1.1 样本空间与随机事件0825+

第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。

1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。

如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。

向上抛一石子，必然下落。

同性电荷相互排斥。

石蕊投入酸性溶液中呈现红色。

这类现象，条件给定后结果明确可知。

2 随机现象给定条件结果不能确定。

如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。

同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。

一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。

这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。

有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。

此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。

某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。

3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。

如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。

这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。

概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。

因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。

为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。

二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。

在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。

下面举一些试验的例子。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。

随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。

一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。

由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。

样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。

[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。

[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。

教案1-随机事件及样本空间?1.1 随机事件与样本空间概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。

为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其他数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。

本章重点介绍概率论的两个基本概念:随机事件和概率。

概率论研究对象:随机现象的统计规律性。

一、随机现象客观世界中现象大致分为: 三类现象,必然现象:指在一定条件下必然发生的现象。

eg:水在100沸腾C;,不可能现象:指在一定条件下,肯定不会发生的现象。

eg:掷一枚骰子不可能出现8点;,,随机现象:指在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象(也称不确定现象)。

,(必然现象是事前可以预知结果，既在一定条件下某一确定现象必然会发生。

) 先看几个例子:确定现象(必然现象):? 抛一石块，观察结局;(一定下落)? 观察每天太阳升起的方向;(一定从东方升起)? 异性电荷放置一起,观察其关系。

(一定相互吸引)……不确定现象(随机现象):? 掷一枚硬币,观察出现“正面向上”的情况;(结果可能出现，也可能不)2(某人射击一次,考察命中环数;(结果可能命中，也可能不命中)3(从一批产品中抽取一件，考察其情况。

(结果可能合格，也可能不合格) 合格品4(下一个交易日观察股市的指数上升情况。

(结果不能事先预测)……虽然上述随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。

在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果;射击也只会有“命中”与“不命中”这两种可能结果;产品抽样也同样只有“合格”与“不合格”两种可能结果。

而而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。

1由此可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。

随机现象有没有规律可言,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性。

偶然性一面:少量实验下体现的不确定性;, ,必然性一面:大量重复实验下呈现出固有的规律性(即:统计规律性)。

§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。