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动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解

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第十七章 动力学普遍方程

第十七章 动力学普遍方程
(i 1, 2, , n)
系统的总虚功为 ( Fi FNi FIi ) δ ri 0 利用理想约束条件
得到
i Ii i i
F
i
Ni
δ ri 0
(i 1, 2, , n)
(F F )δ r 0
(i 1, 2, , n)
—— 达朗贝尔－拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi 0 i 1, 2, , n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原理 而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
广义坐标和广义力
由n个质点所 组成的质点系 质点位置坐标 广义坐标 主 动 力
F1 , F2 , , Fn
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , q1 , q2 , , qN
N 3n S
, xn , yn , zn ,
第i个质点的位矢 虚位移
ri ri (q1 , q2 , , qN )
三、拉格朗日方程
d T T Qk＝ ( )－ k dt q qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改 写为：
d L L ( )－ ＝0 k dt q qk
式中：
L＝T－V
L称为拉格朗日函数，或动势。
本课件的部分动画来源于西工大的媒 体素材库，在此表示衷心的感谢。部分动 画与图片来源于互联网，版权不明，希望 版权所有人见到后与制作人员联系，我们 表示感谢。
第十七章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
一、动力学普遍方程 二、广义坐标和广义力 三、拉格朗日方程

动力学普遍方程及拉格朗日方程

动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程

例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC

动力学普遍方程和拉格朗日方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

动力学普遍方程和拉格朗日方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

d (
T
)
T
]
0
q q i1
dt
j
j
j
改写为
因为
q , 1
q .......q
2
n
相互独立性
得第二类拉格朗日方程
d T
dt q
T
q
Q j
j
j
若质点系所受全部主动力为有势力
Q
j
V
q
j
14/36
系统势能只是系统广义坐标函数
V
q 0 j
可得
d dt
[
(T
q
V
)
]
(T
q
V）
0
j
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数, 则上式为
24/36
L x
(
3 2
M
m)
x
1 2
ml
cos
d dt
L x
(3 2
M
m) x
1 2
ml cos
1 2
ml 2
sin
L x
k(x
l
)
0
L
1 ml 2
3
1 2
mlx cos
d dt
L
1 3
ml 2
1 2
mlxcos
1 2
mlx 2
sin
L 1 mlx sin mg l sin
2
2
且与水平地面平行弹簧一端相连，弹簧
另一端固定。质量为m，长为 均l 质杆
AB经过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆
盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动
拉式方程。
x

拉格朗日方程

拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式

整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24

4chap2动力学普遍方程和拉格朗日方程(II)解析

3
4. 拉格朗日方程的初积分(首次积分）
求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难, 但对于保守系统,在某些条件下,却很容易求得其初积分,使方 程组的求解变得简单起来. 现在,我们在上一节阐明的动能的 广义坐标表达式的基础上,来讨论拉格朗日方程的初积分。 拉格朗日函数可表示为
L = T – V = T2 + T1 + T0 – V
N
H
再根据欧拉齐次式定理(P56)有：
N N N L0 L L2 L1 k k k k 2 L2 L1 q q q q k k k k k 1 q k 1 q k 1 q k 1 q N
带入上式得： （2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E 即
d L k 1 dt q k
N N L k 0 q k q q k 1 k
其中
d L k dt q
d L L k k k q q q k q k dt q
由于势能函数 V 仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速 度的零次函数。设 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V
显然， L2 ， L1 和 L0 分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐 次函数和零次齐次函数，得 L=L2+L1+L0
1．广义能量积分—初积分之一
k ，并将这N个 将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以 q 式子相加，得
3. 动能的广义速度表达式
拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应 用拉格朗日方程时,须先计算出以广义坐标和广义速度表示 的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程,一般可将质点系 的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。

理论力学—拉格朗日方程PPT

m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23

理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程


i
0
在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程（达朗贝尔-拉格朗日原理）
解析表达式： x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3
或
Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 （a） 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1
或
Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
（b）
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ，得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的 斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆为m1 ，对轮心的 转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。

理论力学-拉格朗日方程


d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
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将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j

第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2

ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 二自由度系统具有两组虚 位移：
F δr m a δr
i 1 i i i 1 i i
N
N
i
0
F δr Q q
i 1 i i j 1 j
j
Q j ——广义力
n N ri ri q j ( mi ri ) q j mi ai δr i mi ri q j i 1 j 1 q j j 1 i 1 i 1
V＝V (q1 ,q2 , , qn ,t ) V 0, (j 1, 2, , n) q j
N
N
n
ri ri qj j 1 q j
n
ri Fi δr i mi ai δr i (Q j mi ri ) q j 0 q j i 1 i 1 j 1 i 1
N N n N
ri Q j mi ri 0 ( j 1, 2, q j i 1
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F1 , F2 , , FN
由N个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r1 , r2 ,
, rN
q1 , q2 , , qn
ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
由动力学普遍方程，得
N n
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2

B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
rA FIA m1g l
C
O1
x1

l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1

l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
r d N mri i dt q j i 1
N
j
j
N ri m r i i q j i 1

j
ri q j
ri 1 N 1 N T 2 mri (mi ri ri ) (mi vi ) q j 2 i 1 q j 2 i 1 q j q j i 1 ri T m r i q j q j i 1
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
解：5、求解联立方程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
(F m a ) δr 0
i i i i
(i 1, 2, , N )
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。
(F m a ) δr 0
i i i i i
(i 1, 2, , N )
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
j无关 与广义速度 q
ri ri 第一个Lagrange经典关系(消点) q j q j
n ri ri ri qk t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
n ri 2 ri 2 ri qk q j q j t k 1 q j qk
J2 1 m2 R 2 2

B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0