圆锥曲线几何性质之离心率的求法.ppt

圆锥曲线离心率的求法进修目的1.控制求解椭圆.双曲线离心率及其取值规模的几类办法;2.造就学生的剖析才能.懂得才能.常识迁徙才能.解决问题的才能; 进修重难点重点：椭圆.双曲线离心率的求法;难点：经由过程回归界说,联合几何图形,树立目的函数以及不雅察图形.设参数.转化等门路肯定离心率教授教养进程：温习回想：圆锥曲线离心率的概念 一.求离心率探讨一：应用界说直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6,核心F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于．演习1：在正三角形ABC 中,点D.E 分离是AB.AC 的中点,则以B.C 为核心,且过D.E 的双曲线的离心率为( )A.53B.3－1C.2＋1D.3＋1 探讨二：结构关于e 的(a,b,c 的齐次)方程 例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上核心为F ,左.右极点分离为12,B B ,下极点为A ,直线2AB 与直线1B F 交于点P ,若22AP AB =,则椭圆的离心率为___________演习2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左.右核心分离是F1.F2,过F1作竖直角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )A.6B.3C.2D.33探讨三：以直线与圆锥曲线的地位关系为布景,设而不求肯定e 的方程例3．椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0),点F 的直线交椭圆于A.B 两点,→OA +→OB 求e?二.求离心率的规模(1.直接依据题意树立,a c 不等关系求解. 例 4.已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的半焦距为ｃ,若042<-ac b, 则双曲线的离心率规模是（ ） Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2.借助平面几何干系树立,a c 不等关系求解 例5.设12F F ，分离是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左.右核心,若在直线ｘ=2a c 上消失,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值规模是（ ）A ．(02，B ．(0C ．1)2 D.1)3.应用圆锥曲线相干性质树立,a c 不等关系求解.例6.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0) ,F1是左核心,O 为坐标原点,若双曲线上消失点P,使|PO|＝|PF1|,则此双曲线的离心率的取值规模是()A ．(1,2] B ．(1,＋∞)C．(1,3) D ．[2,＋∞)4.应用数形联合树立,a c 不等关系求解 例7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右核心为F,若过点F 且竖直角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值规模是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 5.应用函数思惟求解离心率 例8.设1>a ,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值规模是A ．)2,2( B.)5,2( C.)5,2( D.)5,2(演习 3. 设A1.A2,若在椭圆上消失异于A1.A2的点P ,使得02=⋅PA PO ,个中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值规模是A. B. C.小结：求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特点三角形.经常应用办法:1.应用曲线变量规模.圆锥曲中变量的变更规模对离心率的影响是直接的,充分应用这一点,可优化解题．2.应用直线与曲线的地位关系.依据题意找出直线与曲线相对的地位关系,列出相干元素的不等式,可敏捷解题．3.应用点与曲线的地位关系.依据某点在曲线的内部或外部,列出不等式,再求规模,是一个主要的解题门路．4.联立方程组.假如有两曲线订交,将两个方程联立,解出交点,再应用规模,列出不等式并求其解．5.三角函数的有界性.用三角常识树立等量关系,再应用三角函数的有界性,列出不等式易解．6.用根的判别式依据前提树立与ａ.ｂ.ｃ相干的一元二次方程,再用根的判别式列出不等式,可得简解7.数形结正当：解析几何和平面几何都是研讨图形性质的,只不过平面几何只限于研讨直线形和圆.是以,在题设前提中有关圆.直线的问题,或标题中结构出直线形与圆,可以应用平面几何的性质简化盘算. 演习1.如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b -=>的两极点为1A ,2A ,虚轴两头点为1B ,2B ,两核心为1F ,2F . 若认为12A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分离为,,,A B C D . 则双曲线的离心率e =;2.设12,F F0)b>的两个核心,P 是C 上一点,若1PF PF +30,则C 的离心率为___. 3.如图,1,F 2C 的公共核心,B A ,分离是1C ,2C 21BF AF 2C （ ）A ．2B ．3B ．C ．23D ．264.设双曲线C ：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1订交于两个不合的点A,B. 求双曲线C 的离心率e 的取值规模。

离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

圆锥曲线中离心率的求法在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。

1、公式法：即利用ace =这一公式求离心率。

[例1]已知椭圆m y mx5522=+的离心率510=e ，求m 的值。

解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+my x （1）当50<<m 时，51055,5,,5222=-==-=∴==m ac e m c m b a ，可得3=m ；（2）当5>m 时，5105,5,5,222=-==-=∴==m m a c e m c b m a ，可得325=m ；3253==∴m m 或。

[例2]已知双曲线的渐近线为x y 43±=，求双曲线的离心率。

解：（1）当双曲线的焦点在X 轴上时，可得：43=a b ，从而451222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+==a b a b a ac e ； （2）当双曲线的焦点在Y 轴上时，可得：43=b a ，同理可得35=e ； ∴双曲线的离心率为4535或。

2、几何法：求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设一条边，再想办法求出2a,2c ，从而可得离心率。

[例3]以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线)(11为左焦点F MF 是圆2F 的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）13- （B ）32- （C ）22（D ）23 解：如图，由题意得21F MF ∆为直角三角形，设12=MF ，则221=F F ，从而31=MF ，131322121-=+=+=∴MF MF F F e ，故选A 。

[例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。

解：设2,1,111===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ，()261212,2212222222221=-+=+=+=+=∴a PF PF c a ，3622-==∴ace 。