信息论霍夫曼、香农-费诺编码

信息论霍夫曼、香农-费诺编码LT二、实验原理：1、香农-费诺编码首先,将信源符号以概率递减的次序排列进来，将排列好的信源符号划分为两大组，使第组的概率和近于相同,并各赋于一个二元码符号”0”和”1”.然后，将每一大组的信源符号再分成两组，使同一组的两个小组的概率和近于相同，并又分别赋予一个二元码符号。

依次下去，直至每一个小组只剩下一个信源符号为止。

这样，信源符号所对应的码符号序列则为编得的码字。

译码原理，按照编码的二叉树从树根开始，按译码序列进行逐个的向其叶子结点走，直到找到相应的信源符号为止。

之后再把指示标记回调到树根，按照同样的方式进行下一序列的译码到序列结束。

如果整个译码序列能够完整的译出则返回成功，否则则返回译码失败。

2、霍夫曼编码霍夫曼编码属于码词长度可变的编码类，是霍夫曼在1952年提出的一种编码方法，即从下到上的编码方法。

同其他码词长度可变的编码一样，可区别的不同码词的生成是基于不同符号出现的不同概率。

生成霍夫曼编码算法基于一种称为“编码树”（coding tree）的技术。

算法步骤如下：（1）初始化，根据符号概率的大小按由大到小顺序对符号进行排序。

（2）把概率最小的两个符号组成一个新符号（节点），即新符号的概率等于这两个符号概率之和。

（3）重复第2步，直到形成一个符号为止（树），其概率最后等于1。

（4）从编码树的根开始回溯到原始的符号，并将每一下分枝赋值为1，上分枝赋值为0。

三、实验环境matlab7.1四、实验内容1、对于给定的信源的概率分布，用香农-费诺编码实现图像压缩2、对于给定的信源的概率分布，用霍夫曼编码实现图像压缩五、实验过程1.香农-费诺编码编码1function c=shannon(p)%p=[0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1] %shannon(p)[p,index]=sort(p)p=fliplr(p)n=length(p)pa=0for i=2:npa(i)= pa(i-1)+p(i-1) endk=ceil(-log2(p))c=cell(1,n)for i=1:nc{i}=”tmp=pa(i)for j=1:k(i)tmp=tmp*2if tmp>=1tmp=tmp-1 c{i(j)='1'elsec{i}(j) = '0' endendendc = fliplr(c)c(index)=c编码2clc;clear;A=[0.4,0.3,0.1,0.09,0.07,0.04]; A=fliplr(sort(A));%降序排列[m,n]=size(A);for i=1:nB(i,1)=A(i);%生成B的第1列end%生成B第2列的元素a=sum(B(:,1))/2;for k=1:n-1ifabs(sum(B(1:k,1))-a)<=abs(sum(B(1:k+1, 1))-a)break;endendfor i=1:n%生成B第2列的元素if i<=kB(i,2)=0;elseB(i,2)=1;endend%生成第一次编码的结果END=B(:,2)';END=sym(END);%生成第3列及以后几列的各元素j=3;while (j~=0)p=1;while(p<=n)x=B(p,j-1);for q=p:nif x==-1break;elseif B(q,j-1)==xy=1;continue;elsey=0;break;endendif y==1q=q+1;endif q==p|q-p==1B(p,j)=-1;elseif q-p==2B(p,j)=0;END(p)=[char(END(p)),'0'];B(q-1,j)=1;END(q-1)=[char(END(q-1)),'1']; elsea=sum(B(p:q-1,1))/2;for k=p:q-2abs(sum(B(p:k,1))-a)<=abs(sum(B(p:k+1, 1))-a);break;endendfor i=p:q-1if i<=kB(i,j)=0;END(i)=[char(END(i)),'0'];elseB(i,j)=1;END(i)=[char(END(i)),'1'];endendendendendC=B(:,j);D=find(C==-1);[e,f]=size(D);if e==nj=0;elsej=j+1;endendBAENDfor i=1:n[u,v]=size(char(END(i))); L(i)=v;avlen=sum(L.*A)2. 霍夫曼编码function c=huffman(p)n=size(p,2)if n==1c=cell(1,1)c{1}=''returnend[p1,i1]=min(p)index=[(1:i1-1),(i1+1:n)] p=p(index)n=n-1[p2,i2]=min(p)index2=[(1:i2-1),(i2+1:n)] p=p(index2);i2=index(i2)index=index(index2)p(n)=p1+p2c=huffman(p)c{n+1}=strcat(c{n},'1')c{n}=strcat(c{n},'0') index=[index,i1,i2]c(index)=c。

香农编码的原理
香农编码（Shannon Coding），又称为香农-费诺编码（Shannon-Fano Coding），是由信息论的奠基人之一克劳德·香农（Claude Shannon）于1948年提出的一种熵编码方法。

香农编码的目标是用尽可能短的二进制编码表示出现概率不同的符号，从而减小信息传输的平均长度。

香农编码的基本原理如下：
* 符号的概率分布：
* 对于给定的符号集合，首先需要知道每个符号出现的概率。

* 概率排序：
* 将符号按照概率从高到低排序。

* 分割符号集：
* 将符号集按照概率中位数分为两组，保证一组的概率之和接近另一组。

* 分配二进制编码：
* 对于左侧一组的符号，添加一个二进制前缀（如0），对右侧一组的符号添加另一个二进制前缀（如1）。

* 递归处理：
* 对于分割后的每个子集，重复上述过程，直到每个符号都被分配唯一的二进制编码。

* 生成编码表：
* 根据上述过程生成完整的编码表，包含每个符号和对应的二进制编码。

香农编码的特点是，出现概率较高的符号获得较短的编码，而出现概率较低的符号获得较长的编码。

这样设计的编码方案可以有效减
小平均编码长度，提高信息传输的效率。

需要注意的是，香农编码的主要缺点在于生成的编码长度可能不是整数，可能存在解码的歧义性。

为了解决这个问题，后来发展出了霍夫曼编码等更为广泛使用的熵编码方法。

信息论与编码概念总结信息论最初由克劳德·香农在1948年提出，被称为“信息论的父亲”。

它主要研究的是如何最大化信息传输的效率，并对信息传输的性能进行量化。

信息论的核心概念是信息熵，它描述了在一个信息源中包含的信息量的平均值。

信息熵越高，信息量越大，反之亦然。

具体来说，如果一个信源生成的信息是等可能的，那么它的信息熵达到最大值，可以通过二进制对数函数计算。

此外，信息论还提出了联合熵、条件熵、相对熵等概念，用于分析复杂的信息源与信道。

除了信息熵，信息论对信道容量的定义也是非常重要的。

信道容量指的是信道可以传输的最大信息速率，单位是bit/s。

在信息论中，最为典型的信道是噪声信道，它在传输数据过程中会引入随机噪声，从而降低传输的可靠性。

通过信道编码，可以在一定程度上提高信号的可靠性。

信息论提出了香农编码定理，它给出了当信道容量足够大时，存在一种信道编码方式，可以使误码率趋近于零，实现可靠的数据传输。

信息论不仅可以应用于通信领域，还可以应用于数据压缩。

数据压缩主要有无损压缩和有损压缩两种方式。

无损压缩的目标是保持数据的原始信息完整性，最常见的压缩方式是霍夫曼编码。

它通过统计原始数据中的频率分布，将高频率的符号用较短的编码表示，从而减小数据的存储空间。

有损压缩则是在保证一定的视觉质量、音频质量或其他质量指标的前提下，对数据进行压缩。

有损压缩的目标是尽可能减小数据的存储空间和传输带宽。

常见的有损压缩方法包括JPEG、MP3等。

编码是信息论的应用之一，它是实现信息传输与处理的关键技术。

编码主要分为源编码和信道编码两个方面。

源编码是将源信号进行编码，以减小信号的冗余，并且保持重构信号与原信号的接近程度。

常见的源编码方法有霍夫曼编码、香农-费诺编码等。

信道编码则是在信道传输中引入冗余信息，以便在传输过程中检测和修复错误。

常见的信道编码方法有海明码、卷积码、LDPC码等。

这些编码方法可以通过增加冗余信息的方式来提高传输的可靠性和纠错能力。

香农三大定理简答简介在信息论领域，香农三大定理是指由克劳德·香农提出的三个基本定理，分别是信源编码定理、信道编码定理和信道容量定理。

这些定理为我们理解和优化信息传输提供了重要的理论基础。

本文将对香农三大定理进行全面、详细、完整和深入地探讨。

信源编码定理信源编码定理是香农在1948年提出的，它主要研究的是如何对离散无记忆信源进行编码，以最小化所需的平均编码长度。

以下是信源编码定理的关键要点：1.信源熵：信源编码定理首先定义了信源的熵，即信源产生的信息的平均不确定性。

信源熵越大，表示信源产生的信息越随机，编码难度也越大。

2.霍夫曼编码：信源编码定理证明了对于离散无记忆信源，存在一种最优编码方式，即霍夫曼编码。

霍夫曼编码根据信源符号的概率分布，为每个符号分配一个唯一的二进制编码，使得平均编码长度最小。

3.码长上界：信源编码定理还给出了信源编码的码长上界，即对于任何离散无记忆信源，平均编码长度不会超过信源熵加一。

信道编码定理信道编码定理是香农在1949年提出的，它主要研究的是如何对离散无记忆信道进行编码，以提高信息传输的可靠性。

以下是信道编码定理的关键要点：1.信道容量：信道编码定理首先定义了信道的容量，即信道传输的最大信息率。

信道容量取决于信道的特性，如噪声水平和带宽等。

2.误差控制编码：信道编码定理证明了通过引入冗余信息，即误差控制编码，可以在有限的信道容量内实现可靠的信息传输。

常见的误差控制编码方法包括海明码和卷积码等。

3.编码效率：信道编码定理还引入了编码效率的概念，即传输的有效信息比特数与总比特数之比。

编码效率越高，表示在给定的信道容量下，能够传输更多的有效信息。

信道容量定理信道容量定理是香农在1948年提出的，它主要研究的是在给定噪声条件下，信道的最大传输信息率。

以下是信道容量定理的关键要点：1.噪声和信噪比：信道容量定理考虑了信道中存在的噪声，噪声会引入误码率，从而限制了信息的传输率。

期终练习一、某地区的人群中，10％是胖子，80％不胖不瘦，10％是瘦子。

已知胖子得高血压的概率是15％，不胖不瘦者得高血压的概率是10％，瘦子得高血压的概率是5％，则“该地区的某一位高血压者是胖子”这句话包含了多少信息量。

解：设事件A ：某人是胖子； B ：某人是不胖不瘦 C ：某人是瘦子 D ：某人是高血压者根据题意，可知：P （A ）=0.1 P （B ）=0.8 P （C ）=0.1 P （D|A ）=0.15 P （D|B ）=0.1 P （D|C ）=0.05而“该地区的某一位高血压者是胖子” 这一消息表明在D 事件发生的条件下，A 事件的发生，故其概率为P （A|D ）根据贝叶斯定律，可得：P （D ）＝P （A ）* P （D|A ）＋P （B ）* P （D|B ）＋P （C ）* P （D|C ）＝0.1 P （A|D ）＝P （AD ）/P （D ）＝P （D|A ）*P （A ）/ P （D ）＝0.15*0.1/0.1＝0.15 故得知“该地区的某一位高血压者是胖子”这一消息获得的多少信息量为： I （A|D ） = - logP （A|D ）=log （0.15）≈2.73 （bit ） 二、设有一个马尔可夫信源，它的状态集为{S 1，S 2，S 3}，符号集为{a 1，a 2，a 3}，以及在某状态下发出符号集的概率是(|)k i p a s （i ，k=1，2，3），如图所示（1）求图中马尔可夫信源的状态极限概率并找出符号的极限概率（2）计算信源处在某一状态下输出符号的条件熵H(X|S=j) (j=s 1，s 2，s 3) （3）求出马尔可夫信源熵H ∞解：（1）该信源达到平稳后，有以下关系成立：13212312123()()31()()()4211()()()42()()()1Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E =⎧⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪++=⎩可得1232()73()72()7Q E Q E Q E ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩3111322133313()()(|)72()()(|)73()()(|)7i i i i i i i i i p a Q E p a E p a Q E p a E p a Q E p a E =========∑∑∑（2）311113222133331(|)(|)log (|) 1.5bit/(|)(|)log (|)1bit/(|)(|)log (|)0bit/k k k kk k k k k H X S p a S p a S H X S p aS p a S H X S p a S p a S ====-==-==-=∑∑∑（符号）（符号）（符号）（3）31()(|)2/7*3/23/7*12/7*06/7iii H Q E H X E ∞==⨯=++=∑（比特/符号）三、二元对称信道的传递矩阵为0.60.40.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）若P(0)=3/4，P(1)=1/4，求H （X ），H （X|Y ）和I （X ；Y ）（2）求该信道的信道容量及其最大信道容量对应的最佳输入分布 解：⑴()H X =21()log ()iii p x p x ==-∑=0.75log 750.25log 25--≈0.811(比特/符号)1111212()()(|)()(|)p y p x p y x p x p y x =+=0.75*0.6+0.25*0.4=0.55 2121222()()(|)()(|)p y p x p y x p x p y x =+=0.75*0.4+0.25*0.6=0.45()0.55log0.550.45log0.45H Y =--=≈0.992(比特/符号)122(|)()(|)()(|)0.75(0.6,0.4)0.25(0.4,0.6)(0.6log 0.60.4log 0.4)0.971/H Y X p x H Y x p x H Y x H H =+=⨯+⨯=-+≈（比特符号）(|)()()()(|)()H X Y H XY H Y H X H Y X H Y =-=+-≈0.811+0.971-0.992=0.79 (比特/符号)I (X ;Y )=H (X )-H (X =0.811-0.79=0.021(比特/符号)（2）此信道为二元对称信道，所以信道容量为C=1-H(p)=1-H(0.6)=1-0.971=0.029(比特/符号) 当输入等概分布时达到信道容量四、求信道22042240p p p p εεεεεε⎡⎤-- ⎢⎥-- ⎢⎥⎣⎦的信道容量，其中1p p =-。

一、实验目的1. 理解信源编译码的基本概念和原理。

2. 掌握信源编译码的基本方法和技术。

3. 通过实验加深对信源编译码理论的理解和应用。

二、实验原理信源编译码是信息论中的一个重要分支，其主要目的是提高通信系统的效率和可靠性。

信源编译码的基本原理是将原始信源符号序列转换为具有更好统计特性的编码序列，从而降低编码后的序列长度，提高传输效率；同时，通过引入冗余信息，提高编码序列的纠错能力，提高通信系统的可靠性。

三、实验设备与软件1. 实验设备：计算机、编译码软件2. 实验软件：Matlab、C++等四、实验步骤1. 信源符号生成根据实验要求，生成信源符号序列。

例如，生成一个长度为1000的随机二进制序列。

2. 信源符号统计对生成的信源符号序列进行统计，计算每个符号的概率。

3. 信源编译码根据信源符号的概率分布，选择合适的编译码方法。

本实验采用霍夫曼编译码和香农-费诺编译码两种方法。

a. 霍夫曼编译码根据信源符号的概率分布，构建霍夫曼树，生成霍夫曼编码表。

将信源符号序列转换为霍夫曼编码序列。

b. 香农-费诺编译码根据信源符号的概率分布，构建香农-费诺树，生成香农-费诺编码表。

将信源符号序列转换为香农-费诺编码序列。

4. 编译码性能分析对编译码后的序列进行性能分析，包括编码效率、纠错能力等。

5. 结果对比对比霍夫曼编译码和香农-费诺编译码的性能，分析其优缺点。

五、实验结果与分析1. 信源符号统计假设生成的信源符号序列中，0和1的出现概率分别为0.6和0.4。

2. 编译码结果a. 霍夫曼编译码编码效率：0.6 1 + 0.4 2 = 1.2纠错能力：1位b. 香农-费诺编译码编码效率：0.6 1 + 0.4 2 = 1.2纠错能力：2位3. 结果对比霍夫曼编译码和香农-费诺编译码在编码效率上相同，但在纠错能力上有所不同。

香农-费诺编译码的纠错能力更强。

六、实验结论1. 信源编译码可以提高通信系统的效率和可靠性。