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1.1随机事件

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概率论与数理统计 第一章1.1随机事件

概率论与数理统计 第一章1.1随机事件

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。

求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。

(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。

概率论与数理统计1.1随机事件

概率论与数理统计1.1随机事件

若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 { 0 , 1, 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如
只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
统计推断、预测或者决策。
2.《概率论与数理统计》的地位
《概率论与数理统计》是高校理、工、农、 医科、经济类、管理类等本科专业必修的一门 重要的基础课，也是这些硕士研究生入学考试
的一门必考科目。
3.《概率论与数理统计》与其它学科 的联系及其应用
●《概率与数理统计》是一门应用性很强又 颇具特色的数学学科，它在工程技术、科学研 究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领 域都有广泛的应用；
0 1 100 n 答案：（ 1） { , , , } n n n ( 2 ) { 3 , 4 , ,10 }, ( 3 ) { 3 , 4 , } ( 4 ) {10 ,11 , }, ( 5 ) { AB , AC , AD , AE , BA , BC , BD , BE , CA , CB , CD , CE , DA , DB , DC , DE , EA , EB , EC , ED }, ( 6 ) {甲胜乙负，甲负乙胜， 平局 }
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
随机事件与样本空间的关系
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.

1.1随机试验与随机事件

1.1随机试验与随机事件

(De· Morgan)律： A B A B; A B A B
对差事件运算： A - B AB A - AB
例 掷一颗骰子。设事件 A1 为掷出是奇数点，A2 为掷出 是偶数点，A3 为掷出是小于 4 的偶数点，则有
A1 A2 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
A1 A2 A2 Ai 发生。
i 1 n
对任一事件Ａ件 A B { A, B}称为事件 A 与 B 的差事件。
当事件 A 发生而事件 B 不发生时，A - B 发生。
5、对于事件 A、B，若 AB = ，则称事件 A 与 B 是互不相 容事件，或互斥事件。
如上例中，如某天的营业额为 500 元，则事件 A 发生。
特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件 (basic event)。
例如试验 E1 中有 6 个基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.
样本空间 包含所有的样本点，在每次试验中它总发生， 称为必然事件(certain event)。
n 个事件 A1 , A2, … , An 被称为互不相容的，是指其中任意 两个事件都是互不相容的，即 Ai Aj , (i j, i , j 1,2,, n) 。
6.事件 A、B，若 A∪B = ,且 A B ， 就是说，无论
试验的结果如何，事件 A 与 B 中必有且仅有一个发生,
概率论与数理统计
在现实世界中发生的现象千姿百态， 概括起来无非 是两类现象：
一类是在一定条件下必然出现（或恒不出现）的现象，
例如，在标准大气压下，水加热到 100 时 必定沸腾，三角形内角和为 180 等等．
0 0

1.1 - 随机事件及其运算 - 习题精选参考答案

1.1 - 随机事件及其运算 - 习题精选参考答案

参考答案 1. 11. 试写出下列随机试验的样本空间：（1）袋中有7个白球和3个红球，现采用有放回抽取和无放回抽取两种方式，每次任取一个球，观察首次取到红球时的抽取次数；（2）现有一个50人的班级，请记录该班一次概率考试的平均分（百分制）；（3）同时掷3颗色子一次，记录色子点数之和；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标；（5）将一个单位圆切成三块，记录每一块的面积。

解：（1）在有放回情况之下：},3,2,1{L =Ω在无放回的情况之下：}8,,3,2,1{L =Ω（2）记录平均分，}5010050,,503,502,501,0{×=ΩL （3）记录点数之和，}18,,5,4,3{L =Ω（4）单位圆中任取点),(y x ，其坐标满足122≤+y x ，故样本空间为}1|),({22≤+=Ωy x y x（5）由于单位圆的面积为π，故切成的三块面积z y x ,,应满足：π=++z y x ，从而所求的样 本空间为：}0,0,0,|),,({>>>=++=Ωz y x z y x z y x π.2. 设C B A ,,表示三个随机事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：（1）仅B 发生；（2）C B A ,,都不发生；（3）C B A ,,都发生；（4）C B A ,,不都发生；（5）C B A ,,至少有一个发生；（6）C B A ,,恰有一个发生；（7）C B A ,,至多有一个发生。

解：（1）C B A ； （2）C B A ； （3）ABC ； （4）ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ∪∪或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ∪∪∪∪∪∪；（6）C B A C B A C B A ∪∪；（7）C B A C B A C B A C B A ∪∪∪.3. 以A 表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件A 为 （ D ）(A) “甲产品滞销，乙产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”4. 在图书馆任选一本书，设{=A 数学书}，{=B 中文版的书}，{=C 1999年后出版的书}，试问：（1）C B A ∩∩表示什么事件？（2）在什么情况下有A ABC =？（3）B C ⊂表示什么意思？（4）若B A =，是否意味着馆中所有的数学书都不是中文版的？解：（1）C B A ∩∩表示事件{1999年或1999年以前出版的中文版数学书}；（2）若A ABC =，则BC A ⊂，从而只有在事件{馆中的数学书都是1999年后出版的中文书} 发生的条件之下，等式才成立；（3）B C ⊂表示馆中1999年或1999年以前出版的书都是中文版的；（4）B A B A ⊂⇔=且A B ⊂，故B A =表示馆中的非数学书都是中文版的，并且中文版的 书都不是数学书；又B A =B A B A ⊂⇔=⇔且A B ⊂，故B A =又表示馆中的数学书 都不是中文版的，并且所有外文版的书都是数学书。

北师大版高中数学选择性必修1第六章1.1随机事件的条件概率课件

北师大版高中数学选择性必修1第六章1.1随机事件的条件概率课件
P(AB) 的样本空间是 ，
PB A 的样本空间是 A。
（3）概率值得大小： P(B A) P(AB)

C
A AA
B
例题：在5道题中有3道选择题和2道填空题，如果不放回地依次抽
取2道题，求：
（1）第一次抽到选择题的概率;
（2）第一次和第二次抽都到选择题的概率;
（3）在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率.
答：不一样，它们发生的前提条件不同，前者是事件A发
生的条件下B事件发生，后者是事件B发生的条件下A发生
思考5、概率P(AB)与P(B A)有什么区别和联系呢？

联系：
区别：

事件A，事件B都发生了
（1）事件A、B有时间差异：
P(AB)是事件A、B同时发生，
PB A 是事件A发生后B发生。
（2）样本空间有差异：
率的交事件（或积事件），记作 A B（或AB）
A
AB
B
三门问题（蒙提霍尔问题）
假设你在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇；其中一
扇后面有一辆轿车，其余两扇门后是空的。你选择一道门后，不要打
开，主持人（知道哪里有车）会在没选中的二扇门中选一个空门打开
，然后他问你:“你是坚持刚刚的选择还是换另一扇门呢？
问题：3张奖券只有一张能中奖，现在分别由3名同学不放回地抽取，
那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学的小？
思考1：如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一个同
学抽到中奖奖券的概率又是多少呢？
思考2：知道第一名同学的抽奖结果对后面同学抽到奖券的概率有影响吗？
为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？

《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件


i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.

1.1随机事件及其运算


在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件

1.1 随机事件


案例2
记录某地铁车站于6：00至6：10这 10分钟内候车的人数.可能是0、1、 2、3….
案例3 某车工在同样的工艺条件下生产出来 的零件的尺寸在120.1mm之间，而每 个零件的尺寸在加工完成以前是不能 准确预言的.
注：
在随机试验时，所描述的结果出现 了，称为这个“事件”发生了。
案例4
从标号为1，2，3，4，5的产品中任取一 产品，用 i 表示 “取得i号产品”的 基 本事件（i=1，2，3，4，5）。 样本空间 为= 1,2 ,3 ,4 ,5
二、随机事件的概念及运算
定义3
随机试验的结果称为随机事件。简称为 事件。一般用大写字母A、B、C等表示. 事件可分为基本事件和复合事件. 相对于观察目的不可再分解的事件， 称为基本事件.案例1中“取出4号零 件”，“取出5号零件”等都是基本 事件. 由两个或两个以上基本事件并在一 起，构成的事件称为复合事件.案例 1中“取出偶数号零件”，“取出号 数>2的零件”等都是复合事件.
A B A, A B B AB A, AB B
四、随机事件的概念案例分析
案例1
在编号为1，2，3，4，5，6的六个零件中， 任取一个检验，观察取出的零件号数.可能的 结果是“1”、“2”、…、“6”，这6种结果究 竟出现哪一种，在抽取前是不能确定的.由于 观察目的的需要，有时将该试验结果描述为 “出现偶数号”，“出现大于2的号数”等 。


案例5
将一个硬币抛掷两次，若记正面向上为 H，反面向上为T，则样本空间由如下 四个样本点组成：
案例 6
HH , HT , TH , TT
测试某种元件的寿命（单位：以小时 计），则样本点是一个非负数，所以 样本空间为：

1.1随机事件及其运算


1.1.6 事件的运算(operation of events )
1.1.6.1 事件的和（并）(Union of events)
“事件A,B 中至少有一个发
生”，称为事件A与B的和（并
A
B
）.记作A∪B. 即 A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∪B
注 A∪B = {事件A发生或事件B发生}
意
＝{A 发生,且B不发生;或A不发生,且B
2. 结合律(Combination law)
(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，(AB)C＝A(BC)
3.分配律(Distributive law) (A ∪ B)C＝(AC) ∪(BC)，(AB) ∪ C＝(A ∪ C)(B ∪ C) 4. 对偶律 (Dual law)
A BA B
Ak Ak
在每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 (Impossible event )，记为.
1.1.4 随机变量(random variable)
直观定义 随试验结果的不同而变化的量称为随机变量.通
常用大写字母X,Y,Z,…表示. 例1:抛一粒骰子,记X为出现的点数，则X是一
个随机变量. （1）事件“出现3点”可用“X=3”表示. （2）事件“出现的点数不小于3”可用“X≥3”表示.
AB
A B.
例1: 抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出 现偶数点则”A. B .
例2:记T为电视机的寿命, 令 A={寿命超过10000小时}={T| T>10000}， B={寿命超过20000小时”}={T| T>20000}.
则BA.
1.1.5.2 相等关系
若事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导 致A发生，则称事件A与B相等. 记作A = B . 即 AB且BA A＝B .
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事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
８. 完备事件组 设 A1 , A2 , , An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
随机现象的统计规律性
我们把对随机现象的观察称为随机试验， 并简称为试验， 记为E. 例如，观察某射手对固定目标进行射击； 抛一
枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市
120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等 均为随 机试验.
随机现象的统计规律性
随机试验具有下列特点： 1. 可重复性：试验可以在相同的条件下重复进 行； 2. 可观察性：试验结果可观察，所有可能的结

( A B) A B .
注：上述各运算律可推广到 有限个或可数个事
件的情形.
完
例 1 甲, 乙, 丙三人各射一次靶, 记 A - “甲种 靶”, B - “乙中靶”, C - “丙中靶”,则可用上述 三个事件的运算 来分别表示下列各事件: (1) “甲未中靶”: A; (2) “甲中靶而乙未中靶”:AB;
事件的运算规律
(3) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ),
事件的运算规律 (3) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ),
( A B) C ( A C ) ( B C );
(4) 自反律 A A; (5) 对偶律 ( A B) A B,
致学生
•如何学习数学
1、重要性 2、学数学---做数学 3、教材概念与计算同等重要 4、独立完成习题 5、逻辑顺序性
上课要求
概率统计与数学的关系
• 概率论与数理统计是一门与数学密切相关的学科， 但严格来说不是数学学科． • 概率统计的研究对象是随机现象，分析过程需要用 到数学的证明与推导，结论形式是事件的概率； • 数学的研究对象是确定性现象，分析过程是抽象的 逻辑推理，结论形式是定理推论． • 为了具体地描述随机现象的本质，人们用“数学”这 个工具把随机现象的各种规律性进行数量化分析研 究，从而就有了《概率论与数理统计》这门学科
样本空间 2. 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T 出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
3. 在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中， 有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点， 样本空间可简记为 S {1，2，3，4，5，6}. 4. 观察某电话交换台 在一天内收到的呼叫次数， 其样本点有无穷多个： i 次，i 0,1,2,3,,
样本空间
4. 观察某电话交换台 在一天内收到的呼叫次数， 其样本点有无穷多个： i 次，i 0,1,2,3,, 样本空间可简记为
S {0，1，2，3，…}.
5. 在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命， 其样本点也有无穷多个(且不可数)： t 小时，
0 t , 样本空间可简记为 S {t | 0 t } [0, ).
样本空间
(2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
e ij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
2 于是样本空间共有 C 5 10 个样本点，样本空间
S {eij | 1 i j 5}.
同一个随机试验，试验的 注：这个例子表明， 样本点与样本空间 是根据观察的内容而确定的.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 , , An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
(1) Ai Aj , i j , i , j 1,2,;
( 2) Ai S .
i
则称 A1 , A2 , , An , 是一个完备事件组. 显然， A 与 A 构成一个完备事件组. 完
称仅含一个样本点的事件为基本事件；称含有两
个或两个以上样本点的事件为复合事件.
事件的集合表示 若记 s 为试验中出现的样本点，则
事件 A 发生
s A.
显然，样本空间 S 作为事件是必然事件，空集
作为一个事件是不可能事件.
六、事件的关系与运算 1. A B : 事件B 包含事件A 或 事件A包含于事 件B 或 A是B 的子事件，其含义： 事件 A 发生必 然导致事件 B 发生. 显然 A S . 2. A B (即 A B , 且 B A) : 称事件 A 与事
概率论与数理统计
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 数理统计的基础知识 第六章 参数估计 第七章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率 1.5 事件的独立性
1.1 随机事件
一、随机现象 二、随机现象的统计规律性 三、样本空间 四、随机事件 五、事件的集合表示 六、事件的关系与运算
一、随机现象
从亚里士多德时代开始， 哲学家们就已经认识 到随机性在生活中的作用， 但直到20世纪初，
人们才认识到随即现象亦可以通过数量化方法 来进行研究.
二、随机现象的统计规律性 历史上，研究随机现象统计规律最著名的试验 是投掷硬币的试验. 下表是历史上投掷硬币试验
的记录.
试验者 De Morgan Buffon Pearon Pearon 投掷次数（n） 正面次数（rn）正面频率（ rn ） 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
随机现象的统计规律性 试验表明：虽然每次投掷硬币事先无法准确预 知将出现正面还是反面，但大量重复试验时， 发现出现正面和反面的次数大致相等，即各占 并且随着试验次 总试验次数的比例大致为0.5， 数的增加，这一比例更加稳定地趋于0.5. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
于是样本空间 S {e00 , e11 , e01 }. (2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
e ij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
样本空间
(2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
e ij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的). 7. 若 A B S 且 A B , 则称事件 A 与 事件 B 互为对立事件，或事件 A 与事件 B 互 为逆事件. A 的对立事件记为 A , 于是
A S - A.
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之 (2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
样本空间
我们把随机试验的每一种可能的结果 称为一个样本点， 常记为 . 记为 S (或 ). 它们的全体称为样本空间， 例如：
S {正面，反面} 或
e2 反面). S {e1 , e2 }(e1 正面，
2. 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T 出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：
ABC ; (3) “三人中只有丙未中靶”:
(4) “三人中恰好有一人中靶”: ABC ABC ABC ;
(5) “三人中至少有一人中 A B C 或 ABC ; 靶”: (6) “三人中至少有一人未中靶”:A B C 或 ABC ;
(7) “三人中恰有两人中靶”:ABC ABC ABC ;
件 B 相等. 3. A B { e | e A 或 e B }：称为事件 A
与事件 B 的和事件. 4. A பைடு நூலகம் B { e | e A 且 e B }：称为事件 A 与事件 B 的积事件.
事件的关系与运算
5. A - B { e | e A 且 e B }： 称为事件 A 与事件 B 的差事件. 例如，在抛掷骰子的试验中，记事件
完
四、随机事件 概率论中将试验中的某一观察的特征称为事件。
例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关 心出现的点数是否为奇数， 这里， “点数为奇数” 就是一个事件. 同样， “点数小于7”与“点数为8”也分别是一个事件.
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件.
6. 设随机试验为 从装有三个白球(记号为1，2，3)
样本空间
6. 设随机试验为 从装有三个白球(记号为1，2，3)
样本空间
6. 设随机试验为 从装有三个白球(记号为1，2， 3). 于两个黑球(记号为4，5)的袋中任取两球. 则样本点为 (1) 若观察取出的两个球的颜色，
e00 (两个白球), e11 (两个黑球), e01 (一白一黑),
事件的集合表示 概率论中将试验中某一观察的特征称为事件 . 任何一个事件都可以用 S 的某一子集来表示， 常用字母 A, B, 等 表示. 例如，在掷骰子的试验中，样本空间
S {1，2，3，4，5，6}； 事件 B : 点数小于5
事件 C : 点数小于5的偶数
B {1，2，3，4}；
C {2，4}；
事件的运算规律
设 A, B , C 为同一随机试验 E 中的事件， 则有 (1) 交换律 A B B A,
A B B A;
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ),