2020届山西省太原市第五中学高三下学期3月摸底数学(文)试题解析

2020年山西太原高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第1题5分2020年安徽合肥高三一模理科第1题5分已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|2x−1>0}，则A∪B=（）．A. (−1,+∞),1)B. (12,2)C. (12,+∞)D. (122、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第2题5分某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=（）．A. 9B. 10C. 12D. 133、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第3题5分2020年安徽合肥高三一模理科第2题5分设复数z满足|z−1|=|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x,y)，则（）．A. y=−xB. y=xC. (x−1)2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y+1)2=14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第4题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第3题5分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−2，a8=10，则S9=（）．A. 45B. 42C. 25D. 365、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第5题5分2020年四川高三二模文科第3题5分2020年四川眉山高三三模文科第3题5分“实数x>1”是“log2⁡x>0”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第6题5分2020年河南郑州高三一模理科第7题5分2020年山西太原高三三模理科第5题5分宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）．A. 5B. 4C. 3D. 27、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第7题5分2017~2018学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第9题5分2018~2019学年天津和平区高一上学期期末第6题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第2题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期期中第4题已知sin⁡α−cos⁡α=√2，α∈(0,π)，则tan⁡α=（ ）．A. −1B. −√22C. √22D. 18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第8题5分已知向量e 1→，e 2→是夹角为π3的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→与b →=−3e 1→+2e 2→的夹角为（ ）． A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第9题5分2020年山西太原高三三模理科第9题5分把函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数y =g (x )的图象．则g (x )的解析式是（ ）．A. g (x )=sin 2(x +π12) B. g (x )=−12cos⁡(2x −π12)C. g(x)=−12cos⁡(2x−π6)+12D. g(x)=12sin⁡(2x−π6)+1210、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第10题5分2020年山西太原高三三模理科第10题5分已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增．若实数a满足f(log2a)+ f(log12a)⩽2f(1)，则a的取值范围是（）．A. [12,1]B. [1,2]C. [12,2]D. (0,2]11、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第11题5分设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，若双曲线上存在点P，使∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）．A. 2B. √3C. √5D. √612、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第12题5分2020~2021学年12月重庆沙坪坝区重庆市第七中学高二上学期月考第9题2020年四川德阳高三一模理科第8题5分在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=12PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√52，则该三棱锥外接球的表面积为（）．A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第13题5分2020年山西太原高三三模理科第13题5分已知函数f(x)={log12x(0<x⩽1)x2−1(x>1)，则f(f(18))=．14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第14题5分抛物线y=px2经过点(1,4)，则抛物线的焦点到准线的距离等于．15、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第15题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第14题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n=−2，则数列{a n}的通项a n=．16、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第16题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第15题5分对任意正整数n，函数f(n)=2n3−7n2cos⁡nπ−λn−1，若f(2)⩾0，则λ的取值范围是；若不等式f(n)⩾0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第17题12分垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动．现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图．(1) 依茎叶图判断哪个小区的平均分高？(2) 现从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户，求分数为87的家庭至少有一户被抽中的概率．(3) 如果规定分数不低于85分的家庭为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”参考公式和数据：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n =a +b +c +d ．18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第18题12分2020年江苏南京高三二模理科第16题14分在△ABC 中，已知角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a =bcos⁡C +csin⁡B ．(1) 求B 的值．(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD =177，cos⁡A =−725，求b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第19题12分2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末文科第18题12分 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1⊥A 1C 1，D 是B 1C 1的中点，A 1A =A 1B 1=2．(1) 求证：AB1//平面A1CD．(2) 异面直线AB1和BC所成角的余弦值为√2613，求几何体A1B1DCA的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第20题12分2020年山西太原高三三模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1,32)．(1) 求椭圆C的方程．(2) 已知△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值．21、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第21题12分2020年四川南充高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x+kx．(1) 当k=−1时，求函数f(x)的极值点．(2) 当k=0时，若f(x)+bx−a⩾0(a,b∈R)恒成立，求e a−1−b+1的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第22题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第22题10分2020年山西太原高三三模理科第22题10分已知曲线C的极坐标方程是ρ−6cos⁡θ=0，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M(0,2)，倾斜角为34π．(1) 求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程．(2) 设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第23题10分2020年山西太原高三三模理科第23题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|+|x−2a|．(1) 若a=1，解不等式f(x)<4；(2) 对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2−2m+4=f(x)，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 A;13 、【答案】8;14 、【答案】18;15 、【答案】−(12)n−1，(n∈N∗);16 、【答案】(−∞,−132];−132;17 、【答案】 (1) 乙小区的平均分高．;(2) 35．;(3)有关．;18 、【答案】 (1) B=π4．;(2) b=5．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) √32．;21 、【答案】 (1) f(x)有唯一的极大值点x=1，无极小值点．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) (x−3)2+y2=9；{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．;(2) 5√24．;23 、【答案】 (1) (−32,52 )．;(2) [−2,1]．;。

山西省太原市第五中学2020届高三下学期3月摸底数学（文）试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数，则（）A．1B．2C．D．(★★) 3. 已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．-1C．D．(★★★) 4. 若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）．A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．(★★) 6. 已知命题：，，命题：，使，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（）A．B．C．D．(★★) 8. 庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数 n后，输出的S∈（，），则输入的 n的值为（）A．7B．6C．5D．4(★★★) 9. 函数在的图像大致为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 若，当x∈[0，1]时， f（ x）＝ x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数 m的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知 a为常数，函数有两个极值点 x 1， x 2，且 x 1＜ x 2，则有（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数满足，则的最小值是______________.(★★★) 14. 在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为 ，则m=_________ ．(★★★) 15. 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若（ a+ b ） sinB ＝ csinC﹣asinA，，△ ABC的面积记为S，则当取最小值时， ab ＝_____ (★★★★) 16. 如图，正方形和正方形的边长分别为，原点 为的中点，抛物线 经过 两点，则 _________．三、解答题(★★★) 17.的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .（1）若 ， ， 成等差数列，证明： ；（2）若 ， ， 成等比数列，求的最小值.(★★★) 18. 如图所示的多面体中， AD⊥平面 PDC ，四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点， F 为线段 PB 上的一点，∠ CDP＝120°， AD ＝3， AP ＝5， ．（Ⅰ）试确定点 F 的位置，使得直线 EF∥平面 PDC ； （Ⅱ）若 PB ＝3 BF ，求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值．(★★★★) 19. 2016年春节期间全国流行在微信群里发､抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组 频数 3 9 17 11 8 2（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．①若红包金额在区间内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；②随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者，设其手气金额分别为，，求事件“ ”的概率．(★★★★) 20. 已知椭圆 C：的离心率为，与坐标轴分别交于 A， B两点，且经过点 Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；（Ⅱ）若 P（ m， n）为椭圆 C外一动点，过点 P作椭圆 C的两条互相垂直的切线 l 1、 l 2，求动点 P的轨迹方程，并求△ ABP面积的最大值．(★★★) 21. 已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围;（2）设两个极值点分别为：，，证：.(★★) 22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点的坐标．(★★★) 23. 设函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：.。

．．'4已知等差数列｛αn｝的前h项和为S斗，且α2＝一2，α8= 10，则s9=太原市2020年高三年级模拟试题（三）B.42D. 36土豆J E；工1b=2b否C.3共60分）第I卷（选择题D.2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符•干棘7.已知sinα－cosα＝）豆，αε（0，τ），则ta nα＝合题目要求的．空斟半生，D. 1v2C.一－2B.( I'1)A. (-1, +oo)'lT8＇.已知向量e,,e2是夹角为一的两个单位向量，贝Ua=2e,+e2与b=-3e1 +2e2的夹角为3D. (I' +oo)c. (f,2)'lTB-3'lTA.-62.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们D.三主6c.主主3的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，'lT9.把函数f( x) = si r巾的图象向右平移一个单位后，得到函数y=g(x）的图象．则g（川的解12B. 10其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=A.9析式是D. 13c. 12B.g(x)= _..!_co s j2x -王\ 12A.g(x)＝圳市＋主123.设复数z满足I z -11 = I z -i IC i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（坷，y），则D.g(x）＝争巾1－2＋C仲）＝－±叫2x-iB.y = xD.(x + 1)2 +( y + 1)2 = 1高三数学（文｝第2页（共8页）第1页（共8页）高三数学（文）A. 455.''x>1”是“l o g2x＞。

”的c.25学试卷（文科）数.A.充分不必要条件c.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的α，b分别为3,1，则输出的n等于B.必要不充分条件A.5B.4注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第E卷5至8页。

太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. ]13(,2-∞-, 132-三、解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分 （2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F, 则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个， 故所求概率. ………………8分（3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ， 所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 10分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ，...............................................................3分因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥，因为1111111A B AC A A A B ⊥=，，所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ，................................................................................................ 8分因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ， 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B⊥平面，同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+，113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分EB 1C 1A 1DCBA若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ......................................8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞， 当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b bf x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)bx a a b R x+-∈恒成立，所以ln ba x x +恒成立， ………………7分令ln b y x x =+，则2x by x-'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。

太原市高三模拟试题（一） 数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,1,|12A y y x x B x y x ⎧⎫==>==⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2. 设复数z 满足11zi z-=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9 C. 18 D ．276. 函数()2241x x x f x =-g 的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，则动点(),P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A ． 4B ． 8 C. 16 D ．328.抛物线28y x =的焦点为F ，设,A B 是抛物线上的两个动点，233AF BF AB +=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3πB ．34π C. 56π D ．23π9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）A 6B 5 C. 2 D ．1 10.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()02f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω=（ ） A ．23 B ． 2 C. 143 D ．26311.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ） A 3 B 3 C. 13D 312.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.若双曲线()222:x 10y C b b-=>的离心率为2，则b =___________．14.函数sinx xy e =+在点()0,1处的切线方程是 ___________．15.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则实数λμ+=___________．16.已知数列{}n a 满足()*1112,2,2018,2017n n n a a a n N n a a +-=-∈≥==，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则100S 的值为__________．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求角B ； （2）若b =ABC ∆的面积最大值．18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金． （1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,2BAD PA PD AD ∠====，点M 在线段PC 上，且2,PM MC N =为AD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()22,0F ，点(2,2B -在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，在x 轴上，是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()2ln 2,2xxf x x ax a xg x e =-+-=-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意给定的(]00,x e ∈，方程()()0f x g x =在(]0,e 上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为212x a ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12：BB 二、填空题13.14.210x y -+= 15.4316. 2016 三、解答题17.解：（1）利用正弦定理得：sin cos sin cos sin cos A C CC B C+=，sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B B +=+，又sinB 0≠，所以tan 1,4B B π==；（2）由正弦定理得：22sin 2b R B===，∴1R =，max111222S ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 18.解：（1）由题意可求得回归方程为ˆˆ2026yx =+，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元； 766561651421481251506,14655x y ++++++++====，()()()1211900210ˆˆˆ20,1462062610010niii ni i x x y y bay bx x x==--++++===-=-⨯=++++-∑∑，∴ˆˆ2026y x =+， 当9x =时，ˆ20926206y=⨯+=，即某天售出9箱水的预计收益是206元； （2）设事件1A ：甲获一等奖；事件2A ：甲获二等奖；事件1B ：乙获一等奖，事件2B ：乙获二等奖， 事件1C ：丙获一等奖；事件2C ：丙获二等奖， 则总事件有：()()()()()()()()111112121112211212221222,,C ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有()222,,A B C 1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率18P =． 19．解：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点， ∴PN AD ⊥，又∵底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴BN AD ⊥，又∵PN BN N ⋂=，∴AD ⊥平面PNB ， ∵2PA PD AD ===，∴PN NB ==又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD PN AD =⊥， ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==， ∵AD ⊥平面,AD//BC PNB ， ∴BC ⊥平面PNB ，又2PM MC =， ∴22132233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=． 20.解：（1）依题意，2c =，∵点(2,B 在C 上， ∴22421a b +=， 又∵222a b c =+，∴228,4a b ==，∴椭圆方程为22184x y +=； （2）假设存在这样的点P ，设()()011,0,,P x E x y ，则()11,F x y --，()22221280184y kxk x x y =⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩g，解得11x y ==，()A -，∴AE所在直线方程为(y x =+，∴M ⎛⎫ ⎝，同理可得N ⎛⎫ ⎝，00,PM x PN x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎝⎝u u u u r u u u r ， 20040PM PN x =⇒-=u u u u r u u u r g ，∴02x =或02x =-，∴存在点P ，使得无论非零实数k 怎么变化，总有MPN ∠为直角，点P 坐标为()2,0或()2,0-． 21.解：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x+-+'=-+-=， ①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,+∞单调递增，()f x 无极值；②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大，综上所述，0a ≤时，()f x 无极值；0a >，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大． （2）()()12,x xx xg x g x e e-'=-=，令()()()0,,1,g g x x x '>∈-∞单增；()()(),10,x g x g x '∈-∞<递减．(]0,x e ∈时，()12,2g x e⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．依题意，()()max 10112a f g x a f e ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤-⎪⎩，由()2122f e ae e ea =-+-≤-，得232e a e e +≥+，由1111ln 12f a a a e ⎛⎫=+->-⎪⎝⎭，即11ln 1a a e -+<，令()11ln h a a a e =-+，可知()h a 单增，且()1h e =，∴11ln 1a a e -+<，得()0,a e ∈，综上所述，232e a e e e+≤<+． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤； 综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

山西省下学期高三级联考数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知{}[]2|20,0,4A x x x B =->=，则A B =IA. [)4,1--B. (]2,4C. [)(]4,12,4--UD.[]2,42.已知2sin7a π=，22cos ,tan 77b c ππ==，则 A. b a c << B. c b a << C. b c a << D.a b c <<3.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为A. 2222 D.424. 过双曲线()22210y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E,O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =A. 123335.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，当10x -≤<时，()()2log 31f x x =-+，则()2017f 的值为A. -1B. -2C. 1D. 26.将函数()()1sin 04,f x x z ωωω=+<<∈的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的一条对称轴方程为2x π=，则()f x 的最小正周期为A.6π B. 3πC. 23πD.56π7.如图，网格上小正方形边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，则该长方体的表面积为 A. 24 B. 16322+1682+8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 99. 已知实数,x y 满足2001x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为5310. 已知ABC ∆所在平面内有两点P,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若24,2,3APQ AB AC S ∆===u u u r u u u r ,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为A. 4B. 4±C. 433±11.已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点（A 在第一象限内），3AF FB =u u u r u u u r,过AB 中点且垂直于l 的直线交x 轴于点G ，则三角形ABG 的面积为8316332364312.已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln 2-∞-B.(],1ln 2-∞-C. ()1ln 2,-+∞D.[)1ln 2,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知[]0,6a ∈，使得函数()()2lg !f x ax ax =-+的定义域为R 的概率为 .14.古代数学家杨辉在沈括的瞭积术的基础上想到，若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯各球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层（即下底）由b b ⨯各球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下2232n b a S a b ab -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，根据以上材料，我们可以得到22212n +++=L .15. 设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是 .16. 已知ABC ∆中，2223sin 7sin 2sin sin sin 2sin B C A B C A +=+则sin 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==，数列{}n b 的前项和为21.33n n S b =+ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取100名参与《我爱京剧》比赛节目的票友年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[]30.80内），样本数据分组为[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）若抽取的这100位参加节目的票友的平均年龄为53，据此估计表中,a b 的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在（1）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取20人参加有关京剧知识的回答，分别求抽取的年龄在[)60,70和[]70,80的票友的人数；（3）根据（2）中抽取的人数，从年龄在[]60,80的票友中任选2人，求这两人的年龄都在[)60,70内的概率.19.（本题满分12分）如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角梯形，90AFE FEB∠=∠=o,四边形CBED为等腰梯形，//CD BE,且2222 4.BE AF CD BC EF=====，（1）若梯形CBED内有一点G，使得//FG平面ABC，求点G的轨迹；（2）求多面体ABCDEF的体积.20.（本题满分12分）已知O为坐标原点，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为P,右顶点为Q,以12F F为直径的圆O与椭圆C相切，，直线PQ与圆O23.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与以12F F为直径的圆O相切,并且与椭圆C交于不同的两点A,B，求OAB∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln.2f x x a x bx=+-（1）若曲线()y f x=在点31,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线平行与x轴，求()f x；（2）若()f x存在极大值点x，且()3 2.71828a e e<=L，求证：()00.f x<请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．(0,)e B ．(1,2)-C ．(1,)e -D ．(0,2)【答案】D【解析】解不等式ln 1x <，化简集合A ，根据交集定义即可求解. 【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<. 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题. 2．已知复数z =，则||z =（ ）A ．1B ．2C D【答案】A【解析】根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模. 【详解】解：因为12z i ====，所以||1z ==. 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题.3．已知向量()1,2a =--v ，向量()3,4b =-v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】B【解析】根据向量a r 在b r方向上的投影a b b⋅=r r r ，带入数值即可. 【详解】向量a r 在b r方向上的投影1a b b ⋅===-r r r . 故选：B 【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.4．若过椭圆22194x y +=内一点P （2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A ．8x +9y ﹣25＝0 B ．3x ﹣4y ﹣5＝0C ．4x +3y ﹣15＝0D ．4x ﹣3y ﹣9＝0【答案】A【解析】设出A 、B 坐标，利用平方差法，求直线的斜率，然后求直线方程． 【详解】设弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P 为AB 中点， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211194x y +=，2222194x y +=，两式相减得：22221212094x x y y --+=，因为x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2，可得：121289y y x x -=--，则k 89=-，且过点P （2，1）， 所以y ﹣189=-（x ﹣2），整理得8x +9y ﹣25＝0． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，还考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[1,]2- B ．3[,1]2-C ．1[1]2-， D ．1[,1]2-【答案】C【解析】构造函数()()1g x f x =-，证明()g x 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()g x 相关形式，利用()g x 的性质，解出不等式，得到答案. 【详解】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项. 【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题. 6．已知命题：，，命题：，使，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以命题是假命题，因为当时，，所以命题是真命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选C ．【考点】1、全称命题和特称命题的真假性；2、复合命题的真假性．7．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ ）A ．13B ．29C ．49D ．827【答案】A 【解析】【详解】若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得231p p p +==，解得13p =，即按照顺时针跳的概率为13，按逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针.①若先按逆时针开始从A B →，则对应的概率为222833327⨯⨯=；②若先按顺时针开始从A C →，则对应的概率为111133327⨯⨯=，则概率为81127273+=，故选A. 8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈（1516，6364），则输入的n 的值为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（1516，6364）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【详解】框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S12=，k＝1+1＝2；判断2＞n不成立，执行循环体，S34=，k＝2+1＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S78=，k＝3+1＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S1516=，k＝4+1＝5．判断5＞n不成立，执行循环体，S3132=，k＝4+1＝6．判断6＞n不成立，执行循环体，S6364=，k＝4+1＝7．…由于输出的S∈（1516，6364），可得：当S3132=，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n＜6，可得输入的正整数n 的值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，属于基础题． 9．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断. 【详解】解：因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D . 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 【答案】B【解析】先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ，设,,CE x OE BE =用x 表示，然后用余弦定理求出x ，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE EOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+，8AB =，6AD =，25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+，解得26x =1246CC x ==，所以长方体的对角线长为36649614++= 所以长方体的外接球的半径为7， 所以长方体外接球的表面积为196π. 故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题. 11．若()()111f x f x +=+，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，若在区间（﹣1，1]内，()()()02m g x f x mx m =--，＞有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【答案】B【解析】根据当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，当x ∈（﹣1，0）时，x +1∈（0，1），得到f（x ）111x =-+，故f （x ）1110101x x x x ⎧--⎪=+⎨⎪≤≤⎩，＜＜，，题目问题转化为函数y ＝f （x ）与函数y ＝m （x 12+）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m 的取值范围． 【详解】根据题意，()()111f x f x +=+，又当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，故当x ∈（﹣1，0）时，x +1∈（0，1），则f （x ）+1()1111f x x ==++，所以f （x ）111x =-+， 故f （x ）1110101x x x x ⎧--⎪=+⎨⎪≤≤⎩，＜＜，，因为()()()02mg x f x mx m =--，＞在区间（﹣1，1]内有两个零点， 所以方程f （x ）＝m （x 12+）在区间（﹣1，1]内有两个根，所以函数y ＝f （x ）与函数y ＝m （x 12+）在区间（﹣1，1]内有两个交点，而函数y ＝m （x 12+）恒过定点（12-，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y ＝m （x 12+）过点（1，1）时，斜率m 23=，当y ＝m （x 12+）过点（1，0）时，斜率m ＝0， 由图象可知，当0＜m 23≤时，两个函数图象有两个交点，即()()()02mg x f x mx m =--，＞有两个零点，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，属于中档题．12．已知a 为常数，函数()212x f x x ae =-有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则有（ ） A ．()()12102f x f x -＜，＞ B ．()()12102f x f x -＜，＞C ．()()12102f x f x -＜，＜D ．()()12102f x f x -＞，＞【答案】A【解析】求导f ′（x ）＝x ﹣ae x ，将问题转化为x xa e =有两根为x 1，x 2，设()xx g x e =，利用导数法研究其图象利用数形结合法求解. 【详解】依题意：f ′（x ）＝x ﹣ae x ，则f ′（x ）＝0的两根为x 1，x 2，即x xa e=的两根为x 1，x 2， 设()x xg x e=，则()21()x x x x e xe x g x e e --'==，令g ′（x ）＝0，解得x ＝1， ∴g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g （x ）的图象如下，由图可知，0＜x 1＜1，x 2＞1， 当x ∈（﹣∞，x 1）∪（x 2，+∞）时，x xa e＜，则f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ∈（x 1，x 2）时，xxa e ＞，则f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴f （x ）极小值()1122111111122x x x f x x e x x e ==-⋅=-，又x 1∈（0，1）， 故()1102f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，， f （x ）极大值()2222222221122x x x f x x e x x e ==-⋅=-，又x 2∈（1，+∞）， 故()212f x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数,x y 满足202201x y x y y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值是______________.【答案】8-【解析】先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解. 【详解】画出不等式组202201x y x y y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z 的直线系， 平移直线30x y +=，易知当直线3z x y =+经过点(3,1)M -时，直线的纵截距最小，目标函数3z x y =+取得最小值，且min3(3)18z=⨯-+=-.故答案为：-8【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=_________．【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m 对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，23c=，△ABC的面积记为S，则当2SS+取最小值时，ab＝_____【答案】463．【解析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cos C，可求角C，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．【详解】∵（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C2221222a b c abab ab+--===-，∵C∈（0，π），∴C23π=，∵△ABC的面积记为S，2SS+≥2，当且仅当S2S=，即S 122==ab sin C 3=ab 时等号成立，解得此时ab 463=． 故答案为：46． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，还考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．16．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y ax a =>经过,C F 两点，则b a =_________．【答案】12【解析】试题分析：因为D 是抛物线()220y ax p =>的焦点，所以(,0)2aD ，因为正方形DEFG 的边长为b ，所以(,)2aF b b +，因为F 在抛物线上，所以22()2ab a b =+，即2220b ab a --=，所以22()10bb a a --=，解得12b a=+或12，因为0a b <<，所以12b a=+ 【考点】抛物线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答红球的抛物线的焦点坐标，得到四边形的面积，列出关于,a b 的方程是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1 2【解析】试题分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值试题解析：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为12．【考点】余弦定理；正弦定理18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，27PC ．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB ＝3BF ，求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）当点F 为BP 中点时，使得直线EF ∥平面PDC ；（Ⅱ）1857． 【解析】（Ⅰ）设F 为BP 中点，取AP 中点G ，连结EF 、EG 、FG ，推导出GF ∥AB ∥CD ，EG ∥DP ，从而平面GEF ∥平面PDC ，进而当点F 为BP 中点时，使得直线EF ∥平面PDC ． （Ⅱ）以D 为原点，DC 为x 轴，在平面PDC 中过D 作CD 垂线为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC 的一个法向量，AF u u u r的坐标，代入公式sinθAF n AF n⋅=⋅u u u r r u u u r r 求解． 【详解】（Ⅰ）设F 为BP 中点，取AP 中点G ，连结EF 、EG 、FG ，∵AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，∴GF ∥AB ∥CD ，EG ∥DP ，∵EG ∩FG ＝G ，DP ∩CD ＝D ，∴平面GEF ∥平面PDC ，∵EF ⊂平面GEF ，∴当点F 为BP 中点时，使得直线EF ∥平面PDC ．（Ⅱ）以D 为原点，DC 为x 轴，在平面PDC 中过D 作CD 垂线为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵E 为AD 的中点，F 为线段PB 上的一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，7PC =．∴cos120°22222253(27)253CD CD +--=⋅-CD ＝6，所以A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，23，0），C（6，0，0），设F（a，b，c），由PB＝3BF，得13BF BP=u u u r u u u r，即（a﹣6，b，c﹣3）13=（﹣8，23，﹣3），解得a103=，b23=，c＝2，∴F（103，23，2），AF=u u u r（10233，，﹣1），CBu u u r=（0，0，3），CP=u u u r（﹣8，23，0），设平面PBC的一个法向量n=r（x，y，z），则308230n CB zn CP x y⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u vru u u vr，取x＝1，得n=r（1，3，0），设直线AF与平面PBC所成角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：1857sin2091211993AF nAF nθ⋅===⋅⋅u u u r ru u u r r．【点睛】本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，还考查了转化化归的思想和运算求解能力，属于中档题．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．【答案】（Ⅰ）1925；（Ⅱ）12.44；（Ⅲ）（i）125，（ii）35．【解析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）．【详解】（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：p171182195025+++==，∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为19 25．（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为350=0.06，手气红包在[5，9）内的频率为950=0.18，手气红包在[9，13）内的频率为1750=0.34，手气红包在[13，17）内的频率为1150=0.22，手气红包在[17，21）内的频率为850=0.16，手气红包在[21，25]内的频率为250=0.04，则手气红包金额的平均数为：x=3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p21 5025 ==．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m ，n 均在[1，5）内，有3种情况：（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），若m ，n 均在[21，25]内只有一种情况：（x ，y ），若m ，n 分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，即（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），∴基本事件总数n ＝10，而事件“|m ﹣n |＞16“所包含的基本事件有6种，∴P （|m ﹣n |＞16）63105==． 【点睛】本题考查频率分布表的应用以及概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞A ，B 两点，且经过点Q （，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若P （m ，n ）为椭圆C 外一动点，过点P 作椭圆C 的两条互相垂直的切线l 1、l 2，求动点P 的轨迹方程，并求△ABP 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2242x y +=1；（Ⅱ）83y x +＝，． 【解析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P 的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A ，B 的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P 的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得P A ，PB 的斜率之积，进而可得m ，n 之间的关系，即P 的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P 也在轨迹方程上；因为P A ，PB 互相垂直，所以三角形P AB 的面积为S △ABP 12=|P A |•|PB |222||1||224PA PB AB +≤=，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号，此时得到点P 的坐标求解.【详解】（Ⅰ）由题意可得e c a ==，2221a b +=1，c 2＝a 2﹣b 2，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：2242x y +=1； （Ⅱ）设两个切点分别为A ，B ，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A ，B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P 的坐标为：（±2，），②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P 的切线的方程为：y ﹣n ＝k （x ﹣m ），联立直线y ﹣n ＝k （x ﹣m ）和椭圆的方程22142y kx km n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得（1+2k 2）x 2﹣4k （km ﹣n ）x +2（km ﹣n ）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k 2（km ﹣n ）2﹣4（1+2k 2）[2（km ﹣n ）2﹣4]＝0，整理可得（m 2﹣4）k 2﹣2kmn +n 2﹣2＝0，所以k 1•k 22224n m -=-， 设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1•k 22224n m -=-， 而P A ，PB 互相垂直，所以2224n m -=--1， 即m 2+n 2＝6，（m ≠±2），又因为P （±2，m 2+n 2＝6上， 所以点P 在圆x 2+y 2＝6上．因为l 1⊥l 2，所以S △ABP 12=|P A |•|PB |222||1||224PA PB AB +≤=，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号， 即P 在椭圆的短轴所在的直线上时即P （0，），由圆及椭圆的对称性设P （0），则直线P A 的斜率为1，可得直线P A 的方程为：y ＝x代入椭圆的方程可得3x 2x +8＝0，解得x ==，y =A（）， 所以|P A|3==，所以AB 2＝2|P A |2323=，所以（S △ABP ）max 2||843AB ==．【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系和求轨迹方程，还考查了运算求解的能力，属于难题．21．已知函数f （x ）＝axlnx ﹣x 2﹣ax +1（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为x 1，x 2，x 1＜x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜2﹣x 12+x 22.【答案】（1）a ＞2e （2）证明见解析【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证.【详解】（1）由题意可知，f （x ）的定义域为（0，+∞），f '（x ）＝alnx ﹣2x ，令g （x ）＝alnx ﹣2x （x ＞0），由函数f （x ）在定义域内有两个不同的极值点，可知g （x ）在区间（0，+∞）内有两个不同的变号零点，由()2'a x g x x-=可知， 当a ≤0时，g '（x ）＜0恒成立，即函数g （x ）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去.当a ＞0时，由g '（x ）＞0得，02a x ＜＜，即函数g （x ）在区间02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增； 由g '（x ）＜0得，2a x ＞，即函数g （x ）在区间2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减；故要满足题意，必有022a a g aln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， 解得：a ＞2e ；又()12g =-,∴函数g （x ）在（1，2a ）内有一个零点， 又当x ∞→+时，g （x ）∞→-，∴在（2a ∞+，）内有一个零点， ∴a ＞2e 满足题意.（2）由（1）可知，112222alnx x alnx x ==， 故要证：()()2212122f x f x x x +-+＜，只需证明：()21122a x x x +＜， 即证：22221121x x x x ln x -＜不妨设0＜x 1＜x 2，即证22211()1x x ln x x -＜， 构造函数：h （t ）＝lnt ﹣t 2+1（t ＞1）其中21x t x =， 由()212'0t h t t-=＜，所以函数h （t ）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h （t ）＜h （1）＝0得证.【点睛】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力. 22．已知直线的参数方程为12,{2x t y t =+=（t 为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是． （1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程； （2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点坐标． 【答案】（1），；（2）当点为时，到直线的距离最小，最小值为【解析】试题分析：（1）首先消参，得到直线的普通方程，然后根据点的直角坐标与极坐标转化的公式，即得直线的极坐标方程；首先根据三角函数的公式，将，然后两边同时乘以，同样是根据点的直角坐标与极坐标转化的公式，得到直角坐标方程．(2)点在曲线上，代入点到直线的距离公式，转化为关于的二次函数求最小值，同时得到点坐标． 试题解析：（1）由得，所以直线的极坐标方程为即，即 因为, 即曲线的直角坐标方程为 设，则,所以到直线的距离所以当时，，此时， 所以当点为时，到直线的距离最小，最小值为【考点】1．极坐标方程与直角坐标方程的转化；2．点到直线的距离．23．设函数()|2||2|f x x x =+--（1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y +--≤+-. 【答案】（1）解集为{}|1x x ≥；（2）见解析.【解析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，224x x +--≤,()11111 12111y y y y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++ ⎪⎣⎦---⎝⎭，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1x ≥，则12x ≤＜．所以()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥.（2）由（1）知，224x x +--≤，由于01y ＜＜， 则()1111112224111y y y y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-． 【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．。