4-1 刚体的定轴转动

4-1 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的 合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合 力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力 矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合 力也一定是零。
对上述说法，下述判断正确的是（ B ）
(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒
(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒
(E) 角动量守恒，动量也守恒
解：卫星~质点 m
地球~均匀球体
v2
对称性：引力矢量和过地心
h2
h1 m
对地心力矩为零
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
v1
此外，以卫星和地球为系统， 忽略其它外界作用，系统的 机械能守恒。

0.154 0.02 2 0.054 0.08
0.136 kg m2
2
4 13: 如图所示，质量m1 16kg的实心圆柱体A，其半径为r 15cm，可以 绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其一
端系一个质量为m2 8kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1s后的 距离；（2）绳的张力。
4 14 : 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。
m1 2m2 从静止开始运动，1s后B下降的距离：
h 1 at2 m2g 89.8 2.45m
绳中张力：
2
m1 2m2 16 16
T

1 2
m1r

m1r 2
2m2g m1r 2m2r

m1m2 g m1 2m2

例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1


T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M

r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r

合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3

r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)

刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。

刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。

2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。

转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。

2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。

对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。

3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。

3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。

4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。

4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。

5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。

5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。

角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。