1.1 样本空间与随机事件0825+

第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。

1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。

如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。

向上抛一石子，必然下落。

同性电荷相互排斥。

石蕊投入酸性溶液中呈现红色。

这类现象，条件给定后结果明确可知。

2 随机现象给定条件结果不能确定。

如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。

同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。

一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。

这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。

有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。

此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。

某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。

3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。

如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。

这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。

概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。

因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。

为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。

二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。

在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。

下面举一些试验的例子。

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。

随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。

一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。

由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。

样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。

[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。

[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。

教案1-随机事件及样本空间?1.1 随机事件与样本空间概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。

为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其他数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。

本章重点介绍概率论的两个基本概念:随机事件和概率。

概率论研究对象:随机现象的统计规律性。

一、随机现象客观世界中现象大致分为: 三类现象,必然现象:指在一定条件下必然发生的现象。

eg:水在100沸腾C;,不可能现象:指在一定条件下,肯定不会发生的现象。

eg:掷一枚骰子不可能出现8点;,,随机现象:指在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象(也称不确定现象)。

,(必然现象是事前可以预知结果，既在一定条件下某一确定现象必然会发生。

) 先看几个例子:确定现象(必然现象):? 抛一石块，观察结局;(一定下落)? 观察每天太阳升起的方向;(一定从东方升起)? 异性电荷放置一起,观察其关系。

(一定相互吸引)……不确定现象(随机现象):? 掷一枚硬币,观察出现“正面向上”的情况;(结果可能出现，也可能不)2(某人射击一次,考察命中环数;(结果可能命中，也可能不命中)3(从一批产品中抽取一件，考察其情况。

(结果可能合格，也可能不合格) 合格品4(下一个交易日观察股市的指数上升情况。

(结果不能事先预测)……虽然上述随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。

在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果;射击也只会有“命中”与“不命中”这两种可能结果;产品抽样也同样只有“合格”与“不合格”两种可能结果。

而而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。

1由此可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。

随机现象有没有规律可言,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性。

偶然性一面:少量实验下体现的不确定性;, ,必然性一面:大量重复实验下呈现出固有的规律性(即:统计规律性)。

§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。

例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。

若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。

1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。

因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。

也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个基本概念，它们对于理解概率和计算概率具有重要意义。

本文将介绍随机事件与样本空间的定义、性质以及与概率相关的概念。

1. 随机事件的定义及性质在概率论中，随机事件是指可以观察或发生的事情。

形式上，随机事件可以用集合表示。

假设我们在某次实验中观察到了一个事件A，它可以是一个点，也可以是多个点的集合。

这个事件A的发生与否由实验的结果决定。

随机事件可以满足以下几个性质：- 任意事件A发生的概率介于0和1之间：0 <= P(A) <= 1。

- 必然事件的概率为1：P(样本空间) = 1。

- 不可能事件的概率为0：P(空集) = 0。

- 若事件A与事件B互斥（不能同时发生），则它们的概率为零：P(A∩B) = 0。

2. 样本空间的定义及性质样本空间是指一个实验中所有可能结果的集合，常用Ω表示。

样本空间中的每个元素都代表了一个可能的结果。

例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

样本空间具有以下性质：- 样本空间是事件的基本组成单元，所有的事件都是由样本空间中的元素构成的。

- 样本空间的元素个数有限且不为0。

- 不同实验的样本空间可以不同。

3. 随机事件的关系与运算在概率论中，我们常常需要对事件之间的关系和事件的运算进行讨论和计算。

常见的事件关系和运算包括：包含关系、互斥关系、并、交、差等。

- 包含关系：事件A包含事件B，表示为A⊇B，当且仅当A发生蕴含B发生。

若A⊇B且B⊇A，则称A与B相等。

- 互斥关系：事件A与事件B互斥，表示为A∩B=∅，即A与B不能同时发生。

- 并：事件A和事件B的并事件，表示为A∪B，包含了A和B中任意一个事件发生的情况。

- 交：事件A和事件B的交事件，表示为A∩B，包含了A和B同时发生的情况。

- 差：事件A减去事件B，表示为A-B，包含了A发生而B不发生的情况。

4. 随机事件的概率计算概率是描述随机事件发生可能性的数值。

概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。

在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。

一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。

举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。

样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。

样本空间可以用数学符号Ω表示。

样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。

2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。

3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。

4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。

二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。

随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。

举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。

随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。

2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。

3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。

4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。

三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。

以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。

通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。

确定性现象：在一定条件下必然发生（出现）某一结果的现象.如：在地球上，太阳从东方升起；上抛物体一定下落.特点：在相同条件下，重复进行试验或观察，它的结果总是确定不变的.在一定的条件下，重复进行试验或观察，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而试验或观察前，不能预知究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.即在相同的条件下，重复进行试验或观察，它的结果未必是相同的.----------随机现象在我们所生活的世界上，充满了随机现象!随机现象是不是没有规律可言?否在一定条件下对随机现象进行大量观察会发现某种规律性.例：抛掷硬币的试验.多次抛掷同一枚硬币，观察到正面朝上的次数大致占一半.再如：火炮在一定条件下的射击试验.个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.随机现象就一次试验而言偶然性，随机性，不可预测性就大量试验而言一定规律性这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的规律性称之为统计规律性.正是由于随机现象在大量试验下呈现出统计规律性，由此确定了概率论研究随机现象独特的方法.它不是企图追索出现每一结果的一切物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报出在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量试验，揭示其统计规律性.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.一、随机试验（Random Experiment ）对随机现象进行一次观察或试验，统称为随机试验，简称试验，用E 表示.随机试验是由试验条件和观测目的所决定的.E 1: 掷一枚硬币，观测正面H 、反面T 出现的情况；E 2: 将一枚硬币抛掷三次，观测正面H 、反面T 出现的情况；E 3: 将一枚硬币抛掷三次，观测出现正面的次数；例如特点1.试验可以在相同的条件下重复进行；2.每次试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能够明确知道所有可能的结果；3.每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但在进行某次试验前，不能确定哪个结果会出现.可重复性可预知性随机性二、样本空间与随机事件1. 样本空间（Sample Space）随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间，用S表示，记为S={ω| ω为E的可能结果}样本空间的元素ω称为样本点..S样本点ω注意样本点ω的完备性和互斥性特点E1：掷一枚硬币，观测正面H、反面T出现的情况；S1={H, T}E2：将一枚硬币抛掷三次，观测正面H 、反面T出现的情况；S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}E3：将一枚硬币抛掷三次，观测出现正面的次数；S3={0, 1, 2, 3}E4：掷一枚骰子，观测出现的点数；S4={1, 2, 3, 4, 5, 6}E5：记录电话交换台在一分钟内接到的呼叫次数；S5={0, 1, 2, 3, ….}E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命；S6={t| t≥0 }E7：在一批炮弹中任意抽取一枚射击，观测其弹着点的位置.S7={(x, y)|(x, y)∈G⊂R2}在进行随机试验时，人们常关心的是试验全部可能结果中的某一确定部分，也即满足某种条件的那些样本点所组成的集合.中，若规定某种灯泡的寿命(小时)小于8000为次品，我们常例如:在E6关心灯泡的寿命是否为t≥8000.满足这一条件的样本点组成S的一个子集A={t| t≥8000}这样的子集称为随机事件2.随机事件（Random Event）定义随机试验E的样本空间的某些子集称为随机事件，简称为事件.它常用大写字母A，B，C等表示.2.随机事件（Random Event）注意(1)任意随机事件都是样本空间的某一个子集.反之，不一定成立.(2)当S中包含的样本点的个数为有限个或无穷可数个时，S的所有子集都是事件；当S中的样本点的个数为无穷不可数时，有些S的子集必须排除在外，但这种情况在实际中几乎不会遇到.事件的发生：在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点发生或出现.事件A发生也称为事件A出现.：掷一枚骰子，观测出现的点数.例如E4={1, 2, 3, 4, 5, 6}则样本空间为：S4定义事件A表示掷出偶数点，用S的子集可表示为：A={2, 4, 6}若在一次试验中，掷出的点数为2，4，6中的一个，则表示此次试验，事件A发生；若掷出的点数为1，3，5中的一个，则表示此次试验，事件A不发生.特殊的事件必然事件S:在每次试验中必出现S中一个样本点，即在每次试验中S必发生，因此称S为必然事件；不可能事件φ:在每次试验中，所出现的样本点都不在φ中，即在每次试验中φ都不发生，因此称φ为不可能事件；基本事件——由一个样本点组成的单点集，称为基本事件{ω}.。

概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。

在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。

它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。

本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。

一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。

例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。

而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。

以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。

其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。

二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。

例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。

2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。

例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。

3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。

4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。

三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。

下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。

在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。

因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。

在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。

例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。

样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。

而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。

事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。