2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第三章+第17讲 导数与函数的极值、最值+Wo

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第18讲导数与函数的综合问题夯实基础【p43】【学习目标】掌握利用导数求解与不等式和方程有关的技巧和方法，会利用导数求解实际生活中的优化问题，提高分析问题和解决问题的能力．【基础检测】1．已知定义在R上的函数f错误!的图象如图所示，则x·f′错误!〉0的解集为( )A.错误!∪错误!B.错误!C。

错误! D。

错误!∪错误!【解析】不等式x·f′(x)〉0等价为当x〉0时，f′（x）>0，即x>0时,函数递增,此时1<x〈2；或者当x<0时，f′(x）<0,即x<0时，函数递减，此时x〈0。

综上1<x<2或x<0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1，2)，故选A.【答案】A2．若a〉0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．3 B．6 C．9 D．2【解析】∵f′（x）＝12x2－2ax－2b，又因为在x＝1处有极值，∴f′（1)＝0，a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤错误!错误!＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．所以ab的最大值等于9。

考点集训【p186】A组1．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x) 在(a，b)内极大值点的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】若 f(x)在(a，b)内可导，x0∈(a，b)，若在 x0的左侧附近，有 f′(x)>0，在 x0的右侧附近，有 f′(x)<0，则 x＝x0为 f(x)的极大值点，根据导函数 f′(x)的图象可知，这样的点有两个，故选 B.【答案】B2．函数f(x)＝ln x，则()xA．x＝e为函数 f (x)的极大值点B．x＝e为函数 f (x)的极小值点1C．x＝为函数 f (x)的极大值点e1D．x＝为函数 f (x)的极小值点e【解析】f′(x)＝1－ln x(x>0)，x 2当 f′(x)＝0时，x＝e，当 x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数 f (x)递增，当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数 f (x)递减，所以当 x＝e时， f (x)取得极大值，则 x＝e为函数的极大值点，故选 A.【答案】A3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )A．1－e B．－1 C．－e D．01【解析】f′(x)＝－1，令 f′(x)＝0，即 x＝1，在(0，e]上列表如下：xx (0，1)＋1 (1，e)－ef′(x) f(x)增函数极大值－1 减函数1－e由于 f(e)＝1－e，而－1＞1－e，从而 f(x)最大为 f(1)＝－1.【答案】Ba4．若x＝1是函数f(x)＝x3 ＋的一个极值点，则实数a＝__________．xa【解析】f′(x)＝3x 2 －，f′(1)＝3－a＝0，得 a＝3.x 2经检验，符合题意．【答案】35．函数f(x)＝ln x－2 x的最大值为__________．【解析】由题意得， f (x)的定义域为(0，＋∞)，则 f′(x)＝－ 11 ＝1－ x＝0x x＝1，x x即 f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x)在 x＝1处有最大值，即 f(x) ＝f(1)＝－2. max 【答案】－26．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处有极值10，则f(2)等于__________．3 2 2【解析】f′(x)＝3x＋2ax＋b，2f′（1）＝3＋2a＋b＝0，依题意，f（1）＝1＋a＋b＋a＝10.2a ＝4， a ＝－3，或解得b ＝－11 b ＝3.a ＝－3，b ＝3 当 时，f(x)＝x －3x ＋3x ＋9， 3 2 f ′(x)＝3x －6x ＋3＝3(x －1)≥0，2 2所以 f(x)在 R 上单调递增，此时 f(x)在 x ＝1处并没有取得极值，不符合要求，舍去； a ＝4， 当 时，f(x)＝x ＋4x －11x ＋16， 3 2b ＝－11f ′(x)＝3x ＋8x －11＝(x －1)(3x ＋11)，211所以当－ <x<1时，f ′(x)<0，当 x>1时，f ′(x)>0，3 所以函数 f(x)在 x ＝1处取得极小值 10，符合要求， 此时 f(2)＝2＋4×2－11×2＋16＝18.3 2【答案】18 7．已知函数f(x)＝x －aln x(a ∈R)． (1)当 a ＝2时，求曲线 y ＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．【解析】由题意知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， a f ′(x)＝1－ .x2(1)当 a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f ′(x)＝1－ (x ＞0)，x 因为 f(1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线 y ＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即 x ＋y －2＝0. a x －a ，x ＞0知：x(2)由 f ′(x)＝1 －＝x ①当 a ≤0时，f ′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； ②当 a ＞0时，由 f ′(x)＝0，解得 x ＝a.又当 x ∈(0，a)时，f ′(x)＜0；当 x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)＞0，从而函数 f(x)在 x ＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a －aln a ，无极大值．综上，当 a ≤0时，函数 f(x)无极值；当 a ＞0时，函数 f(x)在 x ＝a 处取得极小值 a －aln a ，无极大值．8．已知函数 f(x)＝e cos x －x.x(1)求曲线 y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 0，π(2)求函数 f(x)在区间 2上的最大值和最小值．【解析】(1)因为 f(x)＝e x cos x －x ，所以 f ′(x)＝e (cos x －sin x)－1，f ′(0)＝0.x又因为 f(0)＝1，所以曲线 y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y ＝1.(2)设 h(x)＝f ′(x)＝ex (cos x －sin x)－1，则 h ′(x)＝e (cos x －sin x －sin x －cos x)＝－2e sin x.x x 0，π2时，h ′(x)≤0， 当 x ∈0，π2上单调递减． 所以 h(x)在区间所以对任意 x ∈所以函数 f(x)在区间0，π2有 h(x)≤h(0)＝0，即 f ′(x)≤0， 0，π2上单调递减．0，ππ π因此 f(x)在区间 2上的最大值为 f(0)＝1，最小值为 f 2＝－ .2B 组1．对任意的 x ∈R ，函数 f (x )＝x A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或 a ＝7 3 ＋ax2 ＋7ax 不存在极值点的充要条件是()C ．a<0或 a>21D ．a ＝0或 a ＝21【解析】f ′(x )＝3x ＋2ax ＋7a ，对任意的 x ∈R ，函数 f (x )＝x＋ax ＋7ax 不存在极值点，2 3 2只需Δ＝4a －84a ≤0，0≤a ≤21，选 A. 2【答案】A2．已知函数 f(x)＝x 则实数 t 的最小值是(3 －3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意 x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，)A ．20B ．18C ．3D ．0【解析】因为 f ′(x)＝3x －3＝3(x －1)(x ＋1)， 2令 f ′(x)＝0，得 x ＝±1，所以 x ＝－1，x ＝1为函数的极值点． 又 f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以在区间[－3，2]上，f(x)max ＝1，f(x)min ＝－19. 又由题设知在区间[－3，2]上，f(x)max －f(x)min ≤t ， 从而 t ≥20， 所以 t 的最小值是 20. 【答案】A3．已知函数 f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________． 1－a【解析】f ′(x)＝ln x －ax ＋x x ＝ln x －2ax ＋1， a<0时显然不合题意．假设直线 y ＝2ax －1与曲线 y ＝ln x 相切， 设切点为(x 0，ln x 0)，则切线方程为 y －ln x 0＝1(x －x 0)，即 y ＝1x ＋ln x 0－1.x x 0又切线方程为 y ＝2ax －1，对比得 2a ＝1，0 a ＝， 1 x2 解得－1＝ln x 0－1， x 0＝1.故若要使直线 y ＝2ax －1与曲线 y ＝ln x 相交于两个不同点，即函数 f(x)＝x(ln x －ax)有 1 2个极值点，需满足 0<a< .21【答案】 0，2－x 32＋x ，x ＜1， 4．已知函数 f(x)＝ aln x ，x ≥1.(1)求 f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 【解析】(1)当 x ＜1时，f ′(x)＝－3x ＋2x ＝－x(3x －2)，22令 f ′(x)＝0，解得 x ＝0或 x ＝ .3当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 3 2 3 2 3 x (－∞，0)0 0， ，1 f ′(x) f(x)－0 ＋0 －极小值极大值2故当 x ＝0时，函数 f(x)取得极小值为 f(0)＝0，函数 f(x)的极大值点为 x ＝ .32(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数 f(x)在[－1，0]和 32，1上单调递减，在 0，3上单 调递增．2因为 f(－1)＝2，f 3＝ 4，27所以 f(x)在[－1，1)上的最大值为 2. ②当 1≤x ≤e 时，f(x)＝aln x ， 当 a ≤0时，f(x)≤0；当 a ＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增， 则 f(x)在[1，e]上的最大值为 f(e)＝a.综上所述，当 a ≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 a ；当 a ＜2时，f(x)在[－1，e]上的 最大值为 2.。

导数的概念及运算1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C) A ．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D．(－1,0)x >0，f ′(x )＝2x －2－4x＝x －x ＋x>0，所以x ∈(2，＋∞)．2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(B)A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定分别作出曲线y ＝f (x )在A ，B 两点的切线，设曲线y ＝f (x )在A ，B 两点的切线的斜率分别为k A ，k B ，则由图象可知k B >k A ，即f ′(x A )<f ′(x B )．3．(2018·河北五校高三联考)曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(B)A.18B.14C.12 D ．1因为y ′＝x ＋1－x －x ＋2＝2x ＋2，所以k ＝y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1. 它与两坐标轴围成的面积为S ＝12×12×1＝14.4．(2018·新课程卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为(D)A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(方法一)因为f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，所以f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， 所以a ＝1，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1， 所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . (方法二)因为f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， 所以f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， 所以a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1， 所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .5．(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 .因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1.又因为f (1)＝a ，所以切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， 所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ 1 .因为y ′＝3ax 2＋1，所以y ′|x ＝1＝3a ＋1，所以7－a ＋2－1＝3a ＋1，所以a ＝1.7．(2018·佛山一模节选)已知函数f (x )＝(x －a )ln x ＋12x ，(其中a ∈R )．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝12x ，求a 的值．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x －a x ＋32，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12x 0，y 0＝x 0－ax 0＋12x 0，ln x 0－a x 0＋32＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0－a x 0＝0，ln x 0－a x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ，a ＝1，所以a ＝1.8．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是(A)A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ，y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ，y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，因为x ＞0，所以不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ，y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2； 对于D ，y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.9．(2018·思明区校级月考节选)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，则a ，b 的值分别为 4,24 .f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以f (2)＝8，f ′(2)＝0，即8－6a ＋b ＝8,3(4－a )＝0，故a ＝4，b ＝24.10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f＝b ＝0，f＝－a a ＋＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－12，＋∞)．导数在函数中的应用——单调性1．(2018·太原期中)函数f (x )＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是(B)A ．(－3,1)B ．(0,1)C ．(－1,3)D ．(0,3)f ′(x )＝1－3x 2＋2x＝x ＋x －x2，令f ′(x )<0，解得0<x <1.2．若函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)内单调递增，则a 的最大值是(B) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1依题意，f ′(x )＝3x 2－a ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≤3x 2对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以a ≤3.3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时(B)A ．f ′(x )>0, g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0, g ′(x )>0D ．f ′(x )<0, g ′(x )<0f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由图象的对称性知，当x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，选B.4．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为(D)(方法一)f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为（－∞，－22）∪（0，22）， f ′(x )<0的解集为（－22，0）∪（22，＋∞）， 所以f (x )在（－∞，－22）和（0，22）上单调递增，在（－22，0）和（22，＋∞）单调递减．由此可知，选D.(方法二)当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项． 当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝22时，y ＝－14＋12＋2＝94>2，所以排除C 选项． 故选D.5．函数y ＝x ln x 的单调递减区间为 (0，1e ) ，单调递增区间为 (1e ，＋∞) .因为y ′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，当ln x ＋1<0，即 0<x <1e时，函数单调递减；当ln x ＋1>0，即 x >1e时，函数单调递增．6．若函数f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围为 (－∞，－1] .由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x≤0在x ∈(1，＋∞)恒成立．即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x 在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，所以只要b ≤－1即可．7．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a3)2－9－a 23.即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因为斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12， 所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，解得a ＝±3， 由题设a <0，所以a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,3)上为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3)．8．(2018·天问区三模)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的递减区间为(D)A ．(0,4)B ．(－∞，1)，(43，4)C ．(0，43) D ．(0,1)，(4，＋∞)结合图象，x ∈(0,1)和x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )－f (x )<0，此时g ′(x )＝f x －f xex<0.故g (x )在(0,1)，(4，＋∞)内递减．9．(2018·东港区校级期中)已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )>0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x >0)的零点个数为 0 .因为g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)为增函数，又g (0)＝1>0，所以g (x )在(0，＋∞)恒大于0， 所以g (x )在(0，＋∞)上没有零点．10．已知函数f (x )＝e x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x－a .当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数， 当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数． (2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x－x )－e x＋x 2＋x ， 因为g (x )在(2，＋∞)上为增函数，所以g ′(x )＝x e x－m e x＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即m ≤x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上恒成立，令h (x )＝x e x ＋1e x－1，x ∈(2，＋∞)， h ′(x )＝x 2－x e x－2e xx －2＝exx －x －x－2. L (x )＝e x －x －2，L ′(x )＝e x －1>0在(2，＋∞)上恒成立，即L (x )＝e x－x －2在(2，＋∞)上为增函数， 即L (x )>L (2)＝e 2－4>0，h ′(x )>0. 即h (x )＝x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上为增函数，所以h (x )>h (2)＝2e 2＋1e 2－1.所以m ≤2e 2＋1e 2－1.导数在函数中的应用——极值与最值1．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于(A)A ．2B ．1C ．－1D ．－2因为y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )，所以当－1<x <1时，y ′>0；当x >1时，y ′<0， 所以x ＝1时，y 有极大值2，所以b ＝1，c ＝2， 又因为a ，b ，c ，d 成等比数列，所以ad ＝bc ＝2. 2．函数f (x )＝xe x 在[0,1]上的最大值为(B) A ．0 B.1eC ．e D.2e因为f ′(x )＝e x－x e xx 2＝1－xex ≥0在[0,1]上恒成立，所以f (x )在[0,1]上为增函数，所以当x ＝1时，f (x )有最大值1e.3．(2018·湖北孝感八校联盟)函数f (x )＝－13x 3＋4x －4在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为(C)A ．2，－283 B.43，－283C.43，－4 D ．2，－1f ′(x )＝－x 2＋4＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减所以最大值为43，最小值为－4.4．(2018·广州一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为(C)A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.检验a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值．故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M－m ＝ 32 .由f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，又f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24， 所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.6．(2018·成都调研)函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x 在x ＝ 12处取得极大值．因为f ′(x )＝2x －3＋1x＝x －x －12x，x ∈(0，12)时，f ′(x )>0，x ∈(12，1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x 在x ＝12处取得极大值．7．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x. (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x，f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x＝(ax －1)(x －1)e x.若a >1，则当x ∈1a，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．8．(2018·河南模拟)已知函数f (x )＝a －x ＋x e x，若存在x 0>－1，使得f (x 0)≤0，则实数a 的取值范围为(B)A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]由f(x)≤0，得a≤x－x e x，令h(x)＝x－x e x(x>－1)，h′(x)＝1－(1＋x)e x，令g(x)＝h′(x)，g′(x)＝－(x＋2)e x<0，所以h′(x)在(－1，＋∞)内递减，而h′(0)＝0，所以h(x)在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减，所以h(x)的最大值为h(0)＝0.故a≤0.9．(2018·天津红桥区模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为－13 .因为f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，又f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′(2)＝－12＋4a＝0，所以a＝3.所以f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.当m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为f(x)的最小值与f′(x)的最小值的和．由f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)，所以f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－4.因为f′(x)＝－3(x－1)2＋3，又f′(1)＝3，f′(－1)＝－9，所以f′(x)min＝－9.所以f(m)＋f′(n)的最小值为－13.10．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝e x cos x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(1)因为f(x)＝e x cos x－x，所以f′(x)＝e x(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝e x(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝e x(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2e x sin x.当x ∈(0，π2)时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0，π2]有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减，因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝－π2.导数的综合应用——导数与不等式1．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为(A)A ．{x |x <1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}令g (x )＝2f (x )－x －1，则g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，所以g (x )在R 上为增函数， 又g (1)＝2f (1)－1－1＝0， 所以g (xx <1.即原不等式的解集为{x |x <1}．2．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有(A)A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤bf (b )D ．bf (b )≤af (a )设F (x )＝f x x ，则F ′(x )＝xfx －f xx 2≤0，故F (x )＝f xx 在(0，＋∞)上是减函数或常函数， 由0<a <b 有f a a ≥f bbaf (b )≤bf (a )．3．下列各式正确的是(B)A ．sin x >x (x >0)B ．sin x <x (x >0) C.2πx >sin x D ．以上各式都不对令g (x )＝sin x －x ，则g ′(x )＝cos x －1≤0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以g (x )<g (0)，所以sin x <x .4．已知e 是自然对数的底，若函数f (x )＝e x－x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为(C)A ．[－2,2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)因为函数f (x )＝e x－x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，所以f (x )＝e x－x ＋a 的最小值大于0.f ′(x )＝e x －1，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的最小值为f (0)＝1＋a .由1＋a >0，得a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2018·武平县校级月考)已知f (x )＝x e x，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是 [－1e，＋∞) .因为f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x >－1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值， 所以a ≥－1e.6．(2018·榆林一模)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是 (－∞，1) .因为f ′(x )＝3x 2＋1>0，所以f (x )在R 上为增函数，又f (x )为奇函数，所以条件即为f (m sin θ)>f (m －1)， 所以m sin θ>m －1对θ∈[0，π2]恒成立，即m (1－sin θ)<1对θ∈[0，π2]恒成立，因为θ＝π2时，上式恒成立；当θ∈[0，π2)时，m <11－sin θ，则m <1.7．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1ex.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0.(1)f ′(x )＝－ax 2＋a －x ＋2ex，f ′(0)＝2.因此曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程是 2x －y －1＝0.(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x. 令g (x )＝x 2＋x －1＋ex ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋ex ＋1.当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝0. 因此f (x )＋e≥0.8．若0<x 1<x 2<1，则(C)A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2令f (x )＝exx(0<x <1)，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2.当0<x <1时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,1)上单调递减， 因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 2)<f (x 1)， 即e x 2x 2<e x 1x 1，所以x 2e x 1>x 1e x 2.由此可知选C.如何说明A 和B 不成立？下面进行探讨： 设g (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 因为g ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x，令g ′(x )＝0得，x e x －1＝0，即e x＝1x，由y ＝e x与y ＝1x的图象知两图象的交点x 0∈(0,1)，因此，g (x )在(0,1)上不单调，由此可知A 和B 选项不可能成立．9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3) .当x <0时，[f (x )g (x )]′>0，所以函数f (x )g (x )在(－∞，0)上为增函数，又f (x )g (x )为奇函数，故f (x )g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且f (－3)g (－3)＝0，f (3)g (3)＝0.故f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 10．已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，则当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0；当x ∈(1a，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值， 当a >0时，f (x )在x ＝1a处取最大值，最大值为f (1a )＝ln(1a )＋a (1－1a)＝－ln a ＋a －1.因此，f (1a)>2a －a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上是增函数，g (1)＝0，于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．导数的综合应用——导数与方程1．函数y ＝13x 3＋x 2＋x ＋1的零点个数为(B)A ．0B ．1C ．2D ．3因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上单调递增， 因为f (0)＝1>0，f (－3)＝－2<0， 所以f (x )在R 上有且只有一个零点．2．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝(A) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1由三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合函数的图象，极大值或极小值为零即可满足要求．而f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＝±1时，取得极值，由f (1)＝0或f (－1)＝0，可得c －2＝0或c ＋2＝0，所以c ＝±2.3．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是(A) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞)该函数的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2ax ＋1x.因为曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，问题转化为方程2ax ＋1x＝0在(0，＋∞)内有解，于是可得a ＝－12x2∈(－∞，0)． 4．(2017·湖南湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1<f (x 1)<x 2，则关于x 的方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根的个数不可能为(D)A ．2B ．3C ．4D ．5由题意得，f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b ，因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1，或f (x )＝x 2，由题意知，f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增， 又x 1<f (x 1)<x 2，依题意，作出简图，如图所示．结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5.5．(2018·韶关模拟)设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，且x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是 (2,6) .(方法一)由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .因为x 1<2<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，所以2<a <6.(方法二)由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，且x 1<2<x 2， 所以f ′(2)<0，解得2<a <6.6．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ①③④⑤ .(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋a .当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，④⑤正确； 当a ＜0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使f (x )＝0仅有一个实根，需f (x )极大＜0或f (x )极小＞0，所以b ＜－2或b ＞2， ①③正确，②不正确．故填①③④⑤.7．(2016·北京卷)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的变化情况如下：单调递增单调递减单调递增所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)证明：当Δ＝4a 2－12b ＜0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)， 此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增． 所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0. 故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点， 所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件． 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．8．(2018·贵阳二模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1＋e e 2)D ．(0，1＋e e 2)令g (x )＝ln x ，h (x )＝ax 2－x .将问题转化为两个函数图象交点的问题．当a ≤0时，g (x )与h (x )的图象只有一个交点，不满足题意． 当a >0时，由ln x －ax 2＋x ＝0，得a ＝x ＋ln xx 2， 令r (x )＝x ＋ln xx 2， 则r ′(x )＝＋1xx 2－x ＋x xx4＝1－x －2ln xx3. 当0<x <1时，r ′(x )>0，r (x )是单调增函数，当x >1时，r ′(x )<0，r (x )是单调减函数，且r (1)＝1，r (x )＝x ＋ln xx 2>0，所以0<a <1. 所以a 的取值范围为(0,1)．9．f (x )＝12x 2＋x －2ln x ＋a 在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是a ≤2ln 2－4或a ＝－32.根据题意，f ′(x )＝x ＋1－2x ＝x 2＋x －2x＝x ＋x －x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 若函数f (x )在区间(0,2)上恰有一个零点，则f (1)＝0或f (2)≤0，由f (2)＝4－2ln 2＋a ≤0，得a ≤2ln 2－4；由f (1)＝32＋a ＝0，得a ＝－32.综上，a ≤2ln 2－4或a ＝－32.10．设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )的零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f ′(x )没有零点； 当a >0时，因为y ＝e 2x单调递增，y ＝－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． 因为f ′(a )＝2e 2a－1>0，假设存在b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)存在唯一零点x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.导数的实际应用及综合应用1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．(1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a5－3＋10(5－6)2＝11，解得a ＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2(3＜x ＜6)， 所以该商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝[2x －3＋10(x －6)2](x －3)＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)， 所以f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以当x ＝4时，f (x )max ＝42.答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 是AB 上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要包装盒侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．(1)根据题意，有S ＝4·2x ·22(60－2x )＝240x －8x 2 ＝－8(x －15)2＋1800(0<x <30)． 所以x ＝15时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意，有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0<x <30)． 所以V ′＝62x (20－x )．当0<x <20时，V ′>0，V 单调递增； 当20<x <30时，V ′<0，V 单调递减．所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22－2x 2x＝12， 即x ＝20时，包装盒容积V (cm 3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.3．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )．(i)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (ii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减． ③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减． (2)(i)设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a (b 2－32b )>0，所以f (x )有两个零点．(ii)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(iii)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞，ln(－a2))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－a2)，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln(－a 2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增．(2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ， 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0. ③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln(－a2)时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]，从而当且仅当a 2[34－ln(－a 2)]≥0，即a ≥－234e 时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－234e ，1]．。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十七) 【p 285】 (圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．已知点A(3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|MA|＋|MF|最小时， M 点的坐标是( )A ．(0，0)B ．(3，26)C ．(2，4)D ．(3，－26)【解析】 设M 到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当K ，M ，A 三点共线时，|MA|＋|MK|最小，此时M 点的坐标是(2，4)，选C .【答案】C2．不论k 为何值，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】点(0，b)在椭圆上或其内部时恒有公共点，则－2≤b ≤2.【答案】A3．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)所连线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1【解析】设P 点坐标为(m ，n)，M 点坐标为(x ，y)， 则由条件得：m ＋3＝2x ，n ＋0＝2y ， 所以m ＝2x －3，n ＝2y.又点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动， 所以m 2＋n 2＝1，于是有(2x －3)2＋(2y)2＝1⇒(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选C . 【答案】C4．已知直线y ＝k ()x ＋2()k>0与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A .13B . 23C . 23D .223【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k(x ＋2)(k ＞0)恒过定点P(－2，0)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B 为AP 的中点，连接OB ，则2|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，即x 0＋2＝x 20＋y 20＝x 20＋8x 0，解得x 0＝1，y 0＝22，故点B 的坐标为(1，22)， ∵P(－2，0)，∴k ＝22－01＋2＝223.故选D .【答案】D5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( )A . 2B . 3C ．2D ．2 2【解析】由题意，A 在双曲线的左支上，B 在右支上， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，右焦点F(c ，0)， ∵AF →＝3BF →， ∴c －x 1＝3(c －x 2)， ∴3x 2－x 1＝2c.∵x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴3x 2－x 1≥4a ， ∴2c ≥4a ， ∴e ＝ca≥2，∴双曲线离心率的最小值为2，故选C . 【答案】C6．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是( )A . 3B .32C .33D .34【解析】过A 作AG ⊥l ，G 为垂足；过B 作BE ⊥l ，E 为垂足．由抛物线的定义知：GA ＝AF ，BE ＝BF ，MN ∥AG ∥BE ，因为M 是AB 的中点，所以MN 是梯形ABEG 的中位线，所以|MN|＝12()|AG|＋|BE|＝12(|AF|＋|BF|)由余弦定理：|AB|＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos2π3＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|， 所以⎝⎛⎭⎫|MN||AB|2＝14（|AF|＋|BF|）2|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF|·|BF||AF|2＋|BF|2＋|AF||BF| ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF||BF|＋|BF||AF|＋1 ≤14⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立． 所以|MN||AB|≤33，故选C .【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 【解析】设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5＝⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫m －232－2035，当m ＝23时，取得最小值为43.【答案】438．已知直线l 与抛物线C: y 2＝4x 相交于A, B 两点，若线段AB 的中点为()2，1，则直线l 的方程为______________．【解析】设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，代入抛物线方程得⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得()y 1＋y 2()y 1－y 2＝4()x 1－x 2， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即直线AB 的斜率为2， 由点斜式得y －1＝2()x －2， 化简得y ＝2x －3. 【答案】y ＝2x －39．己知F 1，F 2是椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1()a>b>0的焦点， P 是椭圆C 上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________ .【解析】因为||PF 1＝2||PF 2， ||PF 1＋||PF 2＝2a ，所以||PF 2＝2a3，又a －c ≤||PF 2≤a ＋c ，故a －c ≤2a 3≤a ＋c ，所以c a ≥13，即离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1. 【答案】⎣⎡⎭⎫13，110．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左、右两支各交于一点，则k 的取值范围是____________．【解析】设两个交点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，化简得(1－k 2 ) x 2＋2kx －2＝0(1－k 2≠0)．因为直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的左右两支各交于一点， 所以两个交点的横坐标符号相反，即x 1·x 2＝－21－k 2<0，解不等式可得－1<k<1.所以k 的取值范围是(－1，1)． 【答案】(－1，1)三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)如图所示，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A(1，0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 在点F ，H 之间)，且满足FG →＝λFH →，求λ的取值范围．【解析】(1)∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|. 又∵|CN|＋|NM|＝22，∴|CN|＋|AN|＝22＞2.∴动点N 的轨迹是以点C(－1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长2a ＝22，焦距2c ＝2. ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线GH 的斜率存在时，设直线GH 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋4kx ＋3＝0. 由Δ＞0得k 2＞32.设G(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 12＋k 2，x 1x 2＝312＋k 2.又∵FG →＝λFH →，∴(x 1，y 1－2)＝λ(x 2，y 2－2)， ∴x 1＝λx 2，∴x 1＋x 2＝(1＋λ)x 2，x 1x 2＝λx 22.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋λ2＝x 22＝x 1x 2λ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 12＋k 22（1＋λ）2＝312＋k 2λ，整理得163⎝⎛⎭⎫12k 2＋1＝（1＋λ）2λ.∵k 2＞32，∴4＜1632k2＋3＜163，∴4＜λ＋1λ＋2＜163，解得13＜λ＜3且λ≠1.又∵0＜λ＜1，∴13＜λ＜1.又当直线GH 的斜率不存在时，方程为x ＝0，FG →＝13FH →，λ＝13.∴13≤λ＜1，即所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1.12．(13分)已知双曲线C 的实轴在x 轴，且实轴长为2，离心率e ＝3，l 是过定点P(1，1)的直线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)判断l 能否与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 恰好以点P 为中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，a 2＝1，∴双曲线C 的标准方程为：x 2－y 22＝1.(2)①若过点P 的直线斜率不存在，则l 的方程为：x ＝1， 此时l 与双曲线只有一个交点，不满足题意．② 若过点P 的直线斜率存在且设为k ，则l 的方程可设为：y －1＝k(x －1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k(1－k)x －(1－k)2－2＝0 ① 显然，要有两个不同的交点，则2－k 2≠0. 所以x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）2－k 2，要以P 为中点，则有x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）2－k 2＝1，解得k ＝2，当k ＝2时，方程①为：2x 2－4x ＋3＝0，该方程无实数根，即l 不会与双曲线有交点，所以，不存在过点P 的直线l 与双曲线有两交点A 、B ，且线段AB 以点P 为中点． 13.(14分)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经过定点B(1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线．过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E 、F 两点． (1)求证：|EA|＋|EB|为定值； (2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ， 证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.【解析】(1)设AE 切圆Γ于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ，故EM ＝EB.从而||EA ＋||EB ＝||AM ＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2 ＝AN 2－BN 2＝25－9＝4， 所以||EA ＋||EB 为定值4.(2)由(1)同理可知||FA ＋||FB ＝4，故E 、F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上．设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 令x ＝4，求得y ＝3m ，即Q 点纵坐标y Q ＝3m .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设E(x 1，y 1)、F(x 2，y 2) 则有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 因为E 、B 、F 、Q 在同一条直线上， 所以||EB ·||FQ ＝||FB ·||EQ 等价于(y B －y 1)(y Q －y 2)＝(y 2－y B )(y Q －y 1)， 即－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m －y 1y 2等价于2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m .代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4知上式成立．所以||EB ·||FQ ＝||FB ·||EQ .。

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或x xy='｜，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识拓展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二 教材改编2．[P85A 组T5]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．[P85A 组T7]曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为 ．答案 x ＋πy －π＝0解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三 易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D6．(2018·青岛调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)等于( )A ．2 018B ．－2 019C ．2 019D ．－2 018答案 B解析 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一 导数的计算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2018·上海质检)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华 导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 ．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)． 命题点2 求参数的值典例 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝ . 答案 1解析 由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是( ) A ．(3,3) B ．(1,3) C ．(6，－12) D ．(2,4)答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数0x x y ='｜＝ ＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3)． 命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .(42)|x x x =－答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 跟踪训练 (1)(2017·山西孝义模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是 ．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案 －1解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴π2x y ='｜＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 错解展示：现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0x x y ='｜＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)答案C解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.4．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.5．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0x x y ='｜＝1x 0， 切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2 017 D ．－2 017 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0， ∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为 ．答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )， 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是 ．答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，故f ′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为 ．答案 ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 10．(2018·成都质检)已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝ ；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为 ．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ， 由f (1)＝1，得c ＝12， 则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ， 则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.12．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x， 由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 14．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 ．答案 2 解析 由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)． 16．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0， 得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17； 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。

第三章导数及其应用（五)同步测试卷(导数及其应用）时间：60分钟总分:100分一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒【解析】∵物体的运动方程为s＝1－t＋t2，∴s′＝－1＋2t，s′｜t＝3＝5。

【答案】C2．设f′(x）是函数f（x)＝错误!的导函数,则f′(0)的值为( )A．1 B．0 C．－1 D.错误!【解析】f′（x）＝错误!＝错误!,则f′(0）＝错误!＝－1.故选C。

【答案】C3．如图是函数y＝f错误!的导函数y＝f′错误!的图象，给出下列命题：①x＝－2是函数y＝f错误!的极值点；②x＝1是函数y＝f错误!的极值点；③y＝f（)x的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f错误!在区间错误!上单调递增．则正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．②③D．①④【解析】根据导函数图象可知，x＝－2是导函数f′(x)的零点且x＝－2的左右两侧导函数值符号异号，故x＝－2是极值点；x＝1不是极值点，因为x＝1的左右两侧导函数符号一致；x＝0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值；导函数在错误!上恒大于等于零，故为函数的增区间，所以选D。

【答案】D4．已知曲线f错误!＝x3－ax2＋2在点错误!处切线的倾斜角为错误!，则a等于( )A．2 B．－2 C．3 D．－1【解析】因为f′错误!＝3x2－2ax，所以f′错误!＝3－2a，由已知得3－2a＝－1，解得a ＝2，故选A。

【答案】A5．函数f(x）＝错误!x2－ln x的最小值为( )A.错误!B．1 C．0 D．不存在【解析】∵f′(x)＝x－1x＝错误!，且x>0。

令f′(x)〉0，得x〉1；令f′(x)<0，得0〈x〈1.∴f（x）在x＝1处取得最小值，且f(1)＝错误!。

第12讲函数的图象夯实基础【p30】【学习目标】熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)，会依据解析式迅速作出函数图象，会根据图象解决相关问题．【基础检测】1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是()【解析】由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.【答案】C2．函数f (x )＝x|x|的图象是( )【解析】由题意得，f (x )＝x |x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，－1，x<0，所以函数的图象如选项C 所示．故选C.【答案】C3．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数的解析式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)【解析】把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x －1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．故选D.【答案】D4．函数f (x )＝xecos x 的大致图象为( )【解析】令f (x )＝x e cos x ，则f (－x )＝－x e cos （－x ）＝－xe cos x ＝－f (x )，即函数的图象关于原点对称，排除选项C ，D ；当x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2>0，排除选项B ；所以选A.【答案】A 【知识要点】1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象 2．作图方法：描点法，变换法．(1)描点法作图的基本步骤：①求出函数的__定义域和值域__．②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表．③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__)．若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可．④在直角坐标系中__描点、连线__成图． (2)变换作图法常见的变换法：__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__，具体方法如下： 平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)． ①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向左平移b （b ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向右平移b （b ＞0②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向上平移h （h ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向下平移h （h ＞03．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等．4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质，求最值，确定方程的解的个数，解不等式等．数形结合，直观方便．典 例 剖 析 【p 30】考点1 作函数的图象例1作出下列函数的图象： (1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|.【解析】(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图①所示．(2)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|的图象，如图②所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．【小结】画函数图象的2种常用方法： (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．考点2 函数图象的识别例2(1)函数y ＝|x|e －xx的图象的大致形状是( )【解析】由函数的解析式先确定定义域，通过分类讨论去绝对值，利用函数图象的变换，得函数的解析式．由函数的表达式知：x ≠0，y ＝e －x |x|x ＝⎩⎨⎧e －x ，x>0，－e －x ，x<0，所以它的图象是这样得到的：保留y＝e －x ，x ＞0的图象部分，将x<0的图象部分关于x 轴对称．【答案】D(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【解析】解法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0，2]时，2－x ∈[0，2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1，0≤x<1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x<1，x －2，1≤x ≤2.解法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，故选B. 【答案】B(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x>1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是( )【解析】作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x>1的图象，如图．再把f (x )的图象向左平移一个单位，可得到y ＝f (x ＋1)的图象．故选B.【答案】B【小结】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性； (4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．函数的图象必须与函数的性质有机结合起来，实现“数”与“形”的完美结合，不要将二者割裂开来．考点3 函数图象的应用例3(1)奇函数f ()x 的定义域为()－5，5，若x ∈[)0，5时，f ()x 的图象如图所示，则不等式f ()x <0的解集为____________．【解析】奇函数的图象关于原点对称，所以根据图象可得当x>0时，f ()x <0的解集为()2，5，当x<0时，不等式的解集为()－2，0，所以不等式f ()x <0的解集为()－2，0∪()2，5.【答案】(－2，0)∪(2，5)(2)已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x>0，ax ＋2，x ≤0(a ∈R )，若函数y ＝||f ()x －a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－2B ．0<a <1C ．1≤a <2D ．a >2【解析】当a ＝0 时， ||f ()x ＝0只有一个零点1，舍去； 当a <0 时， ||f ()x ＝a 没有零点，舍去； 当a >0 时， 由图知a >2，选D.【答案】D【小结】(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【能力提升】例4已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是______________．【解析】先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 【小结】有关两个函数的图象的交点个数或有关方程解的个数问题，常常转化为两个熟悉的函数的交点个数，利用此法也可解已知两函数图象的交点的个数求参数值．方 法 总 结 【p 32】1．函数图象是函数的另一种表示形式，它是函数性质的具体体现，因此对基本初等函数的图象必须熟记．2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．3．变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形．4．在图象变换中，写函数解析式时也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下范围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题设条件进行合理解答．6．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空题、选择题，方程根的个数等方面很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．走进高考【p32】1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()【解析】设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C ，故选D. 【答案】D。

课时规范练14 导数的概念及运算基础巩固组1.已知函数f(x)=√x 3+1,则lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)的值为 ( )A.-13 B.13 C.23D.02.若f(x)=2xf'(1)+x 2,则f'(0)等于( )A.2B.0C.-2D.-43.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x 2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=04.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为( ) A.1 B.√2 C.√2D.√35.已知a 为实数,函数f(x)=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-36.设曲线y=sin x 上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x 2g(x)的部分图象可以为( )7.一质点做直线运动,由始点经过t s 后的距离为s=1t 3-6t 2+32t,则速度为0的时刻是()A.4 s 末B.8 s 末C.0 s 末与8 s 末D.4 s 末与8 s 末8.(2018河北衡水中学17模,14)函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则f '(2)f (2)= .9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为 . 10.(2018河南六市联考一,14)已知函数f(x)=x+ax +b(x ≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= .11.函数f(x)=xe x 的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 .12.若函数f(x)=12x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .综合提升组13.已知函数f(x)=xln x,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l 的方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R )的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=( )A.13B.-23C.73D.-13或5315.(2018全国3,理14)直线y=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .创新应用组16.(2018湖南长郡中学四模,4)已知f(x)=3+2cos x,f'(x)是f(x)的导函数,则在区间[-π3,π]任取一个数x 0使得f'(x 0)<1的概率为( )A.14B.34C.18D.7817.(2018河北衡水中学押题二,12)已知函数f(x)={-x 2-4x +5,x ≤1,lnx ,x >1,若关于x 的方程f(x)=kx-12恰有四个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( )A.(12,√e)B.(12,√e] C.(12,√e e )D.(1,√e ]课时规范练14 导数的概念及运算1.A ∵f'(x)=13x -23,∴limΔx →0f (1-Δx )-f (1)Δx =-lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx =-f'(1)=-(13×1-23)=-13.2.D f'(x)=2f'(1)+2x,令x=1,则f'(1)=2f'(1)+2,得f'(1)=-2,所以f'(0)=2f'(1)+0=-4.故选D.3.B 由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x 2+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1,所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B 因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x ,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=√2=√2.故所求的最小值为√2.5.B 因为f(x)=x 3+ax 2+(a-3)x,所以f'(x)=3x 2+2ax+(a-3).又f'(x)为偶函数,所以a=0,所以f(x)=x 3-3x,f'(x)=3x 2-3.所以f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.6.C 根据题意得g(x)=cos x,则y=x 2g(x)=x 2cos x 为偶函数.又x=0时,y=0,故选C.7.D s'=t 2-12t+32,由导数的物理意义可知,速度为零的时刻就是s'=0的时刻,解方程t 2-12t+32=0,得t=4或t=8.故选D.8.-12 由导数的几何意义可知f'(2)=2,又f(2)=2×2-8=-4,所以f '(2)f (2)=-12. 9.e∵f(x)=e x ln x,∴f'(x)=e x ln x+exx.∴f'(1)=eln 1+e1=e.10.-8 ∵f'(x)=1-a x 2=x 2-ax 2, ∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f(1)=1+a+b=b, ∴在点(1,f(1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.11.y=2ex-e ∵f(x)=xe x ,∴f(1)=e,f'(x)=e x +xe x ,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.12.[2,+∞) ∵f(x)=12x 2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+1x .∵f(x)的图象存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x)存在零点,∴x+1x -a=0有解,∴a=x+1x ≥2(x>0).13.B 设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f(x)的图象相切于点(x 0,y 0),则{kx 0-1=y 0,x 0ln x 0=y 0,ln x 0+1=k ,解得{x 0=1,y 0=0,k =1.∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0. 14.D ∵f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53; 若f'(x)的图象为③,则a 2-1=0.又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-13. 15.-3 设f(x)=(ax+1)e x ,∵f'(x)=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,∴f(x)=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.16.D 由f'(x)=-2sin x<1,x ∈[-π3,π]得x ∈[-π6,π],因此所求概率为π-(-π6)π-(-π3)=78.故选D.17.C 方程f(x)=kx-12恰有四个不相等的实数根转化为y=f(x)的图象与y=kx-12的图象有四个不同的交点,如图所示,直线y=kx-12过定点(0,-12),且过点(1,0)时,函数y=f(x)的图象与y=kx-12的图象有三个不同的交点,此时k=-12-00-1=12.设直线y=kx-1与y=ln x(x>1)切于点(x 0,ln x 0),则过该切点的切线方程为y-ln x 0=1x 0(x-x 0).把点(0,-12)代入切线方程,可得-12-ln x 0=-1,解得x 0=√e , 所以切点为(√e ,1),则切线的斜率为√e=√e,所以方程f(x)=kx-12恰有四个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是(12,√ee),故选C.。