极限的产生与应用解读

极限的精确定义
极限的精确定义被广泛应用于数学、物理学、工程学等重要领域。

在这些领域中，极限通常指的是一个变量在某一点的趋近于一个特定值的过程。

在这篇文章中，我们将探讨极限的精确定义，并分步骤阐明其含义及用途。

1. 定义
如上所述，极限通常指一个变量在某一点的趋近于一个特定值的过程。

因此，极限的精确定义可以表示为以下公式：
对于任意正实数ε，存在另一个正实数δ，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

在这个公式中，a是函数f(x)的极限点，L是f(x)在a点的极限值。

ε表示任意小的正数，δ表示一个相应的正数，使得当函数f(x)的自变量接近a点时，函数值f(x)与极限值L的差在ε以内。

2. 解读
在上述定义中，极限点a常常被称为自变量的趋近点。

变量x在a点的趋近过程是无限进行的，因为无论如何选择一个趋近点，我们总可以找到另一个更近的点。

因此，当x趋近于a时，我们通常说"当x 无限接近于a时，f(x)趋近于L"。

在数学上，我们将这种趋近过程的定义称为"按极值趋近"。

需要注意的是，ε和δ并不一定要是相等的。

一般情况下，δ越小，ε就越小，判断极限的精度也就越高。

3. 用途
极限的精确定义是一种重要的数学工具，可以用来解决很多高级数学问题，如微积分，函数分析等。

它还被广泛应用于物理学、工程学等领域中，例如：探究控制系统的性能，预测材料的强度和稳定性等。

总之，极限的精确定义是数学、物理等领域中非常基础、重要的概念。

我们可以通过深入理解它来应对复杂的数学和科学问题。

考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。

基础阶段:1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;强化阶段:1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。

冲刺阶段:1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。

第二节:极限极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。

在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。

虽在考试中站的分值不大。

但是在其他的试题中得到广泛应用。

因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。

2.会计算一些简单的极限。

3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。

强化阶段:1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三;▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式;3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数;4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。

冲刺阶段:深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

原函数极限等价于分子分母分别求导的极限数学是一门让人爱恨交加的学科，但其中一些规律和原理却令人惊叹。

其中，有一个非常重要的定理，即“原函数极限等价于分子分母分别求导的极限”。

这个定理在微积分领域中应用广泛，本文将分步骤阐述这一定理，并从不同角度探究它的实际应用。

首先，我们来回顾一下“极限”的概念。

熟练掌握极限概念，是理解这一定理的基础。

极限可以被理解为一种趋势，即当函数趋近于一定值时的趋势。

在上述“原函数极限等价于分子分母分别求导的极限”的定理中，分子分母其实都是“函数”，只是分别在两个表述中提到了。

下面，我们来具体探究这个定理。

假设我们有一个函数f(x)，它的导数为f'(x)。

根据定义，f(x)余弦部分的极限为L，当x趋近于a 时，f(x)的分子和分母分别为u(x)和v(x)。

那么，根据我们的定理，我们可以得出以下等式：limit [ (u(x)/v(x)) - L ] = 0现在，根据洛必达定理，我们可以将上述等式写成：limit [ u'(x)/v'(x) ] = L我们可以从以上两个等式推导出一个有用的结论：原函数f(x)的极限等于函数u(x)和v(x)的极限之比。

这个结论可以应用于许多不同的数学问题中，如求极限、求导数等等。

那么，这个定理有什么实际应用呢？下面我们以三个例子，分别从求导数、求狄利克雷级数和判断比较函数大小三个角度来探究其应用。

第一个例子涉及到求导数。

考虑函数f(x)=sin(x)/x，其导数为(cos(x)-sin(x)/x^2)，在x=0时f(x)的值等于1，而导数f'(x)的值为0.这就证明了这个定理在求导数中的应用。

第二个例子是求狄利克雷级数。

一个著名的狄利克雷级数为：1-1/3+1/5-1/7+......这个级数可以表示为f(x)=arctan(x)/x的无穷和，其极限为pi/4。

根据我们的定理，我们可以将上述级数表示为：lim[x->∞]{(arctan(x)-π/2-x/2) /x}在这个问题中，我们应用了定理中的“求极限”这个概念。

函数的极限与连续性高考要求1了解函数极限的概念2掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限3 了解函数连续的意义，4理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质知识点归纳1、函数极限的定义：(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f (x)的极限是a，记作：lim f(x)= a，或者一当X T +8时，f(x) T a(2) 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ,就说当x趋向于负无穷大时，函数 f (x)的极限是a，记作lim f (x)= a或者当x T—8时，x-^_oC —f(x) T a(3) 如果lim f (x)= a且lim f (x)= a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数 f (x)的X T说x_^_oc极限是a，记作：lim f (x)= a或者当x T8时，f (x) T ax—ljpc ——2、常数函数f(x)= c ( x € R)，有lim f(x)= clim f(x)存在，表示lim f(x)和lim f(x)都存在，且两者相等，所以lim f(x)中的既有X °X •X ・. x ■ ■+8,又有一^的意义，而数列极限lim a n中的仅有+8的意义。

x-^ic3、趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于X。

( X=X0 )时，如果函数y = f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向X。

时，函数y = f(x)的极限是a，记作lim f(x) =X ]*Q特别地，lim C = C ；lim x = x Q・X—jX Q ^X Q4、lim f(x)=a：= lim f (x) = lim f (x) = aX—X—JK Q —^X Q十5对于函数极限有如下的运算法则: 如果lim f (x)二A, Ilim g (x) = B那么lim [f(x) g(x)] =A B , lim [ f (x) g(x)^ A B ,X—X o X )X o当 C 是常数，n 是正整数时:lim[Cf(x)]=Climf(x),lim[f(x)]n=[lim f(x)]nO o o o这些法则对于Xr 的情况仍然适用=0=0=lim x r ：:2x 2 1 2x 、x 2 13x 6 1【变式】 求下列各极限: (1) lim 3X-1 3x=(x 1)(2)计算 x m 1r解: (1)3x 3 -1 3-(丄)3 (2) 1(X 1)lim.x■1 3 (1 -)3 3(1 0) Xlim rx=0 , •X ・1 -r x limx x 「1rxlim (1 - r XX)亠.6、 函数在一点连续的定义：如果函数 f(x)在点x=x o 处有定义，lim f(x)存在，且一 X olim f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点X=X o 处连续X 內-7、函数f(x)在(a , b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就 说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数 8函数f(x)在］a , b ］上连续的定义：如果 f(x)在开区间(a , b)内连续，在左端点x=a 处有lim f(x)=f(a),在右端点x=b 处有lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a , b ］上连续，或f(x) x _ax _b一是闭区间］a , b ］上的连续函数 9、 最大值：f(x)是闭区间］a , b ］ 上的连续函数，如果对于任意 x €［ a ,b ］,f(x i )>f(x),那么f(x)在点x 1处有最大值=业必10、最小值：f(x)是闭区间］a , b ］上的连续函数，如果对于任意 x €［ a , b ］, f(x 2)< f(x),那么f(x)在点X 2处有最小值=f(x) 11、 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间］a , b ］上的连续函数，那么 f(x)在闭区间］a , b ］上有最大值和最 小值* . 题型讲解【例1】 求下列各极限： (1)lim ( J(x+a)(x+b)—x )； (2)、X 匸3X 61解：(1)原式=lim --------------------------------^^\：x 2 +(a +b)x +ab +x(a b)x ab=a+b23x lim M lim X )0 | X | X^ " | X |(3) 因为 lim — =1,而=lim — =— 1, — + |X| T —|X| 极限存在=左、右极限存在且相等.【变式】下列函数在 x =— 2的左极限、右极限，其中哪些函数在23.x -3 (x 占 一2)(1)g (x )=4x +3; (2) v (x )=3 '(X (xv-2)所以limX不存在.X 50| X |x =- 2处极限不存在?2.lim —x23x匸3, x 3 3lim 1"： x-1 r x x-lim rx iTr x11Xim(7-1)lim 』X —- X1)： jX 丿存limX —3罟1lim 二2 ^：z3x 3 3上0「11 0lim 上3不存在.x匸3, X 3 3【例2】求下列函数在指定处的左极限、右极限，其中哪些函数在指定处极限不存在? (1)f(x)=y^ (在 X =— 2 处)；(2)h(x)=X~"2)(在 x= — 2 处)；(3) f (X)x+2"州 X<-2)X |X|(在x=0 处)3 2x+ 2x 2解：(1)f(x)==x (X M — 2)x + 2lim f (x )= lim x 2=4. lim f (x )= lim x 2=4. /• lim f (x )=4.x ・，_2 …X r 2 …x > -2x —. 2x '.-2(2)lim h (x )= lim (x+1)= — 2+1= — 1.X T-2 —X T-2 —lim h(x)= lim (2x+3)=2( — 2)+3= — 1.x 「. 2x•'•lim h(x)= — 1.X解：(1) lim g(x)= lim (4x+3)=4 • (-2) +3= - 29.^^2 — '^^2 —3 3lim g(x)= lim (4x +3)=4 X (-2) +3= - 29. • • lim g(x)= — 29.X 》2(2) lim v(x)= lim x 3=( - 2)3= - 8. X T -2 _x _^_2 —解：(1 )原式=lim 士孕 ® = lim —X T 2 x-4X T 2 x+2点评：解题时常需对函数式变形！变形的基本途径有三条: 在分式极限lim 丄凶 中除以x 的最高次幕;X 护 g(x)在分式极限lim 丄凶 中约去可能存在的零因子 (x-x 0)k (k ・N *)；X f g(x)当lim f (x)与lim g (x)均不存在时，求lim [ f (x)二g(x)]时，应该对f (x) 一 g(x)进 X 0X r X 0X >x 0行运算X 2 —11 2 1 3 【变式】求下列各极限1. (1) lim^(2)lim[( 3)- x( 2)3], (3)X T X 2+X _2XT L'X 丿X【例3】求下列各极限： 41x 2_ 31(1) lim (2) ； ( 2) lim ( 2),lim v(x)= lim (x 2- 3)=( — 2)2—3=1. • lim v (x )不存在.x .2 'x .2 'x - _2(3) x 2 -1lim 2x 12x -x-1(4)cosxlimx >nx . x 2 cos sin2 2(2) limx 汩rmX 2 -x-2= lim (x 哄-2) x^(x 1)x —1) Jimi 土2 2x —1-1一1 2(4) “4x 12x 1limx 12凹X+111 22 113原式=lim2X . 2 X cos sin -2 2X . X cos - sin 22x x *— =lim (cos +sin )= 、2(3)(x-1)(x 1) (x-1)(2x 1) n n*4 +x - 2 lim ------------- 八09 x - 3..J9 +x +3 3+3 3 二 lim x 0, 4 x 22 222x b【例4】(1)设f (x ) = 0x 0,x =0,试确定b 的值,使lim f (x)存在; ^^0解：(1) lim f (x ) = limx ―0十^^0十lim f (x ) = lim (1+2x ) =2,x 刃…x 0 -当且仅当b=2时，lim f (x ) = limx _^0 '(2)由于f (x )是多项式，且 limx ^-)pC32•可设 f (x ) =4x +x +ax+b (a 、b 为待定系数)1 2xx ：：：0, (2) f (x )为多项式，且 limx —f (x) - 4x3 =1, limx_0匸凶=5,求 f (x )的表达式xx 2/解：(1) lim 〒I x 2+x —2xm (x 2一1)2(呼)-122-13!im (x 2 x_2)—(pm%2 jimx_2_ 22 2_2_L23(2)原式=lim(13x) _(12x)x _0x 22 2 31 6x 9x -(1 6x 12x 8x )x 2= lim-厂8"x0 x 2(3) lim4 x -2 x9 二 limx -3“ (.4 x - 2)( . 4 x 2) (\ 9 x - 3)( 一 4 x 2)^(79 x -3)(,4 x 2)側(厂3忙3)xQ (*9 x -3)(. 4 x 2)=b,(2x+b ) 故b=2时，原极限存在f (x ),x j0 -3f(x) -4x =12 _丨，x又•- lim 3=5,x )0x即 lim (4x2x )0+x+a+ b) =5, x••• a=5,b=0,即 f (x ) =4x 3+x 2+5x【变式】已知下列极限,x 2 1 x 1(2) lim ：C x 2 _ x 1 _ ax _ b) = 0解：(i)lim( x —Jpc?x 2 1x 1 (1 -a)x - (a b)x (1 - b)- ax -b) =limX —)：:1-b(1 -a)x-(a b) =limx1 1-b 如果 1 —0, ••• lim 0, lim0 , /• limx ^pc xxx _jpc(1 —a)x — (a b) 1 -x存在•如果 1- a=0 ,v limx _^C(1 - a)x -(a b)匕x-(a b) 0(a+b)=O 即 a+b=01 -a = 0—\a b =0b = -1⑵ lim (. x 2 - x 1 - ax - b)(»；x 2 —x +1—ax —b)(px 2 —x +1 +ax + b) =limx )：:,x 2 - x 1 ax b2 2 2= l im (1 -a )x -(1 2ab)x (1 -b )x )：:.x 2 - x 1 ax b2、 ■( = lim x : im x'x+tQx+b)2 x 匚.x 2 _ x 1 ax b21-b 2(1 _a 2)x _ (1 2ab) -------------- x丸1 1 b 1 —丄——丄a¥ xx 2-(1 2ab)即 1+2ab=0, a+1工0.21 -a =0•-丿1 +2ab = 0(2) f(X )x —1,0 C x 兰 12 — x,1 c x 兰 3，点 % _1要使极限存在1-a 2=0.【例5】讨论下列函数在给定点处的连续性(1) f (x) = x 4，点x = 2 ；x —22x+1(x>0)(3)设函数f(x)=』a(x = 0)，在x=0处连续，求a , b 的值.K-^Jr^x-1) (x<0)L.X解(1)因为f (x)在点x =2处无定义，所以f (x)在点x=2处不连续f (x) = x 「1，所以 lim lf (x)二呵。

【极限和连续】解决两个问题：○1如何求极限；○2如何解读、应用极限 （一）数列极限1、常用数列的极限：①lim n →∞C=C （常数列的极限就是这个常数）②1lim0n n→∞= ③设||1q <，则lim 0n n q →∞=；1,lim 1nn q q →∞==；,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。

其它不数列常常通过以下方式：○1分子分母同时除以n 的最高次项（最该次项系数比）；○2分子分母同时除以 |底数|大的，从而产生设||1q <，则lim 0n n q →∞=进行应用； ○3分子分母有理化 ○4若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为： 2、数列极限的运算法则：如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么见右上注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能直接运算，应该先华无 限为有限。

如：数列求和等。

【典型题目】1、求极限：○1n n n n 2312lim 22++∞→= ； ○2 22322lim n n n n n→∞+++= ○3135(21)lim 2462n n n →∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_____ ○4lim n →∞(3221n n --2)21n n =+ ○5 1123lim 23n n n n n --→∞-=- ○6)n n →∞= 2、s 表示(12)n x +展开式中各项系数和，t 表示(13)nx +的二项式系数之和，则._____lim =+-∞→ts ts n3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2lim nn S n →∞=4、n a 是(1)nx +展开式中含2x 的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于 【函数极限】：分清楚类型1、lim ()x f x →+∞、lim ()x f x →-∞、lim ()x f x →∞的理解；lim ()lim ()lim ()x x x f x a f x f x a →∞→+∞→∞=⇔==、（存在且相等）思考：“lim ()x f x →+∞存在且lim ()x f x →-∞存在”是“lim ()x f x →∞存在”的什么条件？（必要不充分）求法：数列极限是函数极限的特殊情况，所以数列极限求法相似可以类推到函数极限中，但是也得注意函数极限的一般性，如：lim 2xx →∞、1lim()2x x →∞、小心lim xx a →∞2、0lim ()x x f x →、0lim ()x x f x +→、0lim ()x x f x -→的理解；000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==、（存在相等）求法：代入求值，如果代入分母出现零因式，一般通过因式分解把零因式约掉，在从新代入；（洛比达法则）：00//()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→== 到无零因式为止，在代入求极限。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６浅谈数学分析中极限的求法浅谈数学分析中极限的求法Һ马金玲㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限理论是帮助学生将对数学的有限认识拓展到无限认识㊁近似认识拓展到精确认识的一种方法，在高等数学的学习中起到基础性的作用．在极限理论中存在两个基本问题，分别是极限存在性的证明和极限值的计算，二者密切相关，如果能求出某极限的值，则其存在性就会被证实，因此，如何求解极限尤为重要．但由于数列或函数形式的多样性和复杂性，在求解其极限值时不可能找到统一的方法，只能根据具体情况具体分析和处理．本文主要介绍一些极限的基本类型，提供一些求解极限的常用方法和技巧，并探究在某些方法中的转化思想．ʌ关键词ɔ极限；单调有界；重要极限；洛必达法则；归纳总结在数学分析的学习中，我们发现数列和函数极限的形式很复杂，因此，求解极限的方法也多种多样，当然，对于不同的方法有其各自的优势及适用范围．本文通过对典型例题的探究求解，归纳总结出一些常用的求解方法，以探究数学中的技巧性，提升学生对数学知识体系的梳理能力．另外，本文旨在通过应用无穷小量㊁重要极限㊁洛必达法则等方法，在求解极限的过程中体会数学思维的转化，感受数学知识的紧密联系，构建条理清晰㊁逻辑严谨的数学知识框架．一㊁极限的定义数列极限的ε Ｎ定义㊀设｛ａｎ｝为数列，ａ为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时有｜ａｎ－ａ｜＜ε，则称数列｛ａｎ｝收敛于ａ，定数ａ称为数列｛ａｎ｝的极限，并记作ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ或ａｎңａ（ｎңɕ）．函数极限的ε δ定义㊀设函数ｆ在点ｘ０的某个空心邻域Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）内有定义，Ａ为定数．若对任给的ε＞０，存在正数δ（＜δᶄ），使得当０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ时有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则称函数ｆ当ｘ趋于ｘ０时以Ａ为极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）ңＡ（ｘңｘ０）．二㊁极限的求解１．单调有界定理定理１㊀在实数域中，若数列｛ａｎ｝单调且有界，则数列｛ａｎ｝一定存在极限．注㊀（１）在应用单调有界定理求解极限时，首先要满足数列｛ａｎ｝是单调数列，即满足ａｎɤａｎ＋１（或ａｎȡａｎ＋１），其次要保证数列｛ａｎ｝有界．（２）证｛ａｎ｝的单调性：①考察ａｎ＋１－ａｎ的符号；②当ａｎ＞０时，考察ａｎ＋１ａｎȡ１或ａｎ＋１ａｎɤ１æèçöø÷；③若得到一个一元可导函数的递推公式ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ），则可求导，然后根据ｆᶄ（ｘ）的符号来确定其单调性．证｛ａｎ｝的有界性常利用数学归纳法或已知不等式推证．例１㊀设ａ１＝４，ａｎ＝１ａｎ－１＋ａｎ－１２，ｎ＝２，３， ，求ｌｉｍｎңɕａｎ．解㊀由于ａｎ＋１－ａｎ＝ａ２ｎ＋２－２ａ２ｎ２ａｎ＝２－ａ２ｎ２ａｎ．接下来证２－ａ２ｎɤ０，即证ａｎȡ２，ｎ＝１，２， 由于ａｎ２＝１２１ａｎ－１＋ａｎ－１２æèçöø÷ȡ１ａｎ－１㊃ａｎ－１２＝１２，故｛ａｎ｝单调递减，且其下界为２．根据定理１可判断数列｛ａｎ｝，故设ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ（ａ＞０）．又对上式两边取极限，得ａ－ａ＝２－ａ２２ａ，解得ａ＝２，即ｌｉｍｎңɕａｎ＝２．归纳小结㊀在应用单调有界定理求解数列极限时，首先要证明的是数列存在极限，也就要证明数列满足单调性和有界性．证明单调性的过程考查了学生对初等数学中数列知识的掌握，其证明方法的选用要根据具体问题而定；而在证明有界性时常应用数学归纳法．在证明极限存在时应分两步走，且将高等数学的问题转化为初等数学的知识，让难题迎刃而解，最后依据极限的唯一性求出极限值．值得注意的是，单调有界定理只适用于满足条件的数列求解极限问题．２．迫敛性（１）设有三个数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，｛ｃｎ｝，满足：∃Ｎ，∀ｎ＞Ｎ，有ａｎɤｂｎɤｃｎ，且ｌｉｍｎңɕａｎ＝ｌｉｍｎңɕｃｎ＝ｌ，则ｌｉｍｎңɕｂｎ＝ｌ．（２）设有三个函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在Ｕʎ（ａ；δ）内有定义，若它们满足ｆ（ｘ）ɤｇ（ｘ）ɤｈ（ｘ），ｘɪＵʎ（ａ；δ），且ｌｉｍｘңａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңａｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘңａｇ（ｘ）＝Ａ．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷．解㊀在这ｎ个数１ｎ２＋１，１ｎ２＋２， ，１ｎ２＋ｎ中，１ｎ２＋１最大，１ｎ２＋ｎ最小，因而ｎｎ２＋ｎɤ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎɤｎｎ２＋１，而且ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１，ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１，所以，由迫敛性得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷＝１．归纳小结㊀在应用迫敛性求解数列或函数极限时，可将对极限的直接求解转化为先对极限变量进行放缩，再找出易求得极限的上下界，从而间接求得原极限．值得注意的是，在遇到极限变量可以进行放缩的求解极限问题时可以优先考虑迫敛性．３．两个重要极限（１）ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１；（２）ｌｉｍｘңɕ１＋１ｘ()ｘ＝ｅ．注㊀在应用重要极限求解极限时，首先要进行初等变形．这里的初等变形是指用初等数学的方法将数列或函数转化成上述两个重要极限的形式．例３㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３．解㊀将原式中的函数凑成如下形式，ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃１－ｃｏｓｘｘ２＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃２ｓｉｎ２ｘ２ｘ２＝１２㊃１２ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２，又ｌｉｍｘң０１２ｃｏｓｘ＝１２，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２＝１，于是有ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１４．定理２（归结原则）㊀设函数ｆ在Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）上有定义，那么ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）存在等价于：对任何Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）中的数列｛ｘｎ｝，满足ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｘ０，且ｌｉｍｎңɕｆ（ｘｎ）都存在且相等．注㊀归结原则在数列（离散变量）极限与函数（连续变量）极限之间建立起了桥梁，使二者在一定条件下可以相互转化，这对处理极限问题起到了重要的作用．例４㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ．解㊀令ｆ（ｘ）＝１＋１ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ，则ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１㊃ｘ＋１ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１éëêùûúｘ＋１ｘ＝ｅ，由归结原则，得ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ＝ｅ．归纳小结㊀在应用两个重要极限求解极限问题时，首先要应用初等数学的方法将数列或函数化成两个重要极限的形式之一，再进行求解．应用该方法的关键就在于将原极限形式 凑成 上述两个重要极限．值得注意的是，在遇到三角函数形式和 １ɕ 形式的极限问题时要优先考虑应用两个重要极限．另外，在求解 １ɕ 形式的数列极限时，要结合归结原则将数列问题转化成函数问题，再进行求解．４．洛必达法则洛必达法则是求不定式极限的重要方法，它将两函数之比的极限求解问题转化为两函数导数之比的极限求解问题．其几何意义是：两曲线上的点的纵坐标之比的极限可转化为两曲线上的点的切线斜率之比的极限．不定式极限包含两种基本形式：００与ɕɕ．（１）００型不定式极限定理３㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝０；（ⅱ）在点ｘ０的某空心邻域Ｕʎｘ０()上，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例５㊀求ｌｉｍｘңπ２＋ｃｏｓｘｔａｎ２ｘ．解㊀因为ｆ（ｘ）＝２＋ｃｏｓｘ与ｇ（ｘ）＝ｔａｎ２ｘ在点ｘ０＝π的邻域上满足（ⅰ）与（ⅱ），又ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπ－ｓｉｎｘ２ｔａｎｘｓｅｃ２ｘ＝－ｌｉｍｘңπｃｏｓ３ｘ２＝１２．故由洛必达法则求得ｌｉｍｘңπｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝１２．（２）ɕɕ型不定式极限定理４㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）在Ｕʎ＋（ｘ０）上二者皆可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅱ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｇ（ｘ）＝ɕ；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例６㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１．解㊀可判定该极限是ɕɕ型不定式极限，故直接应用洛必达法则，有ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ３ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６＝＋ɕ．归纳小结㊀应用洛必达法则求解极限问题，其实质在于将求解两个函数之比的极限转化为两函数导数之比的极限，使得复杂函数的求极限问题转化为简单函数的求极限问题．但在应用洛必达法则时有些需要注意的问题：（１）不是所有比式极限都可以应用洛必达法则求解，一方面必须注意它是不是不定式极限，另一方面要看是否满. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６足洛必达法则的应用条件；（２）在求解极限的过程中，有时可能需要对ｆᶄ（ｘ）与ｇᶄ（ｘ）再应用洛必达法则，甚至有时需要对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的高阶导数反复使用洛必达法则．５．定积分利用定积分求极限，通常有两种类型：一种是应用定积分的定义求解数列极限，另一种是应用变限积分和洛必达法则求解极限．（１）用定积分定义求解数列极限例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ１（ｎ＋１）２＋１（ｎ＋２）２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú．解㊀做如下变形：令Ｊ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝１（１＋ｘ）２在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ）．所以有㊀ｌｉｍｎңɕｎ１ｎ＋１()２＋１ｎ＋２()２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄｘ＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄ（１＋ｘ）＝１２．例８㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）．解㊀做如下变形：㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ()３＋２ｎ()３＋ ＋ｎｎ()３[]㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１ｉｎ()３㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝ｘ３在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ），所以有ｌｉｍｎңɕ１ｎ４１＋２３＋ ＋ｎ３()＝ʏ１０ｘ３ｄｘ＝１４．归纳小结㊀在应用定积分的定义求极限的过程中，我们将所求的数列极限转化归结为某可积函数ｆ（ｘ）在某区间［ａ，ｂ］上的某特殊的积分和，则该数列极限就等于ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．通过对一些例题的探究，我们发现这些和式极限中的每一项都可以转化成ｉｎ的形式，并且能提出形如１ｎ的公因式，这样就可以把极限和转化为定积分来计算了．这一规律有助于求解某些和式极限问题．（２）应用变限积分求解极限定理５（原函数存在定理）㊀若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，则函数Ф在［ａ，ｂ］上处处可导，且Фᶄ（Ｘ）＝ｄｄｘʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ），ｘɪ［ａ，ｂ］．例９㊀求ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ．解㊀这是一个００型的不定式极限，先应用洛必达法则，可以得到㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０ʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ()ᶄｘᶄ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ，（１ɕ）恒等变换后有（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ），于是有㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅｌｉｍ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ）＝ｅ２．归纳小结㊀应用变限积分求解极限的过程中，主要是将原函数存在定理与洛必达法则相结合，进而求得原极限．三㊁结㊀语本文主要介绍了求解极限的多种方法．在极限理论中，求解极限问题占据着重要地位，由于极限的类型复杂繁多，我们根据对典型例题的探究，归纳总结了求解极限不同方法的适用条件及其中所蕴含的转化思想．因此，在面对极限求解问题时，我们首先要判断所求极限的类型，再选取合适的方法进行求解．当然，在选择方法时，要注意其适用条件，这一过程是非常重要的，否则会得出错误的结论．另外，在求解极限的过程中，数学思维的多样转化也让我们体会到了数学知识之间的紧密联系，从而建立了逻辑清晰的数学知识体系．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］张天德，孙书荣．数学分析辅导及习题精解［Ｍ］．延吉：延边大学出版社，２０１１．［３］旷雨阳，刘维江．数学分析精要解读［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２０１６．［４］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７．［５］桑旦多吉．高等数学中函数极限的求法分析［Ｊ］．学园，２０１５（１１）：８２－８３．［６］姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００５（０４）：９３－９４．［７］温录亮．论求解极限的若干方法［Ｊ］．佛山科学技术学院学报（自然科学版），２０１１（０２）：３１－３６．［８］周学勤．探讨洛必达法则求极限［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１０（０４）：１４３－１４４．［９］范钦杰，付军．数学分析问题解析［Ｍ］．长春：吉林人民出版社，２００４．. 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532918316祯心教育作者QQ函数，极限，导数和一重积分考研数学第一讲主讲人：庞祯军“祯心教育”：1.让我的经验成为你的经验！2.帮你解决考研数学中的重点难点就是我所想！3.提供答疑的机会，我是解题智能人！532918316我去年辅导的人有不少人考出了130+，140+的高分;也有人提高了40分左右（有一个从80提高到了120+）祯心教育作者QQ前言本人所写的资料都是源于我在解题过程中的总结，尽可能把自己在解题中的方法通过文字体现出来，让大家能够直接学到我的经验，当然对这些经验的熟悉需要自己再实践。

我所整理的资料分为提高篇，专题篇，基础篇及个人总结篇：通过提高篇的检验让读者知道自己是不是有技巧没有掌握，让自己摆正心态；专题篇是对该分内容的重点难点进行解读，并把我的经验传授给大家；基础篇的内容不仅仅包括高等数学里面所学的知识，还包括该分内容所涉及到的基础数学知识，是让读者检视自己是否还有基础知识点未掌握。

每一篇我会先给出题目，这是为了避免先给出知识点而产生的提示，在参考答案分析时我会具体提到每个题的技巧。

本讲内容讲述考研数学函数，极限，导数以及积分等内容。

本章的专题篇会对求极限，不定积分以及定积分做一个方法的归纳总结。

本系列的辅导是针对知识点的重点难点，易错点以及我自己总结的知识点解题技巧，不过考研数学对计算能力是有着很高的要求，关于怎样提高计算能力，能基本避免小错误；怎样学习数学，怎样冲击130分以上可以去看一看我的ÿÿ目录目录 (3)第一篇提高篇 (5)第一节求极限 (5)第二节求积分 (6)第三节综合题 (7)第二篇一重积分应用专题篇 (8)2.1 题型一 (8)2.1.1类型一 (8)2.1.2类型二 (8)2.1.3类型三 (10)2.2 题型二 (10)2.3 题型三 (11)3.3.1方法一 (11)3.3.2方法二行积分132.4 题型四计算立体的侧面积 (13)2.5 题型五物理应用 (14)第三篇基础篇 (16)3.1 函数、极限、连续 (16)3.2.1 (16)3.2.2求函数的反函数 (16)3.2.3 (16)3.2.4 (16)3.2.5 (16)3.2.6 (16)3.2.7 (16)3.2.8 (17)3.2 一元函数微分学 (17)3.2.1 (17)3.2.2 (17)3.2.3 (17)3.2.4 (17)3.2.5 (17)3.2.6 (17)3.2.7 (18)3.2.8 (18)3.2.9求解与平面曲率有关的问题 (18)3.3 一元函数积分学 (18)3.3.1 (18)3.3.2 (18)3.3.3利 (18)3.3.4利 (18)3.3.5利 (19)3.3.6 (19)3.3.7求解被积函数含有最值函数max和min的定积分 (19)3.3.8计算含参数的定积分 (19)3.3.9积分中值定理的应用 (19)3.3.10求变限积分的导数 (19)第四篇个人总结篇 (20)4.1 无穷小量（−）的应用 (20)4.2.1 (20)4.2.2 (20)4.2.3 (20)4.2 积分技巧总结 (21)4.2.1 (21)4.2.2 (21)4.2.3 (22)4.2.4 (23)4.3 求极限方法总结 (24)第五篇高等数学中的反例 (26)4.1两个周期函数的和或积不是周期函数 (26)4.2存在只在一点连续的函数 (26)4.3g(x)在x=a处间断，f(x)连续，则f(x)g(x)在x=a处不一定间断 (26)4.4g(x)在x=a处间断，f(x)连续，则f(g(x))在x=a处不一定间断 (26)4.5有f(x),其原函数存在，但是f(x)不可积 (26)4.6存在f(x)处处连续但无处可微 (27)4.7存在f(x)在一点导数大于0，但函数在该领域内不单调 (27)4.8存在f(x)在闭区间上有界但不可积 (27)4.9奇函数的原函数不一定是偶函数; 偶函数的原函数不一定是奇函数 (27)4.10存在f(x)有无穷多个间断点但可积 (27)参考答案 (28)第一篇提高篇 (28)第一节求极限 (28)第二节求积分 (32)第三节综合题 (39)第三篇 (42)第一篇提高篇第一节求极限1.1.1求lim → ∗ ∗ ∗ ∗…∗()∗ ∗ ∗ ∗…∗() 1.1.21.1.31.1.41.1.51.1.6求lim → ()1.1.7求lim →n[1+−e] 1.1.81.1.9求lim→sin∑1.1.101.1.111.1.12第二节求积分1.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.2.61.2.71.2.8∫()√dx 1.2.9∫ ()dx 1.2.101.2.111.2.121.2.13∫x dx 1.2.141.2.15∫dx 1.2.161.2.171.2.181.2.191.2.20计算f(t)=∫ ()√dx,t≥0.第三节综合题1.3.11.3.2。