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全等三角形问题中罕有的帮助线的作法(有答案)泛论：全等三角形问题最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,结构二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角等分线,可向双方作垂线. 也可将图半数看,对称今后关系现.角等分线平行线,等腰三角形来添. 角等分线加垂线,三线合一尝尝看.线段垂直等分线,常向两头把线连. 要证线段倍与半,延伸缩短可实验.三角形中两中点,衔接则成中位线. 三角形中有中线,延伸中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形3.角等分线在三种添帮助线4.垂直等分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30.60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目标是组成30-60-90的特别直角三角形,然后盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.8.盘算数值法：碰到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特别直角三角形,或40-60-80的特别直角三角形,常盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.罕有帮助线的作法有以下几种：最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,二个角之间的相等.1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”法结构全等三角形．3)碰到角等分线在三种添帮助线的办法,（1）可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角等分线上的一点作该角等分线的垂线与角的双方订交,形成一对全等三角形.（3）可以在该角的双DCBAEDF CBA方上,距离角的极点相等长度的地位上截取二点,然后从这两点再向角等分线上的某点作边线,结构一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．6)已知某线段的垂直等分线,那么可以在垂直等分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,运用三角形面积的常识解答． 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE. 运用：1.（09崇文二模）以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DEEDCBADCBAPQCBA的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是; （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由． 二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC. 3.如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5.如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC 运用： 三.平移变换例1AD 为△ABC 的角等分线,直线MNDCBFED CBA⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 五.扭转例1正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为(第23题图)OP AMNEB CD F ACEFBD图①图②图③ACD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分离交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF.（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积例3如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．2.（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形（图1） A B CDEFM N（图2）C（图3）ABC DE F MNDC BAABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）． 参考答案与提醒 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.解：延伸AD 至E 使AE ＝2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值规模是1<AD<4EDF CBA例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延伸FD 至G 使FG ＝2EF,连BG,EG, 显然BG ＝FC,在△EFG 中,留意到DE ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中,由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.解：延伸AE 至G 使AG ＝2AE,连BG,DG, 显然DG ＝AC,∠GDC=∠ACD 因为DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG,AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD 等分∠BAE 运用：1.（09崇文二模）以的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是ABC ∆BC.DE的中点．探讨：AM与DE的地位关系及数目关系．∆为直角三角形时,AM与DE的地位关系是,（1）如图①当ABC线段AM与DE的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．C∴DE AM ⊥,DE AM 21=二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F,连FD△ADB 是等腰三角形,F 是底AB 中点,由三线合一知 DF ⊥AB,故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F,使AF ＝AD,△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°CBA故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3.如图,已知在△ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 盘算数值法）延伸AB 至D,使BD BP,连DP在等腰△BPD 中,可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延伸BA 至F,使BF ＝BC,连△BDF ≌△BDC （SAS ） 故∠DFB ＝∠DCB ,FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5.如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上随意率性一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延伸AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC运用：剖析：此题衔接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用已知前提和等边三角形的性质经由过程证实三角形全等解决它们的问题.B∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠,EF AE =,FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新鲜,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用全等三角形的性质解决. 三.平移变换例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延伸BA 至F,使AF ＝AC,连FEAD 为△ABC 的角等分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：O ED CB AAB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD,DC+AE =AC证实(角等分线在三种添帮助线,盘算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角等分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,衔接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2.如图,△ABC中,AD等分∠BAC,DG⊥BC且等分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）解释BE=CF的来由;（2）假如AB=a,AC=b,求AE.BE的长.解：(垂直等分线联络线段两头)衔接BD,DCDG垂直等分BC,故BD＝DC因为AD等分∠BAC, DE⊥AB于E,DF⊥ACEDGFC BA于F,故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 解：（1）FE 与FD 之间的数目关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1,在AC 上截取AE AG =,贯穿连接FG ∵21∠=∠,AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆(第23题图) OP A MN E B C D F ACEFBD图①图②图③FED CBA∴AFG AFE ∠=∠,FG FE =∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠的等分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2,过点F 分离作AB FG ⊥于点G ,BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠∴可得︒=∠+∠6032,F 是ABC ∆的心坎 ∴160∠+︒=∠GEF ,FG FH =又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五.扭转例 1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.证实：将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度,至三角形ABG图 1图 2则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.(1)当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.解：(盘算数值法)（1）衔接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DA CD等分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°因为DM⊥DN,有∠EDN＝90°因为 CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图,ABC∆是等腰三角形,且∆是边长为3的等边三角形,BDC60角,使其双方分离交AB于点M,∠=,以D为极点做一个0BDC120交AC于点N,衔接MN,则AMN∆的周长为;解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 盘算数值法) AC 的延伸线与BD的延伸线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．解：（1）∵AD AB ⊥,CD BC ⊥,BC AB =,CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）; ∴CBF ABE ∠=∠,BF BE =∵︒=∠120ABC ,︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ,BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==,BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MN（2）图2成立,图3不成立.证实图2,延伸DC 至点K ,使AE CK =,衔接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =,KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ,︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立,AE .CF .EF 的关系是EF CF AE =- 2.（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.剖析：（1）作帮助线,过点A 作PB AE ⊥于点E ,在PAE Rt ∆中,已知APE ∠,AP 的值,依据三角函数可将AE ,PE 的值求出,由PB 的值,可求BE 的值,在ABE Rt ∆中,依据勾股定理可将AB 的值求出;求PD 的值有两种解法,解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到K ABCDE FMN图 2AB P '∆,可得AB P PAD '∆≅∆,求PD 长即为求B P '的长,在P AP Rt '∆中,可将P P '的值求出,在B P P Rt '∆中,依据勾股定理可将B P '的值求出;解法二：过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,交PB 于G ,在AEG Rt ∆中,可求出AG ,EG 的长,进而可知PG 的值,在PFG Rt ∆中,可求出PF ,在PDF Rt ∆中,依据勾股定理可将PD 的值求出;（2）将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值即为B P '的最大值,故当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值,依据PB P P B P +'='可求B P '的最大值,此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图,作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中,︒=∠45APB ,2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中,︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图,因为四边形ABCD 为正方形,可将将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到AB P '∆,,可得AB P PAD '∆≅∆,B P PD '=,A P PA '=∴︒='∠90P PA ,︒='∠45P AP ,︒='∠90PB P ∴2='P P ,2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ;解法二：如图,过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,设DA 的延伸线交PB 于G ．EPA DCBP ′PA CBDEP ′PACBDP ′PACBD在AEGRt ∆中,可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG在PFG Rt ∆中,可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ,1510=FG 在PDF Rt ∆中,可得（2）如图所示,将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值,即为B P '的最大值∵B P P '∆中,PB P P B P +'' ,22=='PA P P ,4=PB 且P .D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值（如图）此时6=+'='PB P P B P ,即B P '的最大值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之G FP A CBDE间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．剖析：（1）假如DN DM =,DNM DMN ∠=∠,因为DC BD =,那么︒=∠=∠30DCB DBC ,也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ,直角三角形MBD .NCD 中,因为DC BD =,DN DM =,依据HL 定理,两三角形全等.那么NC BM =,︒=∠=∠60DNC BMD ,三角形NCD 中,︒=∠30NDC ,NC DN 2=,在三角形DNM 中,DN DM =,︒=∠60MDN ,是以三角形DMN 是个等边三角形,是以BM NC NC DN MN +===2,三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QABAC AB NC MB AN AM 2=+=+++,三角形ABC 的周长ABL 3=,是以3:2:=L Q ．（2）假如DN DM ≠,我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换.延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD ,那么三角形MBD 和ECD 中,有了一组直角,CEMB =,DCBD =,是以两三角形全等,那么DE DM =,CDE BDM ∠=∠,︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN中,有DE DM =,︒=∠=∠60MDN EDN ,有一条公共边,是以两三角形全等,NE MN =,至此我们把BM 转换成了CE ,把MN 转换成了NE ,因为CE CN NE +=,是以CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）,得出的成果是一样的.图 1N MAD CB （3）我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换,思绪同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠,三角形BDM 和CDH 中,由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ,我们做的角CDH BDM ∠=∠,CD BD =,是以两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =,DH DM =,三角形MDN 和NDH 中,已知的前提有DH MD =,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就须要知道HDN MDN ∠=∠,因为MDB CDH ∠=∠,是以︒=∠=∠120BDC MDH ,因为︒=∠60MDN ,那么︒-︒=∠60120NDH︒=60,是以NDH MDN ∠=∠,如许就组成了两三角形全等的前提．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==,三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =,L AB 31=,是以三角形AMN 的周长L x Q 322+=． 解：（1）如图1,BM .NC .MN 之间的数目关系：MN NC BM =+;此时32=LQ ．（2）猜测：结论仍然成立．证实：如图2,延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ∵CD BD =,且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）E 图 2NMAD CB NA∴DE DM =,CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +== 故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3,当M .N 分离在AB .CA 的延伸线上时,若x AN =,则L x Q 322+=（用x .L 暗示）．点评：本题考核了三角形全等的剖断及性质;标题中线段的转换都是依据全等三角形来实现的,当题中没有显著的全等三角形时,我们要依据前提经由过程作帮助线来构建于已知和所求前提相干的全等三角形.。

三角形全等辅助线构造总结当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析板块一、常见旋转相关模型一、邻补模型（∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB）条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。

常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、AC CD BC 2=+ ②60°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC =+ ③120°相关结论：1、AC 平分∠BCD 2、AC CD BC 3=+补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断变式、不完整的邻补模型条件构成：有邻边相等或者对角互补，角平分线条件改成其中一个半角知道度数常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等二、邻八模型（∠CAD=∠CDB，AB=AC）条件构成：邻边相等、八字形、等腰三角形顶角为特殊角常见结论：1、外角平分线；2、线段的和差倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AD 为外角平分线 2、AD BD CD 2=-②120°相关结论：1、AD 为外角平分线2、AD BD CD 3=-变式、不完整的邻八模型条件构成：有邻边相等或者八字形，角平分线条件改成知道部分角度 常见结论：与邻补模型一样解题方法：利用已知角构造等腰三角形得到手拉手全等④一般角时（∠ADC=∠ABC）（∠ADB+∠ABC=180°）注：当等腰三角形不为等腰直角三角形或等边三角形时，利用作垂和翻折构造等腰三角形，如上第二图中，可过A 作DC 垂线，垂足F ，然后找E 使DF=EF ，连接则可得到目标等腰三角形三、等腰直角三角形相关旋转模型1、条件构成：△ABC 为等腰直角三角形，D 为直线BC 上任意一点常见结论：2222AD CD BD =+解题思路：构造旋转全等补充说明：2、夹半角模型条件构成：△ABC 是等腰直角三角形，且∠DAE 为45°或135°角常见结论：222DE CE BD =+解题思路：构造旋转全等，证两次全等补充说明：1、以上半角模型的辅助线构造思路都是将△ABD 绕A 逆时针转90°，先后证明AFE ADE ACF ABD ∆≅∆∆≅∆,，再用勾股得到结论2、120°等腰三角形相关夹半角也有类似解法，但结论不同，需要用到解三角形四、对角互余模型（BA=BC,∠BAC+∠BDC=90°） ①等边三角形 结论：222AD CD BD =+②等腰直角三角形结论：222BD=+2ADCD③120°等腰三角形结论：222+BD=CD3AD变式：向内时（∠ADC减等腰三角形底角=90°）结论：与相应对角互余模型相同一、拓展一：等腰+对角和为特殊角模型特点：四边形由一个顶角为特殊角的等腰三角形和一个任意三角形构成，其中一组对角和为特殊角。

三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMABC D E F12345 12E DB AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条垂线AD，垂足D位于BC边上。

通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。

2.中线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。

通过中线可以将三角形分成三个等边三角形，进而使用等边三角形的性质解决问题。

3.角平分线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条角平分线AD，使得∠CAD=∠BAD。

通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角，从而使用相等角的性质解决问题。

4.内切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其内切圆，该圆与三角形的三条边都相切。

通过内切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。

5.外切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其外切圆，该圆与三角形的三条边都相切。

通过外切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。

6.高线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条高线AH，垂足H位于BC边上。

通过高线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。

7.中位线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。

通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形，进而使用面积相等的性质解决问题。

8.三角形的对称性：对于任意三角形ABC，可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性，根据这种对称性可以找到一些相等的角或边，从而简化问题的解决。

9.倒错：对于任意三角形ABC，可以考虑将这个三角形倒转或翻转，从而改变三角形的位置和形态，进而简化问题的解决。

10.几何图形的组合：对于给定的三角形ABC，可以考虑将它与其他几何图形进行组合，例如，与一个正方形、矩形或平行四边形组合，从而改变问题的形式，解决新问题。

DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

八年级数学《全等三角形五种常见的辅助线作法》 类型一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系（即遇到求证一条线段等于另两条线段之和或差），且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：在长线段上截取一部分使之与短线段相等（截长法）或将短线段延长使其与长线段相等（补短法）．1. 在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线．如图1，若2C B ∠=∠，12AB =，2.7=AC ，求线段CD 的长度；2.如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE ECB ∠=∠．求证：CD AD BC =+．举一反三【变式1】如图，在ABC∠、ACB∠．∠=︒，AD，CE分别平分BAC∆中，60ABC（1）求AOC∠的度数；（2）求证：AC AE CD=+．【变式2】在等边ABC∠=︒，∆中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作60AEM交ACG∠的平分线于点M．（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE EM=；（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时（1）中的结论是否成立？请说明理由．类型二、倍长中线三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．3. 已知在ABCAC=，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围(AB=，4∆中，3)A．34AD>D．0.5 3.5AD<<C．3<<ADAD<<B．174已知：在ABC=，延长BE交∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=．AC于F，求证：AF EF举一反三【变式1】已知：如图，()∆≠中，D、E在BC上，且DE ECABC AB ACDF BA=，过D作//交AE于点F，DF AC∠．=．求证：AE平分BAC【变式2】如图，已知：CD AB =，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线，求证：2AC AE =．类型三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．5.已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，在AC 上取点E ，在AB 的延长线上取点D ，使BD EC =，连接DE 交BC 于点F ．求证：DF EF =．举一反三【变式1】ABC∠=︒，AP平分BAC∠交C∠交BC于P，BQ平分ABC ∆中，60BAC∠=︒，40+=+．AC于Q，求证：AB BP BQ AQ类型四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．6. 如图，在ABC∠的平分线，若A点到直线BD ∆中，AC BC∠=︒，BD为ABCC=，90的距离为a，则BE的长为．举一反三【变式1】已知：90BD CE=．⊥，垂足为E．求证：2=，BD平分ABCA∠=︒，AB AC∠，CE BD类型五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线（双垂直），对称构造出全等三角形是常用的证明方法．7.如图，在ABC⊥于点E，点F在AC上，C∠，DE AB∆中，90∠=︒，AD平分CAB=．BE FC=．求证：BD DF举一反三【变式1】如图，90∠，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，∠=︒，OM平分AOBAOB两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．。

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

E 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中A BO EE()公共角∵DBECAE()已证D CBDAC(已知)图71∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。

求证：BD＝2CEF分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时AE1B 12DC 图91CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：分别延长B A，CE交于点F。

∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，12(已知)∵BEBE(公共边)BEFBEC()已证1C F（全等三角形对应边相等）∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=2∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中BACCAF(已证)BDABFC()已证AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。

最新文件---- 仅供参考------已改成word 文本 ------ 方便更改三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BEABC DE D C B A4321NFE DCBA又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中 ED = MD∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中 BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC MABCDE F1234512ED BAP 12N CB A∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练初中数学：有关三角形的辅助线方法归纳，共是19种类型，结合例题实战演练，适合想要提升自己解题能力的同学。

辅助线的使用对大部分初中同学来说是难以逾越的一条鸿沟，难度大，无从下手已经成为常态，今天唐老师带大家一起搞定三角形有关的辅助线使用方法。

第一类型：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可以连接两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证明。

第二类型：在利用三角形的外角大于任何不相邻的内角证明角的不等关系时，如果证不出来，就连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处于内角的位置上，再利用外角定理证明。

第三类型：有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。

第四种类型：有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。

第五类型：在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。

第六种类型：截长补短作辅助线的方法。

其实这个很好理解的，截长表示在较长的线段上截取与较短线段相等长度的线段，反之补短则是通过延长较短线段与已知较长线段相等的方法。

总之截长补短的方法的使用还是要看具体的情况而定，唐老师在这只是给大家提出解决问题的具体方法，大家可以顺着这个思路看看下面的例题，然后找相同类型的题进行练习。

只有熟练运用这个方法，才能在考试的做题中自由发挥。

反之，没有深刻的理解和熟练的运用，遇到题目时，总感觉自己很乏力，没有做题的思路，甚至都找不到突破口。

对于大部分的同学来说，解难题已经很困难了，要是遇到需要做辅助线才能完成的题目，那将更是雪上加霜了。

第七类型：条件不足时，延长已知边构造三角形。

第八类型：连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。

解题的方法并不是唯一的，但适时地打开思维，找到解题的突破口那将是变化多端。

第九类型：有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

人教版八年级数学全等三角形中的常见辅助线(举一反三)(含解析)本文介绍了全等三角形中的常见辅助线，包括角分线上点向角两边作垂线和截取法构全等两种方法。

第一种方法是过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

举例来说，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，要求证∠BFP+∠BEP＝180°。

另外，还有一些变式题，例如已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，要求解出PC和PD之间的数量关系。

第二种方法是利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例如，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，要求证BC＝AB+DC。

还有一些变式题，例如已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，要求判断BE，CD，BC的数量关系。

本文还提到了一些其他问题，例如在△ABC中，∠XXX是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，要求判断FE与FD之间的数量关系。

此外，还有一些类似的变式题，需要读者自行思考和解答。

需要注意的是，本文中有一些格式错误和明显有问题的段落需要删除，同时每段话也需要进行小幅度的改写，以使其更加准确、清晰和易于理解。

在△ABC中，通过截取AE＝AC的方式，连接DE，得到△ADE≌△ADC。

因此，我们可以证明XXX。

对于图②，我们知道AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于点D，且∠D＝25°。

我们需要求解∠B的度数。

对于△XXX，我们可以通过以下方式求解∠B的度数：∠B＋∠C＋∠A＝180°。

因为∠C＝2∠B，所以∠A＝180°－3∠B。