高中数学经典例题错题详解

高中数学错题集及解析1. 题目：如图所示，已知AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°，求∠BCF的度数。

A B C DE F解析：根据题目所给的已知条件，我们可以得到如下信息：AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°。

要求∠BCF的度数，我们可以利用几何知识进行推理和计算。

首先，根据平行线的性质，我们知道∠ADE=∠FCD=40°。

由于∠FCD=120°，所以∠DCF=180°-120°=60°。

接下来，我们观察四边形ADCF，可以发现∠CAF和∠ADF是对顶角，因此它们的度数相等。

∠ADE和∠DCF是共顶角，它们的度数也相等。

由此，我们可以得到以下等式：∠CAF=∠ADF=40°∠ADE=∠DCF=60°现在我们来考虑三角形BCF。

已知∠CAF=∠ADF=40°，∠BCF为所求。

我们知道，三角形内角和为180°，因此有：∠CAF+∠ADF+∠BCF=180°带入已知信息，得到：40°+40°+∠BCF=180°化简得：80°+∠BCF=180°再进一步，我们可以得到：∠BCF=180°-80°∠BCF=100°因此，∠BCF的度数为100°。

2. 题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f(-1)和f(2)的值。

解析：我们可以使用给定的函数，将x的值代入函数中进行计算，从而得到f(x)的值。

首先，计算f(-1)的值。

将x=-1代入函数f(x)中，有：f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5化简得：f(-1)=-2-3+(-1)-5=-2-3-1-5=-11因此，f(-1)的值为-11。

接下来，计算f(2)的值。

《抛物线》错解四例例1.已知抛物线的方程为y=2ax 2(a<0),则它的焦点坐标为( )A (,02a -)B (2a ,0)C (0,18a) D ( 0,18a -)错解一:由已知抛物线的方程为y=2ax 2,得它表示的曲线是对称轴为x 轴,开口向左的抛物线,其中2p= —2a ,所以p= —a , 22p a =-,所以它的焦点坐标为(2a,0),所以选B.错解二:将已知方程变形为x 2=2ya,它表示的曲线是对称轴为y 轴,开口向下的抛物线,其中2p= 12a ,p=14a , 128p a =,所以它的焦点坐标为( 0,18a-),所以选D. 错解分析: 两种答案均是错误的.错误的原因在于解法一中没有认识到抛物线的标准方程应为y 2=±2px,x 2=±2py(p>0)的形式,从而将y=2ax 2误认为是标准方程y 2=—2px,误认为它表示的曲线是对称轴为x 轴、开口向左的抛物线,即有2p= —2a 的结论，再推导出焦点坐标为(—2a,0),当然错了。

解法二中没有注意到焦参数p 表示焦点到准线的距离，所以应有p>0。

故出现只从形式上考虑2p=12a ，从而得出p=14a <0的错误，进而推出焦点坐标为(0,18a-)的错误。

正解 ：将抛物线方程变形为：x 2=2ya，因为a<0，所以它表示的曲线是对称轴为y 轴、开口向下的抛物线，其标准方程应为x 2=—2py(p>0)的形式,即有2p= —12a，p=—14a ,128p a =-,再推导出焦点坐标为(0,18a ), 所以选C. 例2：若动点 P 到定点 F （1，1）的距离与到直线l ：3x + y - 4 = 0的距离相等，则动点 P 的轨迹是（） （A ）椭圆 （B ）双曲线 （C ）抛物线 （D ）直线错解：因为动点 P 到定点F 的距离与到直线l 的距离相等，所以由抛物线的定义知动点 P 的轨迹是抛物线，故选（C ）.错解分析：错误的原因在于：一是没有确切地掌握抛物线的定义；二是没有仔细地分析题设中的点与直线的位置关系 .抛物线定义中的定点在定直线之外，而题设中的定点 F （1，1）在定直线 l ：3x + y - 4 = 0上，错误地套用了抛物线定义而错选了（C ）.解此类题一定要从已知条件出发，正确列式求解 .正解 1：设动点 P （ x ，y ），∵ 点 P 到点 F 的距离和到定直线 l 的距离相等，=两边平方，整理得 x 2+ 9y 2- 6xy + 4x - 12y + 4= 0.∴（ x - 3y + 2）2= 0，即 x - 3y + 2 = 0.∴ 动点 P 的轨迹是直线 .故选（D ）.正解 2：因为点 F （1，1）在直线 l ：3x+ y- 4 = 0上，所以动点 P 到定点F 的距离和到定直线 l 的距离相等的点一定在过点 F 且和直线 l 垂直的直线上，即 点 P 的 轨 迹 是 一 条 直线 .故选（D ）.例3：平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ）A y 2=2xB y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=0x yC y 2=4xD y 2=4x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y 错解：由平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,可知：平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离与P 到1x =-的距离相等。

高中数学一轮总复习中的常见错题剖析在高中数学一轮总复习中，很多学生常常会遇到一些常见的错题。

这些错题不仅容易让学生陷入困惑，也可能影响他们对数学知识的理解和掌握。

本文将分析一些常见的错题，帮助学生更好地理解和解决这些问题。

一、解方程的错误在解方程的过程中，很多学生容易犯以下的错误：1. 忽略分配律的运用：例如，当遇到类似于3(x+2)=4x-5的方程时，一些学生会错误地写成3x+6=4x-5，忽略了3与括号内的(x+2)相乘的步骤。

2. 算术运算错误：有些学生在运算过程中容易出现计算错误，如加减乘除的错误计算或漏算。

这可能导致最后的解答错误。

3. 忽略解集的判断范围：在解方程的过程中，有时会得到一组解，但需要考虑解集的判断范围。

例如，对于根号下的式子来说，解集只能是正数，并排除负数根。

为了避免这些错误，学生在解方程时应该仔细审题，正确利用数学公式和运算规则，并在得到答案后进行解集的判断。

二、几何题的错误在几何题中，学生常常会犯以下的错误：1. 不正确的图形画法：在解决几何问题时，学生需要准确地画出所给条件和所求图形。

一些学生可能会忽略画图或者画图不准确，导致最后的解答错误。

2. 误解几何性质：有时候，学生对于几何图形的性质理解不清，导致对题目的理解错误。

例如，将平行线判断为相交线，或者误认为两角相等而未能正确解题。

3. 计算错误：在解决几何问题时，计算是不可或缺的一步。

一些学生可能在计算面积、周长或角度等数值时出现错误，从而导致最后的结果错误。

为了避免这些错误，学生在解决几何题时应该细心观察题目，准确画图，正确理解几何性质，并仔细进行数值计算。

三、函数与导数的错误在函数与导数的学习中，学生容易犯以下的错误：1. 求根的错误：在求函数的零点或方程的根时，学生可能会错误地处理方程，导致得到错误的根。

2. 导数计算错误：在求导数的过程中，学生容易出现计算错误。

例如，在运用链式法则或乘法法则时，学生可能会错算导数或漏算导数。

高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形，导致错误.，但 与 不等价.【例1】已知f 〔x 〕 = ax + ，若求的范围.错误解法 由条件得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+得 ④.343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大〔小〕值时，不一定取最大〔小〕值，因而整个解题思路是错误的.正确解法 由题意有, 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把和的范围代入得 )1(f )2(f .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.●忽视隐含条件，导致结果错误. 【例2】(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是βα、0622=++-k kx x 22)1()1(-+-βα不存在)D (18)C (8)B (449)A (-思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴k βααββαββααβα 有的学生一看到，常受选择答案〔A 〕的诱惑，盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.原方程有两个实根，∴ βα、0)6k (4k 42≥+-=∆⇒.3k 2k ≥-≤或当时，的最小值是8；3≥k 22)1()1(-+-βα 当时，的最小值是18.这时就可以作出正确选择，只有〔B 〕正确. 〔2〕 已知〔x+2〕2+ =1, 求x2+y2的取值范围.错解 由已知得 y2=－4x2－16x －12，因此 x2+y2=－3x2－16x －12=－3〔x+〕2+ ，∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是〔－∞, ]. 分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值. 事实上，由于〔x+2〕2+ =1 〔x+2〕2=1－ ≤1 －3≤x ≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1.∴ x2+y2的取值范围是[1, ].注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等.●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误.【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求〔a+ 〕2+〔b+ 〕2的最小值. 错解 〔a+〕2+〔b+〕2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴〔a+〕2+〔b+〕2的最小值是8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值. 事实上，原式= a2+b2+++4=〔 a2+b2〕+〔+〕+4=[〔a+b 〕2－2ab]+[〔+〕2－]+4= 〔1－2ab 〕〔1+〕+4，由ab ≤〔〕2= 得：1－2ab ≥1－=, 且≥16，1+≥17， ∴原式≥×17+4= 〔当且仅当a=b=时，等号成立〕， ∴〔a + 〕2 + 〔b + 〕2的最小值是.●不进行分类讨论，导致错误 【例4】〔1〕已知数列的前项和，求错误解法 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a错误分析 显然，当时，.错误原因：没有注意公式成立的条件是. 因此在运用时，必须检验时的情形.即：. 〔2〕实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点.错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，012222=-+-+a ax y x x y 212=y 得 ①).0(01)212(22≥=-+--x a x a x因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a .817=a错误分析 〔如图2－2－1；2－2－2〕显然，当时，圆与抛物线有两个公共点.要使当方程①有一正根、一负根时，得解之，得⎩⎨⎧<->∆.0102a .11<<-a因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点.思考题：实数为何值时，圆与抛物线，a 012222=-+-+a ax y x x y 212=(1) 有一个公共点；〔2〕有三个公共点；〔3〕有四个公共点；〔4〕没有公共点.●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.【例5】〔1〕设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.21错误解法 ，,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131.012(363）＝整理得--q q q.错误分析 在错解中，由，qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131时，应有.在等比数列中，是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.1=q .9,6,3191613a S a S a S ===01≠a ,2963S S S ≠+1≠q 又依题意,即因为，所以所以解得963S 2S S =+⇒qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131⇒01q q 2(q 363）＝--,0)1)(12(33=-+q q 1≠q ,013≠-q .0123=+q .243-=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第〔21〕题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.〔2〕求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为)1,0(1+=kx y⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去得整理得 y .02)1(2=-+x kx .01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为,0=∆∴∴=.21k .121+=x y 错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况.原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透.第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切. ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，)1,0(1+=kx y )0(≠k ⎩⎨⎧=+=xy kx y 212∴.01)22(22=+-+x k x k 令解得k = ,∴所求直线为,0=∆.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y《章节易错训练题》1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A 〔集合元素的确定性〕〔A 〕 0 〔B 〕 0或1〔C 〕 0或2〔D 〕 0或1或22、已知A = ，若A ∩R* = ，则实数t 集合T = ___.〔空集〕3、如果kx2+2kx －〔k+2〕<0恒成立，则实数k 的取值范围是C 〔等号〕 〔A 〕 －1≤k ≤0 〔B 〕 －1≤k<0 〔C 〕 －1<k ≤0 〔D 〕 －1<k<04、命题＜3，命题＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则的取值范围是C 〔等号〕 〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5、若不等式x2－logax<0在〔0, 〕内恒成立，则实数的取值范围是A 〔等号〕 〔A 〕 [,1〕 〔B 〕 〔1, + 〕〔C 〕 〔,1〕〔D 〕 〔,1〕∪〔1,2〕6、若不等式〔－1〕na < 2 +对于任意正整数n 恒成立，则实数的取值范围是A 〔等号〕 〔A 〕 [－2，〕 〔B 〕 〔－2，〕〔C 〕 [－3，〕〔D 〕 〔－3，〕7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意R ()f x (1)1f =0x <()0f x < 的实数、都有.证明：为奇函数.〔特殊与一般关系〕8、已知函数f 〔x 〕 = ，则函数的单调区间是_____.递减区间〔－，－1〕和〔－1， +〕 〔单调性、单调区间〕9、函数y = 的单调递增区间是________.[－，－1〕〔定义域〕 10、已知函数f 〔x 〕= ， f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕= . 0≤x<1〕〕〔漏反函数定义域即原函数值域〕11、函数 f 〔x 〕 = log 〔x 2 + a x + 2〕 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D 〔正确使用△≥0和△<0〕 〔A 〕 〔－2,2〕 〔B 〕 [－2,2] 〔C 〕 〔－,－2〕∪〔2,+〕 〔D〕〔－,－2]∪[2,+〕12、若x ≥0，y ≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B 〔隐含条件〕 〔A 〕2 〔B 〕〔C 〕〔D 〕013、函数y=的值域是________.〔－∞, 〕∪〔,1〕∪〔1,+∞〕 〔定义域〕 14、函数y = sin x 〔1 + tan x tan 〕的最小正周期是C 〔定义域〕〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 2〔D 〕 315、已知 f 〔x 〕 是周期为 2 的奇函数，当 x [0,1〕 时，f 〔x 〕 = 2 x ，则 f 〔log 23〕 = D 〔对数运算〕〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 －〔D 〕 －16、已知函数在处取得极值.〔1〕讨论和是函数的极大值还是极小值；〔2〕过点作曲线的切线，求此切线方程.〔2004天津〕〔求极值或最值推理判断不充分〔建议列表〕；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上.〕 17、已知tan 〔－〕= － ,5〕 则tan = ；= .,2〕 、,3〕 〔化齐次式〕18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin = 0，则cos 2 + cos 2 的最小值是 __ .〔隐含条件〕 19、已知sin + cos = ， 〔0，〕，则cot = _______.－〔隐含条件〕20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、 、，则∠B = B 〔隐含条件〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则〔a + 〕2 + 〔b + 〕2的最小值是_______.〔三相等〕 22、已知x ≠ k 〔k Z 〕，函数y = sin2x + 的最小值是______.5〔三相等〕 23、求的最小值.错解1 |cos sin |8cos 8sin 22cos 8sin 22222x x x x x x y =⋅⋅≥+=.16,.16|2sin |16min =∴≥=y x错解2.261182221)cos cos 8()sin sin 2(2222+-=-+≥-+++=x xx x y 错误分析 在解法1中，的充要条件是16=y .1|2sin |cos 8sin 222==x xx 且即这是自相矛盾的.在解法2中，的充要条件是261+-=y这是不可能的.正确解法1 x x y 22sec 8csc 2+=.18x tan 4x cot 2210)x tan 4x (cot 210)x tan 1(8)x cot 1(2222222=⋅⋅+≥++=+++=其中，当.18y 2x cot x tan 4x cot 222===时，，即.18min =∴y 正 确 解 法2 取正常数，易得kk x k xx k x y -+++=)cos cos 8()sin sin 2(2222.268222k k k k k -⋅=-⋅+⋅≥ 其中“”取“＝”的充要条件是≥.18k 21x tan x cos k xcos 8x sin k x sin 222222====且，即且 因此，当,18k k 26y 21x tan 2=-⋅==时，.18min =∴y 24、已知a1 = 1，an = an －1 + 2n －1〔n ≥2〕，则an = ________.2n －1〔认清项数〕25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列， 则b2〔a2－a1〕=A 〔符号〕 〔A 〕 －8 〔B 〕 8 〔C 〕 －〔D〕26、已知 {an} 是等比数列，Sn 是其前n 项和，判断Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，Sk = 0，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列. 〔忽视公比q = －1〕27、已知定义在R 上的函数和数列满足下列条件：)(x f }{n a，f 〔an 〕－f 〔an －1〕 = k 〔an －an －1〕〔n = 2,3,┄〕，其中a 为常数，k 为非零常数.〔1〕令，证明数列是等比数列；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕当时，求.〔2004天津〕〔等比数列中的0和1，正确分类讨论〕28、不等式m2－〔m2－3m 〕i< 〔m2－4m + 3〕i + 10成立的实数m 的取值集合是________.{3}〔隐含条件〕29、i 是虚数单位，的虚部为〔 〕C 〔概念不清〕〔A 〕 －1 〔B 〕 －i〔C 〕 －3〔D 〕 －3 i30、实数，使方程至少有一个实根.错误解法 方程至少有一个实根，020m )m i 21(4)i 4m (22≥-=+-+=∆∴ 或⇒,52m ≥.52-≤m错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用.一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误.正确解法 设是方程的实数根，则a.0i )m 2a 4(1m a a ,0m i 21a )i 4m (a 22=++++∴=++++由于都是实数，,解得 m a 、⎩⎨⎧=+=++∴24012m a ma a .2±=m 31、和a = 〔3,－4〕平行的单位向量是_________；和a = 〔3,－4〕垂直的单位向量是_________.〔，－〕或〔－，〕；〔，〕或〔－ ，－ 〕〔漏解〕32、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x ，则向量a=______. a = 〔h ，4h+8〕 〔其中h R 〕〔漏解〕 33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·.①若，共向，则 ·＝||•||＝，a b a b a b2②若，异向，则·＝－||•||＝－.〔漏解〕34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________.,24〕 a3 〔隐含条件〕35、在直二面角 －AB － 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD，那么∠CPD的大小为D 〔漏解〕 〔A 〕 45 〔B 〕 60 〔C 〕 120 〔D〕60或 12036、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. 〔1〕证明PA//平面EDB ； 〔2〕证明PB ⊥平面EFD ；〔3〕求二面角C —PB —D 的大小.〔2004天津〕〔条件不充分〔漏PA 平面EDB ，平面PDC ，DE ∩EF = E 等〕；运算错误，锐角钝角不分.〕 37、若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______.〔0，1〕∪〔1，+ 〕〔漏解〕 38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ .4 或 〔漏解〕39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是 .+ y 2 = 1或x 2 + = 1〔漏解〕40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为，相应于焦点F 〔c ，0〕〔〕的准线与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕若，求直线PQ 的方程；〔3〕设〔〕，过点P 且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M ，证明.〔2004天津〕〔设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ 斜率是否存在〔有时也可以设为x = ky + b 〕先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理.〕 41、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心y 06:22=-+x y x C的轨迹方程.错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为.9)3(22=+-y x 设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与轴相切于M 点，)0)(,(>x y x P y 与⊙C 相切于N 点.根据已知条件得3||||+=PM CP ，即，化简得3x y )3x (22+=+-).0(122>=x xy错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性〔即所求的轨迹上的点都满足条件〕，而没有考虑所求轨迹的完备性〔即满足条件的点都在所求的轨迹上〕.事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程.从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径〔不等于3〕的圆也符合条件，所以也是所求的方程.即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x 〔x>0〕和.因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性.42、〔如图3－2－2〕，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程.错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，C ' 在内的焦点坐标是β.0),0,2(>'p pF 因为二面角等于，βα轴－y -︒60且所以轴，轴轴，轴y x y x ⊥⊥'.60︒='∠x xo设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，F 'α),(y x F F x 从而,90,60,0︒='∠︒='∠=FO F OF F y所以所以点是所求射影的焦点.的射影的曲线方程是错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 的焦点，其次，没有证明默认C/在 内的射影〔曲线〕是一条抛.正确解法 在内，设点是曲线上任意一点β),(y x M '' 〔如图3－2－3〕过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，N y NH ⊥.H MH 则轴.所以是二面角β-α轴－y 的平面角，依题意，.MHN ∠︒=60在.2160cos ,x HM HN MNH Rt '=︒⋅=∆中 又知轴〔或与重合〕， 轴〔或与重合〕，设，则 ⎩⎨⎧='='∴⎪⎩⎪⎨⎧'='=.221y y xx y y x x 因为点在曲线上，所以),(y x M '')0(22>'=p x p y ).2(22x p y = 即所求射影的方程为 ).0(42>=p px y数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程.在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系〔充分性、必要性、充要性等〕，做到思考缜密、推理严密.二、选择题：1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象〔 〕 A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移6π3π6π3π错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B2．函数的最小正周期为 〔 〕A B C D ππ22π23π错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.x y tan =π=T 答案: B 3． 曲线y=2sin 〔x+cos 〔x-〕和直线y=在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则P2P4等于 〔 〕 A ． B ．2 C ．3 D ．4正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin 〔x+〕的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出P2P.4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot 〔x+〕,其中以点〔,0〕为中心对称的三角函数有〔 〕个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握.5．函数y=Asin 〔x+〕〔>0,A0〕的图象与函数y=Acos 〔x+〕〔>0, A0〕的图象在区间〔x0,x0+〕上〔〕 A ．至少有两个交点 B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点 正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题. 6． 在ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C 的大小应为〔 〕A ．B ．C ．或D ．或6π3π6ππ653π32π正确答案：A 错因：学生求C 有两解后不代入检验.7．已知tan tan 是方程x2+3x+4=0的两根，若，〔-〕，则+=〔 〕A ．B ．或-C ．-或D ．-3π3ππ323ππ32π32正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围.8． 若，则对任意实数的取值为〔 〕 A. 1 B. 区间〔0，1〕 C. D. 不能确定 解一：设点，则此点满足解得或 即 选A解二：用赋值法， 令 同样有 选A说明：此题极易认为答案A 最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C 或D.9． 在中，，则的大小为〔 〕 A. B. C. D. 解：由平方相加得 若 则 又 选A说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现.这里提示我们要注意对题目条件的挖掘. 10． 中,、、C 对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 〔 〕 A. B. C. D. )22,2(22),2(+∞]22,2( 正确答案：A错因：不知利用数形结合寻找突破口.11．已知函数 y=sin 〔x+〕与直线y ＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是〔 〕 A B C 2 D 43ππππ 正确答案：B错因：不会利用范围快速解题.12．函数为增函数的区间是………………………… 〔 〕 A.B.C.D. ]3,0[π]127,12[ππ]65,3[ππ],65[ππ 正确答案：C错因：不注意内函数的单调性.13．已知且，这下列各式中成立的是〔 〕A. B. C. D.πβα<+23πβα>+23πβα=+23πβα<+ 正确答案〔D 〕错因:难以抓住三角函数的单调性.14．函数的图象的一条对称轴的方程是〔〕正确答案A错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简.15．ω是正实数，函数在上是增函数，那么〔 〕 A ． B ． C ．D ．230≤<ω20≤<ω7240≤<ω2≥ω 正确答案A错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法.16．在〔0，2π〕内，使cosx ＞sinx ＞tanx 的成立的x 的取值范围是 〔 〕 A 、 〔〕 B 、 〔〕 C 、〔〕 D 、〔〕 正确答案：C17．设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为()sin()4f x x π=+[]0,2x π∈()f x m =12,x x 12x x +A 、或B 、C 、D 、不确定2π52π2π52π正确答案：A18．△ABC 中，已知cosA=，sinB=，则cosC 的值为〔 〕 A 、 B 、 C 、或 D 、65166556651665566516-答案：A点评：易误选C.忽略对题中隐含条件的挖掘.19．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为〔 〕 A 、 B 、 C 、或 D 、或6π65π6π65π3π32π答案：A点评：易误选C ，忽略A+B 的范围. 20．设cos1000=k ，则tan800是〔 〕A 、B 、C 、D 、k k 21-k k 21--k k 21-±21kk -±答案：B点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择.21．已知角的终边上一点的坐标为〔〕，则角的最小值为〔 〕.A 、B 、C 、D 、65π32π35π611π正解：Dπαπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π032cos <π所以，角的终边在第四象限，所以选D ，απα611=误解：,选B παπα32,32tan tan ==22．将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是〔 〕.A 、B 、C 、D 、x cos 2-x cos 2x sin 2-x sin 2 正解：Bx x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数 可得xy 2cos -=4π)4(2cos π+-=x y x x f x sin )(2sin ⋅==x x f cos 2)(=误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解.23． A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC 是〔 〕A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 正解：A由韦达定理得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+31tan tan 53tan tan B A B A253235tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A在中，ABC ∆025)tan()](tan[tan <-=+-=+-=B A B A C π 是钝角，是钝角三角形.24．曲线为参数〕上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是〔 〕.A 、B 、C 、1D 、21222正解：D.θθsin cos +=d由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即⎩⎨⎧==θθsin cos y x I ∈θθθcos sin +=d则∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθd 2max =d误解：计算错误所致.25．在锐角⊿ABC 中，若，，则的取值范围为〔 〕A 、B 、C 、D 、),2(+∞),1(+∞)2,1()1,1(- 错解: B.错因:只注意到而未注意也必须为正.,0tan ,0tan >>B A C tan 正解: A.26．已知，〔〕，则 〔C 〕A 、B 、C 、D 、324--m m m m 243--±125-12543--或错解：A错因：忽略，而不解出1cos sin 22=+θθm 正解：C27．先将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 〔 〕 A ．y=sin 〔－2x+ 〕 B ． y=sin 〔－2x －〕 C ．y=sin 〔－2x+ 〕 D ． y=sin 〔－2x －〕 错解：B错因：将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度时，写成了)32sin(π-=x y正解：D28．如果，那么的取值范围是〔 〕 A ．， B ．， C ．，， D ．，，21[-]2121[-]121[-21()21 ]121[-23()23 ]1错解: D ．错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.3π≠x 32π=x 正解: B ．29．函数的单调减区间是〔 〕 A 、 〔〕 B 、 C 、 D 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ)](2,4[z k k k ∈++ππππ答案：D 错解：B错因：没有考虑根号里的表达式非负. 30．已知的取值范围是〔 〕 A 、 B 、 C 、 D 、 ]21,21[-]21,23[-]23,21[-]1,1[- 答案：A 设，可得sin2x sin2y=2t,由.错解：B 、C错因：将由t y x t y x y x +=+==21)sin(sin cos 21cos sin 相加得与 选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足.31．在锐角ABC 中，若C=2B ，则的范围是〔 〕 A 、〔0，2〕 B 、 C 、 D 、 答案：C 错解：B错因：没有精确角B 的范围 32．函数 〔 〕A 、3B 、5C 、7D 、9 正确答案：B错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差. 33．在△ABC 中，则∠C 的大小为 〔 〕A 、30°B 、150°C 、30°或150°D 、60°或150° 正确答案：A错误原因：易选C ，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾21sin =A BA cos 4sin 3+211 34． 〔 〕A 、B 、C 、D 、π2π2π4π正确答案：C错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得()2,2ππ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+T x f x f 故35． 〔 〕A 、B 、C 、D 、ππ22π23π正确答案：B错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响.36．已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则〔 〕 A 、f 〔cosα〕＞ f 〔cos β〕 B 、f 〔sinα〕＞ f 〔sinβ〕 C 、f 〔sinα〕＜f 〔cosβ〕 D 、f 〔sinα〕＞ f 〔cosβ〕 正确答案：〔C 〕错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强. 37．设那么ω的取值范围为〔 〕A 、B 、C 、D 、20≤>ω230≤>ω7240≤>ω2≥ω 正确答案：〔B 〕错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚.二填空题：1．已知方程〔a 为大于1的常数〕的两根为，，且、，则的值是_________________.α∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π2tanβα+ 错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.βαtan ,tan 01342=+++a ax x 正确解法： ，1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<o a >+=⋅13tan tan βα是方程的两个负根∴βαtan ,tan 01342=+++a ax x又 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα⎪⎭⎫⎝⎛-∈+0,22πβα 由===可得tan ()βα+βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+()1314+--a a 34.22tan -=+βα答案: -2 .2．已知,则的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.αβαcos 4cos 4cos 522=+βα22cos cos +αβαcos 4cos 4cos 522=+ααβ22cos 45cos cos -=βα22cos cos +αcos []1,1-αcos答案: .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0略解: 由得 αβαcos 4cos 4cos 522=+ααβ22cos 45cos cos -=()1 []1,0cos 2∈β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴54,0cos α将〔1〕代入得=.3．若,且,则_______________.()π,0∈A 137cos sin =+A A =-+AA AA cos 7sin 15cos 4sin 5错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.137cos sin =+A A 1cos sin 22=+A A A A cos ,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2A 答案: .438 4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______. 解：若则 1252a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩若则说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况.这里提醒我们考虑问题要周全. 5．若Sin cos ，则α角的终边在第_____象限. 正确答案：四错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围.6．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则的值为_________.2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++ 正确答案：3错因：看不出是两角和的正切公式的变形.7．函数的值域是 ．sin (sin cos )y x x x =+([0,])2x π∈正确答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是 ．正确答案：5cos y a x b =+7-cos sin y a x b x =+ 9．定义运算为:例如，,则函数f 〔x 〕=的值域为．正确答案：10．若，α是第二象限角，则=__________135sin =α2tan α答案：5点评：易忽略的范围，由得=5或.11．设ω>0，函数f 〔x 〕=2sinωx 在上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 答案：0<ω≤32 点评：]2,2[]4,3[πππωπω-⊆-12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos 〔A －B 〕=，则cosC=__________答案：81点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化.13．在中，已知，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若，则在R 上是增函数；②若，则ABC 是；③的最小值为；④若，则A=B ；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.正解：错误命题③⑤.① 0sin sin ,sin sin >-∴>⇔>B A B A b a上是增函数。

不等式习题一、选择题：1．（如中）设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．（如中）设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．（如中）不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．（如中）某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．（如中）已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b 的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．（石庄中学）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。

对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。

本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。

一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。

解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。

2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。

求$a$、$b$、$c$的值。

解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。

将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。

将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。

根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。

将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。

综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。

二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。

高中数学易错题举例分析高中数学中有很多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特别情况的议论，却很简单被忽视。

也就是在转变过程中，没有注意转变的等价性，会常常出现错误。

本文经过几个例子，分析致错原由，希望能对同学们的学习有所帮助。

增强思想的严实性训练。

●忽视等价性变形，以致错误。

x>0x +y>0x>1x +y>3y>0xy>0，但y>2与xy>2不等价。

【例 1】已知 f(x) =a x +x3 f (1)0, 3 f (2) 6, 求 f (3) 的范围。

b ，若3 a b0①错误会法由条件得32a b6②2②× 2－①6a15③①× 2－②得8b2④333③+④得103a b43,即10 f (3)43.33333x 错误会析采纳这类解法，忽视了这样一个事实：作为知足条件的函数 f ( x) ax，b 其值是同时受 a和b 限制的。

当a取最大（小）值时， b 不必定取最大（小）值，因此整个解题思路是错误的。

f (1) a b正确解法由题意有f ( 2)b,解得：2a2a1[ 2 f (2) f (1)], b2[ 2 f (1)f (2)],33f (3)3a b16f (2)5f (1).把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得39916 f (3)37.33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就表现了思想拥有反省性。

只有坚固地掌握基础知识，才能反省性地看问题。

●忽视隐含条件，以致结果错误。

【例 2】(1)设、是方程 x 22kx k 6 0 的两个实根，则 (1) 2(1) 2的最小值是( A )49(B)8(C) 18(D)不存在4思路分析 本例只有一个答案正确，设了3 个圈套，很简单受骗。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,( 1) 2(1) 222 1 2 21( ) 2 22() 24( k3) 2 49 .44有的学生一看到49，常受选择答案（ A ）的迷惑，盲从附和。

高一数学错题集锦与讲解1. 周长与面积题目：一个正方形的周长为16cm，求它的面积。

解析：设正方形的边长为a，则周长可以表示为4a，根据题目可得4a=16cm，解方程得到a=4cm。

正方形的面积可以表示为a²，代入已知的边长得到面积为4²=16cm²。

所以，这个正方形的面积为16平方厘米。

2. 相似三角形题目：两个三角形的两个内角分别为45°和90°，它们的两边分别成比例，则这两个三角形相似吗？解析：根据三角形的内角和定理可知，三角形的内角和为180°。

已知其中一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角为180°-45°-90°=45°。

另一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角也为45°。

因此，这两个三角形的内角完全相同，所以它们是相似三角形。

3. 平行线与相交线题目：如图，AB//CD，AD是两平行线AB和CD的相交线段。

已知∠ABC=80°，求∠CDA的度数。

解析：根据平行线的性质，平行线AB和CD之间的对应角是相等的。

所以∠ABC=∠CDA。

已知∠ABC=80°，代入已知条件可得∠CDA=80°。

4. 三角函数的计算题目：已知cosθ=1/2，求sinθ的值。

解析：根据三角函数的定义可知，sinθ=√(1-cos²θ)。

已知cosθ=1/2，代入公式可得sinθ=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。

所以，sinθ的值为√3/2。

5. 数列的求和题目：求等差数列1, 4, 7, 10, …, 100的前n项和Sn。

解析：已知第一项a₁=1，公差d=3（等差数列的公差是指相邻两项之间的差值）。

根据等差数列的求和公式，Sn=n(a₁+an)/2。

基于康奈尔笔记法的高中数学错题本课例讲解一、康奈尔笔记法简介康奈尔笔记法源于美国康奈尔大学，在学术界被广泛应用。

其核心思想是将课堂笔记分为笔记栏、问题栏和总结栏三部分，通过这种结构化的方式提高笔记的效果和利用率。

1. 笔记栏：记录课堂内容的关键信息、概念和要点。

2. 问题栏：列出你在学习过程中遇到的问题、不理解的地方或者需要进一步思考的内容。

3. 总结栏：总结笔记内容，重点强调重要的知识点、规律或者公式，以便后续复习和记忆。

二、康奈尔笔记法在高中数学错题本中的应用高中数学是许多学生认为较为困难的学科之一，尤其是解题方法和题目中的技巧性内容往往让学生难以掌握。

利用康奈尔笔记法来记录数学错题本的课例讲解，可以帮助学生更好地理解知识点、强化记忆，并且在解题过程中能够更有针对性地分析问题，提高解题效率。

1. 笔记栏：在笔记栏中，记录数学错题本中的课例讲解内容，主要包括题目、解题方法、关键步骤、计算过程等。

这些信息可以帮助学生回顾和复习课堂内容，加深对知识点的理解和记忆。

2. 问题栏：在问题栏中，学生可以列出在学习过程中遇到的困惑和疑问，包括理解不透彻的概念、解题思路混乱的地方或者难以理解的公式推导。

通过这种方式，学生可以有针对性地向老师请教或者进行重点复习，解决学习中的问题。

3. 总结栏：在总结栏中，学生可以对课例讲解中的重点知识点和解题技巧进行总结归纳，强化记忆，并且对相似类型的题目进行分类整理，以便后续复习时能够更加有条理地进行学习。

三、高中数学错题本课例讲解的实际应用案例结合康奈尔笔记法的应用特点，以下是一个实际的高中数学错题本课例讲解的应用案例：1. 题目：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(-3)的值。

2. 笔记栏：记录题目内容和解题过程，包括应用公式、代入计算过程和最终结果，确保信息完整准确。

3. 问题栏：列出在计算过程中可能出现的混淆点和模糊理解的地方，例如负数平方计算、代入计算过程中的细节问题等。

高中数学经典错题深度剖析及针对训练 独立事件、独立重复试验的概率和条件概率【标题01】把独立重复试验的概率定性为古典概型了【习题01】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望EX ； （2）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【经典错解】（1）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=．所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0,1,2，所以()2824070195C P X C ===,()11832240641195C C P X C ===,()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为故X 数学期望76412431280121951951951955EX =⨯+⨯+⨯==． （2）由题得从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率213283404961235C C P C == 【详细正解】(1)同上；（2）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【习题01针对训练】某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若仅有A ，A 、B 两项技术指标都不达标的（1）求一个零件经过检测为合格品的概率；（2）若任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．【标题02】把独立重复试验的概率定性为独立事件的概率了【习题02】某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1,2,3．规定每位考生必须且只须在其中选做一 题.甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为13，每位学生对每题的选择是相互独立的，各 学生的选择相互之间没有影响．求这三个人选做的是同一道题的概率.【经典错解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A ,则1111()33327P A =鬃=【详细正解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A ,则131111()3339P A C =鬃?.【深度剖析】(1)经典错解错在把独立重复试验的概率定性为独立事件的概率了.（2）这三个人选做的是同一道题为事件A ，则A 实际上是三个互斥事件和和事件，因为甲乙丙可能同时选做第一题或第二题或第三题，而每一个互斥事件的概率又是三个独立事件同时发生的概率.错解把事件A 直接定性为独立事件同时发生的概率了，是错的.（3）解答概率题时，要先定性（六大概型：古典概型、几何概型、互斥事件的概率、独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率和条件概率），后定量.在定性时，要仔细分析，不要把事件定性错了.【习题02针对训练】某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【标题03】对事件)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 理解错误【习题03】某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列}{n a ，使⎩⎨⎧-=)(,1)(,1次掷出奇数当第次掷出偶数当第n n a n ，记n n a a a S +++= 21 求)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 的概率.【经典错解】记事件A ：28=S ，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1，∴28=S 的概率858)21()(⋅=C A P记事件B ：)4,3,2,1(0=≥i S i ，将)4,3,2,1(0=≥i S i 分为两种情形： （1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值在1和-1中任意取值；（2）若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1，第四项在1和-1中任意取值. ∴()P B =83)21()21(32=+ ∴所求事件的概率为()()P P A P B =⋅ =858)21(83⋅⋅C 【详细正解】∵)4,3,2,1(0=≥i S i ∴前4项的取值分为两种情形①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可.即8361)21(⋅=C P ；②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1，则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即8352)21(⋅=C P ，∴所求事件的概率为783536215)21()(=⋅+=C C P【习题03针对训练】一种电脑屏幕保护画面，只有符号""""X O 和随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现""""X O 和之一，其中出现""O 的概率为p ，出现""X 的概率为q ，若第k 次出现""O ，则记1=k a ；出现""X ，则记1-=k a ，令n n a a a S +⋅⋅⋅++=21． (1)时，求3S 的分布列及数学期望． (2)时，求），，，且4321(028=≥=i S S i 的概率．【标题04】对事件“A B 、两组中有一组恰有两支弱队”没有理解清楚【习题04】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A B 、两组，每组4支，求A B 、两组中有一组恰有两支弱队的概率.【经典错解】将8支球队均分为A B 、两组，共有4448C C 种方法：A B 、两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有2325C C 种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法.∴所求事件的概率为：7344482225=C C C C . 【详细正解】将8支球队均分为A B 、两组，共有4448C C 种方法：A B 、两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有2325C C 种方法.再把这这组队伍分给A 组或B 组，有12C种方法，所以所求事件的概率P=76244482225=C C C C .【习题04针对训练】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门.该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同. （1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列及期望、方差．【标题05】概型判断错误【习题05】某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率.【经典错解】由于此人第一次不能开房门的概率为45，若第一次未开，第2次不能打开房门的概率应为34；所以此人第3次打开房门的概率为31. 【详细正解】第1次未打开房门的概率为54；第2次未开房门的概率为43；第3次打开房门的概率为31，所求概率为：51314354=⨯⨯=P .【习题05针对训练】某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击，若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m 处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．（1）求这名射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这名射手比赛中得分的均值．【标题06】没有注意事件的先后顺序导致遗漏了一些情况 【习题06】某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求ξ的分布列.【经典错解】ξ的取值为8，9，10.ξ=7，两次环数为7,7；ξ=8，两次成绩为7，8或8，8；ξ=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；ξ=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10. ∴04.02.02.0)7(=⨯==ξP 15.03.03.02.0)8(2=+⨯==ξP23.03.03.03.03.02.0)9(2=+⨯+⨯==ξP 2.02.03.03.02.03.02.0)10(2=+⋅+⋅⨯==ξP （分布列略）【详细正解】8=ξ，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP 9=ξ两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9∴39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，同理36.02.042.03.0212.0)10(22=+⨯⨯+⨯==ξP 【深度剖析】(1)经典错解错在没有注意事件的先后顺序导致遗漏了一些情况.（2）8=ξ，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP9=ξ两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 ∴39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，同理36.02.042.03.0212.0)10(22=+⨯⨯+⨯==ξP .【习题06针对训练】学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望.【标题07】把独立事件的概率定性为互斥事件的概率了【习题07】甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？【经典错解】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好投中2次为A B +.所以()()()P A B P A P B +=+ =825.03.07.02.08.0223223=⨯+⨯C C .【详细正解】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好都投中2次为AB .所以()()()P AB P A P B =⋅ =2222330.80.20.70.3C C ⨯⨯⨯0.169=【习题07针对训练】地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为23、12，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；（2）求成活的棵树ξ的分布列与期望.【标题08】把独立事件同时发生的概率定性为独立重复试验了【习题08】某射手射击一次，击中目标的概率是0.5，现该射手连射4次，（1）求恰好前3次击中的概率；（2）恰好第3次击中的概率.【经典错解】（1）由题得334111()()224P C ==；（2P =(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625= 【详细正解】（1）由题得3111()2216P ==；（2）P =(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【习题08针对训练】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．【标题09】把古典概型定性为独立重复试验了【习题09】某产品100件，其中恰有5件次品，现从中任意抽取5件，求恰有一件次品的概率. 【经典错解】由题得145595(A)()()100100P C = 【详细正解】由题得145955100()0.2144C C P A C == 【深度剖析】(1)经典错解错在把古典概型定性为独立重复试验了.（2）所求事件的概型应该是一个古典概型，而错解把它当作是独立重复试验了.因为已知中的抽取，是一次性地从100件产品中抽取5件，所以没有抽多次，所以根本上不是独立重复试验.如果有的同学分5次来抽，每次抽取一件，也不是独立重复.因为第一次抽取时，抽到次品的概率是5100，第二次抽取时，只有99件产品，此时抽到次品的概率肯定不是5100，由于概率不同，所以也不是独立重复试验.【习题09针对训练】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率； (2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率. 【标题10】把条件概率定性为古典概型了【习题10】一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．【经典错解】由题得228622108151()453C C P A C C ===【详细正解】记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有(|)P B A ＝()()P AB P A ＝22862288C C C C ⋅⋅＝1528，即事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是1528．【习题10针对训练】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【标题11】审题不清忽略了“有放回地取”这个关键词【习题11】一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求连续取两次都是白球的概率；【经典错解】由题得22241()6A P A A ==.【详细正解】记事件A 为“连续取两次都是白球”，所以()P A 14．【深度剖析】(1)经典错解错在审题不清，忽略了“有放回地取”这个关键词.（2）抽样常用的有“有放回抽样”和“不放回抽样”两种，所以在解题时一定要注意抽样的方法.【习题11针对训练】一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率1P ； (2)从袋中有放回地取球;①求恰好取5次停止的概率2P ；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【标题12】对事件“某位顾客返券的金额为30元”没有理解透彻【习题12】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．求某位顾客返券的金额为30元的概率.【经典错解】设A =某位顾客返券的金额为30元,则111()236P A ==.【详细正解】设A =某位顾客返券的金额为30元,则11111()23323P A =+= .【习题12针对训练】某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求(8)P x =.【标题13】把此种条件概率和“丢开法”条件概率混淆了【习题13】10名同学中，有7个人获得了全国数学联赛一等奖，3人没有获得.现在从中任选2名同学，已知其中1名同学获得全国一等奖，求另外一名同学也获得全国一等奖的概率. 【经典错解】由题得6293P ==. 【详细正解】设A =2名同学中有1人获得全国一等奖，B =2名同学中另外一个同学也获得全国一等奖，由题得27112737()211(|)(A)422C n AB P B A n C C C ====+,所以另外一名同学也获得全国一等奖的概率为12.【习题13针对训练】抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，则两颗骰子的点数之和大于8的概率为________．【标题14】把古典概型定性为独立重复试验概率了【习题14】某产品100件，其中恰有5件次品，现从中任意抽取5件，求恰有一件次品的概率. 【经典错解】由题得145595(A)()()100100P C = 【详细正解】由题得145955100()0.2144C C P A C == 【深度剖析】（1）经典错解错在把古典概型定性为独立重复试验概率了.（2）所求事件的概型应该是一个古典概型，而错解把它当作是独立重复试验了.因为已知中的抽取，是一次性地从100件产品中抽取5件，所以没有抽多次，所以根本上不是独立重复试验.如果有的同学分5次来抽，每次抽取一件，也不是独立重复.因为第一次抽取时，抽到次品的概率是5100，第二次抽取时，只有99件产品，此时抽到次品的概率肯定不是5100，由于概率不同，所以也不是独立重复试验. 【习题14针对训练】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率. (2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.【标题15】概率定性定错了【习题15】某射手射击一次，击中目标的概率是0.5，现该射手连射4次，（1）求恰好前3次击中的概率；（2）恰好第3次击中的概率.【经典错解】（1）由题得334111()()224P C ==;（2）P= (10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【详细正解】（1）由题得3111()2216P ==；（2）P=(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【习题15针对训练】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．高中数学经典错解深度剖析及针对训练第29讲： 独立事件的概率、独立重复试验的概率和条件概率参考答案【习题01针对训练答案】（1（2满足条件的事件是恰有2人申请A 片区房源，共有2242C C ∴根据等可能事件的概率公式得到224248327C C P == （2）由题意知ξ的可能取值是1,2,3.431(1)327P ξ=== 231222341423414(2)327A C C C C C P ξ+=== 234344(3)39C A P ξ=== ∴ξ的分布列是：∴1144651232727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 【习题03针对训练答案】(1)详见解析；(2)218780． 【习题03针对训练解析】(1)3,1,1,33--=S()()0318183=⨯+⨯+⨯-+⨯-=EX(2)前4次有2次出现""O 的概率是前4次有3次出现""O 的概率是前4次有4次出现""O 的概率是P (ξ= 0 ) =P (ξ= 1) =P (ξ= 2 ) =P (ξ= 3 ) =∴ξ的分布列为：E np ξ=34416D npq ξ==⨯⨯=【习题05针对训练答案】（1）95144；（2）8548.【习题05针对训练解析】记第一、二、三次射击命中目标分别为事件,,A B C三次均未命中目标的事件为D．依题意1 ()2P A=．（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，则1121(3)(2)2299P Pξξ====⨯=171749(1)(0)298144144P Pξξ==⨯⨯===∴ξ的分布列为∴32102914414448Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．【习题06针对训练答案】(Ⅰ； (Ⅱ【习题06针对训练解析】（1）由已知条件得即31p=，则所以p的值为（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3所以ξ的分布列为：，【习题7针对训练答案】（1）6；（2）详见解析.ξ∴的分布列为6E ξ∴=. 【习题08针对训练答案】827【习题08针对训练解析】甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，∴P＝C3223⎛⎫⎪⎝⎭2·13⎛⎫⎪⎝⎭·23＝827，∴甲三胜一负而结束的概率为827.【习题09针对训练答案】（1）0.512；（2）7 15.【习题10针对训练答案】(1)0.55 ； (2)311；（3）1.23.【习题10针对训练解析】（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．则()0.200.200.100.050.55P A=+++=（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费比基本保费60%”．()0.100.050.15P B=+=所以()()0.153 (|A)()()0.5511P AB P BP BP A P A====，所以一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率为3 11.（3）续保人本年度的平均保费估计值为0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23 EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.【习题11针对训练答案】(1)128；(2) ①881②13181.【习题11针对训练解析】(1)113363149128C C APA==(2)①22224121833381 P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②随机变量ξ的取值为0,1,2,3; 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()231511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()328080173124381P ξ++==-=随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是 3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=∴()P B =1036＝518． 当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故()P AB ＝536．∴(|)P B A ＝()()P AB P A ＝53613＝512．【习题14针对训练答案】（1）0.512；（2）715. 【习题14针对训练解析】(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(,,)x y z 记录结果,则,,x y z 都有10种可能,所以基本事件总数为10×10×10=103(种)；设事件A 为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此338()0.51210P A ==.(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(,,)x y z ,。

高中数学易错题举例解析学生版SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。

也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。

下面通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。

加强思维的严密性训练。

● 忽视等价性变形，导致错误。

⎩⎪⎨⎪⎧ x >0 y >0 ? ⎩⎪⎨⎪⎧ x + y >0xy >0 ，但 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >1y >2 与 ⎩⎪⎨⎪⎧ x + y >3xy >2 不等价。

【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-(2) 已知(x+2)2+ y 24 =1, 求x 2+y 2的取值范围。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b)2的最小值。

●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a (2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。

●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。

高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。

高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝,N=｛e、g、h｝,从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射;函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数;函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应;映射与函数特殊对应的共同特点：错误!可以是“一对一”；错误!可以是“多对一”；错误!不能“一对多”；错误!A中不能有剩余元素；错误!B中可以有剩余元素;映射的特点：1多元性：映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等；2方向性：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；3映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象；4唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；5一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C分析根据映射的特点错误!不能“一对多”,所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数特殊对应的全部5个特点;本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题;【例2】已知集合A=R,B={x、y︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→x+1、x2,1求2在B中的对应元素；22、1在A中的对应元素分析1将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为2+1、1；2由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1, 即2、1在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求：1可建立从A到B的映射个数；2可建立从B到A的映射个数分析如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9；32=8例4 若函数fx为奇函数,且当x﹥0时,fx=x-1,则当x﹤0时,有A、fx ﹥0B、fx ﹤0C、fx·f-x≤0D、fx-f-x ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f-x = - fx；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f0=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；2、满足f-x = fx ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有fx=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数即对所有x,fx=0; 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2; 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数; 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数; 两个偶函数的乘积为一个偶函数; 两个奇函数的乘积为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数; 两个偶函数的商为一个偶函数; 两个奇函数的商为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数; 一个偶函数的导数为一个奇函数; 一个奇函数的导数为一个偶函数;两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数; 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数分析 fx 为奇函数,则f-x = -fx,当X ﹤0时,fx = -f-x = ---x – 1 = -x+1>0,所以A 正确,B 错误； fx·f-x=x-1-x+1﹤0,故C 错误； fx-f-x= x-1--x+1﹤0,故D 错误例5 已知函数fx 是偶函数,且x ≤0时,fx=xx-+11,求：1f5的值； 2fx=0时x 的值；3当x ＞0时,fx 的解析式考点 函数奇偶性的性质 专题计算题,函数的性质及应用 分析及解答1根据题意,由偶函数的性质fx= f-x,可得f5= f-5=）（）（5--15-1+=—322当x ≤0时,fx=0 可求x,然后结合fx= f-x,即可求解满足条件的x, 即当x ≤0时,xx-+11=0 可得x=—1；又f1= f-1,所以当fx=0时,x=±1 3当x ＞0时,根据偶函数性质fx= f-x=)(1)(1x x ---+=xx+-11例6 若fx=e x +ae -x 为偶函数,则fx-1＜ee 12+的解集为A.2,+∞B.0,2C.-∞,2D.-∞,0∪2,+∞考点 函数奇偶性的性质 专题转化思想；综合法；函数的性质及应用 分析及解答根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵fx=e x +ae -x 为偶函数,∴f-x=e -x +ae x = fx= e x +ae -x ,∴a=1, ∴fx=e x +e -x 在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,则由fx-1＜ee 12+=e+e 1, ∴ -1 ＜x-1＜1, 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 例7 函数fx=21xb ax ++是定义在-1,1上的奇函数,且f 21=52,1确定函数fx 的解析式；2证明fx 在-1,1上为增函数；3解不等式f2x-1+ fx ＜0考点 函数奇偶性与单调性的综合 专题函数的性质及应用 分析及解答（1） 因为fx 为-1,1上的奇函数,所以f0=0,可得b=0,由f 21=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以fx= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1,fx 1—fx 2=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1,所以x 1-x 2＜0,1—x 1x 2＞0,所以fx 1—fx 2 ＜0, 得出fx 1 ＜fx 2,即fx 在-1,1上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可：f2x-1+ fx= ＜0,f2x-1 ＜—fx,由于fx 为奇函数,所以f2x-1 ＜f —x,因为fx 在-1,1上为增函数,所以2x-1＜—x 错误!, 因为-1 ＜2x-1＜1错误!,-1 ＜x ＜1错误!,联立错误!错误!错误!得0 ＜ x ＜31,所以解不等式f2x-1+ fx ＜0的解集为0,31 点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理;例8 定义在R 上的奇函数fx 在0,+∞上是增函数, 又f-3=0,则不等式x fx ＜0的解集为 考点 函数单调性的性质 专题综合题；函数的性质及应用分析及解答 易判断fx 在-∞,0上的单调性及fx 图像所过特殊点,作出fx 草图,根据图像可解不等式; 解：∵ fx 在R 上是奇函数,且fx 在0,+∞上是增函数,∴ fx 在-∞,0上也是增函数,由f-3=0,可得- f3=0,即f3=0,由f-0=-f0,得f0=0 作出fx 的草图,如图所示：由图像得：x fx ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴ x fx ＜0的解集为：-3,0∪0,3,故答案为：-3,0∪0,3点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键; 例9 已知fx+1的定义域为-2,3,则f2x+1的定义域为抽象函数定义域求法总结：1函数y=fgx 的定义域是a,b,求fx 的定义域：利用a ＜x ＜b,求得gx 的范围就是fx 的定义域；2函数y=fx 的定义域是a,b,求y=fgx 的定义域：利用a ＜gx ＜b,求得x 的范围就是y=fgx 的定义域;考点 函数定义域极其求法分析及解答 由fx+1的定义域为-2,3,求出 fx 的定义域,再由2x+1在函数fx 的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f2x+1的定义域;解：由fx+1的定义域是-2,3,得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25 ∴ f2x+1的定义域是0,25,故选A 点评 本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数fgx 的定义域是a,b,求函数fx 的定义域,就是求x ∈a,b 内的gx 的值域；给出函数fx 的定义域是a,b,只需由a ＜gx ＜b,求解x 的取值集合即可; 例10 已知函数fx=x 7+ax 5+bx-5,且f-3= 5,则f3=A. -15B. 15 考点 函数的值；奇函数分析及解答 令gx= x 75当时,函数图像如图,由图知：只有当时,函数的图像在x 轴上方,即时,因为函数收偶函数,偶函数的图像关于y 轴对称,所以时,函数的图像在x 轴上方时,只有则不等式的解集为故选D 18、如果函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4行单调递减,那么实数a 的取值范围是 ≦-3 ≧-3 ≦5 ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a,b,总有ba b f a f --)()(>0成立,则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加,后减少 D.函数)(x f 是先减少,后增加解：利用函数单调性定义,在定义域上任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,因为ba b f a f --)()(>0 所以fa-fb<0,所以)(x f 在R 上是增函数;20、对于定义域R 上的函数fx,有下列命题：1若fx 满足f2>f1,则fx 在R 上时减函数；2若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是奇函数；3若函数fx 在区间-∞,0上是减函数,在区间0,+∞也是减函数,则fx在R 上也是减函数；4若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是偶函数；其中正确的是_____________________21、函数fx=x ∣x-2∣,1求作函数Y=fx 的图象；2写出函数fx 的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数不必证明3已知fx=1,求x 的值22、函数Fx 是定义域为R 的偶函数,当x ≧0 时,fx=x2-x,1画出函数fx 的图象不列表；2求函数fx的解析式；3讨论方程fx-k=0的根的情况23、已知fx 的定义域为-2,3,则f2x-1的定义域为A.0,5/2B.-4,4C.-5,5D.-3,724、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧〉-≤++=)0(10)0(63)(2x x x x a x f 且fa=10,则a= 或125、已知函数fx=x7+ax 5+bx-5,则f3=26、若函数fx=4x 2-kx-8在区间5,8上是单调函数,则k 的取值范围是A.-∞,0B.40,64C.- ∞,40∪64,+∞D.64,+ ∞27、已知二次函数fx=x 2+x+aa>0,若fm<0,则fm+1的值为A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关 28、函数fx=∣x 2-2x ∣-m 有两个零点,m 的取值范围__________29、已知函数fx 和gx 均为奇函数,hx=afx+bgx+2,在区间0,+∞有最大值5,那么hx 在区间0,+∞的最小值为________30、对于每个实数x,设fx 取y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出fx 的解析式,求出fx 的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A0,1；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B-1/3,2/3；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C-1/4,1/2.由图像容易看出：1x ＜-1/3时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时fx=-2x;2-1/3≤x ≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的fx=x+1;3x ＞0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的fx=2x+1.所以fx=-2x ；x ＜-1/3,x+1；-1/3≤x ≤0,2x+1.x ＞01考察函数的图像由射线—线段—射线组成的折线可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数fx=x 2+ax+3,1当X ∈R 时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；2当X ∈-2,2时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；3若对一切a ∈-3,3,不等式fx ≥a 恒成立,那么实数x 的取值范围是什么 1fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有△=a 2-43-a ≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2；2当x ∈-2,2时,令gx=x 2+ax+3-a,当x ∈-2,2时,fx ≥a 恒成立,转化为gx min ≥a,分以下三种情况讨论：①当-a/2≤-2,即a ≥4时,gx 在-2,2上是增函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g-2=7-3a,∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解②当-a/2≥-2,即a ≤4时,gx 在-2,2上是递减函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g2=7+a,∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4③当-2<a/2<2时,即-4＜a ＜4时,gx 在-2,2上的最小值为34)2(22+--=a a a g ⇒ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-+-4434a -2a a -4＜a ≤2,解得-4＜a ≤2,综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2；3不等式fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令ha=x-1a+x 2+3,要使ha ≥0在-3,3上恒成立,只需⎩⎨⎧≥≥-0)3(0)3(h h 即⎩⎨⎧≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3。

高三数学教学中的错题解析错题1：求函数的定义域题目：已知函数f(x)=-2x+3，求函数f(x)的定义域。

解析：函数的定义域是指函数中自变量x的取值范围。

对于这道题目，函数f(x)的定义域可以通过求解不等式来获得。

首先，由函数f(x)的表达式可知，自变量x可以取任意实数。

因此，函数f(x)的定义域为R（全体实数）。

错题2：求函数的反函数题目：已知函数f(x)=2x+1，求函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。

解析：函数的反函数是指将函数的自变量和因变量对调得到的新函数。

求函数的反函数需要先将原函数转化为方程，然后通过求解方程来得到反函数。

对于这道题目，我们需要将函数f(x)转化为方程：y = 2x + 1。

接下来，将方程中的自变量x和因变量y对调：x = 2y + 1。

解该方程，得到y = (x - 1) / 2，则反函数f^(-1)(x) = (x - 1) / 2。

因此，函数f(x)的反函数为f^(-1)(x) = (x - 1) / 2。

错题3：求函数的极限题目：已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求lim(x→1) f(x)的值。

解析：函数的极限是指自变量无限接近某一特定值时，函数的取值趋于的稳定值。

求函数的极限需要通过代入法或极限运算法则来计算。

对于这道题目，我们先代入x=1，计算函数f(x)在x=1处的取值：f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2。

接下来，求lim(x→1) f(x)的值。

根据已知函数f(x)的表达式可以得知，当x无限接近1时，函数f(x)的取值趋于2。

因此，lim(x→1) f(x)的值为2。

错题4：求函数的导函数题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求函数f(x)的导函数f'(x)。

解析：函数的导函数是指在函数图像上各点的切线斜率。

求函数的导函数需要对原函数进行求导运算。

对于这道题目，我们需要对函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1进行求导运算。

高一数学错题和知识点对于许多高一学生来说，数学常常是一门令人头疼的科目。

尤其是在课堂上，老师提出的问题似乎总是与自己所学知识背离。

在高一时期，学生面临着许多新的数学概念和技巧，因此错题也时常发生。

本文将讨论一些常见的高一数学错题，并介绍相应的知识点以帮助学生改进。

1. 说出函数f(x) = |x|的定义域和值域。

错题分析：许多学生在这个问题上犯了错误，因为它涉及到绝对值函数。

他们可能会误以为绝对值只能保持为正数，因此定义域只包含正数。

解决方法：绝对值函数的定义域是整个实数集（即负无穷到正无穷），而值域是非负实数。

2. 解方程：2x - 5 = x + 3。

错题分析：这是一道简单的一次方程题，但是一些学生会犯以下错误：他们在解方程过程中将变量移到等式的另一侧时，忘记同时改变符号。

解决方法：正确的解题步骤是将x的系数移到等号的另一侧，并进行运算。

在这个例子中，可以通过将x的系数减去5和3，得到x = 8。

3. 求解三角形的面积：已知a = 5，b = 6，c = 8。

错题分析：这道题目需要学生运用海伦公式或正弦定理求解三角形的面积。

有些学生可能忘记其中一个公式，或者在应用公式时计算错误。

解决方法：学生需要记住海伦公式（s = (a + b + c) / 2）和正弦定理（(a / sinA) = (b / sinB) = (c / sinC)）。

应用这些公式，可以计算出三角形的面积。

4. 计算函数f(x) = (x + 1)²的导数。

错题分析：这个错误涉及到函数的导数概念。

许多学生会误以为在计算函数的导数时只需要直接计算平方。

解决方法：函数f(x) = (x + 1)²的导数可以通过应用链式法则计算。

首先求导数公式为d(u²) / dx = 2u，其中u = (x + 1)。

因此，函数f(x)的导数为f'(x) = 2(x + 1)。

5. 确定下列集合的并集：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {5, 6}。

高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。

也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。

本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。

加强思维的严密性训练。

● 忽视等价性变形，导致错误。

⎩⎨⎧ x >0 y >0 ? ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。

【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。

错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。

当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。

只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。

2【标题01】考虑问题不严谨不全面忽略了在行驶过程中车速有可能低于25 （km / h ）【习题01】在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v （单位：km/h）的平方和车身长l （单位：m ）的乘积与车距d 成正比，且最小车距不得少于半个车身长. 假定车身长均为l （单位：m ）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q 最大？(车流量=车速)车距+车身长【经典错解】d =kv 2l ，将v = 50 ，d =l 代入得k =1 2500，∴d125002v 2l ，又将d =1l 代入得2v = 25，由题意得d =212500 v 2l （v 251000v）将Q= =2d l1000vv 2l(1 +)2500（v ≥ 25 ）1000v ∵v 2=1000≤1 v1000=25000∴当且仅当v = 50 时，Q lmaxl ⋅21⋅v v 2500=25000ll(1 +)2500l( +)v 2500综上所述，v = 50 （km / h ）时，车流量Q 取得最大值. 当v > 251000v时，Q = =2=≤100025000=d +lv 2 l(1 )25001 l(vl ⋅21⋅vv 25002 xv) l2500当且仅当v = 50 时，上式等号成立.综上所述，当且仅当v = 50 时，车流量Q 取得最大值.【深度剖析】（1）经典错解错在考虑问题不严谨不全面，忽略了在行驶过程中车速有可能低于25 （km / h ），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.（2）同学们在审题时，一定要认真审题，不能理解出现偏差.【习题01 针对训练】某公司生产一种产品的固定成本为0.5 万元，但每生产100 件需要增加投入0.25 万2元，市场对此产品的需要量为500 件，销售收入为函数R (x)= 5x -(0 ≤x ≤ 5)万元，其中x 是产品2售出的数量（单位：百件）.（1）把利润表示为年产量的函数f (x)；（2 ）年产量为多少时，当年公司所得利润最大.【标题 02】没有弄清一棵果树的种植成本导致错误【习题 0 2】某科研小组研究发现：一棵水果树的产量w （单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满1x2 +1(0 ≤x ≤ 2)(x)= { 2足如下关系：4 -31+x(2 <x ≤ 5)6 6 ⎨ 48 .此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 2x 百元.已知这种水果的市场售价为 16 元/千克（即 16 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为 L ( x ) （单位：百元）.（1）求 L ( x ) 的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？答：当投入的肥料费用为2 -1元时，种植该果树获得的最大利润是66 - 8 元.⎧8x 2 +16 - 3x (0 ≤ x ≤ 2) 【经典正解】（1） L ( x ) = 16w ( x ) - 2x - x = ⎪ 64 - - 3x (2 < x ≤ 5) （2） 当0 ≤ x ≤ 2时⎪⎩L (x)=L (2)= 42max1+x当2 <x ≤ 5时L (x)= 67 -⎡8 + 3(x+1)⎤≤ 67 - 2⎢⎣x+1 ⎥⎦当且仅当48 x 1= 3(x+1)时，即x = 3 时等号成立答：当投入的肥料费用为 30 0 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元.【习题02 针对训练】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2016 年举行某一产品的促销获得，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用（t t）≥0万元满足x = 4 -k2t 1（k 为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2016 年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍（成产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．（1）求常数k ，并将该厂家 2016 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家 2016 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？。