111000000B C A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．若A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，则有（）。

线性代数期末考试题库资料大全

.-期末考试一试题线性代数 I一、填空（ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。

2、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性有关， t =。

13、 A 是 2 方， B 是 3 方， | A| 2，|B| 4， ||A| 1B | =。

4、若 A 是 3 方，且 2IA ，I A ， IA 均不行逆，A 的特点。

5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取范是。

二、（ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位，。

A 、 A 2AB 、A 2IC 、A 2I D 、A 2A2、 A 是 4 方， A 的队列式 |A| 0， A 中。

A 、必有一列元素全零B、必有两列元素成比率C 、必有一列向量是其他列向量的性合D、任一列向量是其他列向量的性合3、 1 是 A 的特点，。

A 、1是A 2的特点B 、2 是2A 的特点AAC 、2是A 2的特点 D、1 是2A 的特点AA4、向量1，2，⋯ ,n 的秩 r，此向量中。

A 、随意 r 个向量性没关B 、随意 r 个向量性有关C 、随意 r1个向量性有关D、随意 r1个向量性有关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。

2 412 02 21 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3C 、2 43D 、4260 66333666三、算队列式：（ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3， 4 性没关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，此中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数，向量 1 ， 2 ，3 性没关。

《线性代数》期末考试复习题

《线性代数》复习题一一、单项选择题⒈已知11122122b b b b =2，则11122111221222b b b b b b -- =( )A.0B.1C.2D.4⒉行列式1 02 1中元素12a 的代数余子式为（）A.0B.1C.2D.-2⒊已知A=a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ d ,则*A =（） A.⎛⎫⎪⎝⎭d -b -c a B.⎛⎫⎪⎝⎭d c b a C.⎛⎫⎪⎝⎭a cb d D.⎛⎫⎪⎝⎭-a c b -d ⒋E 为三阶单位矩阵，E=(,,εεε123)则下列错误的是（）A. ,,εεε123为3R 中的一组基。

B. ,,εεε123两两正交。

C. ,,εεε123线性无关。

D.j T i εε =1 （i j ≠）⒌若β可被1s αα线性表示，则下列各式一定成立的有（）A.11,s βαα线性无关。

B. 11,s βαα线性相关。

C. 1s αα线性相关。

D.β一定是零向量。

⒍有m 个方程组成的n 元齐次线性方程组AX=0仅有零解，则（） A.()()r A r A ≠。

B.()r A n =。

C.det 0A ≠。

D.()0r A =。

⒎若向量(1,1,1)(2,5,)k αβ=-=-、,若0=βαT ，则k=( ) A.3B.2C.-3D.-7⒏若B A ~，则下列各式不完全正确的是 ( )A.det det A B =B.det det T A B =C.1det det A B -=D.det det T A B =⒐若n 阶矩阵A 合同于B ，则（） A. 存在n 阶可逆矩阵p 使得T p Ap B =。

B. B A ~ C. detA=detBD. A 与B 有相同的特征值⒑二次型222221121...),...,,(n n n x d x d x d x x x f +++=为正定二次型的充分必要条件是（）A.0(1,2)i d i n <=B.二次型矩阵A 可逆C.detA=0D. 0(1)i d i n >=二.填空题⒈已知p 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶可逆矩阵，则r(PA)=_________。

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。

线性代数期末考试试卷习题包括答案合集大一期末线性代数试卷习题

大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。

每题 2 分，共 10 分〕1311. 假设05x 0 ，那么__________ 。

122x1x2x302．假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。

x1x 2x303．矩阵A，B，C( c ij ) s n，满足AC CB ，那么 A 与 B 分别是阶矩阵。

a a11124．矩阵A a a的行向量组线性。

2122a a31325．n阶方阵A满足A 23A E0，那么A1。

二、判断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。

每题 2 分，共10 分〕1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0 。

〔〕2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

〔〕3.向量组 a1， a2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，那么向量组a1， a2，，a s线性相关。

〔〕01001000A 。

〔〕4.A，那么 A1000100105. 假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为。

( )三、单项选择题 ( 每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每题2 分，共 10 分 )1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么AAT〔〕。

① 2n② 2n 1③ 2n 1④ 42. n 维向量组 1 ， 2，，s 〔 3 s n 〕线性无关的充要条件是〔〕。

①1， 2，， s 中任意两个向量都线性无关②1， 2，， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1， 2，， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示共 3 页第 1 页大学生校园网—线性代数综合测试题④中不含零向量1， 2 ，， s3. 以下命题中正确的选项是 () 。

① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④任意 n 1 个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。

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σ 是正交变换当且仅当 AT GA = G ； σ 是自伴变换（对称变换）当且仅当 AT G = GA 。
关于镜面反射，课本上已经有一到较为完善的比较灵活的习题，这里给出。【习题 21】*（镜面反射，正交变换的第一类与第二类）（课本习题 10.7）
= 若 η 是 n 维欧式空间 V 中的一个单位向量，定义 σ (α )
G (α1 , , α n ) =
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α 2 , α1 ) ( α 2 , α 2 ) ( α n , α1 ) ( α n , α 2 )

( α1 , α n ) (α 2 , α n ) (α n , α n )

上学期的一道作业已经证明了向量组的 Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关（线性相关时为半正定，这是 10 年期末考题）。我们这里看一些别 Gram 矩阵的性质。【习题 19】*（Gram 矩阵与基变换）（姚慕生高代习题书）设 {e1 , en } 及 { f1 , f n } 为 n 维欧式空间 V 的两个基底，并设 {e1 , en } 到 { f1 , f n } 的过渡矩阵为 C 。证明 G ( f1 , f n ) = C T G (e1 , en )C 。利用习题 18，可以很方便地解出下面的题目（其中包括了 12 年期末考题）。【习题 20】*（线性变换的矩阵和 Gram 矩阵的关系）设 n 维欧式空间 V 的基底 {α1 , , α n } 的 Gram 矩阵为 G ， V 上的线性变换 σ 在该基下的矩阵为 A ，证明下面的两条结论。 (1) (2)
【习题 13】（Jordan 标准型的计算）（15 年期末考题）
1 2 1 的 Jordan 标准型 J 。求矩阵 A = 2 1 1 5 1
极小多项式是本章的重要内容，极小多项式可以从 Jordan 标准型读出。【习题 14】（极小多项式）求习题 12 中矩阵 A 的极小多项式。极小多项式的根是特征值以及化零多项式是极小多项式的倍式，这两条是极小多项式的重要性质。【习题 15】（极小多项式）（15 年期末考题）
论。
α − 2 (η , α )η 。证明下面的结
(1) σ 是第二类的正交变换； (2) 若 V 上的线性变换 τ 以 1 为一个特征值，且从属于特征值 1 的特征子空间的维数为 n − 1 ，则 τ 为镜面反射。
但关于镜面反射，还有下面的一个性质。【习题 22】*（镜面反射）在 n 维欧式空间 V 上，证明下面两个结论。 (1) 若 α , β 是 V 上的两个长度相等的向量，则存在镜面反射 σ 使 σ (α ) = β ； (2) V 上的任何正交变换都可以表成不超过 n 个镜面反射的乘积。等距同构都有一个非常好的性质，这点需要大家注意。【习题 23】（等距同构的特征值）设 σ 为 n 维内积空间 V 上的等距同构，证明 σ 的特征值的模长均为 1。 3. 奇异值分解，最小二乘解和广义逆奇异值分解的计算是重点内容，是需要熟练掌握的。【习题 24】（奇异值分解的计算）（15 年期末考题）
4 2
Eisenstain 判别法的条件比较多，容易搞混，还是需要在考前仔细看看的。【习题 10】（Eisenstain 判别法）（姚慕生高代习题书）证明多项式 f ( x= ) x + 1 在有理数域上不可约。
8
但是有些时候不能使用这个判别法，用反证法即可。【习题 11】*（定理 8.12）（杨利军老师期中考题）证明多项式 f ( x) =x + 3 x + 1 在有理数域上不可约。
+
(
) (C C )
【习题 4】*（中国剩余定理）（杨利军老师习题课）设 a, b, c 为三个不同的实数，用 x − a, x − b, x − c 除 f ( x) 的余数分别为 r , s, t 。试求用
( x − a )( x − b )( x − c ) 除 f ( x) 的余式。
Bezout 定理是互素和最大公因式的重要内容。是有必要牢固记住的。【习题 5】（Bezout 定理与互素）设 f , g , u , v ∈ F [ x] 且 f , g ≠ 0 ，若 uf + vg = ( f , g ) ，证明 ( f , g ) = 1 。
2. 因式分解（不怎么考）因式分解的存在唯一的定理在课本上也是花了大力气去证明的，是作为多项式理论的基石存在的（虽然不怎么考），前面知道复多项式环和实多项式环中的不可约多项式都有哪些就可以了。【习题 6】*（因式分解）（姚慕生高代习题书）设 f , g ∈ F [ x] 且 g ≠ 0 ，证明 g | f 的充要条件是 g | f 。
0 1 0 2
0 0 的 Jordan 标准型 J ，并求可逆矩阵 P ，使得 AP = PJ 。 0 0
对角块阵的 Jordan 标准型计算起来要容易一些，可以分块计算。注意幂零矩阵的 k 阶 Jordan 块块数计算公式，这个虽然一般用不上，但还是看看吧。
N (k ) = rank( Ak +1 ) + rank( Ak −1 ) − 2rank( Ak )
2 2
2 2
Vieta 定理是复多项式因式分解理论的一个小成果，简单看看就可以了。【习题 8】*（Vieta 定理）（姚慕生高代习题书）设 x1 , x2 , x3 是方程 x + px + qx + r = 0 的三ห้องสมุดไป่ตู้根，试用 p, q, r 表示
3 2
1 1 1 + 2+ 2。 x12 x2 x3
n
注意，商空间、诱导变换和根子空间在这里都没有涉及！由于可能出在证明题中，所以建议大家还是简单看看（估计那些的证明不会出得很难）。
三、内积空间 1. 矩阵的幂的一些性质（与内积无关，是上一章的内容）事实上，这个应该是上学期的内容，不过还是用一道习题表明它的重要性吧。下面的这条结论在幂零矩阵的 Jordan 标准型的推导中中用处不小（对于列空间有类似的结论）。【习题 18】*（矩阵的幂）设 A ∈ M n ( F ) ，且 m 为一个非负整数使得 N ( A ) = N ( A
T T
最优最小二乘解的计算也是较为重要的，它和广义逆的求算可以放在一起考。【习题 26】（最小二乘解，广义逆）（15 年期末考题）
1 设 A 同习题 23 中的 A ， b = 1 ，求 A 的广义逆及线性代数方程组 Ax = b 的（最优） 1
最小二乘解。特殊矩阵的广义逆比较容易计算，例如列满秩阵和行满秩阵。对一般矩阵 A ，有它的满秩分解 CR （还记得满秩分解吗？），则有 A+ = RT RRT 验证广义逆的四个性质得到。广义逆的秩是和原矩阵相同的。【习题 27】*（广义逆的秩）设 A ∈ M n ( ) ，证明 rank( A) = rank( A ) 。 4. 自伴变换和正规变换共轭（伴随）变换在标准正交基下的矩阵是原矩阵的（共轭）转置。这点基本年年都考。【习题 28】（共轭变换的矩阵）（13 年期末考题）设 V 是二维的酉空间， ε1 , ε 2 是一组标准正交基。设 σ 为 V 上的一个线性变换，且有
1 0 设 A = 1 1 ，求 A 的奇异值分解。 0 1
课本上证明了方程 Ax = b 的最小二乘解就是方程 A Ax = A b 的解，但没有证明后者
T T
为什么一定有解。【习题 25】*（最小二乘解的理论基础）（杨利军老师的作业）设 A ∈ M n ( ), b ∈ n ，证明线性代数方程组 A Ax = A b 一定有解。
4 3
二、Jordan 标准型理论 Jordan 标准型基本上是考计算了，这方面的证明题放在第三块中一起来可能酸爽一些。可能在下面这种情况的 Jordan 标准型不太好算，建议大家动笔算一算。【习题 12】（Jordan 标准型的计算）（课本例题 9.1）
0 1 2 0 求矩阵 A = 0 −2 4 0
2 1 0 下的表示矩阵为 A = 0 0 1 。求 σ 的所有不变子空间。 0 0 0
【习题 17】*（不变子空间问题）设 σ ∈ L(V ) ，其中 V 为 F 上的 n 维线性空间，且知 σ 在 F 上有 n 个不同的特征值。证明 σ 在 V 中恰有 2 个不变子空间。
O ，求 A 的极小多项式。 O ≠ A ∈ M n () 为幂零矩阵，且有 A5 + 2 A3 =
不变子空间问题也是很有意思的问题，这里是求一个线性变换的所有不变子空间。【习题 16】（不变子空间问题）设 σ ∈ L(V ) ，其中 V 为上的 3 维线性空间且有一组基底 α1 , α 2 , α 3 。现知 σ 在此基
2 2
多项式与其导数的公共根是多项式的重根，这一点可能有些老师并没有提到，下面把这条定理给出如下。（来自杨利军老师的课件）
然后给出一道稍微有些灵活的习题。【习题 7】*（导数与重根的关系）设 f , g ∈ [ x] （注意是！）， ( f , g ) = 1 。证明 f + g 的重根是 ( f ′ ) + ( g ′ ) 的根。
线性代数(2)期末复习习题集
王振翎
说明：每个我认为较为有趣的知识点在这里对应 1~2 道习题，仅作检测何处知识点不牢固用，不能用于某知识点的深入探究。倘若需要探究，可以阅读复旦姚慕生编《高等代数（第三版）》的习题集（图书馆有），不过这学期学的是那本书后面的章节，难度较大。打*号的题目没有时间看就算了。不保证我会给出答案（但我尽可能努力）！一、多项式 1. 多项式的整除第一题是很重要的内容，可以说是填空题的必考点了。【习题 1】（辗转相除法求多项式间的最大公因式）设 f ( x) = x + 2 x − 3 x − x + 1, g ( x) = x + 2 x − x − 2 ，求 ( f , g ) 以及使得下面的等