带有加权Lipschitz函数的交换子的有界性

加权解析Lipschitz空间的复合算子
任全玉;黄玲娣
【期刊名称】《河南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(34)1
【摘要】主要研究了单位圆上加权解析Lipschitz空间上的复合算子的有界性和紧性.
【总页数】3页(P136-138)
【关键词】加权解析Lipschltz空间;复合算子;算子有界;算子紧性
【作者】任全玉;黄玲娣
【作者单位】黄冈师范学院数学系;绍兴文理学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
【相关文献】
中加权解析Lipschitz空间上复合算子的有界性 [J], 张彦林;肖建斌;高智娟
2.从Bloch空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积 [J], 曹成堂
3.Lipschitz空间上的加权复合算子 [J], 周泽华;方中山
4.从混合模空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积 [J], 高超
5.从上半平面Hardy空间到一类解析函数空间的加权微分复合算子 [J], 秦春
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第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022452粗糙核M a r c i n k ie w i c z 积分在M o r r e y-A d a m s 空间上的有界性朱小杰,陶双平(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:借助L e b e s gu e 空间上的有界性,利用函数分解方法和实变技巧,证明粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,并给出L i p s c h i t z 函数和B MO 函数交换子的相应结果.关键词:M a r c i n k i e w i c z 积分;M o r r e y -A d a m s 空间;交换子;粗糙核中图分类号:O 174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-0999-08B o u n d e d n e s s o fM a r c i n k i e w i c z I n t e gr a l w i t h R o u g hK e r n e l o n M o r r e y -A d a m s S pa c e s Z HU X i a o j i e ,T A OS h u a n g p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :W i t h t h eh e l p o f t h eb o u n d e d n e s so f t h eL e b e s g u es p a c e s ,b y a p p l y i n g t h ed e c o m po s i t i o n m e t h o do ff u n c t i o na n dr e a lv a r i a b l et e c h n i q u e s ,t h eb o u n d e d n e s so f M a r c i n k i e w i c zi n t e gr a lw i t h r o u g hk e r n e l w a s p r o v e d o n M o r r e y -A d a m ss p a c e s .M e a n w h i l e ,t h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l to fi t s c o mm u t a t o rw i t hL i ps c h i t z a n dB MOf u n c t i o n sw a s g i v e n .K e y w o r d s :M a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l ;M o r r e y -A d a m s s p a c e ;c o mm u t a t o r ;r o u g hk e r n e l 收稿日期:2022-11-18. 网络首发日期:2023-07-10.第一作者简介:朱小杰(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事调和分析的研究,E -m a i l :z h u x j _242@163.c o m.通信作者简介:陶双平(1964 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事调和分析及其应用的研究,E -m a i l :t a o s p@n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201500).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230707.1455.001.h t m l .1 引言与主要结果设Ω为ℝn 上的零次齐次函数,满足以下消失矩条件:ʏSn -1Ω(x ᶄ)d σ(x ᶄ)=0,(1)其中:x ᶄ=x x,x ʂ0;S n -1表示ℝn (n ȡ2)中的单位球面,d σ(x ᶄ)为其上的L e b e s gu e 测度.高维M a r c i n k i e w i c z 积分μΩ定义为μΩ(f )(x )=ʏɕ0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f (y )d y 2d s sæèçöø÷31/2.(2)设b 是一个局部可积函数,则由μΩ和b 生成的交换子定义为Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩ,b (f )(x )=b (x )μΩ(x )-μΩ(b f )(x )=ʏɕ0F Ω,b ,s (f )(x )2d s s æèçöø÷31/2,(3)其中F Ω,b ,s (f )(x )=ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1(b (x )-b (y ))f (y )d y . M a r c i n k i e w i c z [1]首次提出了一维M a r c i n k i e w i c z 算子:μ(f )(x )=ʏ2πF (x +t )+F (x -t )-2F (x )2t3d æèçöø÷t 1/2, x ɪ[0,2π],其中F (x )=ʏxf (t )d t ;之后,Z y g m u n d [2]证明了μ在L e b e s g u e 空间L p (ℝ)(1<p <ɕ)上是有界的;S t e i n [3]给出了高维空间上M a r c i n k i e w i c z 积分的定义如式(2)所示,并证明了当Ω连续且满足L i p s c h i t z 条件时,μΩ在L p (ℝn )(1<p <2)上是有界的;B e n e d e k 等[4]证明了当ΩɪC 1(S n -1)(1<p <ɕ)时,μΩ在L e b e s g u e 空间上是有界的;陶双平等[5]研究了M o r r e y 空间上M a r c i n k i e w i c z 积分算子与具有离散系数的正则有界平均振荡空间生成的交换子的有界性;王静等[6]给出了时空混合M o r r e y 空间的定义,同时证明了R i e s z 位势㊁M a r c i n k i e w i c z 积分算子及交换子在时空混合M o r r e y 空间上的加权有界性.定义1[7] 设0ɤλɤn ,1ɤp <ɕ,M o r r e y 空间定义为L p ,λ(ℝn )=f (x )ɪL p l o c: f L p ,λ=s u p x ɪℝn,r >0r -λ/p f L p (B (x ,r ))<{}ɕ,其中B (x ,r )={y ɪℝn:x -y <r }.定义1中的M o r r e y 范数 ㊃ L p ,λ可写成如下形式: f L p ,λ=s u p x ɪℝn㊃-λ/pf L p (B (x ,㊃)) L ɕ(0,ɕ).M o r r e y [7]在研究二阶椭圆偏微分方程解的局部特征性质时引入了M o r r e y 空间,该类函数空间可视为L e b e s g u e 空间的推广,且在偏微分方程等领域有重要应用.A d a m s [8]用L θ范数 ㊃ L θ(0,ɕ)代替M o r r e y 范数中的L ɕ范数 ㊃ L ɕ(0,ɕ),得到了一种范围更广的M o r r e y 空间L p ,λθ(ℝn ).目前,关于M o r r e y 型空间上算子有界性的研究已得到广泛关注[9-12].S a l i m 等[13]证明了粗糙核分数次积分算子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.受文献[5-6,13]研究结果的启发,本文主要讨论粗糙核M a r c i n k i e w i c z 算子及其与L i p s c h i t z 函数和B MO 函数生成的交换子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.定义2[13] 设1ɤp <ɕ,λɪℝ,1ɤθ<ɕ,M o r r e y -A d a m s 空间定义为L p ,λθ(ℝn )=f (x )ɪL pl o c : f L p ,λθ=s u p x ɪℝnʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (x ,r ))d ()r1/θ<{}ɕ.如果p θ<λ<n +p θ,则L p ,λθ空间是非平凡的.例如,取f (x )=χB (0,r 0),则有 χB (0,r 0) L p ,λθ=c n r (n -λ)/p +1/θ0,其中c n 是正常数,从而f ɪL p ,λθ,且在L p ,λθ空间中λ可以大于函数值域的维数.与L e b e s g u e 空间L θ(0,ɕ)和L ɕ(0,ɕ)之间的关系相似,空间L p ,λθ和L p ,λ之间不存在包含关系.例如,取f (x )=x-(n -λ)/p,则易证函数f 在空间L p ,λ上,但不在空间L p ,λθ上.另一方面,取f (x )=x-(n -λ)/pχB (0,1)(x ),其中λ-p θ<k <n ,则函数f 在空间L p ,λθ上,而不在空间L p ,λ上.为讨论M a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子μΩ,b 在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,需介绍粗糙核极大算子M Ω:M Ωf (x )=s u p r >0r -n ʏB (x ,r)Ω(x -y )f (y )d y ,当ΩɪL 1(Sn -1)时,算子M Ω在L p 空间上是有界的,其中p >1.定义3[14] B MO 空间定义为001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.B MO (ℝn )=f ɪL 1l o c (ℝn ): f *=s u p x ɪℝn,r >01B (x ,r )ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )d y <{}ɕ,其中f B =1BʏBf (y )d y .定义4[14] 设0<β<1,L i p s c h i t z 空间定义为L i p β(ℝn )=f : f L i p β=s u px ,y ɪℝn ,x ʂy f (x )-f (y )x -y β<{}ɕ. 本文的主要结果如下.定理1 设ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ由式(2)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ(f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ. 定理2 设b ɪL i p β(0<β<1),1<p <ɕ,0<β<m i n1,n ,n -λp +1{}θ,n -γq +1ψ=n -λp +1θ-β, θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,(4)当ΩɪL s (S n -1)时满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果s ȡp ᶄ=p p -1,且λɤγ<n 或n <γɤλ,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ,b (f ) L q ,γψɤC f L p ,λθ. 定理3 设b ɪB MO (ℝn ),ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 μΩ,b (f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ.2 主要结果的证明引理1[13] 若ΩɪL s (S n -1),且s ȡp ᶄ=p p -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 M Ω(f )L p ,λθɤC f L p ,λθ. 引理2[15]设f ɪB MO (ℝn ),则对ℝn 中的任意球B 和1<p <ɕ,有 f *ʈs u p x ɪℝn ,r >01B (x ,r)ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )pd æèçöø÷y 1/p. 引理3 设f ɪL p ,λθ,ΩɪL s (S n -1),s ȡp ᶄ=p p -1,且β<n -λp+1θ,则对几乎处处的x ɪℝn ,存在仅与Ω有关的常数C Ω>0,使得μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))ν f 1-ν,其中ν=1-βp θ(n -λ)θ+p .证明:固定x ɪℝn ,R >0,记f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,R ),f 2=f χB (x ,R )c .利用μΩ,b 的线性性质,有μΩ,b f (x )ɤμΩ,b f 1(x )+μΩ,b f 2(x )ʒ=A +B . 对于A ,由M i n k o w s k i 不等式,得A ɤC ʏɕ0ʏ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f 1(y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i p βʏB (x ,R )ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1-βf (y æèçöø÷)2d s s æèçöø÷31/2d y ɤ1001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C b L i pβʏB (x ,R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC b L i p βðɕj =1ʏB (x ,2-j+1R )\B (x ,2-j R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC R β b L i p βM Ωf (x ). 对于B ,因为β<n -λp+1θ,所以由F u b i n i 定理和H öl d e r 不等式,得B ɤC ʏɕ0ʏB (x ,R )c ɘ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f (y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i pβʏB (x ,R )cΩ(x -y )x -y n -βf (y )dy ɤC b L i pβʏB (x ,R )c Ω(x -y )f (y )ʏɕx -yh β-n -1dh d y ɤC b L i pβʏɕRʏB (x ,h )Ω(x -y )f (y )h β-n -1d yd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1ʏB (x ,h )Ω(x -y )pᶄd ()y 1/pᶄʏB (x ,h )f (y )pd ()y 1/pd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1h n /p ᶄ Ω L s (S n -1) fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh β-n /p -1 fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh -λθ/pf θL p (B (x ,h ))d ()h 1/θʏɕR(hβ-(n -λ)/p -1)θᶄd ()h 1/θᶄɤC b L i p βΩ L s (S n -1)R β-(n -λ)/p-1/θ f L p ,λθ.从而有μΩ,b f (x )ɤC b L i p β(R βM Ωf (x )+R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ).由文献[16]中引理4.1的方法可得μΩ,b f (x )ɤC b L i p βs u p R >0m i n {R βM Ωf (x ),R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ}=C b L i p β(M Ωf (x ))1-βp θ/((n -λ)θ+p ) f βp θ/((n -λ)θ+p )L p ,λθ Ω βp θ/((n -λ)θ+p )L s (Sn -1).取ν=1-βp θ(n -λ)θ+p,进而有μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))νf 1-νL p ,λθ,这里C Ω是指仅依赖于Ω的正常数.证毕.2.1 定理1的证明设z ɪℝn ,任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩf 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=G +H .对于G ,由μΩ在L p(ℝn )空间上的有界性,易得G ɤC Ωʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (z ,r ))d ()r1/θɤC Ω f L p ,λθ.对于H ,注意到当x ɪB (z ,r ),y ɪB (z ,2r )c ⊂B (x ,r )c 时,有12z -y ɤx -y ɤ32z -y .因此2001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩf 2(x )ɤʏz -y0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2+ʏɕz -y ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2ʒ=I 1+I 2.对于I 1,注意到x -y ʈz -y ,结合中值定理,有1x -y2-1z -y2ɤCx -zx -y 3.再由M i n k o w s k i 不等式,得I 1ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏz -yx -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )x -z 1/2x -y 3/2d y ɤC 1z -y 1/2ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .对于I 2,同理有I 2ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏɕz -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .注意到如果y ɪB (z ,2r )c ,则y ɪB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )(j ȡ1),因此可得μΩf 2(x )ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y sᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/s.再利用球坐标变换,有ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/sɤʏB (x ,2jr )Ω(x -y )sd ()y 1/sɤʏB (x ,2jr +x -y )Ω(u )sd ()u 1/sɤʏB (x ,2j+1r)Ω(u )sd ()u 1/sɤʏSn -1ʏ2j+1rΩ(u ᶄ)sd δ(u ᶄ)ρn -1d ()ρ1/sɤC Ω L s (Sn -1)(2j+1r )n /s.由H öl d e r 不等式,得ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j +1r )-1ʏB (z ,2jr )f (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j r)-1ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y 1/pʏB (x ,2j+1r)d ()y1(p/s ᶄ)ᶄs ᶄɤC ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ-n f L p (B (z ,2j +1r)).所以μΩf 2(x )ɤC Ω L s (S n -1)ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ+ns -n f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ωðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)). 令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,可得3001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p (r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r))d r )1/θɤC Ωðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t ))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω f L p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j /θ.注意到当λ<n +p θ时,级数ðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ收敛.定理1证毕.2.2 定理2的证明固定z ɪℝn ,由引理3得ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψ.由已知条件(4)得ν=1-βp θ(n -λ)θ+p =(n -λ)/p +1/θ-β(n -λ)/p +1/θ=(n -γ)/q +1/ψ(n -λ)/p +1/θ=θψ.再由已知条件λɤγ<n 或n <γɤλ以及θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,可得νɤp q .令l =p νq,结合引理1和H öl d e r 不等式,有ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r))d ()r 1/ψɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)(M Ωf )νqd ()x ψ/q d ()r 1/ψɤ C Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)M Ωf νql d ()x ψ/(l q )ʏB (z ,r)d ()x ψ/(l ᶄq )d ()rν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r ψ(n -γ)/q -n θ/p ʏB (z ,r)M Ωf pd ()x θ/pd ()r ν/θɤ C Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -λθ/pM Ωf θL p (B (z ,r ))d ()r ν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθ M Ωf νL p ,λθɤC Ω b L i p βf L p ,λθ.定理2证毕.2.3 定理3的证明设z ɪℝn ,对任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=Q +P .对于Q ,由μΩ,b 在L p(ℝn )空间上的有界性,易得Q ɤC Ω b *ʏɕ0r -λθ/pf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωb * f L p ,λθ.对于P ,由定理1的证明,可得μΩ,b f 2(x )ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b (y )d y ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b B (z ,r )d y +C ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b (y )d y ʒ=J 1+J 2.对于J 1,有J 1ɤC b (x )-b B (z ,r)ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤ4001吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C Ωb (x )-b B (z ,r)ðɕj =1(2jr )-n /pf L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由引理2,得ʏɕ0r -λθ/pJ 1 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ωʏɕ0r -λθ/pðɕj =1(2j r )-n f pL p (B (z ,2j +1r))ʏB (z ,r)b (x )-b B (z ,r)pd ()x θ/pd ()r1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r ))1B (z ,r )ʏB (z ,r )b (x )-b B (z ,r )p d æèçöø÷x θ/p d æèçöø÷r 1/θɤ C Ω b *ðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤ C Ω b * fL p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ.对于J 2,有J 2ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )d y +C ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )Ω(x -y )x -y n f (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ʒ=J 21+J 22.注意到当b ɪB MO (ℝn )时,有b B (z ,2j +1r )-b B (z ,r )ɤC (j +1) b *,则J 21ɤC ðɕj =1b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC b *ðɕj =1(j +1)ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y .对于J 22,由Höl d e r 不等式,得J 22ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -ynf (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r )(f (y )b B (x ,2j +1r)-b (y ))s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )s d ()y1/sɤC Ωðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )s ᶄb B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y1/pʏB (z ,2j+1r)b B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄd ()y1s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄɤC b * Ω L s (S n -1)ðɕj =1B (x ,2j r )1s ᶄ(p /s ᶄ)ᶄ+1s -1 f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ω b *ðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,得ʏɕ0r -λθ/pJ 2 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2-j n /p r -λθ/p f θL p (B (z ,2j +1r))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω b * fL p ,λθðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p -j/θ.5001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.注意到当λ<n+pθ时,级数ðɕj=12j(λ-n)/p-j/θ收敛.定理3证毕.参考文献[1] MA R C I N K I E W I C ZJ.S u r Q u e l q u e sI n tég r a l e s D u T y p e d e D i n i[J].A n n a l e s d el a S o c iétéP o l o n a i s e d eM a t hém a t i q u e,1938,17:42-50.[2] Z Y GMU N D A.O nC e r t a i n I n t e g r a l s[J].T r a n sA m e rM a t hS o c,1944,55:170-204.[3] S T E I N E M.O n t h eF u n c t i o n s o f L i t t l e w o o d-P a l e y,L u s i n a n dM a r c i n k i e w i c z[J].T r a n sA m e rM a t hS o c,1958,88(2):430-466.[4] B E N E D E K A,C A L D E RÓN AP,P A N Z O N ER.C o n v o l u t i o nO p e r a t o r s o nB a n a c hS p a c eV a l u e dF u n c t i o n s[J].P r o cN a tA c a dS c iU S A,1962,48(3):356-365.[5]陶双平,逯光辉.M o r r e y空间上M a r c i n k i e w i c z积分与R B MO(μ)交换子[J].数学学报(中文版),2019,62(2): 269-278.(T A OSP,L U G H.C o mm u t a t o r s o fM a r c i n k i e w i c z I n t e gr a l sw i t hR B MO(μ)o n M o r r e y S p a c e s[J].A c t aM a t h e m a t i c aS i n i c a(C h i n e s eS e r i e s),2019,62(2):269-278.)[6]王静,陶双平.混合M o r r e y空间上M a r c i n k i e w i c z积分的加权估计[J].吉林大学学报(理学版),2022,60(5):1015-1022.(WA N GJ,T A OSP.W e i g h t e dE s t i m a t i o no fM a r c i n k i e w i c z I n t e g r a l o n M i x e d M o r r e y S p a c e s[J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(5):1015-1022.)[7] MO R R E YCB.O n t h eS o l u t i o n s o fQ u a s i-l i n e a rE l l i p t i cP a r t i a lD i f f f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[J].T r a n sA m e r M a t hS o c,1938,43(1):126-166.[8] A D AM SDR.L e c t u r e s o n L p-P o t e n t i a lT h e o r y[R].Um e㊃a,S w e d e n:Um e㊃aU n i v e r s i t e t,1981.[9] B U R E N K O V VI,G O L D MA N M L.N e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s f o r t h eB o u n d e d n e s so f t h e M a x i m a lO p e r a t o r f r o m L e b e s g u eS p a c e s t o M o r r e y-T y p eS p a c e s[J].M a t h I n e q u a lA p p l,2014,17(2):401-418. 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薛定谔型算子的交换子的加权l~p有界性
含有交换子的薛定谔型算子有着良好的有界性，此有界性主要表现在其l~p加权中。

下面是l~p加权有界性的几种表现形式：
I.L1加权有界性:L1加权有界性表明，算子的组成元素是通过l1范式进行加权，其吸收小值而抵抗大值，从而提升算子的安全性和稳定性。

II.L2加权有界性:L2加权有界性表明，算子的组成元素是通过l2范式进行加权，其能够抑制病态数据带来的紊乱，能够有效克服算子计算过程中的噪声，从而提高算子的稳定性。

III.P加权有界性:P加权有界性表明，算子的组成元素是通过p范式进行加权，其强调更多的元素的一致性，可以有效克服噪声带来的影响，从而在高维空间中保持有界性。

以上就是薛定谔型算子的l~p加权有界性的几种表示形式。

l1加权有界性可以抵抗大值的负面影响，能够显著提升安全性和稳定性；l2加权有界性可以抑制病态数据带来的紊乱，从而提高算子的稳定性；而p 加权有界性可以有效克服噪声影响，保持高维空间的有界性。

总之，薛定谔型算子的l~p加权有界性是一种有效的处理算子有界性的方法，有助于提高算子的稳定性和安全性。

liptschitz函数-回复什么是Lipschitz函数？Lipschitz函数是一种数学函数，以19世纪初德国数学家Rudolf Lipschitz的名字命名。

它是一类特殊的函数，具有一种特殊的连续性属性，即被称为Lipschitz连续性。

Lipschitz连续性是指存在一个正常数K，对于定义在实数集上的函数f(x)，使得对于任意的x1和x2，都满足以下关系式：f(x1) - f(x2) ≤K x1 - x2这意味着在定义域上的任何两个点之间，函数值之差的绝对值都不会超过它们的自变量差的绝对值与常数K的乘积。

换句话说，Lipschitz函数的斜率总是有一个上限。

Lipschitz函数是一类非常有用和有限制条件的函数，它们在分析、优化、概率、微分方程等诸多领域发挥着重要作用。

Lipschitz函数的性质：Lipschitz函数的定义和性质使它们在数学中具有许多有用的特性。

下面是一些Lipschitz函数的一些重要性质：1. 函数的局部有界性：Lipschitz连续的函数在其定义域的任何有界子集上都是有界的。

这使得它们在分析中的应用非常有用。

2. 函数的一致连续性：Lipschitz函数在其定义域上是一致连续的。

这意味着对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当x1 - x2 < δ时，f(x1) - f(x2) < ε。

这种连续性性质在数学分析中经常使用。

3. 函数的存在唯一性：对于某些类型的微分方程，满足Lipschitz条件的函数可以保证存在唯一的解。

这使得Lipschitz函数在微分方程的研究中具有重要意义。

4. 函数的收敛性：对于Lipschitz函数列，在紧致集上，它们存在一个在该集合上一致收敛的子列。

这也是Lipschitz函数在概率和优化问题中的一个重要应用。

5. 函数的导数有界性：如果Lipschitz函数在定义域上都可导，那么它们导数的绝对值有一个上限。

这对于解决一些优化和微分方程问题非常重要。

Lipschitz条件和局部Holder条件的关系Lipschitz条件和局部Holder条件是数学分析中经常使用的两种条件，在研究函数的连续性和导数存在性质时具有重要的意义。

本文将探讨Lipschitz条件和局部Holder条件之间的关系。

一、Lipschitz条件的定义和性质Lipschitz条件是由德国数学家Lipschitz在19世纪提出的。

它描述了一个函数的变化率的上界。

具体来说，给定一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个常数K>0，使得对于该区间上的任意两个点x和y，都满足以下条件：|f(x) - f(y)| ≤ K| x - y |，（1）那么我们称函数f(x)满足Lipschitz条件，常数K就是Lipschitz常数。

Lipschitz条件意味着函数的变化率受到了一定的限制，函数图像在整个定义域上的波动不会太大。

如果一个函数满足Lipschitz条件，可以得出以下性质：1. 函数f(x)在定义域[a, b]上是有界的。

2. 函数f(x)在定义域[a, b]上是一致连续的。

3. 函数f(x)在定义域[a, b]上的导数是有界的。

二、局部Holder条件的定义和性质局部Holder条件是由法国数学家Holder在19世纪提出的。

与Lipschitz条件类似，局部Holder条件描述了函数在两个点之间的变化率。

给定一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在正常数α和K，使得对于该区间上的任意两个点x和y，都满足以下条件：|f(x) - f(y)| ≤ K |x - y|^α，（2）那么我们称函数f(x)满足局部Holder条件，常数K是Holder常数，指数α是Holder指数。

局部Holder条件比Lipschitz条件更加一般化，因为指数α可以取任意正实数。

当α=1时，局部Holder条件就等价于Lipschitz条件。

当α小于1时，函数的变化率可以更加剧烈。

lipschitz型函数
Lipschitz型函数是指满足Lipschitz条件的函数，它是一种特殊的连续函数，其定义如下：设$f(x)$是定义在$[a,b]$上的函数，若存在常数$K>0$，使得对任意$x,y\in[a,b]$，都有$|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$，则称$f(x)$是Lipschitz型函数，常数$K$称为Lipschitz常数。

Lipschitz型函数的特点是，它的导数存在且恒定，即$f'(x)$存在，且$|f'(x)|\leq K$，其中$K$为Lipschitz常数。

因此，Lipschitz型函数的导数是一个有界函数，它的值不会无限增大或无限减小，这也是Lipschitz型函数的一个重要特点。

另外，Lipschitz型函数的另一个重要特点是，它的函数值变化不会过于剧烈，即$f(x)$的变化不会超过$K|x-y|$，其中$K$为Lipschitz常数。

因此，Lipschitz型函数的变化是有规律的，不会出现突变现象。

Lipschitz型函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来求解微分方程，也可以用来求解最优化问题。

此外，Lipschitz型函数还可以用来证明函数的连续性，以及求解函数的极限等。

总之，Lipschitz型函数是一种特殊的连续函数，它具有导数存在且恒定、函数值变化不会过于剧烈等特点，在数学中有着广泛的应用。

Lipschitz 函数和非光滑核奇异积分算子的交换子谢佩珠【摘要】In this paper,we introduce the Triebel spaces F·βA,∞p associated with “generalized approximations tothe identity”At and then consider the boundedness of the commutators of Lipschitz functions and singular integraloperators T with non-smooth kernels from Lp to F·βA,∞p.%定义了与“恒等逼近算子”At相联系的Triebel空间F·βA，∞p，研究了Lipschitz函数和非光滑核奇异积分算子T的交换子从Lp空间到F·βA，∞p空间的有界性。

【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)005【总页数】4页(P27-30)【关键词】交换子;Lipschitz 函数;非光滑核;Triebel 空间【作者】谢佩珠【作者单位】广州大学数学与信息科学学院，广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O174In this paper, we assume that (X,d,μ) is a space of homogeneous type with infinite measure, that is μ(X)=∞. For all continuous functions f with compact support, there exists a measurable function K(x,y) such that holds for almost all x not in the support of f, then we call K(x,y) be anassociated kernel of T. In Ref.[1], DUONG, et al. have defined the singular integral operator with non-smooth kernel. An operator T is called singular integral operator with non-smooth kernel if it satisfies the following:(i) There exists “generalized approximations to the identity” {At}t>0, which satisfy the condition (6) in Section 1, such that T-AtT have associated kernels kt(x,y) and when d(x,y)≥c1t1/m,holds for some γ,m>0 and(ii) There exists “generalized approximations to the identity” {Bt}t>0, which satisfy the condition (6) in Section 1, such that the associated kernels Kt(x,y) of T-TBt satisfyfor all y∈X, where c2 and c3 are positive constants.In Ref.[2], DUONG, et al. have proved that if T is a singular integral operator with non-smooth kernel and bounded on Lq(X) for some 1<q<∞, then for b∈BMO(X), the commutator [b,T] is bounded on Lp(X) for all1<p<∞, where the commutator [b,T] is defined by [b,T](f)=T(bf)-bT(f). For the study on the boundedness of the commutator, see Refs[3-8].In this paper, we introduce the Triebel spaces associated with “generalized approximations to the identity” {At}t>0, which is defined as (6) in Section 1. And then we study the boundedness of commutators of Lipschitz functions and singular integrals with non-smooth kernels from Lp to . The main result of this paper is as follows.). Then there exists a constant C such thatfor 1<p<∞.Throughout the paper, the letter “C” will denote (p ossibly different)constants that are independent of the essential variables.Let μ be a measure on X and let d be a metric on X. Then we call topological space X to be a space of homogeneous type if it satisfies the doubling property, that is, there exist s a constant C≥1, such that for all balls B(x,r)={y∈X:d(y,x)<r}For the definition of homogeneous type space, one can see Ref.[9], Chapter 3.Using the doubling property, we can obtain that there exist C,n>0 such thatholds for all λ>1. The parameter n is a measure of the dimension of the space. We can also obtain that there exist C and N,0≤N≤n such that for all x,y∈X and r>0holds. Indeed, using triangle inequality of d and (4), we can obtain (5) with N=n. It is easy to see that for the Euclidean spaces Rn, we can let N=0. Now, we define the Hardy-littlewood maximal function Mrf, 1≤r<∞. That is If r=1,we denote M1f by Mf.“Generalized approximations to the identity” {At}t>0 previously appeared in Ref.[1]. We call {At}t>0 be “generalized approximations to th e identity” if the associated kernels at(x,y) of At satisfywhere m is a positive constant and s is a positive, bounded, decreasing function satisfyingfor some ζ>0, where n and N are constants in (4) and (5).Using (5) and (7), we haveNow we define Trieb el spaces associated with “generalizedapproximations to the identity” {At,t>0}.The homogenous Lipschitz function spaceWhere denotes the k th difference operator[10].We have the following lemmas.Lemma 1[10] For 0<β<1, 1≤q<∞, we have,where ∫Bf(x)dx. For q=∞, the formula should be modified appropriately. Lemma 2[10] Let B*⊂B⊂.It is easy to know that the above Lemmas all have their counterpart in spaces of homogeneous X with almost identical proofs whenever μ(X)=∞. Lemma 3[1] For every p∈[1,∞), there exists a constant C such that for every f∈Lp(X), Atf(x)≤CMf(x).It is proved in Ref.[1] that if T is an operator bounded on L2(X) and satisfying (i) and (ii) in Section 0, then T is bounded on Lp(X) for all 1<p<∞. Proof of Theorem 1For an arbitrary fixed x∈X, choose a ball B(x0,r) which contains x. Fixf∈Lp(X),p>1 and let f1=f 2B and f2=f-f1. Choose two real numbers r and s greater than 1 such that 1<rs<p. One writesandAtB[b,T]f=AtB((b-bB)Tf)-AtBT((b-bB)f1)-AtBT((b-bB)f2),I+II+III+IV+V.Let r′ be the dual of r such that 1/r+1/r′=1. Using the Holder inequality andLemma 2, we have).By Lemmas 2, 3 and the Lp boundedness of T,II≤).Similarly, by Lemmas 1, 2, 3, and the Lp boundedness of T, we obtainWe now consider the term V. Using the assumption (i), we have).We now take the supremum over all B such that x∈B, and Lp the norm of both sides, we conclude thatThe Theorem 1 is proved.[1] DUONG X T, MCINTOSH A. 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lipschitz函数Lipschitz函数是实分析中的一个重要概念，用于刻画函数的局部变动程度。

它由德国数学家Rudolf Lipschitz在19世纪提出，并被广泛应用于各个领域。

首先，我们可以定义Lipschitz函数。

给定一个定义域为实数集的函数f(x)，如果存在一个常数L（称为Lipschitz常数），使得对于任意的x1和x2，都有：f(x1)-f(x2)，≤L，x1-x2，,那么我们称f(x)为Lipschitz函数。

这个定义可以直观地理解为函数在定义域内的任意两点之间的函数值之差与自变量之差的比值都不会超过常数L。

Lipschitz函数的一个关键特性是它的导数在定义域内都有界。

具体来说，如果函数f(x)是Lipschitz函数，那么对于定义域内的任意一点x0，存在一个常数M（称为Lipschitz常数的上界），使得对于任意的x，都有：f'(x)，≤M.换句话说，Lipschitz函数的导数不会无限增长，而是有界的。

Lipschitz函数的一个重要应用是它在微分方程中的使用。

许多微分方程的解在一些条件下可以证明为Lipschitz函数。

通过这种性质，人们可以推导出这些微分方程的一些重要结果，例如存在唯一性定理和稳定性定理等。

此外，Lipschitz函数还在优化问题中发挥着重要的作用。

在许多最优化算法中，对目标函数使用Lipschitz函数进行逼近可以加快算法的收敛速度，并提高解的稳定性。

尽管Lipschitz函数具有许多优点，但它也有一些限制。

其中一个限制是Lipschitz常数L的选择可能不唯一、在给定函数的定义域上可能存在多个不同的Lipschitz常数。

此外，并非所有函数都满足Lipschitz条件。

一些函数可能在一些点上变化非常剧烈，无法满足Lipschitz函数的定义。

总结起来，Lipschitz函数是实分析中的重要概念，用于刻画函数的局部变动程度。

它的导数在定义域内有界，具有许多重要应用，特别是在微分方程和优化问题中。

西北师范大学硕士学位论文Herz和Morrey-Herz空间上几类交换子的有界性姓名：何儒彬申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：陶双平2008-06摘　要本文共分三章,主要讨论几类交换子在Herz和Morrey-Herz空间上的有界性问题.第一章得到了在非二倍测度下,一类由次线性算子T和RBMO(µ)函数a生成的交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果.第二章给出了一类粗糙核多线性分数次奇异积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性结果,同时建立了这类算子和相应极大算子所生成的高阶交换子在M˙Kα,λp,q(R n)上的有界性.第三章证明了齐次Herz型Hardy空间上一类交换子的有界性.关键词:δ-Calder´o n-Zygmund算子;粗糙核算子;交换子;RBMO(µ);Lip-schitz函数;Morrey-Herz空间.AbstractThe thesis mainly discusses the boundedness of some commutators on Herz and Morrey-Herz spaces.In Chapter1,we obtain the boundedness of the commutator[a,T]on the homoge-neous Morrey-Herz spaces with non-doubling measures,where a∈RBMO(µ)and T is a sublinear operator.In Chapter2,we investigate the boundedness results on the homogeneous Morrey-Herz spaces for the fractional multilinear singular integral operators with rough kernel.In the meanwhile,we also establish the boundedness results of the higher order commutators generated by the operator with rough kernel and the corresponding maximal operator on the Morrey-Herz spaces.In Chapter3,we consider the boundedness of Calder´o n-Zygmund commutator fromH˙Kα,pq(R n)to h ˙Kα,pq(R n),where H˙Kα,pq(R n)is the Hardy space associated with Herzspace˙Kα,pq(R n)and h ˙Kα,pq(R n)is the local version of H˙Kα,pq(R n).Key words:δ-Calder´o n-Zygmund operator;Rough kernel operator;commutators; RBMO(µ);Lipschitz function;Morrey-Herz space.独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。