刚体定轴转动的描述角量 - 福州大学教学之窗

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大学物理第3章刚体的定轴转动

13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm

l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P

x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ

v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt

dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0

大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

mg FT2 ma2

FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1

r

J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0，为什么拉力还作功呢？
W

0
Md
在定义力矩作功时，我们认为只有切向力作功，而法向力与位移垂直不作功。
但在例题中，小球受的拉力与位移并不垂直，小球的运动轨迹为螺旋线，法向力要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2

R

mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为，顶端固定一半径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1

mAmB g
mA mB mC
2
T2

(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：

大学物理刚体的定轴转动

2l
l
17
例一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。解：建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：

大学物理-刚体绕定轴转动的角动量

M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒力的功动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。若整个流体沿水平方向加速运动？加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa

大学物理课件：刚体定轴转动

M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质

1掌握描述刚体定轴转动的角位移角速角加速等物理量重点

M

r
F
I z dmiri2
当刚体质量连续分布 I r2dm
组合体的转动惯量 I I1 I2 I3 ... Ii
3 .刚体的定轴转动定律
4. 力矩的功转动动能
d
M I I
dt
A
2 1
M
Z
d
EK

i
(
1 2
mi
vi2
)

1 I2 2
刚体定轴转动动能定理
A

2
1
M
Z
d

1 2
I22

1 2
I12

EK
机械能守恒定律:只有重力做功时
1 2
I2
m ghC
常量
5. 角动量和冲量矩
刚体的角动量 LZ I
恒力矩的冲量 MZ t
变力矩的冲量
t2 t1
M
Z
dt
6. 角动量定理和角动量守恒定律
A Fdx
EK

1 mv2 2
mv
角位移

角速度 d
角加速度

dt
d
dt
d 2
dt 2
转动惯量J miri2
功
A
2 1
M
Z
d
转动动能
EK

1 J 2
2
角动量
J
功率
P Fv
角功率 P M
课堂讨论题
1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上下列说法正确吗?
(1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零;

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达
式
刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的一对重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程。

首先，刚体绕定轴转动定律表明，当刚体绕定轴转动时，角加速度与作用于该刚体的合力成正比，且方向与合力方向一致，可用公式表示为：α=F/I，其中α为角加速度，F为合力，I为惯性矩。

其次，角动量定理表明，刚体绕定轴转动时，角动量的变化量等于作用于刚体的合力矩的积分，可以用公式表示为：ΔL=∫F·ds，其中ΔL为角动量的变化量，F为合力，ds为沿着转动轴的增量。

这两个定律对刚体绕定轴转动的过程有着重要的解释作用。

它们揭示了角加速度与合力之间的关系，以及角动量的变化量与合力矩之间的关系。

同时，它们也为刚体绕定轴转动的动力学研究提供了重要的参考依据，从而为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。

总之，刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程，并为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。

刚体定轴转动

[例1] 求质量均匀分布的细棒对（1）对通过质心垂直于细棒；（2）通过端点的轴转动惯量。设棒长为 l ，质量为 m 。
解：（1）对过质心的轴
I1 r dm
2

l 2
l 2
x 2 dx
(2)
(1)
1 3 1 l ml 2 12 12
（2）对过端点的轴利用平行轴定理：
x
O x dx
选择转轴上任何一点OR 作为 M 和 L 的参考点。
力矩： M z
Fi
力矩质点系的角动量改变
z
Mi
O ri riR
M
iz
i M iz riR Fi
M i riR Fi ri Fi
OR
A
NA
C
(1) (2) mg f B NB
N A＝f N B mg
选B点为转轴
l (3) mg cos N A l sin 2 N A f 42.6( N ) 联立三式得 N mg 147( N ) B
例题一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
§5-2 刚体的角动量和转动惯量
1.刚体对固定轴的角动量
z
刚体作为质点系，其角动量为
L

i
Li

i
ri pi
如图，质元Δ mi 对定点O的位矢表示为
Liz
pi
Li
mi
rOi ri riz
ri

刚体的定轴转动

为一矢量，叫矢量积，也叫叉乘、矢量积。
① ②
大小： | a b || a | | b | sin
方向：方向由右手螺旋法则决定。
a
b
12
a b

2.
①
矢量性质：
结合律： (a ) b (a b ) a (b )

t
t0
M dt L L0 L
这就是单个质点的角动量定理其中， M dt是力矩对时间的累积效应，叫冲量矩。
t0 t1
质点的角动量定理：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
二．刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律：
1. 刚体绕定轴转动的角动量：设刚体绕固定轴O以角速度ω转动，如图示：考察质量为Δmi的质量元，其角动量
28
三．转动的动能定理：
d d dA Md J d J d J d Jd dt dt 当刚体的角速度由1 2时，外力矩对刚体所做的功： A dA
2 1
1 2 1 2 Jd J2 J1 2 2
刚体定轴转动的动能定理：外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
vi ri O Δmi
ω
Li mi vi ri mi ( ri )ri mi ri
2
则整个刚体的角动量为所有质量元的角动量之和 L Li mi ri ( mi ri ) J
2 2 i i
结论：刚体绕固定轴转动的角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
2
对刚体的所有质量元求和，得：
Fi ri sin i F内i ri sin i mi ri ( mi ri )

第四章刚体的定轴转动

L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2：求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，

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o
θ
P
x
4
2.角位移 2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：角坐标的增量：∆θ = θ ′ − θ 称为刚体的角位移称为刚体的角位移 3.角速度 3.角速度描写刚体转动快慢和方向的物理量。的物理量。
R y
r v2
p′
r v1
P x
∆θ
θ
dθ ∆θ = lim 角速度 ω = ∆ t → 0 ∆t dt
2
刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转动，一种转动，这条直线称为转轴。转轴。刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周刚体上各个质点都在作圆周运动，刚体上各个质点都在作圆周运动运动的半径不一定相等。运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，各质点圆周运动的平面垂直于转轴线转动平面。线上，这个平面我们称为转动平面线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
5
角速度是矢量，角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。量表示。刚体上任一质元的速度表示为：刚体上任一质元的速度表示为： r r r , v=ω r v =ω×r 4.角加速度 4.角加速度
刚体运动的描述
1
一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的平动各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或线始终保持原来的方向（者说，者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。终保持彼此平行）。特点：特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。平动的刚体可看作质点。平动的刚体可看作质点。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
β ω0
ω
ω0
β
ω
7
5.匀变速转动的计算公式 5.匀变速转动的计算公式 1.特点： 1.角加速度为一常量 α = C 特点：角加速度为一常量特点 2.定轴转动。定轴转动。定轴转动 3.初始条件： t = 0时初始条件：初始条件 2.匀变速转动公式匀变速转动公式
θ = θ0 ω 轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 1.角坐标描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。在转动平面内，在转动平面内，过O点作点作一极轴，一极轴，设极轴的正方向是水平向右，是水平向右，则OP与极与极轴之间的夹角为θ。轴之间的夹角为θ θ角称为角坐标（或角位置）。角称为角坐标（或角位置）角坐标角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。
ω = ω0 +α t
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω 0t + α t 2 2 ω 2 − ω 0 = 2α (ϕ − ϕ 0 )
8
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
6
角加速度是矢量，角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。速度的方向，不必用矢量表示。说明：角坐标、角位移、角速度说明：角坐标、角位移、和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；述质点的曲线运动；位矢、位移、速度、位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。量是用来描述质点的运动。