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2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。
映射及映射法及例题知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
第2章 第1节[基础强化]考点一：映射、函数的概念1．设A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 2＋x ＋1B ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →2x －1－1 D ．f ：x →2x －1 解析：根据映射定义，对于集合A 中的任何元素．．．．，按照对应法则f ，在集合B 中是否有唯一的元素与它对应．∵当x ＝4时，x 2＋x ＋1＝21∉B ； 当x ＝4时，x ＋(x －1)2＝13∉B ；当x ＝1时，2x －1－1＝20－1＝0∉B ， ∴A 、B 、C 都不构成从A 到B 的映射．对于D ，经验证，x ＝1,2,3,4,5时2x －1的值分别为1,3,7,15,31.又映射并不要求B 中的任何元素都有原象，∴应选D.答案：D 2．(·河北衡水中学)设映射f ：x →－x 2＋2x 是集合M ＝R 到集合N ＝R 的映射．若对于实数p ∈N ，在M 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：本题主要考查了映射的定义及二次函数的值域问题，其关键是理解映射的定义，将其转化为求二次函数的值域问题．∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴实数p 的取值范围是(1，＋∞)．故选A.答案：A3．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析：∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x ＞1)的定义域不同．∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x ＞0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x ＞0)与y ＝lg x100＝lg x －2(x ＞0)有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．答案：D考点二：求函数的解析式及函数值4．若f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )的解析式为________．解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x 得f (x )＝2x －1x.答案：f (x )＝2x －1x5．(·天津模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，2－x ，x ≥2，则f (－3)的值为( )A ．2B ．8 C.18 D.12解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.答案：C6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( )A ．13B ．2 C.132D.213解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，得f (x ＋2)＝13f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数． 而99＝4×25－1，因此f (99)＝f (－1)＝13f (1)＝132.答案：C考点三：求函数的定义域7．函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≥2或x ≤1，－4≤x ≤1，x ≠1⇒－4≤x ＜0或0＜x ＜1.故选D. 答案：D8．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵y ＝f (2x )的定义域是[－1,1]， ∴12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域是[12，2]． 由12≤log 2x ≤2得2≤x ≤4. ∴y ＝f (log 2x )的定义域是[2，4].[感悟高考]1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18解析：f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14，f (14)＝1－(14)2＝1516. 答案：A2．函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x ≥0，得x ≥1或x ＝0.∴函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为{x |x ≥1}∪{0}．答案：C3．函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x 2－3x ＋4＞0，解得－1＜x ＜1.答案：C[高考预测]1.函数f (x )＝1log 2(－x 2＋4x －3)的定义域为( )A ．(1,2)∪(2,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,3)D ．[1,3]解析：欲使f (x )有意义，x 必满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3＞0，－x 2＋4x －3≠1.解得x ∈(1,2)∪(2,3)． 答案：A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤0，2，x ＞0，求f [g (x )]的表达式．解：x ＞0时，f [g (x )]＝f (2)＝7，当⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x 2≥0，x ≤0，即－2≤x ≤0时， f [g (x )]＝f (2－x 2)＝3(2－x 2)＋1＝7－3x 2；当⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2＜0，x ≤0，即x ＜－2时，f [g (x )]＝f (2－x 2)＝(2－x 2)2.∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧7，x ＞0，7－3x 2，－2≤x ≤0，(2－x 2)2，x ＜－ 2.。
高一数学映射试题1.下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（）A．A=，B=（0，1），f：求正弦；B．A=R，B=R，f：取绝对值C．A=，B=R，f：求平方；D．A=R，B=R，f：取倒数【答案】D【解析】映射要求对于集合A中的任意一个元素，按照对应法则，在到集合B中，都能找到唯一一个元素与之对应。
对于A，因为，锐角的正弦属于区间（0，1），集合A中任意一个元素，在B中都有唯一一个元素与之对应，是映射；对于B，任意实数的绝对值，都有唯一一个非负实数与之对应，是映射；对于C，任意正实数的平方，都有唯一一个正实数与之对应，是映射；对于D，实数0没有倒数，表示映射。
故选D。
【考点】映射点评：简单题，利用映射的定义，结合简单运算加以判断。
2.（x，y）在映射f作用下的象是（x+y，x-y），则象（2，-3）的原象是___________。
【答案】【解析】由（x+y，x-y）＝（2，-3）得：，则象（2，-3）的原象是。
【考点】映射点评：在映射中，集合A中的元素是原象，集合B中的元素是象。
3.设A={}, B="{y" | 0y 3 }, 下列各图中不能表示从集合A到B的映射是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据映射的定义，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与其对应，显然C 不符合映射的定义.因此C不是映射.4.已知集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致的为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致，定义域不同排除A,B，C，故选D.5.下列对应法则中，构成从集合到集合的映射是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据映射的概念，在集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，观察所给的四个选项，对于A选项，在B中有2个元素与它对应，不是映射，对于B选项，在B中没有和A的元素0对应的象，对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，对于D选项，符合映射的意义，故选D．6.下列对应关系：（）①：的平方根。
01 函数及其表示函数的概念【知识简介】函数与映射的概念【典例】1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D.(3，＋∞)【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.【答案】C3．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝( ) A ．4 B.14C.－4D.－14【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B. 【答案】B 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 【解析】[∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 【答案】-2 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． 【解析】由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【答案】① 求函数的定义域 【知识简介】求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解，高考中常以选择题形式出现，难度较低． 【典例】 1(1)(2014·山东，3)f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，1【答案】 (1)C (2)B 【名师点睛】(1)求定义域时对于解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1.(2012·江西，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，与函数y ＝sin xx 的定义域相同，故选D.2．若典型例题1(2)改为函数f (x 2－1)的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－12，32,求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求函数的解析式 【知识简介】高考中直接考查求函数解析式的题目很少，主要考查应用问题，备考时熟练掌握换元法、待定系数法求解析式，高考中常以选择题或填空题形式出现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，6)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9(2)(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(3)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 (1)由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，∴f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9，故选C.(3)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．【答案】 (1)C (2)D (3)－12x (x ＋1),【名师点睛】题(2)中判断对应关系“f ”是否是函数关键在于对于∀x ∈R 在f 的作用下是否有唯一的y 与之对应．求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )． 分段函数分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，试题常以选择题、填空题形式出现，考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题．解题过程中常渗透分类讨论的数学思想．【典例】3(1)(2015·课标Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ）， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2014·浙江，15)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)C (2)(－∞，2] 【名师点睛】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．(2015·山东临沂调研，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9 C ∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.故选C.,分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．【针对训练】1．(2016·湖南三校联考，3)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg(x －1)的定义域是( ) A ．[－1，4] B ．(－1，4] C ．[1，4] D ．(1，4] 1．D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4. 2．(2016·福建厦门一模，4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．(2016·湖南衡阳联考，3)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋13．C f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.4．(2015·河北唐山统考，5)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )4．C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 5．(2016·广东广州一模，8)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2 5．B 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.6．(2016·陕西西安一中一模，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，－2)D ．(－2，1)7．(2015·湖北武汉质检，6)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围( )A ．[－1，1]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[－2，2]7．D 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋（－a ）2＋2（－a ）≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0， 解得a ∈[－2，2]，故选D.8．(2015·安徽合肥二模，7)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A ，且 f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，38思路点拨：解答本题关键是要分清x 0∈A 时，f (x 0)的取值范围，以决定如何求f (f (x 0))的值． 9．(2016·浙江慈溪、余姚联考，10)若函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.9． 【解析】 用1x 替换2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，两个方程联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝2x －1x. 【答案】 2x －1x10．(2016·湖北武昌调考，14)新定义函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)sgn x >2的解集是________． 10． 【解析】 ①当x >0时， sgn x ＝1，不等式的解集为{x |x >1}； ②当x ＝0时，sgn x ＝0，不等式无解；③当x <0时，sgn x ＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}， 所以不等式(x ＋1)sgn x >2的解集为{x |x <－3或x >1}． 【答案】 {x |x <－3或x >1}【点击高考】1．(2014·江西，2，易)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)1．C 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.2．(2014·江西，3，易)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 2．A 由已知条件可知 f (g (1))＝f (a －1)＝5|a -1|＝1， ∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.3．(2012·安徽，2，易)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1， x <1，2x ， x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)4．C 令f (a )＝t ，则由f (f (a ))＝2f (a )得f (t )＝2t .由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1可知t ≥1.∴f (a )≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a ≥1⇒23≤a <1或a ≥1⇒a ≥23.故选C. 5．(2015·湖北，6，中)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]6．(2015·湖北，10，难)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．B 由题可知： 当n ＝1时，1≤t <2.当n ＝2时，2≤t 2<3，即2≤t <3满足条件．当n ＝3时，3≤t 3<4，即33≤t <34满足条件． 当n ＝4时，4≤t 4<5，即44≤t <45满足条件． 当n ＝5时，5≤t 5<6，即55≤t <56， 而33>56.所以正整数n 的最大值为4.7．(2015·浙江，10，易)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg （x 2＋1）， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·山东，14，中)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．8．【解析】 当0<a <1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 【答案】 －3202 函数的单调性求函数的单调区间 【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况内函数t ＝φ(x ) 增 增 减 减 外函数y ＝f (t ) 增 减 增 减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关 系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．03 函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断及应用【知识简介】函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题．【典例】1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝______．【答案】(1)A(2)C(3)1(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3),判断函数奇偶性的方法 (1)定义法首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．应用奇偶性可解决的问题及方法(1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解．(2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f (－x )；④利用奇偶性求出f (x )．(3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f (x )±f (－x )＝0得出关于参数的恒等式，进而求解． 函数的周期性 【知识简介】函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现．【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012(2)(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【解析】 (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)由已知易得f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2， 可得f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝1. 【答案】 (1)B (2)1,函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 函数性质的综合应用 【知识简介】函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常将它们综合在一起命题，奇偶性多与单调性结合，周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现． 【典例】 3(1)(2014·大纲全国，12)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8) ＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1(2)(2012·课标全国，16)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(2)显然其定义域为全体实数，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】 (1)D (2)2,函数性质综合应用的注意点函数的周期性常通过奇偶性得到，奇偶性体现的是一种对称关系．而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【针对训练】1．(2016·山东潍坊联考，4)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是( ) A ．函数f (x 2)＋x 2是奇函数 B ．函数[f (x )]2＋|x |不是偶函数 C ．函数x 2f (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋x 3不是奇函数2．(2016·甘肃兰州一模，12)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2]2．C 因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．(2016·广东东莞一模，6)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (21.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c3．B ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，∵21.8＞2＞log 23＝log 49>log 47， ∴log 47<log 49<21.8，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.8)， 即c <b <a .4．(2015·湖北名校联考，7)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)∴在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧log a （2＋2）<3，log a（6＋2）>3， 解得34＜a ＜2，故选D.5．(2016·河北石家庄模拟，15)若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2，2]，有f (mx －3)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．【答案】 (－3，1)6．(2016·山东济南二模，13)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2 015)＝________.6．【解析】 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )， ∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2 015)＝f (7＋251×8)＝f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝f (1)＝2. 【答案】 27．(2016·山西太原三模，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________. 7．【解析】 ∵奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝－f (－x )， ∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数， ∵S n ＝2a n ＋n ，① ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴数列{a n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，即a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n ＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3. 【答案】 38．(2016·河南郑州质检，15)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝⎛⎭⎫－1920＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1920＋f (1)＝________. 【答案】 82【点击高考】1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．21．D 由题意得，当x ＞12时，f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，所以当x ＞12时，f (x )的周期为1，所以f (6)＝f (1)．又f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2，故选D.2．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m3．(2015·广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x3．D A 中函数y ＝1＋x 2为偶函数；B 中f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，故为奇函数；C 中f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x＋2x ＝f (x )，故为偶函数；D 中f (－x )＝－x ＋e －x ，为非奇非偶函数，故选D.4．(2014·课标Ⅰ，3，易)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．C 若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数；若g (x )为偶函数，则|g (x )|为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C 正确．5．(2013·山东，3，易)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.6．(2012·福建，7，中)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．(2016·天津，13，中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．7．【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2，即|a－1|<1 2，∴12<a<32.【答案】12<a<328．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．04 二次函数与幂函数二次函数 【知识简介】在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题． 二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大．【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812(2)(2013·辽宁，12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16③当m －2<0，即0≤m <2时，f (x )开口向下，对称轴x ＝－n －8m －2＝8－n m －2≤12，整理得m ＋2n ≤18.∴mn ＝12×2mn ≤12×⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22≤812，当且仅当m ＝2n ，m ＋2n ＝18，即n ＝92，m ＝9时，等号成立，而m ＝9与0≤m <2矛盾；故不合题意．综上可知，mn 的最大值为18，故选B.(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a ＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.【答案】(1)B(2)C,【名师点睛】(1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论．(2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点．二次函数图象的主要考查方向(1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点：一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)与其他图象的公共点问题，解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数图象，要注意其相对位置关系．二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算． 幂函数 【知识简介】高考中考查幂函数的概念、图象及性质，利用幂函数性质求参数，很少单独考查，一般结合指数函数、对数函数考查基本初等函数的图象与性质，以选择题、填空题的形式呈现，难度不大．【典例】 2(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是 ( )(2)(2014·上海，9)若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)令y 1＝x 23，y 2＝x －12，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23，y 2＝x －12的图象如图所示，由图象知当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1)． 【答案】 (1)D (2)(0，1)(2016·山东实验中学三模，5)幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，4)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 1．A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数为f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．(2016·浙江宁波二模，6)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )2．A [考向1，2]由f (x )的图象知，0<a <1，b <－1.由0<a <1可排除C ，D ，又由g (0)＝1＋b <0可排除B.故。
2022版高中数学北师大版必修1：函数的表示法映射基础过关练题组一函数的表示法1.(2020河北衡水冀州中学高一上第二次月考)已知函数f(x),g(x)由下列表格给出,则f[g(3)]= ()x 1 2 3 4f(x) 2 4 3 1g(x) 3 1 2 4A.4B.3C.2D.12.(2021山东烟台高一上期中)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东赛区)的比赛活动.早上他乘出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是()3.如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则f[f(3)]的值等于.4.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式,并指明这个函数的定义域.题组二 函数解析式的求法5.(2021北京理工大学附中高一上期中)已知函数f (x )是一次函数,且f (x -1)=4x +3,则f (x )的解析式为( ) A.f (x )=4x -1 B.f (x )=4x +7 C.f (x )=4x +1 D.f (x )=4x +36.已知f (2x +1)=4x 2,则f (-3)= ( ) A.36 B.16 C.4D.-167.已知f (x )是一次函数,且2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )的解析式为 ( ) A.f (x )=2x +3 B.f (x )=3x +2 C.f (x )=3x -2 D.f (x )=2x -38.(2019河北辛集中学高一上第一次月考)已知f (x -1)=x 2,则f (x 2)= . 9.已知f (x -1x )=x 2+1x 2,则f (3)= .10.已知函数f (x )满足af (x )+f (-x )=bx ,其中a ≠±1,求函数f (x )的解析式. 题组三 分段函数问题的解法11.(2021四川成都实验外国语学校高一上第二次段考)已知f (x )={x (x +4),x ≥0,x (x -4),x <0,则f [f (-1)]的值为( )A.5B.15C.25D.4512.已知函数f (x )={x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈(0,1],则下列函数图像正确的是( )13.已知函数f (x )={x 2(-1≤x ≤1),1(x >1或x <-1),则函数f (x )的值域为 .14.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.缺水每年给我国工业造成的损失达2000亿元,给我国农业造成的损失达1500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定当每季度每人用水量不超过5立方米时,每立方米水费1.2元;当超过5立方米而不超过6立方米时,超过部分的水费加收200%;当超过6立方米而不超过7立方米时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)立方米,那么本季度他应交的水费y (单位:元)与用水量x (单位:立方米)的函数关系式为 .15.已知函数f (x )=1+x -|x |4.(1)用分段函数的形式表示函数f (x ); (2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g (x )=1x (x >0)的图像(不用列表),观察图像直接写出当x >0时,不等式f (x )>1x 的解集.16.(2021吉林榆树一中高一上期中)已知函数f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2.(1)求f (-5),f (-√3),f f -52的值;(2)若f (a )=3,求实数a 的值. 题组四 映射17.下列各个对应中,构成映射的是( )18.已知集合A ={1,2,3},B ={4,5,6},f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域的不同情况的种数为 ( ) A.6B.7C.8D.2719.(2021江西南昌六校高一上期中联考)已知映射f :(x ,y )→(x +2y ,x -2y ),在映射f 下(1,-1)的原像是( ) A.0,12 B.(1,1) C.(-1,3) D.12,1能力提升练一、选择题1.(2019广东深圳中学高一上第一次段考,)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 2.()如图所示的图像表示的函数解析式为 ( )A.y =32|x -1|(0≤x ≤2)B.y =32-32|x -1|(0≤x ≤2) C.y =32-|x -1|(0≤x ≤2) D.y =1-|x -1|(0≤x ≤2)3.(2021江西景德镇一中高一上期中,)若f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )= ( )A.x -1B.x +1C.2x +1D.3x +34.(2021辽宁抚顺一中高一上期中,)已知函数f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域与值域相同,则常数a =( ) A.3 B.-3 C.13D.-135.(2019福建莆田一中高一上月考,)定义运算:a*b ={x ,x ≥x ,x ,x <x ,则f (x )=x 2*|x |的图像是 ( )二、填空题6.(2021重庆西南大学附中高一上第二次月考,)已知函数g (√x +1)=2x +3,则g (3)= .7.()已知函数f (2x -1)=4x +3,若f (t )=11,则t =.8.(2019山东泰安一中高一上十月检测,)设函数f (x )={23x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题9.(2021河南南阳一中高一上第一次月考,)根据下列条件,求f (x )的解析式.(1)f [f (x )]=4x -3,其中f (x )为一次函数; (2)2f 1x+f (x )=x (x ≠0).10.()已知A ={a ,b ,c },B ={-1,0,1},映射f :A →B 满足f (a )+f (b )=f (c ),求映射f :A →B 的个数.答案全解全析 第二章 函 数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 第2.2 函数的表示法 第2.3 映 射 基础过关练1.A2.C 5.B 6.B 7.C 11.D12.A17.D18.B19.A1.A 由题意,根据题表的对应关系,可得g (3)=2,所以f [g (3)]=f (2)=4,故选A .2.答案 C信息提取 ①y 表示离开家的距离,x 表示离开家的时间;②该学生先乘出租车,中途返回家,再乘出租车以更快的速度前行;③确定与上述事件吻合的图像.数学建模 本题为实际问题中的函数图像识别题,通过构建函数模型,分析两个变量间的变化情况,得出正确的函数图像.由题意可知,该高三学生行动的三个过程均为离开家的距离关于时间的一次函数,结合图像可得答案.解析 由题意,知该高三学生离开家,y 是x 的一次函数,且y 值均匀增加; 返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,且y 值均匀减少;最后由家乘出租车以更快的速度赶往高铁站,y 仍然是x 的一次函数,且y 值增加的速度比刚开始快, 所以与事件吻合最好的图像为C,故选C . 3.答案 2解析 由题中图像知f (3)=1,∴f [f (3)]=f (1)=2.4.解析 由题意可知该盒子的底面是边长为(a -2x )的正方形,高为x , ∴此盒子的体积V =x (a -2x )2, 其中自变量x 应满足{x -2x >0,x >0,即0<x <x 2,∴此盒子的体积V 以x 为自变量的函数解析式为V =x (a -2x )2,定义域为(0,x2).5.B 因为f (x -1)=4x +3=4(x -1)+7,所以f (x )=4x +7.故选B .6.B 当2x +1=-3时,x =-2,因此f (-3)=4×(-2)2=16.故选B . 7.C 设f (x )=kx +b (k ≠0),由2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1, 得{2(2x +x )-3(x +x )=5,2(0+x )-(-x +x )=1, 解得{x =3,x =-2,所以f (x )=3x -2.故选C .8.答案 (x 2+1)2解析 令t =x -1得x =t +1,由f (x -1)=x 2得f (t )=(t +1)2,即f (x )=(x +1)2,于是f (x 2)=(x 2+1)2. 9.答案 11解析 令t =x -1x ,则x 2+1x 2=(x -1x )2+2=t 2+2,因此f (t )=t 2+2,从而f (3)=32+2=11. 10.解析 在原式中以-x 替换x ,得af (-x )+f (x )=-bx , 于是有{xx (x )+x (-x )=xx ,xx (-x )+x (x )=-xx ,消去f (-x ),得f (x )=xxx -1. 故f (x )的解析式为f (x )=xx -1x. 11.D f (-1)=-(-1-4)=5>0,所以f [f (-1)]=f (5)=5×(5+4)=45,故选D .12.A 当x =-1时,f (x )=0,即图像过点(-1,0),故D 错误;当x =0时,f (x )=1,即图像过点(0,1),故C 错误;当x =1时,f (x )=2,即图像过点(1,2),故B 错误.故选A.13.答案 [0,1]解析 由已知得函数f (x )的定义域为R,大致图像如图所示,由图像知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1];当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1]. 14.答案 y ={1.2x ,x ∈[0,5]3.6x -12,x ∈(5,6]6x -26.4,x ∈(6,7]解析 由题意可知: ①当x ∈[0,5]时,y =1.2x ;②当x ∈(5,6]时,y =1.2×5+(x -5)×1.2×(1+200%)=3.6x -12; ③当x ∈(6,7]时,y =1.2×5+1×1.2×(1+200%)+(x -6)×1.2×(1+400%) =6x -26.4.∴y ={1.2x ,x ∈[0,5],3.6x -12,x ∈(5,6],6x -26.4,x ∈(6,7].15.解析 (1)当x ≥0时,f (x )=1+x -x 4=1;当x <0时,f (x )=1+x +x 4=12x +1.所以f (x )={1,x ≥0,12x +1,x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示.(3)函数g (x )=1x (x >0)的图像如图所示,当f (x )>1x 时,f (x )的图像在g (x )的图像的上方,所以由图像可知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}.16.解析 (1)因为f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2,所以f (-5)=-5+1=-4,f (-√3)=(-√3)2+2×(-√3)=3-2√3,f -52=-52+1=-32,f [x (-52)]=f -32=(-32)2+2×-32=94-3=-34.(2)当a ≤-2时,f (a )=a +1=3,解得a =2,不符合题意,舍去; 当-2<a <2时,f (a )=a 2+2a =3, 即(a -1)(a +3)=0,解得a =1或a =-3(舍去),此时a =1; 当a ≥2时,f (a )=2a -1=3,即a =2. 综上所述,a =1或a =2. 思想方法对于分段函数的求值或求参问题,常常需要针对自变量的取值分类进行求解,即分段函数分段求,这体现了分类讨论思想.17.D 选项A 中,元素2没有像,不构成映射;选项B 中,元素2没有像,不构成映射;选项C 中,元素1有两个像,不构成映射;选项D 中,满足映射的定义,构成映射.18.B 由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究:若函数是三对一的对应,则值域有{4},{5},{6}三种情况;若函数是二对一的对应,则值域有{4,5},{5,6},{4,6}三种情况;若函数是一对一的对应,则值域有{4,5,6}一种情况.综上可知,函数的值域的不同情况有7种.19.A 由{x +2x =1,x -2x =-1,解得{x =0,x =12,所以在映射f 下(1,-1)的原像是0,12.故选A . 能力提升练1.C2.B3.B4.A5.B一、选择题1.C 对于A 选项,由题图可知,当乙车速度大于40千米/时时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5千米,故A 错误;对于B 选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,故B 错误;对于C 选项,当行驶速度不超过80千米/时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,故C 正确;对于D 选项,甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10千米/升,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),故D 错误. 故选C .2.B 当0≤x ≤1时,y =32x ,当1<x ≤2时,y =3-32x ,所以y =32-32|x -1|(0≤x ≤2). 3.B ∵f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1①,∴2f (-x )-f (x )=-3x +1②, 由①②得,f (x )=x +1.故选B .4.A 显然f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域为R,故值域为R,y =3x -1x +3=3-10x +3的值域为{y ∈R|y ≠3},∴a =3,故选A .5.B 依题意得f (x )={x 2,x 2≥|x |,|x |,x 2<|x |.在同一平面直角坐标系中作出y =x 2与y =|x |的图像,如图所示.由图像知,当x ≤-1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2; 当-1<x <1,且x ≠0时,x 2<|x |,f (x )=|x |; 当x =0时,x 2=|x |,f (x )=0; 当x ≥1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2.因此,当x ≤-1或x ≥1时,图像为抛物线的一部分,当-1<x <1时,图像为折线段,故选B .二、填空题 6.答案 11解析 令√x +1=t ≥1,则x =(t -1)2,所以g (t )=2(t -1)2+3=2t 2-4t +5(t ≥1),所以g (x )=2x 2-4x +5(x ≥1),所以g (3)=2×32-4×3+5=11.7.答案 3解析 设2x -1=t ,则x =x +12,∴f (t )=2(t +1)+3=2t +5.∵f (t )=11,∴2t +5=11,解得t =3.8.答案 (-∞,-1)解析 当a ≥0时,由f (a )>a ,得f (a )=23a -1>a ,解得a <-3,与a ≥0矛盾,舍去;当a <0时,由f (a )>a ,得f (a )=1x >a ,由a <0去分母、移项,得a 2-1>0,即(a +1)(a -1)>0,解得a >1或a <-1,又因为a <0,所以a <-1.综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,-1).三、解答题9.解析 (1)由题意,设f (x )=ax +b (a ≠0), 则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x -3,由恒等式性质,得{x 2=4,xx +x =-3,解得{x =2,x =-1或{x =-2,x =3,∴函数f (x )的解析式为f (x )=2x -1或f (x )=-2x +3. (2)f (x )+2f1x=x ,将上式中的x 与1x互换,得f1x+2f (x )=1x ,于是得关于f (x )的方程组{x (x )+2x (1x )=x ,x (1x )+2x (x )=1x ,∴f (x )=23x -x3(x ≠0).10.解析 当A 中的三个元素都对应0时,f (a )+f (b )=0+0=0=f (c ),有1个映射;当A 中的三个元素对应B 中的两个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1;当A 中的三个元素对应B 中的三个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有2个,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.因此满足题设条件的映射有7个.。
1.2.1 对应、映射和函数1.映射的定义设A、B是两个①的集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中②一个元素,在集合B中都有③的元素和它对应,这样的对应叫作从集合A到集合B的映射,记作f:A→B.2.像与原像在映射f:A→B中,④叫作映射的定义域,与A中元素x对应的B中的元素y叫作x的像,记作⑤,⑥叫作y的原像.3.函数的定义设A、B是两个⑦的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的⑧,在集合B中都有⑨的数y和它对应,这样的对应叫作定义于A取值于B的函数,记作⑩,或者.4.函数的定义域、值域在函数的定义中,叫作函数的定义域,与x∈A对应的数y叫作x的像,记作y=f(x).由所有组成的集合叫作函数的值域.判断映射的方法1.(2013湖北荆门调研,★☆☆)设f:x→x2是集合M到集合N的映射,若N={1,2},则M不可能是( )A.{-1}B.{-√2,√2}C.{1,√2,2}D.{-√2,-1,1,√2}思路点拨根据映射的定义,逐项验证.2.(2014江苏苏州一中单元训练,★☆☆)已知A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},从A到B的对应法则f分x;②f:x→y=x-2;③f:x→y=√x;④f:x→y=|x-2|,其中能构成映射的有别为①f:x→y=12个.3.(2014江苏徐州一中质检,★★☆)若集合A={1,2,3},B={-1,0,1},则满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数为个.一、选择题1.下列命题正确的是( )A.若M={整数},N={正奇数},则一定不能建立一个从M到N的映射B.若M为无限集,N为有限集,则一定不能建立一个从M到N的映射C.若M={a},N={1,2},则从M到N只能建立一个映射D.若M={1,2},N={a},则从M到N只能建立一个映射2.设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )二、填空题4.设集合A=Z,B={y|y=2n+1,n∈Z},C=R,从A到B的映射是f:x→y=2x-1,从B到C的映射是g:y→z=12y+1,则从A到C的映射是g(f ):x→z=.5.设A={(x,y)|x∈R,y∈R},B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A→B是一个映射,且f:(x,y)→(x+y2,x-y2),则B中(-5,2)在f作用下对应A中的元素为.三、解答题6.判断下列对应是否是映射,是否是函数. (1)A=N,B=N+, f:x→y=|x-1|,x∈A,y∈B;(2)A={平面M内的三角形},B={平面M内的圆},对应法则是“作三角形的外接圆”.一、选择题1.(2015重庆西大附中检测,★☆☆)下列对应法则f中,能构成从集合A到集合B的映射的是( )A.A={x|x>0},B=R, f:x→|y|=x2B.A={-3,0,3},B={9}, f:x→y=x2C.A=R,B={y|y>0}, f:x→y=1x2D.A={0,2},B={0,1}, f:x→y=x22.(2015重庆十一中期末,★☆☆)已知函数f(x)=x-3,则f(6)=( )A.2B.3C.4D.53.(2013重庆一中期中,★☆☆)已知映射f:(x,y)→(3x-y,3x+y),在映射f下,(3,-1)的原像是( ),-2)A.(3,-1)B.(5,-7)C.(1,5)D.(134.(2013湖北黄冈模拟,★★☆)集合A={1,2,3},B={3,5},从A到B的映射f满足f(3)=3,则这样的映射的个数是( )A.4B.6C.8D.9二、解答题5.(2014河北石家庄期末,★★☆)若一系列函数的对应法则相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么若函数的对应法则为f:x→x2+2,求值域为{6,11}的“孪生函数”共有多少个?6.(2014江苏徐州一中检测,★★★)已知函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4,求f (-52+√2)+f (-52-√2)的值.知识清单①非空 ②任何 ③唯一 ④集合A ⑤y=f(x) ⑥x ⑦非空 ⑧任何一个数x ⑨唯一 ⑩f:A→B y=f(x)(x∈A,y∈B) A x∈A 的像链接高考1.C 由映射的定义,知集合M 中的每一个元素在集合N 中必须有唯一的元素与它对应,对选项C,22=4∉N,故选C.2.答案 3解析 根据映射的定义,①③④都是映射,对于②,当x=1∈A 时,对应的y=1-2=-1∉B,故不是从A 到B 的映射. 3.答案 7解析 要确定映射,只需确定f(1),f(2),f(3)的值,不妨分类并依据条件f(3)=f(1)+f(2)确定. 若f(3)=-1,则f(1)=-1,f(2)=0,或f(1)=0,f(2)=-1,此时可确定两个映射;若f(3)=0,则f(1)=-1,f(2)=1,或f(1)=1,f(2)=-1,或f(1)=0,f(2)=0,此时可确定三个映射; 若f(3)=1,则f(1)=1,f(2)=0,或f(1)=0,f(2)=1,此时可确定两个映射. 综上可知,适合条件的映射共有7个.基础过关一、选择题1.D A 中, f:x→2|x|+1是从M 到N 的映射;B 中,如M=R,N={1}, f:x→1就是从M 到N 的映射;C 中, f:a→1是从M 到N 的映射, f:a→2是从M 到N 的另一个映射.故选D.2.C 从A 到B 的映射有4个,如下图所示:3.B 对A,由于M 中元素2在N 中无元素与之对应,因而不是函数关系;对C,2的对应元素3不在N 中,因此不是从M 到N 的函数关系;对D,M 中元素2在N 中有两个元素与之对应,因而不是函数关系. 二、填空题4.答案14x -1解析 由题意知z=12y+1=12(2x -1)+1=14x -1. 5.答案 (-3,-7)解析 由题意得{x+y2=-5,x -y2=2,解得{x =-3,y =-7.三、解答题6.解析 (1)∵1∈A,在f 作用下, |1-1|=0∉B,∴此对应不是映射,故也不是函数.(2)由于平面内的三角形都有外接圆,且外接圆唯一,因此此对应是从A 到B 的映射,但由于A,B 都不是数集,因此不是函数.三年模拟一、选择题1.D 对于A,集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应;对于B,集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应;对于C,集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应.故A,B,C 均不能构成映射.2.B 由函数的定义得f(6)=3. 3.D ∵{3x -y =3,3x +y =-1,∴{x =13,y =-2.4.A ∵f(3)=3,∴只需A 中的元素1,2都有B 中的唯一元素与之对应,1的像可以为3,5中的一个,2的像也可以为3,5中的一个.故满足条件的映射的个数为2×2=4,故选A. 二、解答题5.解析 对应法则为f:x→x 2+2,值域为{6,11}的“孪生函数”的定义域是集合{-3,-2,2,3}的子集,有{-2,-3},{-2,3},{2,-3},{2,3},{-2,2,-3},{-2,2,3},{-2,-3,3},{2,-3,3},{-3,-2,2,3},共9个.6.解析 由条件得f(x)+f(-5-x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4+-5-x -4-x +-4-x -3-x +-3-x -2-x +-2-x-1-x =xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4+x+5x+4+x+4x+3+x+3x+2+x+2x+1=(xx+1+x+2x+1)+(x+1x+2+x+3x+2)+(x+2x+3+x+4x+3)+(x+3x+4+x+5x+4)=2+2+2+2=8,则f (-52+√2)+f (-52-√2)=8.。
高三数学映射、定义域、解析式例题解析一. 本周教学内容：映射、定义域、解析式 二. 重点、难点： 1. 映射的含义对应，一一对应，映射，两个非空数集上的映射，函数，一一映射，逆映射，反函数 2. 定义域〔1〕分母不为0〔2〕00无意义 〔3〕偶次根式内部非负 〔4〕对数真数大于03. 解析式的求法 〔1〕待定系数法 〔2〕换元法 〔3〕方程法【典型例题】1. 映射[例1] 集合=A {1，2，3，4}满足条件的映射有多少个？〔1〕f ：A A →的映射 〔2〕f ：A A →的一一映射 〔3〕f ：A A →的映射且任取A x ∈x x f f =)]([答案：〔1〕A 中的不同元素在B 〔A 〕中可任选，彼此不影响 ∴ 25644=〔2〕A 中的不同元素在B 〔A 〕中有不同的象 ∴ 2444=A 〔3〕1 624=C 32/24=C∴ 10个[例2] },,{c b a A =，}1,0,1{-=B 求满足条件的映射的个数〔1〕f ：B A →且0)()()(=++c f b f a f 〔2〕f ：B A →且0)()()(=-+c f b f a f 答案：〔1〕c b a ,,对应〔1,0,1-〕 ∴ 633=Ac b a ,,对应0，0，0 1 ∴ 7种〔2〕c b a ,,对应0，0，0 1 c b a ,,对应0,1,,1- 2 c b a ,,对应1，0，1 2c b a ,,对应1,0,1--2∴ 7种 2. 定义域[例1] 求函数31log 3.0+=x y 的定义域 答案：031log 3.0≥+x 1310≤+<x 2-≥x[例2] 函数3124lg )(-⋅+⋅==x x b a x f y 的定义域恰为〔0,2-〕务实数b a ,。
答案：原题⇔不等式0124>-⋅+⋅xxb a 的解为〔2-，0〕令t x=2⇔不等式012>-+bt at 的解恰为〔41，1〕∴ ⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-+=-541411141b a a a b[例3] )(x f y =的定义域为]3,1[-，求：〔1〕)1(2-=x f y 的定义域 〔2〕)(lg x f y =的定义域 〔3〕)()(x f x f y -+=的定义域 答案：〔1〕3112≤-≤-x 402≤≤x ∴ ]2,2[-∈x 〔2〕1000lg 3lg 1101lg=≤≤-=x ∴ ]1000,101[∈x 〔3〕⎩⎨⎧≤-≤-≤≤-3131x x ∴ ]1,1[-∈x[例4] )34lg()(2++-==m mx mx x f y〔1〕m 为何值时，定义域为R〔2〕m 为何值时，值域为R 答案：全面分析〔1〕0=m x y lg = R x ∈ }3{lg ∈y 〔2〕0>m① 0>∆ ),(),(21+∞⋃-∞∈x x x R y ∈② 0=∆ ),(),(00+∞⋃-∞∈x x x R y ∈③ 0<∆ R x ∈ ]),1(3[lg +∞-∈m y〔3〕0<m 显然不成立∴ 〔1〕的解为)1,0[∈m 〔2〕的解为),1[+∞∈m 3. 解析式：[例1] 一次函数)(x f y =且19)]([-=x x f f ，求)(x f y =答案：待定系数法 设b ax x f +=)(19)]([2-=++=x b ab x a x f f ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=413192b a b ab a 或者⎪⎩⎪⎨⎧=-=213b a∴ 413)(-=x x f 213)(+-=x x f[例2] x x f =)(lg ，求)(x f y =答案：换元法令t x =lg ∴ tx 10=代回 tt f 10)(= ∴ xx f 10)(=[例3] 221)1(x x x x x f ++=+，求)(x f y = 答案：换元法 令111-=⇒=+t x t x x 代回 ∴ 1)(2+-=t t t f ∴ 1)(2+-=x x x f[例4] )(x f y =偶函数，)(x g y =奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求)(x f ，)(x g 答案：方程法11)()(--=-+-x x g x f∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=-1)(11)(11)()(11)()(22x x x g x x f x x g x f x x g x f[例5] x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f y =答案：方程法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+xx f x f xx f x f 3)1()(23)()1(2 ∴ x x x f 12)(-=[例6] )(x f y =过A 〔1，4〕且23)(2+='x x f ，求)(x f答案：待定系数法d cx bx ax x f +++=23)( c bx ax x f ++='23)(2∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++=cb a dc b a 202334 ∴ 12)(3++=x x x f〔答题时间是：40分钟〕1. 集合}1|),{(=+=y x y x M ，映射:f N M →，在f 作用下点〔y x ,〕的象是)2,2(y x ，那么集合N 等于〔 〕A. }0,0,2|),{(>>=+y x y x y xB. }0,0,1|),{(>>=y x xy y xC. }0,0,2|),{(<<=y x xy y xD. }0,0,2|),{(>>=y x xy y x2. 以下四个选项里面，表示一样函数的一组函数是〔 〕 A. 2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= B. xa ax f log )(=〔0>a ，且1≠a 〕，x x g =)(C. 21)(x x f -=，||1)(x x g -=，]1,1[-∈xD. xa a x f log )(=〔0>a 且1≠a 〕，33)(x x g =3. 假设)(21)1(x f x f =+，那么以下函数中)(x f 〔 〕 A.2x B. 21+x C. x-2 D. x 21log 4. 函数)(x f 满足)()()(b f a f b a f +=⋅且=)2(f p ，q f =)3(，那么)36(f 等于〔 〕A. pq 2B. )(2q p +C. 22q pD. 22q p + 5. 假设x x x f 2)2(2-=-，那么)2(+x f 等于〔 〕A. x x 22+ B. 642++x x C. 842++x x D. 862++x x 6. 函数)1(32)(2≤+-=x x x x f 的反函数的定义域是〔 〕A. ),0[+∞B. ),2[+∞C. ]1,(-∞D. ),2[+∞ 7. 函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，求m 的取值范围。
广州至慧教育学生姓名就读年级讲课日期教研院审核【常识点回想】一般地,设A.B是两个非空的数集,假如按某种对应轨则f,对于聚集A中的每一个（随意率性性）元素x,在聚集B中都有（消失性）独一（独一性）的元素y和它对应,如许的对应叫做聚集A到聚集B的一个函数（三性缺一不成）函数的本质：树立在两个非空数集上的特别对应这种“特别对应”有何特色：1).可所以“一对一” 2).可所以“多对一” 3).不克不及“一对多”4). A中不克不及有残剩元素 5).B中可以有残剩元素断定两个函数雷同：只看界说域和对应轨则一般地,设A.B是两个聚集,假如按某一个肯定的对应关系f,使对于聚集A中的每一个元素x,在聚集B中都有独一肯定的元素y与之对应,那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从聚集A到聚集B的一个映射（mapping）.思虑：映射与函数差别与接洽？函数——树立在两个非空数集上的特别对应映射——树立在两个非空聚集上的特别对应1）函数是特别的映射,是数集到数集的映射．2）映射是函数概念的扩大,映射不一定是函数．3）映射与函数都是特别的对应思虑：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有偏向的,A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是统一个映射;②“消失性”：对于聚集A 中的任何一个元素,聚集B 中都消失元素和它对应;③“独一性”：对于聚集A 中的任何一个元素,在聚集B 中和它对应的元素是独一的.(1).函数的界说：假如A.B 都长短空数集,那末A 到B 的映射f:A→ B 就叫做A → B 的函数.记作：y=f (x).（2）界说域：原象聚集A 叫做函数y=f (x)的界说域.（3）值域：象的聚集C 叫做函数y=f (x)的值域.界说：给定一个聚集A 到聚集B 的映射,且a∈A, b∈B.假如元素a和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.给定映射f ：A→B.则聚集A 中任何一个元素在聚集B 中都有独一的象,而聚集B 中的元素在聚集A 中不一建都有原象,也不一定只有一个原象.问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特色？ )(B C答：发明纪律：（1）对于聚集A 中的不合元素,在聚集B 中有不合的象,我们把如许的映射称为单射.（2）聚集B 中的每一个元素都有原象,我们把如许的映射称为满射.界说：一般地,设A.B 是两个聚集.f ：A→B 是聚集A 到聚集B 的映射,假如在这个映射下,对于聚集A,在聚集B 中有不合的象,且B 中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射.留意：1到B 是映射,B 到A 也是映射.2）映射和一一映射之间的充要关系,映射是一一映射的须要而不充分前提3）一一映射： A 和B 中元素个数相等.例2：断定下面的对应是否为映射,是否为一一映射？ 1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应轨则 f 答：是映射,不是一一映射.2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应轨则 f ：求平方根？答：不是映射.3）A=Z,B=N*,对应轨则 f ：求绝对值？答：不是映射.4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应轨则 f ：求被7除的余数答：是映射,且是一一映射.例3：已知聚集Ａ＝Ｒ,Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝,f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) .B中的对应元素（２）(2,1)在Ａ中的对应元素解:（1）将,可得其在Ｂ中的对应元素为）（2）由题意得： x+1=2x2=1 ∴x=1 即（2,1）在A中的对应元素为1例4：设聚集A={a.b},B={c.d.e}（1）可树立从A到B的映射个数.（2）可树立从B到A的映射个数.答：9,8（可以试着绘图看看）小结：假如聚集A中有m个元素,聚集B中有n个元素,那么从聚集A到聚集B的映射共有nm个.【映射例题精解】例1鄙人列对应中.哪些是映射.那些映射是函数.那些不是？为什么？设A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},对应关系是f(x)=2x+1,x属于A设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R,B=R,对应关系是f(x)=x的3次方,x属于A设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1,x属于A解析：1.是一一映射,且是函数2.不是映射（象是有且独一）3.是一一映射,且是函数4.是映射,但不是函数,因为B中不是所有值在A中都有对应.例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射从A到B的映射共有2^3=8个：（a,b,c）→（0,0,0）;（a,b,c）→（0,0,1）;（a,b,c）→（0,1,0）;（a,b,c）→（1,0,0）;（a,b,c）→（0,1,1）;（a,b,c）→（1,0,1）;（a,b,c）→（1,1,0）;（a,b,c）→（1,1,1）.例3假设聚集m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 知足前提“对随意率性的x属于M ,x+f(x) 是奇数”,如许的映射有____个①当x=-1时,x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数,相当于标题中的限制前提“使对随意率性的x属于M,都有x+f(x)是奇数”f(-1)=-2,0,2②当x=0时,x+f(x)=f(0),依据标题中的限制前提“使对随意率性的x属于M,都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1③当x=1时,x+f(x)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2综上①②③可知,只有第②种情形有限制,所以如许的映射共有3×2×3=18个例4 设聚集A={-1,0,1} B={2,3,4,5,6 } 从A到B的映射 f知足前提：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数那么如许的映射f的个数是若干？映射可以多对一,要让f（X）+X＝偶数,当X＝－1和1时,只能从B 中取奇数,有3,5两种可能,当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种,则一共有2×2×3＝12个今后你学了分步与分类就很好懂得啦,完成一件事有两类不合的计划,在第一类计划中有m种不合的办法,在第二类计划中有n种不合的办法.那么完成这件事共有N=m+n中不合的办法,这是分类加法计数道理;完成一件事须要两个步调,做第一步有m种不合的办法,做第二步有n种不合的办法.那么完成这件事共有N=m×n种不合的办法,,映射知足例5已知：聚集即,只有一个映射;,有例6给出下列四个对应：①②③④其组成映射的是（）提醒：依据映射的概念,,每一个元素,例7则下列各式不恒成立的（）,例8．射是（）4,,不相符映射的概念．例9__________．__________,3种对应办提醒：法（可对应5或6或7）,．反之从到,道理雷同,有不合的映射种数试例10,【教室演习】1．设f:A→B是聚集A到聚集B的映射,则准确的是（）A．A中每一元素在B中必有象B．B中每一元素在A中必有原象C．B中每一元素在A中的原象是独一的D．A中的不合元素的象必不合2．聚集A={3,4},B={5,6,7},那么可树立从A到B的映射个数是_______,从B到A的映射个数是__________.3．设聚集A和B都是天然数集N,映射f:A→B把聚集A中的元素n暗射到聚集B则在映射f下,象20的原象是（）A.2 B.3 C4．假如(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y),那么(1,2)在映射下的原象是（）A.（3,1）B.C.D.（-1,3）5.已知点(x,y)在映射f下的象是(2x－y,2x＋y), 求(1)点（２,３）在映射f下的像;（２）点(4,6)在映射f下的原象.6.设聚集A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},个中a,k∈N,映射f:A→B,使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应,求a及k的值. 【分解演习】一.选择题：1．下列对应是从聚集A 到聚集B 的映射的是（）A ．A=R,B={x|x ＞0且x∈R},x∈A,f：x→|x|B ．A=N,B=N ＋,x∈A,f：x→|x －1|C ．A={x|x ＞0且x∈R},B=R,x∈A,f：x→x2D ．A=Q,B=Q,f ：x→x1 2．已知映射f:A B,个中聚集A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4},聚集B中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象,且对随意率性的a∈A,在B 中和它对应的元素是|a|,则聚集B 中的元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．73．设聚集A 和B 都是天然数聚集N,映射f ：A→B 把聚集A 中的元素n 映射到聚集B 中的元素2n ＋n,则在映射f 下,象20的原象是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．在x 克a%的盐水中,参加y 克b%的盐水,浓度变成c%(a,b>0,a≠b),则x 与y 的函数关系式是（）A ．y=b c a c --xB ．y=c b a c --x C ．y=c b c a --xD ．y=ac c b --x 5．函数y=3232+-x x 的值域是（） A ．(－∞,－1 )∪(－1,＋∞)B ．(－∞,1)∪(1,＋∞)C ．(－∞,0 )∪(0,＋∞)D ．(－∞,0)∪(1,＋∞) 6．下列各组中,函数f(x)和g(x)的图象雷同的是（）A ．f(x)=x,g(x)=(x )2B ．f(x)=1,g(x)=x0C ．f(x)=|x|,g(x)=2xD ．f(x)=|x|,g(x)=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x 7．函数y=1122---x x 的界说域为（）A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|x≤－1或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{－1,1}8．已知函数f(x)的界说域为［0,1］,则f(x2)的界说域为（）A．(－1,0) B．[－1,1]C．(0,1) D．［0,1］9．设函数f(x)对随意率性x.y知足f(x＋y)=f(x)＋f(y),且f(2)=4,则f(－1)的值为（）A．－2 B C．±1D．210．函数y=2A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2]D．[11．若函数y=x2—x—4的界说域为[0,m],值域为则m的取值规模是（）A B．C．D＋∞]12．已知函数1)=x＋1,则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2B．f(x)=x2＋1(x≥1)D．f(x)=x2－2x＋2(x≥1)C．f(x)=x2－2x(x≥1)二.填空题：13．己知聚集 A ={1,2,3,k} ,B = {4,7,a4,a2＋3a},且a∈N*,x∈A,y∈B,使B 中元素y=3x＋1和A中的元素x对应,则a=___,k =__.14．若聚集M={－1,0,1} ,N={－2,－1,0,1,2},从M到N的映射知足：对每个x∈M,恒使x＋f(x) 是偶数,则映射f有____个.15．设f(x－1)=3x－1,则f(x)=_________.16．已知函数f(x)=x2－2x＋2,那么f(1),f(－之间的大小关系为.三.解答题：17．（1）若函数y= f(2x＋1)的界说域为[ 1,2 ],求f (x)的界说域.（2）已知函数f(x)的界说域为,求函数g(x)=f(3x)＋的界说域.18．（1）已求f(x)的解析式.（2）已知y=f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x＋8,求此一次函数的解析式.19．求下列函数的值域：（1）y=－x2＋x,x∈[1,3 ]（2）（320．＋g(x),个中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,．（2的值域.21．如图,动点P从单位正方形ABCD极点A开端,按序经B.C.D绕鸿沟一周,当x暗示点P的行程,y暗示PA之长时,求y关于x的解析式,并求的值.22．季候性服装当季候即未光降时,价钱呈上升趋向,设某服装开端时订价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开端保持20元的价钱安稳发卖;10周后当季候即将曩昔时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再发卖.（1）试树立价钱P与周次t之间的函数关系式.（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t －8)2＋12,t∈[0,16],t∈N*,试问该服装第几周每件发卖利润L最大?。
