极限的有界和局部有界性

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2-2极限(3)

m>n m=n m<n
∞ an bm ≠ 0 ) ( ∞
注意涉及无穷大的极限问题 ( ±∞ ) + ( ±∞ ) ( ±∞ ) − ( ±∞ ) ∞⋅∞ ∞ = ∞ 有界量即可 A+ ∞ + ∞ 肯定型）（肯定型） A A ⋅ ∞ ( A ≠ 0) 极限存在 0 ln x 2 lim lim lim =∞ 例 x → 0+ ln x = −∞ ⇒ x → 0 ( x + ln x ) = ∞ , x → 0
存在可推广至有限个的情形，则
★由lim C = C，可得 lim C f ( x ) = C lim f ( x ) n n lim f x ★ lim f ( x ) = lim f ( x )
证明：利用极限基本定理．证明：利用极限基本定理．
x → x0
lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lim α ( x ) + β ( x ) = 0
注意
无限多个无穷小的和未必是无穷小. 无限多个无穷小的和未必是无穷小.
定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小
除非
须区别对待．须区别对待．【例7】 lim x →∞
lim
2 x arctan x x + ( arctan x )
→∞
ln G ， ∀ G > 0 ，若使 | q |> G，得 n > ln | q | ln G 取 N= ．则当n > N时, 成立 | q n |> G． ln | q | lim q n = ∞．说明数列 {q n } 发散．发散．即

1-4极限的基本性质

如何求 M ？可取
M max{ x1 , x2 ,..., x N , a 1}.
证设取 1 , 则 N Z , 当n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
取则有

xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
关系： xn 收敛
xn 有界
反之未必成立 . 例如, 数列 ( 1 )n1 虽有界但不收敛 .
推论无界数列必发散. 定理1.2'(函数极限的局部有界性) 如果极限 lim
x
f ( x ) 存在,
例如: 数列 xn 1 n 1 （）
数列 xn 2
[ M , M ]上.
n
有界
无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间
定理1.2 (收敛数列的有界性) 如果数列 { xn }收敛,那么数列
{ xn } 一定有界.
问题
xn
对于无限多项
( n 1, 2, ...)，
f ( x) A .
又 lim xn x0 且 xn x0 ,
n
对上述 0, 正整数N , 使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A , 故 lim f ( xn ) A.
n
注 1° 常常利用上述结果来求数列的极限:
n
ab 2
,
故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
ab 2 ab 2 xn

函数与极限基本原理

函数与极限基本原理在数学中，函数是一种非常重要的概念，而极限则是函数研究中的基本原理之一。

本文将介绍函数与极限的基本原理，包括定义、性质和应用。

一、函数的定义和性质函数是数学中一种非常常见且重要的概念。

简而言之，函数是一种将自变量映射到因变量的规则或关系。

函数可以用符号表示，如f(x)或y，其中x为自变量，y为因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数对应的因变量的取值范围。

函数具有以下性质：1. 一一对应性：函数的每个自变量只能对应唯一一个因变量，反之亦然。

这意味着函数中不会出现两个不同的自变量对应同一个因变量的情况。

2. 奇偶性：函数可以分为奇函数和偶函数。

奇函数满足f(x)=-f(-x)，即关于原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，即关于y轴对称。

3. 单调性：函数可以分为增函数和减函数。

增函数的值随着自变量的增大而增大，减函数的值随着自变量的增大而减小。

二、极限的定义和性质极限是函数研究中的基本原理之一，它描述了函数在某一点附近的表现。

简而言之，极限可以理解为函数在自变量趋近于某一点时，对应的因变量的趋势或趋近值。

1. 极限的定义：设f(x)是定义在区间(a, b)上的函数，c为(a, b)内的某一点。

如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-c|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称极限lim┬(x→c)⁡f(x)=L。

其中L为函数f(x)在x=c处的极限值。

2. 极限的性质：极限具有唯一性和局部有界性。

唯一性指一个函数在某点的极限值是唯一确定的，局部有界性指一个函数在某点附近是有界的。

三、极限的应用极限在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 微积分：极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，可以推导出导数和积分等重要的概念和定理。

2. 数值计算：在数值计算中，如求函数的近似值或解方程等问题，经常需要利用极限的性质来进行计算和分析。

极限四则运算法则

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DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用

无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

函数极限的唯一性和局部有界性(老黄学高数第89讲)

老黄学高数
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9讲函数极限的唯一性与局部有界性
六种类型的函数极限： (1) f(x)；(2) f(x)；(3) (4) f(x)；(5) f(x)；(6)
f(x)； f(x).
1、(唯一性)若 f(x)存在，则此极限唯一.
证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则 ∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε/2；当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε/2 ；取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时， |A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,
(2)令t=1/x，则
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(2)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|a1/x-1|<ε，即1-ε<a1/x<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<1/x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<1/x<loga(1-ε). 只要令M=max{1/|loga(1+ε)|,1/|loga(1-ε)|}，
则当|x|>M时，就有|a1/x-1|<ε，
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 若 f(x)存在，则f在某U⁰-(x0) 内有界；若 f(x)存在，则f在某U⁰+(x0)内有界；若 f(x)存在，则f在(M, +∞)内有界；(M>0)
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)内有界；

§1.3.4-5函数极限的性质.ppt4

1 ∴当 x > 0 时，1− x < x ⋅ ≤1 ； x
1 当 x < 0 时，1− x > x ⋅ ≥1 ， x
∵ lim 1= lim (1− x) =1 ，
x→0 x→0
1 ∴由夹逼定理可知 lim x ⋅ =1 。 x→0 x
基本初等函数
解： y = 2
sin 2 x
= 2 y= 2 u , u= v , = 由
复合而成. v = sin x 复合而成 .
（2） y = ln x 2 − 2
解： y = ln x 2 − 2 由
y=lnu, =
u= v , v = x 2 − 2 复合而成. = 复合而成.
（ 3 ） y = tan 5 3 lg(arcsin x )
且 lim x n = xo ，有 lim f ( x n ) = A 。
n →∞ n →∞
①若存在 {xn }， xn ≠ xo ， lim x n = xo ，而
注意
n →∞
n →∞
lim f ( x n ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
x → xo n →∞
′ ′′ ′ ′ ②若存在某两个数列 {x n }与 {x n }， x n ≠ xo ， lim xn = xo ，
∋ x ∈ N ( xo , δ) 时，恒有 f ( x) ≤ g ( x) ，则 A ≤ B 。
x → xo o
x → xo
海涅定理）定理 3（海涅定理）它给出了函数极限与数列极限的关系。它给出了函数极限与数列极限的关系。
x → xo
lim f ( x) = A ⇔ 对任意数列 {xn } ， xn ≠ xo ，

高等数学复习资料大全

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

2.3极限性质、法则

x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1）：（）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1：、推论：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理：若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明：、证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,

极限与连续知识点

极限与连续知识点极限和连续是微积分的重要概念，在解析几何、微分方程、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将对极限和连续的基本概念和性质进行介绍，并探讨它们在相关领域中的具体应用。

一、极限的基本概念和性质1. 极限的定义在数学中，当自变量趋近于某个特定值时，函数的值可能会发生变化。

极限的概念描述了这种变化趋势。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某个数a时，如果可以使得f(x)无限接近于一个确定的数L，那么就称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。

2. 极限的性质（1）唯一性：如果函数f(x)在x趋近于a的过程中极限存在，那么这个极限是唯一的。

（2）局部有界性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在且有限，那么函数f(x)在x趋近于a时局部有界。

二、连续函数的性质和分类1. 连续函数的定义在数学中，一个函数在某个点处连续是指这个函数在该点的极限等于该点的函数值。

具体而言，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下条件：（1）f(a)存在（2）lim┬(x→a)⁡〖f(x)存在，并且lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗2. 连续函数的性质（1）若f(x)和g(x)在点x=a处连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)也在点x=a处连续。

（2）若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，且与f(a)、f(b)不为零，则(g(x))/(f(x))在点x=a处连续。

（3）若f(x)在点x=a处连续，且在点x=a的某个邻域内恒不为零，在该邻域内，(1)/(f(x))也在点x=a处连续。

3. 连续函数的分类根据函数在定义域上的性质，连续函数可以分为以下几类：（1）开区间上连续函数：在开区间(a, b)上的函数f(x)，当x在(a, b)内变化时，f(x)在(a, b)上连续。

（2）闭区间上连续函数：在闭区间[a, b]上的函数f(x)，当x在[a, b]内变化时，f(x)在[a, b]上连续。

极限的基本性质

1 , 则存在 N , 对于 2 使当 n > N 时 , 有 1 1 1 1 1 xn a xn ( a , a ) a xn a 2 2 2 2 2
a 1
2
a
a 1
2
区间长度为1
于是推得
x2 N x2 N 1 1,
这与 x2 N x2 N 1 (1) 1 2
x x0 o
o
则
A 0 ( . A 0 ).
问题若 f (x) < g(x),
x x0 x x0
据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号
能否推出 lim f ( x ) lim g( x ) ？
1 1 设 f ( x ) , g ( x ) , 例如: 2x x
n x
y sinx x
sin n sin x (1) lim lim 0. 例如: n n x x
sin x (2) 若已知 lim 1，则 x 0 x
1 1 sin x n lim n sin lim 1 ( xn 0) n n x n n
1 lim sin(2n ) 1 lim sin 2 n x n n
(n 1, 2 , L )
二者不相等,
由定理1.5 ，知
1 lim sin 不存在 . x 0 x
(2) 若 N N
且 lim x n a , 使当n > N 时，恒有 lim x n b ，则 a b .
x n yn
n n
定理1.3' (函数极限的局部保号性) (1) 如果 lim f ( x ) A , 且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在

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