求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强

1图 1图2三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析——兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学， 浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可以判断结论是否正确。

因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思想和方法。

让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。

模型1：均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为λ的一个半径为R 的圆圈，求其中心轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度在圆环上选取长为dl 的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点P 产生的电场方向与x 轴的夹角为θ，沿x 轴方向的大小为θλcos 22xR dlkdE +=2222xR x xR dlk+⨯+=λ()2322xRxdlk +=λ由定积分得 ()232220xRxdlk E R +=⎰λπ ()23222xRxkR +=λπ根据对称性和叠加性，均匀带电圆圈在点P 产生的合场强必沿x 轴方向，正负由电荷符号决定，大小为()23222xRxkR E +=λπ。

若均匀带电圆圈的电量为q ，即λπR q 2=，则()2322xRkqxE +=。

讨论1：（1）当x 《R 时，则E =0，相当于圆圈中心处的场强，根据对称性可得场强为零。

（2）当x 》R 时，则2xkqE =，相当于点电荷的场强。

若x →∞时，则有E →0。

模型拓展1：两个彼此平行且共轴的均匀带电圆圈中心轴线上的电场强度 （1）两圆圈带同种电荷例1：（2010年福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。

如图2所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q (q >0)，而且电荷均匀分布。

探究几种均匀带电体的场强及最大值郑金【摘要】利用多种方法推导了均匀带电的圆环线、圆环面和圆形面在轴线上一点的场强公式，探究了场强取最大值的条件以及场强的变化规律是否具有相似性。

【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2014(000)0z2【总页数】3页(P57-59)【关键词】均匀带电体;圆环;轴线;场强;相似性【作者】郑金【作者单位】凌源市职教中心辽宁朝阳 122500【正文语种】中文文献［1］认为，对于均匀带电圆盘，在中心处场强为零，在无穷远处场强为零，那么沿着过中心的轴线从中心到无穷远处的场强是先变大后变小，这种观点是否正确呢？或者说，在均匀带电的圆环线、圆环面和圆形面一侧轴线上的场强变化规律是否都与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强变化规律相似呢？在近年高考题中多次考查了有关带电圆环线、圆环面和圆形面一侧轴线上一点的场强大小关系式，那么这些公式是怎么得来的？下面分别进行探讨.【例1】如图1所示，有两个带电荷量均为＋Q的点电荷固定于相距为d＝2a的两点，求在连线的中垂线上距中点O为x点的场强大小.解析：由对称性和正交分解法可知，在连线的中垂线上距中点O为x处的合场强的方向沿中垂线方向，合场强的大小为由于两个等量同号点电荷连线中点处的场强为零，而无穷远处的场强也为零，因此在一条中垂线上各点的场强存在最大值.极值条件为即θ＝35.3°，亦即两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强公式还可写成【例2】如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O点，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，OP＝x，试求P点的场强为多大？解析：由对称性可知，对于圆环上每两个对称点的电荷在P产生的场强，其垂直于轴线方向的分量相互抵消，而沿着轴线方向的分量大小相等，方向相同，因此整个圆环产生的电场沿着轴线方向，等于各点电荷场强沿着轴线方向的分量的叠加. 在圆环上取其中很小一段Δl，带电荷量为可视为点电荷，在P点产生的场强为则整个圆环上各电荷在P点产生的场强沿轴线方向的分量为由于合场强为各分量的叠加，所以整个圆环上的电荷在P点产生的场强为或者设想将圆环等分为n小段，当n数值足够大时，每一小段都可视为点电荷，所带电荷量为由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为每一点电荷在P处的场强沿着轴线方向的分量为均匀带电荷量为q，半径为r的圆环在其轴线上到圆心的距离为x处的场强公式有多种形式，还可写为由此可知，均匀带电圆环在其轴线上某点产生的场强相当于电荷集中于圆环上一点所产生的场强沿轴线方向的分量.考虑到则场强可用角度θ表示，即由于在圆心场强为零，在无穷远处场强为零，因此在轴线上场强存在最大值.所以说均匀带电圆环线的轴线上的场强分布规律与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律相似.或者说，由于场强公式相似，因此场强分布相似.【例3】如图3所示，均匀带电圆环面的内径为R1，外径为R2，单位面积带电荷量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度为多大？解析：带电圆环线在轴线上的场强为E＝若x保持不变，那么在圆环面上取宽度为dr的圆环的面积约为ΔS＝2πrdr，则电荷量为q＝2πσrdr，因此在轴线上x处产生的场强为对于均匀带电圆环面产生的场强，可视为由无限多个宽度为dr的圆环产生场强的叠加，由于圆环面上所有带电细圆环在P点的场强都沿轴线方向，所以带电圆环面轴线上P点的场强为区间［R1，R2］上的积分，即由于在圆心处场强为零，在无穷远处场强为零，因此在轴线上场强存在最大值.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律相似.下面利用导数求最大值及条件.如图4所示，均匀带电的半径为R的圆形面，相当于图3的均匀带电圆环面取R1＝0，可得均匀带电圆形面一侧轴线上一点的场强公式该式也可利用积分法推导：对于半径为R的圆面，坐标原点O在圆心，位于带电导体板的上表面.由于场强等于各微元圆环场强的叠加，则积分为可知随着x的增大，场强单调减小.所以在带电圆形面的圆心处的外表面的场强最大.但根据对称性可知，在圆形面的圆心处的内部场强为零.对于均匀带电的圆形面一侧轴线上的场强，如果说“由于在圆心内部场强为零，在无穷远处场强为零，因此在沿着过中心O的轴线从O点到无穷远处的场强是先变大后变小，即在圆形面一侧轴线上的场强存在最大值.”则是错误的.因为在圆心内部场强为零，但在圆心表面的场强却最大，因此在圆形面一侧的轴线上，场强单调减小.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强分布规律完全不同.设球面均匀带电量为Q，球外一点到球心的距离为r，由于球面电荷等效于集中在球心的点电荷，则球外一点的场强为要注意均匀带电球壳内部场强为零，球壳上的场强为而球壳外表面附近的场强为由此可知，在球面附近场强最大，离球面越远，场强越小.对于均匀带电球体，除球心外，球内场强不为零，球外一点的场强与均匀带电球面之外一点的场强公式形式相同.因此在均匀带电球面或球体一侧的轴线上，场强单调减小.这与两个等量同号点电荷连线的中垂线上的场强变化规律完全不同，也没有相似性，所以在进行类比时要注意科学性.【相关文献】1 边良.教学离高考有多远.物理通报，2010（9）：412 何崇荣，魏勇.再谈2010年高考江苏卷第5题电场特点.物理通报，2012（7）：1123 夏亚春.关于均匀带电球壳表面场强的研究.物理通报，2012（9）：107。

叠加法求均匀带电球体电场问题郭泓昊;张雅男;李庆芳【摘要】In the existing textbooks,the formula for calculating the electric field intensity on the axis of a uniform charged disk is introduced without the relationship between the relative position of field point to disk and the direction of electric field intensity.If the formula is used to calculate the field intensity distribution of a uniform charged sphere,it will get erroneous results.By introducing symbolic function into the formula of electric field intensity on the axis of the uniform charged disk,the field strength and the direction can be obtained together.Applying the new method to the calculation of electric field of the uniform charged sphere,results are exactly same as the results obtained by Gauss theorem.It is suggested that the formula of electric field intensity on the axis of charged discs should be improved in current textbooks.%现有教材中计算均匀带电圆盘轴线电场强度公式,只得到场强大小,没有明确给出场点和圆盘的相对位置与场强方向之间的关系.若根据场强叠加的方法利用此公式计算均匀带电球体的场强分布,容易得到错误的结果.将符号函数引入均匀带电圆盘轴线上电场强度计算式,可以得到场强大小及相对于圆盘的方向,清楚而准确地给出均匀带电圆盘轴线电场强度.利用该公式再次求解均匀带电球体电场,结果与利用高斯定理得到的结果完全相符.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2018(028)001【总页数】4页(P119-122)【关键词】带电圆盘;叠加法;带电球体;静电场【作者】郭泓昊;张雅男;李庆芳【作者单位】南京信息工程大学,江苏南京 210044;南京信息工程大学,江苏南京210044;南京信息工程大学,江苏南京 210044【正文语种】中文大学物理在静电场章节中，先是讲解了点电荷的电场强度计算方法，然后利用场强叠加原理先后求出均匀带电圆环、均匀带电圆盘等电荷均匀分布的带电体轴线上的电场分布。

V〇1.49 No.7Jul.2020A糾f教•学参考教育7技术用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上欧阳荣华，欧阳子琪2(1.荆门市龙泉中学湖北荆门448000;2.武汉大学测绘学院2017级湖北武汉430000)文章编号：l〇〇2-218X(2020)07-0047-04中图分类号：G632.0文献标识码：B摘要：对在高中物理教学中碰到均匀带电圆环（非点电荷）中轴线上的电场与电势分布的问题展开研究，通过典型问题解析，合理猜想，初步检验及利用D e s m o s工具严密验证的思路，得到均 匀带电圆环中轴线上的电场与电势分布规律。

关键词：D e s m o s软件；均匀带电绝缘圆环；电场强度分布；电势分布均勻带电绝缘圆环中轴线上的场强与电势分别有什么规律？两个共轴放置的绝缘均匀带电圆环中心轴线上的场强与电势又分别有什么规律？这是教师在教学过程中会碰到的教学难点。

由于此阶段学生的数学知识不够完备，函数处理工具不够充分，严重制约了师生对这一类问题开展深人研究，也谈不上对此类问题的深人理解，大大弱化学生对问题研究的兴趣。

D e s m o s是一款实用的手机应用软件，它具有便捷的计算器服务功能，能绘制已知函数的图像及对其求解。

本文从高中教学中碰到的此类问题出发，经过合理猜想，初步图像验证，最后通过D e s m o s对场强与电势叠加后的图景及合场强为零的解的个数的直观显示，完美解决这一难题，激发师生对此类物理问题的研究兴趣。

—、问题举例1.单个带电圆环中轴线上的场强大小求解问题例1如图1所示，一半径为尺的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心〇的距离C>P =L。

设静电力常量为々，关于P点的场强£：，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是A.kQR2+L2B.kQLR2+L2kQR d kQLV(R Z+L2y■V(R Z+L zy处理方法将环等分为《个小段，当》相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q=Q/n①由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为Ep=k^=k n(R^+L2l②由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量£v相互抵消，而轴向分量&之和即为带电环在P处的场强£：，故E=nE，n. ,7〇7+^.c o s5=kz7+F)③而 r=y U T W④由①②③④式得选项正确。

均匀带电圆盘轴线上的电场强度可以通过库仑定律来计算。

假设我们有一个半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，我们想要在盘的轴线上计算电场强度。

在轴线上选取一个与盘中心重合的点作为参考点。

假设我们要计算离盘中心距离为z处的电场强度。

根据库仑定律，轴线上的电场强度可以由下式给出：
E = (1 / (4πε₀)) * (2πσz / (z²+ R²)^(3/2))
其中，ε₀是真空中的介电常数（ε₀≈8.854 ×10^(-12) C²/(N·m²))。

这个公式表明，轴线上的电场强度随着离盘中心距离z的增加而减小。

当z远大于R时，电场强度的减小趋势变得更加明显。

需要注意的是，当z = 0时，即在圆盘上的中心点上，由于对称性的原因，电场强度为零。

而在z = R时，即在圆盘上的表面上，电场强度为最大值。

练习一库伦定律电场强度一.选择题1.关于试验电荷以下说法正确的是(A) 试验电荷是电量极小的正电荷；(B) 试验电荷是体积极小的正电荷；(C) 试验电荷是体积和电量都极小的正电荷；(D) 试验电荷是电量足够小，以至于它不影响产生原电场的电荷分布，从而不影响原电场;同时是体积足够小，以至于它所在的位置真正代表一点的正电荷（这里的足够小都是相对问题而言的）.2.关于点电荷电场强度的计算公式E = q r / (4 πε0 r3),以下说法正确的是(A) r→0时, E→∞；(B) r→0时,q不能作为点电荷,公式不适用；(C) r→0时,q仍是点电荷,但公式无意义；(D) r→0时,q已成为球形电荷,应用球对称电荷分布来计算电场.3.关于电偶极子的概念,其说法正确的是(A) 其电荷之间的距离远小于问题所涉及的距离的两个等量异号的点电荷系统；(B) 一个正点电荷和一个负点电荷组成的系统；(C) 两个等量异号电荷组成的系统；(D) 一个正电荷和一个负电荷组成的系统.(E) 两个等量异号的点电荷组成的系统4.试验电荷q0在电场中受力为f , 其电场强度的大小为f / q0 , 以下说法正确的是(A) E正比于f；(B) E反比于q0；(C) E正比于f 且反比于q0；(D) 电场强度E是由产生电场的电荷所决定的,不以试验电荷q0及其受力的大小决定.5.在没有其它电荷存在的情况下,一个点电荷q1受另一点电荷q2的作用力为f12 ,当放入第三个电荷Q后,以下说法正确的是(A) f12的大小不变,但方向改变, q1所受的总电场力不变；(B) f12的大小改变了,但方向没变, q1受的总电场力不变；(C) f12的大小和方向都不会改变, 但q1受的总电场力发生了变化；(D) f12的大小、方向均发生改变, q1受的总电场力也发生了变化.二.填空题1.如图1.1所示,一电荷线密度为λ的无限长带电直线垂直通过图面上的A点,一电荷为Q的均匀球体,其球心为O点,ΔAOP是边长为a的等边三角形,为了使P点处场强方向垂直于OP, 则λ和Q的数量关系式为,且λ与Q为号电荷 (填同号或异号) .2.在一个正电荷激发的电场中的某点A，放入一个正的点电荷q ,测得它所受力的大小为f1 ;将其撤走,改放一个等量的点电荷-q ,测得电场力的大小为f2 ,则A点电场强度E的大小满足的关系式为.3.一半径为R的带有一缺口的细圆环, 缺口宽度为d (d<<R)环上均匀带正电, 总电量为q ,如图1.2所示, 则圆心O处的场强大小E = ,场强方向为.三.计算题1.一“无限长”均匀带电的半圆柱面,半径为R, 设半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为λ,如图1.2所示.试求轴线上一点的电场强度.2.一带电细线弯成半径为R的半圆形, 电荷线密度为λ= λ0 sinϕ, 式中λ0为一常数, ϕ为半径R与X轴所成的夹角, 如图1.3所示,试求环心O处的电场强度.练习二电场强度（续）电通量一.选择题1. 以下说法错误的是(A) 电荷电量大,受的电场力可能小；(B)电荷电量小,受的电场力可能大；(C)电场为零的点,任何点电荷在此受的电场力为零；(D)电荷在某点受的电场力与该点电场方向一致.2.在点电荷激发的电场中，如以点电荷为心作一个球面，关于球面上的电场，以下说法正确的是(A) 球面上的电场强度矢量E处处不等；(B) 球面上的电场强度矢量E处处相等，故球面上的电场是匀强电场；(C) 球面上的电场强度矢量E的方向一定指向球心；(D) 球面上的电场强度矢量E的方向一定沿半径垂直球面向外.3.关于电场线，以下说法正确的是(A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(A) 开始时处于静止的电荷在电场力的作用下运动的轨迹必与一条电场线重合；(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.4.如图2.1，一半球面的底面园所在的平面与均强电场E的夹角为30°，球面的半径为R，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为(A)πR2E/2 .(B) -πR2E/2.(C) πR2E.(D) -πR2E.5.真空中有AB两板，相距为d ，板面积为S(S＞＞d2)，分别带+q和-q，在忽略边缘效应的情况下，两板间的相互作用力的大小为(A) q2/(4πε0d2 ) .(B) q2/(ε0 S) .(C) 2q2/(ε0 S).(D) q2/(2ε0 S) .二.填空题1.真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ和-λ，点P1和P2与两带电线共面，其位置如图2.2所示，取向右为坐标X正向，则= ，= .2.为求半径为R带电量为Q的均匀带电园盘中心轴线上P点的电场强度, 可将园盘分成无数个同心的细园环, 园环宽度为d r，半径为r，此面元的面积d S= ，带电量为d q = ,此细园环在中心轴线上距圆心x的一点产生的电场强度E = .3.如图2.3所示,均匀电场E中有一袋形曲面，袋口边缘线在一平面S内，边缘线所围面积为S0，袋形曲面的面积为S '，法线向外，电场与S面的夹角为θ，则通过袋形曲面的电通量为.三.计算题1.一带电细棒弯曲线半径为R的半圆形，带电均匀，总电量为Q，求圆心处的电场强度E.2.真空中有一半径为R的圆平面，在通过圆心O与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为q 的点电荷，O、P间距离为h ,试求通过该圆平面的电通量.练习三高斯定理一.选择题1.如果对某一闭合曲面的电通量为=0,以下说法正确的是(A) S面上的E必定为零；(B) S面内的电荷必定为零；(C) 空间电荷的代数和为零；(D) S面内电荷的代数和为零.2.如果对某一闭合曲面的电通量≠0,以下说法正确的是(A) S面上所有点的E必定不为零；(B) S面上有些点的E可能为零；(C) 空间电荷的代数和一定不为零；(D) 空间所有地方的电场强度一定不为零.3.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是(A) 如高斯面上E处处为零,则该面内必无电荷；(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E处处为零；(C) 如高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷；(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场.4.图3.1示为一轴对称性静电场的E～r关系曲线,请指出该电场是由哪种带电体产生的(E表示电场强度的大小, r表示离对称轴的距离)(A) “无限长”均匀带电直线；(B) 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体；(C) 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱面；(D) 半径为R的有限长均匀带电圆柱面.5.如图3.2所示,一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A角上,则通过侧面a b c d 的电场强度通量等于:(A) q / 24ε0.(B) q / 12ε0.(C) q / 6 ε0 .(D) q / 48ε0.二.填空题1.两块“无限大”的均匀带电平行平板,其电荷面密度分别为σ (σ>0) 及-2σ ,如图3.3所示,试写出各区域的电场强度EⅠ区E的大小 ,方向；Ⅱ区E的大小 ,方向；Ⅲ区E的大小,方向.2.如图3.4所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q,相距2R,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R为半径作高斯球面S,则通过该球面的电场强度通量Φ= ;若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a、b 两点的电场强度的矢量式分别为，.3.点电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图3.5所示,图中S为闭合曲面,则通过该闭合曲面的电通量= ,式中的E是哪些点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和？答：是.三.计算题1.厚度为d的无限大均匀带电平板，带电体密度为ρ，试用高斯定理求带电平板内外的电场强度.2.半径为R的一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体内挖去半径r的一个小球体,球心为O´ , 两球心间距离= d, 如图3.6所示, 求：(1) 在球形空腔内,球心O'处的电场强度E0；(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O'、O、P三点在同一直径上，且= d.练习四静电场的环路定理电势一.选择题1.真空中某静电场区域的电力线是疏密均匀方向相同的平行直线,则在该区域内电场强度E和电位U是(A) 都是常量.(B) 都不是常量.(C) E是常量, U不是常量.(D) U是常量, E不是常量.2.电量Q均匀分布在半径为R的球面上,坐标原点位于球心处, 现从球面与X轴交点处挖去面元∆S, 并把它移至无穷远处(如图 4.1),若选无穷远为零电势参考点,且将∆S移走后球面上的电荷分布不变,则此球心O点的场强E0与电位U0分别为（注：i为单位矢量）(A)－i Q∆S/[(4πR2 )2ε0 ]；[Q/(4πε0R)][1－∆S/(4πR2)].(B) i Q∆S/[(4πR2 )2ε0 ]；[Q/(4πε0R)][1－∆S/(4πR2)].(C) i Q∆S/[(4πR2 )2ε0 ]；[-Q/(4πε0R)][1－∆S/(4πR2)].(D) －i Q∆S/[(4πR2 )2ε0 ]；[-Q/(4πε0R)][1－∆S/(4πR2)].3.以下说法中正确的是(A) 沿着电力线移动负电荷,负电荷的电势能是增加的；(B) 场强弱的地方电位一定低,电位高的地方场强一定强；(C) 等势面上各点的场强大小一定相等；(D) 初速度为零的点电荷, 仅在电场力作用下,总是从高电位处向低电位运动；(E) 场强处处相同的电场中,各点的电位也处处相同.4.如图4.2，在点电荷+q的电场中,若取图中P点处为电势零点,则M点的电势为(A) .(B) .(C) .(D) .5.一电量为-q的点电荷位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图4.3所示，现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则(A) 从A到B，电场力作功最大.(B) 从A到各点，电场力作功相等.(C) 从A到D，电场力作功最大.(D) 从A到C，电场力作功最大.二.填空题1.电量分别为q1, q2 , q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上,如图4.4所示,设无穷远处为电势零点,圆半径为R, 则b点处的电势U = .2.如图4.5,在场强为E的均匀电场中,A、B两点距离为d, AB连线方向与E方向一致, 从A点经任意路径到B点的场强线积分= .3.如图4.5所示,BCD是以O点为圆心, 以R为半径的半圆弧, 在A点有一电量为+q的点电荷, O点有一电量为– q的点电荷, 线段= R, 现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点, 则电场力所作的功为.三.计算题1.电量q均匀分布在长为2 l的细杆上, 求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点) .2.一均匀带电的球层, 其电荷体密度为ρ, 球层内表面半径为R1, 外表面半径为R2,设无穷远处为电势零点, 求空腔内任一点的电势.练习五场强与电势的关系静电场中的导体一.选择题1.以下说法中正确的是(A) 电场强度相等的地方电势一定相等；(B) 电势梯度绝对值大的地方场强的绝对值也一定大；(C) 带正电的导体上电势一定为正；(D) 电势为零的导体一定不带电2.以下说法中正确的是(A) 场强大的地方电位一定高；(B) 带负电的物体电位一定为负；(C) 场强相等处电势梯度不一定相等；(D) 场强为零处电位不一定为零.3.如图5.1,真空中有一点电荷Q及空心金属球壳A, A处于静电平衡, 球内有一点M, 球壳中有一点N, 以下说法正确的是(A) E M≠0, E N=0 ,Q在M处产生电场,而在N处不产生电场；(B) E M =0, E N≠0 ,Q在M处不产生电场,而在N处产生电场；(C) E M =E N =0 ,Q在M、N处都不产生电场；(D) E M≠0,E N≠0,Q在M、N处都产生电场；(E) E M =E N =0 ,Q在M、N处都产生电场.4.如图5.2,原先不带电的金属球壳的球心处放一点电荷q1 , 球外放一点电荷q2 ,设q2、金属内表面的电荷、外表面的电荷对q1的作用力分别为F1、F2、F3 , q1受的总电场力为F, 则(A) F1=F2=F3=F=0.(B) F1= q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) ,F2 = 0 , F3 = 0, F=F1 .(C) F1= q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) , F2 = 0,F3 =- q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) (即与F1反向), F=0 .(D) F1= q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) ,F2 与F3的合力与F1等值反向,F=0 .(E) F1= q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) , F2=- q1 q2 / ( 4 πε0d2 ) (即与F1反向), F3 = 0, F=0 .5.如图5.3,一导体球壳A,同心地罩在一接地导体B上,今给A球带负电-Q, 则B球(A)带正电.(B) 带负电.(C) 不带电.(D) 上面带正电,下面带负电.二.填空题1.一偶极矩为P的电偶极子放在电场强度为E的均匀外电场中, P与E的夹角为α角,在此电偶极子绕过其中心且垂直于P与E组成平面的轴沿α角增加的方向转过180°的过程中,电场力作功为A= .2.若静电场的某个立体区域电势等于恒量, 则该区域的电场强度分布是;若电势随空间坐标作线性变化, 则该区域的场强分布是.3.一“无限长”均匀带电直线,电荷线密度为λ,在它的电场作用下,一质量为m,带电量为q 的质点以直线为轴线作匀速圆周运动,该质点的速率v = .三.计算题1.如图5.4所示,三个“无限长”的同轴导体圆柱面A、B和C,半径分别为R A、R B、R C，圆柱面B上带电荷,A和C 都接地,求B的内表面上电荷线密度λ1,和外表面上电荷线密度λ2之比值λ1/λ2.2.已知某静电场的电势函数U =－+ ln x (S I) ,求点（4，3，0）处的电场强度各分量值.练习六静电场中的导体（续）静电场中的电介质一.选择题1.一孤立的带正电的导体球壳有一小孔,一直导线AB穿过小孔与球壳内壁的B点接触,且与外壁绝缘,如图6.1.C、D分别在导体球壳的内外表面上,A、C、D三点处的面电荷密度分别为σA、σC、σD , 电势分别为U A、U C、U D ,其附近的电场强度分别为E A、E C、E D , 则:(A) σA>σD ,σC = 0 , E A> E D , E C = 0 , U A = U C = U D .(B) σA>σD ,σC = 0 , E A> E D , E C = 0 , U A > U C = U D .(C) σA=σC ,σD≠0 , E A= E C=0, E D ≠0 , U A = U C =0 , U D≠0.(D) σD>0 ,σC <0 ,σA<0 , E D沿法线向外, E C沿法线指向C ,E A平行AB指向外,U B >U C > U A .2.如图6.2,一接地导体球外有一点电荷Q,Q距球心为2R,则导体球上的感应电荷为(A)0.(B) -Q.(C) +Q/2.(D) –Q/2.3.导体A接地方式如图6.3,导体B带电为+Q,则导体A(A) 带正电.(B) 带负电.(C) 不带电.(D) 左边带正电,右边带负电.4.半径不等的两金属球A、B ,R A = 2R B ,A球带正电Q ,B球带负电2Q,今用导线将两球联接起来,则(A) 两球各自带电量不变.(B) 两球的带电量相等.(C) 两球的电位相等.(D) A球电位比B球高.5. 如图6.4，真空中有一点电荷q , 旁边有一半径为R的球形带电导体，q距球心为d ( d > R ) 球体旁附近有一点P ，P在q与球心的连线上，P点附近导体的面电荷密度为σ .以下关于P点电场强度大小的答案中,正确的是(A) σ / (2ε0 ) + q /[4πε0 ( d－R )2 ]；(B) σ / (2ε0 )－q /[4πε0 ( d－R )2 ]；(C) σ / ε0 + q /[4πε0 ( d－R )2 ]；(D)σ / ε0－q /[4πε0 ( d－R )2 ]；(E)σ / ε0；(F) 以上答案全不对.二.填空题1.如图6.5,一平行板电容器, 极板面积为S,,相距为d, 若B板接地,,且保持A板的电势U A=U0不变,,如图, 把一块面积相同的带电量为Q的导体薄板C平行地插入两板中间, 则导体薄板C的电势U C = .2.地球表面附近的电场强度约为100N/C ,方向垂直地面向下,假设地球上的电荷都均匀分布在地表面上,则地面的电荷面密度σ= , 地面电荷是电荷（填正或负）.3.如图6.6所示，两块很大的导体平板平行放置,面积都是S，有一定厚度，带电量分别为Q1和Q2,如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为、、、.三.计算题1.半径分别为r1 = 1.0 cm 和r2 =2.0 cm 的两个球形导体, 各带电量q = 1.0×10-8C, 两球心相距很远, 若用细导线将两球连接起来, 并设无限远处为电势零点,求: (1)两球分别带有的电量; (2)各球的电势.2.如图6.7，长为2l的均匀带电直线，电荷线密度为λ，在其下方有一导体球，球心在直线的中垂线上，距直线为d，d大于导体球的半径R，（1）用电势叠加原理求导体球的电势；（2）把导体球接地后再断开，求导体球上的感应电量.练习七静电场中的电介质（续）电容静电场的能量一.选择题1.极化强度P是量度介质极化程度的物理量, 有一关系式为P = ε0(εr-1)E , 电位移矢量公式为D = ε0E + P ,则(A) 二公式适用于任何介质.(B) 二公式只适用于各向同性电介质.(C) 二公式只适用于各向同性且均匀的电介质.(D) 前者适用于各向同性电介质, 后者适用于任何电介质.2.电极化强度P(A) 只与外电场有关.(B) 只与极化电荷产生的电场有关.(C) 与外场和极化电荷产生的电场都有关.(D) 只与介质本身的性质有关系,与电场无关.3.真空中有一半径为R, 带电量为Q的导体球, 测得距中心O为r 处的A点场强为E A =Q r/(4πε0r3) ,现以A为中心,再放上一个半径为ρ,相对电容率为εr的介质球,如图7.1所示,此时下列各公式中正确的是(A) A点的电场强度E'A=E A /ε r；(B) ；(C) =Q/ε0；(D) 导体球面上的电荷面密度σ = Q /( 4πR2 ).4.平行板电容器充电后与电源断开,然后在两极板间插入一导体平板,则电容C, 极板间电压V,极板空间(不含插入的导体板)电场强度E以及电场的能量W将(↑表示增大,↓表示减小)(A) C↓,U↑,W↑,E↑.(B) C↑,U↓,W↓,E不变.(C) C↑,U↑,W↑,E↑.(D) C↓,U↓,W↓,E↓.5.如果某带电体电荷分布的体电荷密度ρ增大为原来的2倍,则电场的能量变为原来的(A) 2倍.(B) 1/2倍.(C) 1/4倍.(D) 4倍.二.填空题1.一平行板电容器,充电后断开电源, 然后使两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质, 此时两极板间的电场强度为原来的倍, 电场能量是原来的倍.2.在相对介电常数εr = 4 的各向同性均匀电介质中,与电能密度w e=2×106J/cm3相应的电场强度大小E = .3.一平行板电容器两极板间电压为U ,其间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质,电介质厚度为d , 则电介质中的电场能量密度w = .三.计算题1.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内外圆筒半径分别为R1 =2cm ，R2= 5cm，其间充满相对介电常数为εr的各向同性、均匀电介质、电容器接在电压U=32V的电源上（如图7.2所示为其横截面），试求距离轴线R=3.5cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差.2.假想从无限远处陆续移来微电荷使一半径为R的导体球带电.(1) 球上已带电荷q时，再将一个电荷元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？(2) 使球上电荷从零开始加到Q的过程中，外力共作多少功？练习一库仑定律电场强度一、选择题DBADC二、填空题1、、异号；2、；3、，指向缺口三、计算题1．解：把半圆筒面划分成许多宽度为dL的无限长的窄带，这些窄带都平行于轴线，把这些窄带看成无限长的细棒进行计算，如图1所示：∵半圆柱面沿轴线单位长度上的线密度为，在窄条上取微元dx，dx到轴上一点距离为m，则dx所带电荷量为∴在此点产生的电场强度大小为：设dE与x轴正方向的夹角为θ，到dE的两个分量分别为：①②又由图可知，变量x、L与θ存在如下的关系：即：，，得；代入①②两式可得③④对③④从0到π积分得2.解：如图2所示：在轴线上任一点的电场强度是由无数个这样的微元组成的，去如图的垂直坐标，由对称性可知，在x方向的分量为0，在y方向的分量为：电场强度大小为，方向为沿y轴相反方向练习二电场强度电通量一、选择题DABAA二、填空题1、，方向与X轴正向一致，，方向与X轴反向一致；2、，；3、三、计算题1、解：如图建立坐标系，取微元dL，则则带电量：此微元在圆心处产生的电场强度为：由于对成型，在x方向的分量相互抵消，在y方向上的电场强度为答：所以电场强度大小为，方向是沿y轴相反的方向。