高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练

第六章平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算一、基础巩固1．设非零向量，a b满足|a＋b|＝|a－b|,则（）A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|【正确答案】A【详细解析】利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中,设AB＝a,AD＝b,=,如图所示.由|a＋b|＝|a－b|知AC DB从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b..2．在五边形ABCDE中（如图）,AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【正确答案】B 【详细解析】AB BC DC AB BC CD AD +-=++=.3．如图,,E F 分别为正方形ABCD 的边,DC BC 的中点,设,AB a AD b ==,则EF =（ ）A ．1122a b + B ．1322a b C ．3344a b -D ．1122a b -【正确答案】D 【详细解析】EF =AF AE -AB BF AD DE =+--=1122AB AD AD AB +-- 1122AB AD =- 1122a b =-。

4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,给出下列式子:①AB CD BC DA +=+,②AC BD BC AD +=+,③AC BD DC AB -=+．其中正确的有（ ）． A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【正确答案】B详细解析:①式的等价式是AB DA -=BC -CD ,左边=AB +AD ,右边=BC +DC ,不一定相等; ②AC BD BC AD +=+的等价式是:AC -AD =BC -BD ,左边=右边=DC ,故正确; ③AC BD DC AB -=+的等价式是:AC AB -=BD +DC ,左边=右边=BC ,故正确;5．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则AO OB AD +-等于（ ）A ．AB B ．BCC ．CDD ．DB【正确答案】D 【详细解析】 数形结合可知:AO OB AD +-AB AD DB =-=.6．如图,在空间四边形OABC 中, OA a =, OB b =, OC c =．点M 在OA 上,且2OM MA =,N 是BC 的中点,则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．112223a b c +-D ．221332a b c +-【正确答案】B 【详细解析】由题,在空间四边形OAB , OA a =, OB b =, OC c =． 点M 在OA 上,且2OM MA =, N 是BC 的中点,则1122ON c b =+ ． 所以211322MN ON MO a b c =+=-++ 7．在平行四边形ABCD 中,AB AD AB AD +=-,则必有（ ）. A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【正确答案】C 【详细解析】在平行四边形ABCD 中, 因为AB AD AB AD +=-, 所以AC DB =,即对角线相等, 因为对角线相等的平行四边形是矩形, 所以ABCD 是矩形.8．在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN ＝12NC ,P 是BN 上的一点,若AP ＝m AB ＋29AC ,则实数m 的值为( ) A ．19B ．13C ．1D ．3【正确答案】B 【详细解析】 设NP NB λ= ,AP AN NP =+13AC NB λ=+=1()3AC NA AB λ++ 11()33AC AB λλ=-+ 所以112,339λ-= 所以1.3λ=9．（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量,b 与c ⃗是共线向量,则a 与c 是共线向量C ．a b a b +=-,则a ⊥bD ．若a 与b 单位向量,则|a |=|b | 【正确答案】AB 【详细解析】长度为1的所有向量都称之为单位向量,方向可能不同,故A 错误; 因为零向量与任何向量都共线,当0b =,a 与c 可以为任意向量,故B 错误;a b a b +=-,设a 与b 起点相同,利用平行四边形法则做出a b a b +-，,如图所示,根据向量加法和减法的几何意义可知此平行四边形对角线相等,故为矩形,所以邻边垂直,即a ⊥b若a 与b 单位向量,则11a b ==，,|a ∴ |=|b | 10.（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量C ．a b a b +=-,则a b ⊥D ．若a 与b 是单位向量,则a b = 【正确答案】AB. 【详细解析】解:对A,D 由单位向量的定义知:单位向量的模为1,方向是任意的,故A 错误,D 正确; 对B,当0b =时,a 与c 可以不共线,故B 错误;对D,a b a b +=-,即对角线相等,此时四边形为矩形,邻边垂直,故D 正确. 11．（多选）下列各式中,结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-【正确答案】BD 【详细解析】对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确; 对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确; 对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;对于选项D :()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.12．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,则下列结论中正确的有（ ） A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【正确答案】ACD 【详细解析】∵O 为正方体的中心,∴1OA OC =-,1OD OB =-,故()11OA OD OB OC +=-+, 同理可得()11OB OC OA OD +=-+,故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++,∴A 、C 正确; ∵OB OC CB -=,1111OA O A D D =-, ∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量,∴B 不正确; ∵11OA OA AA =-,111OC OC C C AA -==-, ∴()11OA OA OC OC -=--,∴D 正确. 二、拓展提升13．作图验证:()a b a b -+=--． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】当,a b 中至少有一个为0时,()a b a b --=-+显然成立（图略）; 当,a b 不共线时,作图如图（1）,显然()OB OB a b a b '--+=-==-; 当,a b 共线时,同理可作图如图（2）所示．14．如图,在ABC 中,4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,点D ,E 分别在边,AB AC 上,且2,3AB AD AC AE ==.（1）若1124BF AB AC =-+,试用AD ,AE 线性表示AF ; （2）在（1）的条件下,求AD AF ⋅的值. 【正确答案】（1）34AF AD AE =+;（2）112.【详细解析】 解:（1）∵1124BF AB AC =-+,∴1124AF BF BA AB AC =-=+, 又2,3AB AD AC AE ==,∴34AF AD AE =+. （2）由（1）可得34AD AF AD AD AE ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭, ∵2,3AB AD AC AE ==,∴311448AD AF AD AD AE AB AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 11111646cos60482︒=⨯+⨯⨯⨯=. 15．如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,E ,F ,G 分别是BC ,CD ,DB 的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果.（1）AB BC DC +-; （2）AB DG CE --.【正确答案】（1）AB BC DC AD +-=;作图见详细解析;（2）AB DG CE AF --=;作图见详细解析.【详细解析】（1）AB BC DC AB BC CD AC CD AD +-=++=+=,如图中向量AD . （2）AB DG CE AB GD EC AB BG EC AG GF AF --=++=++=+=, 如图中向量AF .。

人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算同步精练【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .考点二向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .考点三向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【题型归纳】题型一：向量的线性运算1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），则下列关于向量的运算错误的是（）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若0ma =，则0a =D ．若ma na =，则m n=2．（2021·全国·高一课前预习）若a b c =+，化简()()()32232a b b c a b +-+-+的结果为（）A ．a-B ．4b-C ．cD ．a b-3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为（）①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-；③若ma mb =，则a b =；④若ma na =，则m n =．A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④题型二：平面向量的混合运算4．（2021·全国·高一课时练习）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）A ．3122a b+B ．2133a b+C ．1122a b+D ．3144a b+6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且11,.33AP AB BQ BC ==若AB a =，AC b =，则PQ ＝（）A ．1133a b+B ．1133a b-+C ．1133a b-D ．1133a b--题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图，ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（）A ．23BG BE =B ．12DG AG =；C ．121332DA FC BC +=uu u r uu u r uu u r D ．2CG FG=-8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在ABC 中，D 为线段BC 上一点，2CD DB =，E 为AD 的中点．若AE AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．14B ．13C ．12D ．239．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB +B ．1162AC AB +C ．1126AC AB +D ．1263AC AB +题型四：三角形的心的向量表示10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，0OA OB OC ++=，则:OBCABCS S=（）A ．12B ．13C ．14D ．1511．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图，O 是ABC 的重心，AB a =，AC b =，D 是边BC 上一点，且4BD DC =，则（）A ．271515OD a b =-+B ．271515OD a b =-C ．271515OD a b =--D ．271515OD a b =+12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 、N 、P 在ABC 所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点O 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．314．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心15．（2021·全国·高一课时练习）若23AB BC =-，则下列各式中不正确的是（）．A ．32CB AB =B ．2BA AC=C ．13CA BC=-D ．12AC AB =16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC等于（）A ．13B ．12C ．3D ．217．（2021·全国·高一课时练习）设向量1OA e =，2OB e =，若1e 与2e 不共线，且点P 在线段AB 上，:2AP PB =，则OP =（）A ．121233e e -B ．122133e e +C ．121233e e +D ．122133e e -18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（）A ．若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使λa b =．B ．3b a =(a 为非零向量)，则,a b 共线C ．若334,22m a b n a b =+=+，则//m nu r r D ．若0a b c ++=，则a b c+=-19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC 中，AN ＝23NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝t AB ＋13AC ，则实数t 的值为（）．A ．16B ．13C ．23D ．5620．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接EF 交AC 于点M ，且满足4BE EA =，3AF FD =，23AM AB AC λμ=-，则1952λμ-=（）A ．-3B ．1C ．32-D ．1221．（2021·河南郑州·高一期末）已知ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，则AD →可表示为（）A ．2AD AB AC →→→=-+B ．1233AD AB AC →→→=+C ．2AD AB AC→→→=-D ．2133AD AB AC →→→=+22．（2021·江西宜春·高一期末）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为()A ．19B ．13C ．1D ．3【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一专题练习）已知点,O N 在△ABC 所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，则点,O N 依次是△ABC 的（）A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心24．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边ABC 中，点E 在中线CD 上，且6CE ED =，则AE =（）A ．1377AC AB +B ．13377AC AB -C ．3177AC AB +D ．31377AC AB -25．（2021·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（）①()7642a a -⨯=-；②()2223a b a b a -++=；③()0a b a b +-+=.A ．0B ．1C ．2D ．326．（2021·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在ABC 中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若3177AF AB AC =+，则 ACAD的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．527．（2021·全国·高一课时练习）设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||a ba b =成立的条件是（）A ．a b =-B ．//a b r rC ．2a b=D ．//a b r r且=a b28．（2020·全国·高一）点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心二、多选题29．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知43AB AD AC -=，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．||||AC DB =D ．||3||BC DB =30．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若230OA OB OC ++=，AOCS，ABCS分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△C ．两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若向量a b ≠，则a 与b 一定不是共线向量31．（2021·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量a →，下列说法正确的是（）A ．2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同B ．3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反C ．若0λ=，则a λ→等于零D ．若1aλ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量32．（2021·湖南·高一期末）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．333．（2021·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论中正确的是（）A ．//AD BCuuu r uu u r B ．22OA OD ⋅=-C ．0=OB OD D ．22AF =-三、填空题34．（2021·全国·高一课时练习）已知D ，E ，F 分别为ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，BC a =，CA b =．给出下列五个命题：①AB a b =+uu u r r r ；②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④1122AF a b =--；⑤0AD BE CF ++=．其中正确的命题是________．（填序号）35．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，12DE EC BF FC ==，，若AC =λA E +μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ+μ=_______.36．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DC =，设AB a =，BC b =，那么AD 等于________（结果用a 、b 表示）37．（2021·全国·高一课时练习）设平面内四边形ABCD 及任一点O ，,OA a OB b ==uu r r uu u r r ．,OC c OD d ==．若a c b d+=+r r r u r且||||a b a d -=-．则四边形ABCD 的形状是_________．四、解答题38．（2021·全国·高一课时练习）在四边形ABCD 中，已知2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，试判断四边形ABCD 的形状．39．（2021·全国·高一课时练习）计算：（1）()()35326a b a b --+；（2）()()4352368a b c a b c -+---+．40．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，求12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知向量,a b →→，且52x y a →→→+=，3x y b →→→-=，求x →，y →.41．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用a ，b 表示AD ，A E ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．42．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG BDDG CD==，过点G 作直线与AB ，AC 分别交于点E ，F .（1）用向量AB ，AC 表示AD .（2）试问2AB AC AE AF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案详解】1．D 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】由题意，向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），由向量的运算律可得，()m a b ma mb -=-，故选项A 正确；由向量的运算律可得，()m n a ma na -=-，故选项B 正确；若0ma =，因为0m ≠，则0a =，故选项C 正确；当0a =时，ma na =，此时m 和n 不一定相等，故选项D 错误．故选：D ．2．A 【分析】根据已知条件结合a b c =+，利用向量的线性运算即可求解.【详解】()()()32232a b b c a b+-+-+366222a b b c a b=+----()2222a b c b c b c b c a =--=+--=-+=-，故选：A.3．B 【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：()m a b ma mb -=-，故①正确；对于②：根据数乘向量的法则可得：()m n a ma na -=-，故②正确；对于③：由ma mb =可得()0m a b -=，当m ＝0时也成立，所以不能推出a b =，故③错误；对于④：由ma na =可得()0m n a -=，当0a =，命题也成立，所以不能推出m ＝n .故④错误；故选：B4．A 【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，()0CB OB OA OC OA ⋅-+-=,()()220AB AC AB AC AB AC -⋅+=-=，所以AB AC c b =⇒=，所以三角形ABC 是等腰三角形.故选：A 5．C 【分析】由向量的加法运算得到MN MA AB BN =++，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】12MN MA AB BN EA AB =++=++12BD()()1122EA AB AB BD =+++12EB =+111222AD a b =+,故选：C 6．A 【分析】由已知得到11,.33AP AB BQ BC ==利用PB AB AP =-，得到23PB AB =，利用PQ PB BQ =+及BC AC AB =-和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得11,.33AP AB BQ BC ==1233PB AB AP AB AB AB =-=-=，()2121111133333333PQ PB BQ AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.7．B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，所以G 是三角形ABC 的重心.所以23BG BE =，A 选项正确.12DG AG =-，B 选项错误.121332DA FC DG GC DC BC +=+==，C 选项正确.2CG FG =-，D 选项正确.故选：B8．C【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出λμ，的值，进而求出结果.【详解】因为D 为线段BC 上一点，2CD DB =，所以2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，且E 为AD 的中点，所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又因为AE AB AC λμ=+，因此1136λμ==，，所以12λμ+=，故选：C.9．B【分析】根据向量的加法运算可得EM EC CM =+和减法运算可得CB AB AC =-，结合条件,可得答案.【详解】由2EC AE =，则23EC AC =则()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B10．B【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：O 为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系【详解】如图所示，由0OA OB OC ++=得：O 为三角形ABC 的重心，是中线的交点，且23AO AD =，所以，1:3OBC ABC h h =，底边为BC ，所以，1::3OBC ABC OBC ABC h SS h ==故选：B11．A【分析】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-，化简即可.【详解】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-,故()141735315OD OB BD BA BC BC BA BC =+=-++=-+()17272731515151515AB AC AB AB AC a b =+-=-+=-+，故选：A.12．C【分析】由||||||OA OB OC ==知O 是ABC 的外心；利用共起点向量加法将0NA NB NC ++=变形为共线的两向量关系，得到N 点在中线上的位置，从而判断为重心；由PA PB PB PC ⋅=⋅移项利用向量减法变形为0PB CA ⋅=，得出PB 为CA 边上的高，同理得PC 为AB 边上的高，故为垂心.【详解】||||||OA OB OC ==，则点O 到ABC 的三个顶点距离相等，∴O 是ABC 的外心.0NA NB NC ++=，NA NB NC ∴+=-，设线段AB 的中点为M ，则2NM NC =-，由此可知N 为AB 边上中线的三等分点(靠近中点M )，所以N 是ABC 的重心.PA PB PB PC ⋅=⋅，()0PB PA PC PB CA ∴⋅-=⋅=.即PB CA ⊥，同理由PB PC PC PA ⋅=⋅，可得PC AB ⊥.所以P 是ABC 的垂心.故选：C.【点睛】关于ABC 四心的向量关系式：O 是ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==；O 是ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅；O 是ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(其中a b c 、、为ABC 的三边)13．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C14．C【分析】取BC 的中点D ，由已知条件可知动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，易得2AP AD λ→→=，则点,,A D P 三点共线，进而得到点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.【详解】解：设D 为BC 的中点，则=+()2OP OA AB AC OA AD λλ→→→→→→+=+，则2OP OA AD λ→→→-=，即2AP AD λ→→=，,,A D P ∴三点共线，又因为D 为BC 的中点，所以AD 是边BC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：C.15．D【分析】根据向量的数乘的定义判断．【详解】如图，由23AB BC =-知C 在BA 延长线上，且12AC AB =，因此由向量数乘定义知ABC 三个选项均正确，D 错误．故选：D ．16．C【分析】由已知可得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，从而可得答案.【详解】解：由430OA OB OC -+=，得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，所以3AB BC =，即3AB BC =，故选：C.17．C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到,,OP OA OB 的线性关系，即可知正确选项.【详解】由2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==-，∴121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+.故选：C18．A【分析】选项A ：要注意0b =时不成立；选项B ：由3b a =得到,a b 方向相同，从而得到,a b 共线；选项C ：由条件得到2m n =，从而//m n u r r ；选项D ：通过移项可知选项D 显然正确.【详解】选项A ：当0b =时，满足,a b 共线，但不满足存在唯一的实数λ，使λa b =成立，此时不存在实数λ，使λa b =成立，所以选项A 错误；选项B ：若3b a =，则,a b 方向相同，所以,a b 共线，所以选项B 正确；选项C ：因为3342222m a b a b n ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以//m n u r r ，所以选项C 正确；选项D ：若0a b c ++=，则a b c +=-，选项D 正确.故选：A ．19．A【分析】由向量的线性运算可得56AP t AB AN =+，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为AN 23NC =，所以25AN AC =，所以AP =t AB 11553326AC t AB AN t AB AN +=+⨯=+，又P 是BN 上一点，所以516t +=，解得16t =.故选：A.20．D【分析】因为E ，F ，M 三点共线，故可考虑将AM 用,AE AF 表示，再结合三点共线满足的性质计算即可【详解】因为AC AB AD =+，所以2323()(23)3AM AB AC AB AB AD AB AD λμλμλμμ=-=-+=--.因为4BE EA =，3AF FD =，故45,3AB AE AD AF ==,所以5(23)4AM AE AF λμμ=--.因为E ，F ，M 三点共线，所以4(2)531λμμ--=，10191λμ-=，所以191522λμ-=.故选：D21．A【分析】由已知得出向量BC 与向量BD 的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．【详解】因为ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，所以2BD CD →→=，则12BC BD DC BD →→→→=+=，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→=+=+=+-=-+，故选：A22．A【分析】利用向量的线性运算将条件2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化为89AP mAB AN =+，再根据B 、P 、N 三点共线，得出819m +=，解得19m =.【详解】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =.故选：A ．23．C【分析】由外心O 到三角形顶点距离相等、重心N 的性质：2NB NC ND +=且2AN ND =，结合题设即可判断,O N 是△ABC 的哪种心.【详解】∵||||||OA OB OC ==，∴O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，故O 是△ABC 的外心，如下图，若N 是△ABC 三条中线的交点，AD 是BC 上的中线，∴2NB NC ND +=，又2AN ND =，∴0NA NB NC ++=，故题设中的N 是△ABC 的重心.故选：C24．A【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】因为66()77AE AC CE AC CD AC AD AC =+=+=+-，12AD AB =，所以1377AE AC AB =+.故选：A25．C【分析】由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.【详解】对于①，()7642a a -⨯=-，①正确；对于②，()2223a b a b a -++=，②正确；对于③，()0a b a b +-+=，③错误.故选：C.26．C【分析】设AC AD λ=，可得3177AF AB AD λ=+，由B ，F ，D 三点在同一条直线上，可求得λ的值，即可得解．【详解】设AC AD λ=，因为3177AF AB AC =+，所以3177AF AB AD λ=+，因为B ，F ，D 三点在同一条直线上，所以31177λ+=，所以4λ=，所以4AC AD=．故选：C27．C【分析】根据a a 、b b 的含义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】aa 、b b 分别表示与a 、b 同方向的单位向量，对于A ：当a b =-r r 时，a b a b=-，故A 错误；对于B ：当//a b r r 时，若,a b 反向平行，则单位向量方向也相反，故B 错误；对于C ：当2a b =时，22a bba b b ==，故C 正确；对于D ：当//a b r r 且=a b 时，若a b =-r r 满足题意，此时a b a b=-，故D 错误.故选：C28．B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．29．BD【分析】由43AB AD AC -=可得3DB BC =，从而可对ABD 进行判断，再对43AB AD AC -=变形化简可对C 进行判断【详解】因为43AB AD AC -=，所以33AB AD AC AB -=-，所以3DB BC =，因为,DB BC 有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且||3||BC DB =，所以BD 正确，A 错误，由43AB AD AC -=，得333AC AB AD AB DB AB =-+=+，所以||||AC DB ≠，所以C 错误，故选：BD30．AD【分析】A 向量平行传递性的前提是都为非零向量；B 若,D E 分别是,AC BC 的中点，结合已知得2OE OD =-，再过,,E O B 作AC 上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C 由向量反向共线的性质即可判断；D 根据共线向量的定义即可判断.【详解】A ：如果,a c 都是非零向量，而0b =，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B ：若,D E 分别是,AC BC 的中点，由题设有()()20OA OC OB OC +++=，即420OD OE +=，2OE OD =-，所以,,O D E 三点共线且2OE OD =，过,,E O B 作AC 上的高123,,h h h ，易知211311,32h h h h ==，则2316h h =，所以:1:6AOC ABC S S =△△，正确；C ：两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，正确；D ：若向量a b ≠，则a 与b 可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD31．ABD【分析】对于选项ABD 可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C ，a λ等于零向量，不是零，故C 错误.【详解】解：对于A ：2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同，故A 正确；对于B ：3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反，故B 正确；对于C ：若0λ=，则a λ→等于零向量，不是零，故C 错误；对于D ：若1a λ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量，故D 正确.故选：ABD32．BD【分析】设AC t AN =，利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于λ，t 的方程，再由三角形面积比得关于λ，t 的另一方程，联立即可求得实数λ的值．【详解】解：如图，()AM MB AB AM λλ==-，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD33．ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为4π.结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH 中，//AD BC ，那么//AD BC uuu r uu u r ，故A 对； B.32cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=-，故B 对；C.OB 与OD uuu r 夹角为2π，故0=OB OD ，故C 对； D.222()222AF OF OA OF OA OF OA OF OA =-=-=+-⋅=+，故D 错；故选：ABC34．②③④⑤【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为BC a =，CA b =，所以()AB AC CB CA BC a b =+=-+-=--uu u r uuu r uu r uu r uu u r r r ，1122BE BC CE BC CA a b =+=+=+，()11112222CF CA AF CA AB b a b a b =+=+=+--=-+，()11112222AF AB a b a b ==--=--，()()()111222AD BE CF AB AC BA BC CA CB ++=+++++()()11022AB AC BA BC CA CB AB AC AB BC AC BC =+++++=+-+--=，即0AD BE CF ++=，即正确的有：②③④⑤故答案为：②③④⑤35．75【分析】利用向量的加减法及数乘化简可得AC =32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+计算即可.【详解】由平面向量的加法运算，有AC AB AD =+.因为AC =λA E +μAF =λ(AD DE +)+μ(AB BF +)=λ13AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+μ12AB AD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以32AB AD AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312λμμλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，故答案为：75或1.236．23a b +【分析】根据AD AB BD =+以及23BD BC =进行线性运算，由此可求得AD 的表示.【详解】因为23AD AB A D BC B B ==++，所以23AD a b =+，故答案为：23a b +.37．菱形【分析】由a c b d +=+r r r u r 易得BA CD =，即ABCD 为平行四边形，再由||||a b a d -=-即可判断ABCD 的形状.【详解】由a c b d +=+r r r u r 得a b d c -=-r r u r r ，即OA OB OD OC -=-，∴BA CD =，于是AB 平行且等于CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又||||a b a d -=-，从而||||OA OB OA OD -=-，∴||||BA DA =，即四边形ABCD 为菱形．故答案为：菱形38．四边形ABCD 是梯形【分析】根据共面向量基本定理可知，2(4)2AD AB BC CD a b BC =++=--=，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，2453822(4)AD AB BC CD a b a b a b a b a b =++=+----=--=--，所以2AD BC =，即//AD BC ，且2AD BC =.所以四边形ABCD 是梯形.39．（1）311a b-（2）104a c+【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并（1）原式=()()35326=159122=311a b a b a b a b a b --+----（2）原式=()()4352368=4122061216=104a b c a b c a b c a b c a c-+---+-+++-+40．（1）-53i →-5j →；（2）311a →-511b→.【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1113⎛⎫-- ⎪⎝⎭a →+2123⎛⎫-++ ⎪⎝⎭b →=-53a →+53b →.∵32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，∴原式=-53(3i →+2j →)+53(2i →-j →)=1053⎛⎫-+ ⎪⎝⎭i →+10533⎛⎫-- ⎪⎝⎭j →=-53i →-5j →.(2)将3x →-y →=b →两边同乘2，得6x →-2y →=2b →.与5x →+2y →=a →相加，得11x →=a →+2b →，∴x →=111a →+211b→.∴y →=3x →-b →=3121111a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-b →=311a →-511b →..41．（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量共线定理可得求证.【详解】（1）如图，延长AD 到点G ，使2AG AD =，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AB AC A a G b =+=+，因为D 是BC 的中点，所以()1122AD AG a b ==+，()2133AE AD a b ==+，因为F 是AC 的中点，所以1122==AF AC b ，()()11323a b a b B a E AE AB =-=+-=-，()11222BF AF AB b a b a =-=-=-；（2）由（1）知，()123BE b a =-，()122b a BF =-，所以23BE BF =，所以BE ，BF 共线，又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．42．（1）1233AD AB AC =+；（2）是定值，定值为92.【分析】（1）结合图形利用向量的加法运算求解；（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，然后根据题意将AG 用,AB AC 表示出来，从而可用,AE AF 表示，再由,,E F G 三点共线可得结论【详解】解：（1）A AB BDD =+23AB BC =+()23AB BA AC =++1233AB AC =+.（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，因为2AG BD DG CD==所以23AG AD =uuu r uuu r 212333AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2499AB AC =+2499AE AF λμ=+，所以24199λμ+=，即922λμ+=，故292AB AC AE AF +=为定值.。

6.2.2向量的减法同步练习一．选择题1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是()A．a与b一定不相等B．//a bC．a与b的长度必相等D．a是b的相反向量2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2||16BC=，||||AB AC AB AC+=-，则||(AM=)A．8B．4C．2D．13．在平行四边形ABCD中，设AB a=，AD b=，AC c=，BD d=，下列等式中不正确的是()A．a b c+=B．a b d-=C．b a d-=D．c a b-=4．下列关于四边形ABCD判断正确的是()①若AD BC=，则四边形ABCD是平行四边形；②若13AD BC=，则四边形ABCD是梯形；③若,AB DC AB AD==且，则四边形ABCD是菱形；④若||||AB AD AB AD+=-，则四边形ABCD是矩形．A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④5．化简下列式子：其结果为零向量的个数是()①AB BC CA++；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-．A ．1B ．2C ．3D ．46．若正六边形ABCDEF 边长为2，中心为O ，则||(EB OD CA ++= )A ．2B ．C ．4D ．7．已知||3,||4a b ==，则||a b +的最小值为( )A ．1-B ．1C ．4D ．78．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A ．AB DC =B ．AD AB AC += C ．BC DC CA +=D ．0AD CB +=二．填空题9．下列四个等式： ①a b b a +=+；②()a a --=；③0AB BC CA ++=；④()0a a +-=． 其中正确的是 （填序号）．10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||4BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||AM = ．11．若菱形ABCD 的边长为2，则||AB CB CD -+= ．12．已知向量a ，b 满足||2a b +=，||3a b -=，则||||a b +的最大值为 ．三．解答题13．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且||||1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=，求||DC BC +与||CD BC +．14．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a b c --．15．如图，ABCD 中，AB a =，AD b =， （1）当a 、b 满足什么条件时，表示a b +与a b -的有向线段所在的直线互相垂直？ （2）当a 、b 满足什么条件时，||||a b a b +=-． （3）a b +与a b -有可能为相等向量吗？为什么？16．三个大小相同的力a 、b 、c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向作匀速运动，设PA a =，PB b =，PC c =，试判断ABC ∆的形状．6.2.2向量的减法同步练习答案1．解：选项A ，当b 和a 均为0时，满足b 是a 的相反向量，但a b =，故错误； 选项B ，由相反向量的定义可知B 、C 、D 均正确，故选：A ．2．解：由216BC =，得||4BC =，||||||4AB AC AB AC BC +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =故选：C ．3．解：如图，,,,AB a AD b AC c BD d ====；∴由AC AB AD =+得，c a b =+；∴c a b -=；∴选项A ，D 的等式都正确；由BD AD AB =-得，d b a =-；∴选项C 的等式正确，选项B 的等式不正确．故选：B ．4．解：对于①，若AD BC =，则||||AD BC =且//AD BC ，四边形ABCD 是平行四边形，①正确；对于②，若13AD BC =，|||AD BC ≠且//||AD BC ，四边形ABCD 是梯形，②正确； 对于③，由AB DC =得出四边形ABCD 是平行四边形， 由||||AB AD =，得出平行四边形ABCD 是菱形，③正确； 对于④，由||||AB AD AB AD +=-，得22()()AB AD AB AD +=-， 即222222AB AB AD AD AB AB AD AD ++=-+， ∴0AB AD =即AB AD ⊥，如图所示又四边形ABCD 不一定是平行四边形，∴四边形ABCD 不一定是矩形，④错误．综上，正确命题的序号为①②③．故选：B ．5．解：①0AB BC CA AC CA ++=+=，②0AB AC BD CD CB BD CD CD CD -+-=+-=-=， ③0OA OD AD DA AD -+=+=，④0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=．故选：D ．6．解：正六边形ABCDEF 中，EB OD CA EO DC OD CA ED DA EA ++=+++=+=，在AEF ∆中，120AFE ∠=︒，2AF EF ==，∴22EA ==．即||23EB OD CA ++=．故选：B ．7．解：||3,||4a b ==，∴222()2||||cos ,91624cos ,2524cos ,a b a b a b a b a b a b +=++<>=++<>=+<>， ∴cos ,1a b <>=-时，2()a b +取最小值1，∴||a b +的最小值为1．故选：B ．8．解：由平行四边形的性质，可得 AB DC =，选项A 正确；由向量加法的平行四边形法则，可得 AD AB AC +=，选项B 正确；0AD CB AD DA +=+=，∴选项D 正确；BC DC BC AB AC +=+=，∴选项C 错误．故选：C ．9．解：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的； ③符合向量的加法法则，也是正确的．故答案为：①②③④．10．解：||||AB AC AB AC +=-，∴以AB 和AC 为邻边的平行四边形是一个矩形，根据矩形的对角线相等且互相平分， ∴11||||4222AM BC ==⨯=，故答案为：211．解：|||()|AB CB CD AB CB CD -+=--||||2AB DB AD =-==故答案为：212．解：如图，设a <，b θ>=，在ABD ∆和ABC ∆中分别用余弦定理得：222||||2||||cos 3a b a b θ+-=，①222||||2||||cos()2a b a b πθ+--=，②①+②得：227||||2a b +=，∴222227777(||||)||||2||||2||||||||72222a b a b a b a b a b +=++=+++=+=，（当且仅当||||a b =时“=”成立．)∴||||7a b +，13．解：如图所示，||||1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=， ∴四边形ABCD 是菱形，1cos 2DAB ∠=，60DAB ∴∠=︒． ABD ∴∆是边长为1的等边三角形．||||||2DC BC CD CB CA ∴+=+=== ||||1CD BC BD +==．14．解：如图：在平面内任意取一点0，作OA a =，OB b =， 则BA a b =-，作CA c =，则BC a b c =--．15．解：（1）易知a b AC +=，a b DB -=． 表示a b +与a b -的有向线段所在的直线垂直，即AC BD ⊥． 又四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a 、b 应满足||||a b =．（2）||||a b a b +=-，即||||AC DB =．矩形的对角线相等．∴当表示a ，b 的有向线段所在的直线垂直时， 满足||||a b a b +=-．（3）不可能，因为ABCD 的两条对角线不可能平行，因此a b +与a b -不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．16．解：三个大小相同的力a 、b 、c 作用在同一物体P 上，物体P 沿a 方向作匀速运动， ∴0a b c ++=，且||||||a b c ==； 又PA a =，PB b =，PC c =，∴0PA PB PC ++=，且||||||PA PB PC ==，如图所示；由对称性知，120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒， 所以AB PB PA =-，BC PC PB =-，CA PA PC =-， 所以||||||AB BC AC ==；所以ABC ∆是等边三角形．。

人教A版高中数学必修第二册6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算 6.2.2　向量的减法运算基础过关练题组一　向量的加法运算1.(2024河北石家庄第二十四中期末)化简:AB+(OM+BO)+MB=( )辽宁葫芦岛第一高级中学期末)已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,E为斜边上一动点,则|AB+BE|的最小值为( )4.5.的边AB,BC,CD,DA(2)EG+CG+DA+EB.6.(教材习题改编)一艘小船在静水中的航行速度的大小为20 m/min,一小河的水流速度的大小为10 m/min,如果船从河岸出发,沿垂直于水流的航线到达对岸需3 h,求小船的实际航行速度和航程.,O为BC的中点,记D.m+n的取值范围是[5,15],则题组三　向量加、减法的综合运算及应用11.(2024四川绵阳月考)下列运算结果不正确的是( )A.AB+BC+CA=0B.AB-BD-DA=0C.OA-OD+AD=0D.AB-AC+BD-CD=012.(教材习题改编)已知a,b为非零向量,则下列说法错误的是( )A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反C.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 的模相等D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同13.(2024辽宁抚顺月考)如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是△ABC 所在平面内任意一点,则BE -DC +ED = .14.(2023浙江杭州期中)如图,在平面直角坐标系Oxy 中,两个非零向量OA ,OB 与x 轴的非负半轴的夹角分别为π6和2π3,向量OC 满足OA +OB +OC =0,则OC 与x 轴的非负半轴的夹角的取值范围是 .15.(2023河南南阳阶段练习)如图所示,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB 和BC 的中点,G 为AC 与BD 的交点.(1)若|AB |=|AB +BC +CD |,则四边形ABCD 是什么特殊的平行四边形?(2)化简AD -GC -EB ,并在图中作出化简后的向量.答案与分层梯度式解析6.2　平面向量的运算6.2.1　向量的加法运算6.2.2　向量的减法运算基础过关练1.B 2.D 3.A 7.A 8.B 9.A 11.B 12.C1.B　AB+(OM+BO)+MB=AB+BO+OM+MB=AB.故选B.2.D　因为f1+f2+f3=0,所以f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力的方向与f3的方向相反,长度相等,由向量加法的平行四边形法则可知D正确.故选D.3.A　易得|AB+BE|=|AE|,显然当E为斜边BC的中点时,AE最短,此时AE⊥BC,AE=BC2=22,即|AB+BE|的最小值为22.故选A.3m/min,方向与水流速度方向间的夹角为7.A　AB+BC-AD=AC-AD=DC.故选A.8.B　OA-ED=EO-ED=DO.故选B.9.A　AC=AO+OC=-OA-OB=-m-n,故选A.10.答案　10;5解析　因为a-b=|OA|-|OB|≤|OA-OB|=|BA|≤|OA|+|OB|=a+b,所以a+b=15,a-b=5,解得a=10,b=5.11.B　对于A,AB+BC+CA=AC+CA=0,故该选项运算结果正确;对于B,AB-BD-DA=AB-(BD+DA)=AB-BA=2AB,故该选项运算结果错误;对于C,OA-OD+AD=OA+AD-OD=OD-OD=0,故该选项运算结果正确;对于D,AB-AC+BD-CD=AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=0,故该选项运算结果正确.故选B. 12.C　由向量三角不等式可知,当且仅当非零向量a,b同向时,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,故A,D中说法正确;当且仅当非零向量a,b反向时,有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|,故B中说法正确,C中说法错误.故选C.13.答案　0解析　BE-DC+ED=BE+ED-DC=BD-DC.因为D是BC边的中点,所以BD=DC.所以BE-DC+ED=0.14.解析　由题意得OC=-OA-OB=-(OA+OB).如图,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,连接OD,则由向量加法的几何意义得OC=-OD,所以OC与x轴的非负半轴的夹角的取值介于-OB 和-OA与x轴的非负半轴的夹角之间.由题意得,-OA,-OB与x轴的非负半轴的夹角分别为5π6,故OC与x和π315.解析　(1)|AB|=|AB+BC+CD|=|AD|,故平行四边形ABCD是菱形.(2)因为E为AB的中点,所以AE=EB.又F为BC的中点,所以由三角形中位线定理知AC,故GC=EF.所以AD-GC-EB=AD-EF-AE=AD-(AE+EF)=AD-AF=FD.作出向EF∥AC,EF=12量FD,如图所示.。

6.2.2 向量的减法运算课后训练巩固提升1.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .FD ⃗⃗⃗⃗⃗B .FC ⃗⃗⃗⃗ C .FE ⃗⃗⃗⃗D .DF⃗⃗⃗⃗⃗DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ .2.如图,已知六边形ABCDEF 是一个正六边形,点O 是它的中心,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则EF ⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c.3.(多选题)下列各式化简结果为PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A .QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ⃗⃗⃗⃗⃗项,QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ;B 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0+PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ;D 项,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选ABC.4.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,∠AOB=90°,则|a-b|等于( ) A.7B.17C.13D.8|a-b|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由勾股定理,得AB=13,所以|a-b|=13.5.平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形,因为m,n 的长度相等,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以四边形ABCD 是矩形,故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.6.已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2. √27.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗8.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b.9.如图,在正六边形ABCDEF 中,O 是正六边形中一点,若已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,试用向量a,b,c,d 表示ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ −DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-d. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-d.DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c. 10.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M 是斜边AB 的中点,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,求证: (1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.,在等腰直角三角形ABC 中,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,由M 是斜边AB 的中点,得|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.(1)在△ACM 中,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. 由|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,得|a-b|=|a|. (2)在△MCB 中,因为MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b+a=a+(a-b). 由|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,得|a+(a-b)|=|b|.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算课后·训练提升 基础巩固1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案:C解析:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故只有C 中结论错误. 2.在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a答案:B解析:如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-b-a.3.已知O,A,B,C 是4×4方格纸(小正方形的边长为1)上不同的4个格点,O,A 的位置如图所示.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,则满足条件的点B,C 共有( )组.A.9B.10C.11D.12答案:D4.(多选题)下列各式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:ABC解析:选项A 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项B 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项C 中,-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项D 中,-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.(多选题)若a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b|D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同答案:ABD解析:对于选项A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,但a 与b 的模不一定相等,结论错误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同,结论正确. 6.如图,在四边形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c 答案:A解析:由题意可知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选A. 7.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:0解析:因为D 是边BC 的中点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 8.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案:13解析:∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,∴a-b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. 9.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:2解析:以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 10.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:方法一:先作a-b,再作a-b-c 即可.如图①所示,以A 为起点分别作向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.连接CB,得向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,再以C 为起点作向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,连接DB,得向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的向量a-b-c.方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c; 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,连接OC,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b-c. 11.设O 是△ABC 内一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若以线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H.试用a,b,c 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BH⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:由题意可知四边形OADB 为平行四边形,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b, ∴BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OH ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 能力提升1.平面内有四边形ABCD 和点O,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案:B解析:因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB CD,故四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案:C解析:由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案:C解析:∵m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 与n 的长度相等, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平行四边形ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ | C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | D.|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BCD解析:如图,在菱形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选BCD.5.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则a= ,b= . 答案:10 5解析:因为a-b=||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{a +b =15,a -b =5,解得{a =10,b =5.6.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:a+c-b解析:由已知得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b. 7.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求证:b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明方法一:因为b+c=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以b+c=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a,即b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .方法二:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a.方法三:因为c-a=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -b, 所以b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又点M 是斜边AB 的中点,所以CM=AM=BM. (1)因为CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以a+(a-b)=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a+(a-b)|=|b|.。

人教A 版数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》同步讲义第02讲 平面向量的加、减法运算题组A 基础过关练1．向量化简后等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3. .设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D. 4. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则( )．A ．B．C ．D ．5. 已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足，则G 点是三角形ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6. 如图，D ，E ，F 分别为的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．B ．分层提分AB CB BD BE DC ++++A EAC AD ABAB a =AC b = CD c = BD a b c ++ a b c-+ b a c-+b a c-- D ∆ABC BC O AD A 5166BO AB AC =-+1162BO AB AC=- 5166BO AB AC =- 1162BO AB AC=-+ EB FC +=AD 12AD BC 12BC0GA GB GC ++=ABC V 0AD BE CF ++= 0++= BD CF DFC ．D ．7. 在 中，点 满足 ，则（ ）A ．点 不在直线 上B ．点 在 的延长线上C ．点 在线段 上D ．点 在 的延长线上8. 五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上10. 平面上有三点A ，B ，C ，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形11. 在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）A．B ．C ．D ．12. 若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心0++= AD CE CF 0++= BD BE FC ABC V P 2AP AB AC =-P BC P CB P BC P BC 0CH ID += AB FE ∥2AF FG HG+= AF AB AJ=+ PA PB PC AB +=+m AB BC =+ n AB BC =-,m n V V V ABCD M BC N AB A AB a = AD b =NM =1132a b+2132a b+1132a b-2132a b- O A B C ()OP OC CB CA λ=++ R λ∈P ABC13. 下列命题中正确的是（ ）A ．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B ．在中，必有C ．若，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若，均为非零向量，则与一定相等14. 如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．15. 如图，在中，，，则（）A．B ．C ．D ．题组B 能力提升练1. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．a b a b + a bABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=a b||a b + ||||a b + D E P ABC V AB BC CA 0AD BE CF ++= 0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r 0AD CE CF +-=u u u r u u r u u u r r 0BD BE FC --= ABC V 3BC BD →→=23AE AD →→=CE →=4599AB AC→→+4799AB AC→→-4133AB AC→→-4799AB AC→→-+ABCD //AB DC 2AB DC =E BC 3142AE AB AD →→→=+3122AE AB AD →→→=+1142AE AB AD→→→=+3144AE AB AD→→→=+2. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）A．B ．C ．2D ．13. 已知平面向量，，满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 在平行四边形ABCD 中，设，，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD 交于F ，则（）A ．B ．C ．D ．5. 在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④6. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中，则给出下列结论：①；②；③．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7. 中，，点M 在BD 上，且满足，则实数t 的值为（ ）O ABC 230OA OB OC ++=OAC V OAB V 3223a b c222a c a b b c ==-=-= b []1,3⎡⎣[]2,3⎡⎣CB a = CD b = AF =3144a b--3144a b-+1344a b--1344a b-ABC V D E F BC CA AB AD BE CF G 1122EF CA BC =-1122BE AB BC =-+AD BE FC += 0GA GB GC ++= 1OA =0BF HF HD -+= OA OC += AE FC GE AB +-= ABC V AD DC =37AM AB t AC =+A．B ．C ．D ．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（ ）A ．B ．C ．D ．9.（多选题）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A ．B ．C ．D ．10.（多选题）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）A ．B ．C ．D ．11.（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）A ．若，则点是边的中点B ．若，则点是的重心C ．若，则点在边的延长线上D ．若，且，则是面积的一半12. 对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．B ．C ．D ．13. ．四边形中，若，则四边形的形状为_____.14. 如图所示，O 是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，_______（用表示）15. 若非零向量和满足,则的取值范围是________,的取值范围是________.67472759AB CA BC→→→++AB AC BD CD+++ OA OD AD -+ NQ QP MN MP++- ABCD E F BC DC P DE BF 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AB AD =+2233AP AB AD=+ 1122CP CD CB=+ P OAB V 2155OP OA OB=+2455OP OA OB=+2155OP OA AB =+ 2455OP OA AB =+ D ABC V ()12AD AB AC =+D BC ()13AD AB AC =+ D ABC V 2AD AB AC =-D BC AD xAB y AC =+ 12x y +=BCD △ABC V AB BC= AB BC =AB CD AD BC-=+ AD CD CD CB+=- ABCD BD BC BA =+ABCD 02021A A 0122021,,,A A A A 0202101,,OA a OA b OA OA ==+++ 2021OA = ,a ba b2a b b +== a r a b -r r16. 中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.C 培优拔尖练1. ．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.2. 化简下列各式：（1）；（2）；（3）.3. 如图，已知=，=，=，=，=，试用表示以下向量：ABC ∆D E F AB BC CA 3AD DB = 3BE EC = 3CF FA =2BC = AE BF CD ++=BC AB DB CD BC AB DF CDBC FA AB BC DC AD -+- OA OD AD -+AB AD DC --OAa OBb OCc ODd OFf ,,,,a b c d f（1）；（2）；（3）−；（4）＋；（5）−．4.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km /h ，测得小船正以8km /h 的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.5. 已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：（1）；（2）.6. 若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.7.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.ACAD AD AB ABCFBF BDA ACB ABC ∆90ACB ∠= M AB CM a = CA b =a b a -= ()a ab b +-=O ABC ∆OB OC OB OA OC OA -=-+- ABC ∆1233BD BC BE =+答案解析题组A 基础过关练1．向量化简后等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由,故选：A2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】故选：C.3. .设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO 中：AB CB BD BE DC ++++A EAC AD ABAB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= AB a =AC b = CD c = BD a b c ++ a b c-+ b a c-+b a c-- AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ D ∆ABC BC O AD A 5166BO AB AC =-+1162BO AB AC=- 5166BO AB AC =- 1162BO AB AC=-+，故选A.4. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则( )．A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以有以下结论：，故选A.5. 已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足，则G 点是三角形ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D 【分析】由题易得，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得，进而可得，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为，所以，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则，所以，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .6. 如图，D ，E ，F 分别为的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+EB FC +=AD 12AD BC 12BC()()1122EB FC BA BC CA CB +=-+-+ ()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+=⨯=0GA GB GC ++=GA GB CG +=CG GD =13GO CO = 0GA GB GC ++= GA GB GC CG +=-= CG GD =13GO CO = ABC VA ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：，，分别是的边，，的中点，，，，则，故A 正确；，故B 错误；，故C 错误；，故D 错误；故选：A ．7. 在 中，点 满足 ，则（ ）A ．点 不在直线 上B ．点 在 的延长线上C ．点 在线段 上D ．点 在 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论【详解】因为，得，所以，所以三点共线，且点 在 的延长线上，故选：B8. 五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和AD BE CF ++= 0++= BD CF DF 0++= AD CE CF 0++= BD BE FC D Q E F ABC V AB BC CA ∴12AD AB = 12BE BC = 12CF CA =1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=ABC V P 2AP AB AC =-P BC P CB P BC P BC BP CB = BP CB2AP AB AC =- AP AB AB AC =-- BP CB = ,,B P C P CB国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ；利用向量共线可判断B ，利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ，由图可知与相交，所以与不是相反向量，故A 错误；B ，与共线，所以与不共线，所以与不共线，故B 错误；C ，，故C 错误；D ，连接，由五角星的性质可得为平行四边形，根据平行四边形法则可得，故D 正确.故选：D9. 已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得，进而可得解.【详解】∵，∴，0CH ID += AB FE ∥2AF FG HG += AF AB AJ=+ CH ID CH IDAB DE DE FE AB FE2AF FG AG HG +=≠,BF JF ABJF AF AB AJ =+PA PB PC AB +=+CA AP =PA PB PC AB +=+ PB PC AB PA -=-∴，即.故点P 在边AC 所在的直线上.故选：D.10. 平面上有三点A ，B ，C ，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【分析】根据的长度相等，由||=||得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为的长度相等，所以||=||，即||=||，所以ABCD 是矩形，故ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C11. 在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）A．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.CB AB AP CB AB AP =+-= ，CA AP = m AB BC =+ n AB BC =-,m n V V V ,m n AC BD,m nAB BC + AB BC - AC BD V ABCD M BC N AB A AB a = AD b =NM =1132a b+ 2132a b+1132a b-2132a b-AM a b【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形中，M 为BC 的中点，则又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则故选：B12. 若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【分析】由（），得到，再根据经过在的重心判断.【详解】因为（），所以，所以在的边AB 上的中线所在直线上，则在的中线所在直线上，所以点的轨迹一定过的重心，故选：C13. 下列命题中正确的是（ ）A ．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B ．在中，必有C ．若，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点ABCD 12AM AB BM a b=+=+1133AN AB a==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+ O A B C ()OP OC CB CA λ=++R λ∈P ABC ()OP OC CB CA λ=++ R λ∈()CP CB CA λ=+ CB CA + ABC V ()OP OC CB CA λ=++R λ∈()CP CB CA λ=+ CB CA +ABC V ()CB CA λ+ABC V P ABC a b a b + a bABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=D ．若，均为非零向量，则与一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当与为相反向量时，，方向任意，故A 错误；对于B ：在中，，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D 错误.故选：B14. 如右图，，，分别是的边，，的中点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：，故A 正确；，故B 错误；，故C 错误；，故D 错误.故选：A.15. 如图，在中，，，则（）a b||a b + ||||a b + a b 0a b +=ABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=a b a b a b +≤+ a bD E P ABC V AB BC CA 0AD BE CF ++= 0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r 0AD CE CF +-=u u u r u u r u u u r r 0BD BE FC --= 0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=BD CF DF BD FC DF BC -+=++=AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=ABC V 3BC BD →→=23AE AD →→=CE →=A．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.【详解】故选：B题组B 能力提升练1. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形中，利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示：在三角形中，4599AB AC→→+4799AB AC→→-4133AB AC→→-4799AB AC→→-+22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-,AB AC →→22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-ABCD //AB DC 2AB DC =E BC 3142AE AB AD →→→=+3122AE AB AD →→→=+1142AE AB AD →→→=+3144AE AB AD →→→=+ABCD ABE 12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+.故选：A.2. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）A．B ．C ．2D ．1【答案】B 【分析】取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示，、分别是、中点，由得即，所以，由，，设，，则，，由三角形相似比可得，解得，因为，所以，即，所以，12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+O ABC 230OA OB OC ++=OAC V OAB V 3223D E BC AC 2OE OD =D E BC AC 230OA OB OC ++= ()2OA OC OB OC +=-+ 2OE OD =- 2OE OD =COE AOE S S =V V COD BOD S S =△△1AOC S S =V 2BOC S S =V 12COE AOE S S S ==V V 22COD BOD SS S ==V V 1212122322AOB S S S S S +=++V 12AOB S S S +=V :2:1AOE BOD S S =V V 12:2:1S S =122S S =112AOB S S S +=V所以，即的面积与的面积之比是故选：B.3. 已知平面向量，，满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图，数形结合可得结果.【详解】令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，4为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上，由知点也在以为圆心，1为半径的圆上，所以点在以为圆心，内径为2，外径为3的圆环上，如图阴影部分，从而.故选：C.4. 在平行四边形ABCD 中，设，，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD 交于F ，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】找到、上的三等分点，则，结合图形易得，由即可知正确选项.123AOB S S =V OAC V OAB V 23a b c222a c a b b c ==-=-= b []1,3⎡⎣[]2,3⎡⎣a OA =2a = A O 2a OD =2a = D O c OC =2c = C O b OB =22a b -= B D 1b c -= B C B O []2,3b ∈CB a = CD b = AF =3144a b--3144a b-+1344a b--1344a b-AD BC ////AK GH EC 4DBDF =AF AD DF =+【详解】如图，在上取点，使得，在上由左到右取，，使得，连接，，则，∵且，∴由相似比可知：，∴.故选：A5. 在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示：对于①，、分别为、的中点，，①错误；AD G AG GE ED ==BC K H BK KH HC ==AK GH ////AK GH EC //DE BC 13DE BC =4DBDF =()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- ABC V D E F BC CA AB AD BE CF G 1122EF CA BC =-1122BE AB BC =-+AD BE FC += 0GA GB GC ++= F E AB AC 111222FE BC CA BC ∴=≠-对于②，以、为邻边作平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，②正确；对于③，由②同理可得，，同理可得，，，③正确；对于④，易知点为的重心，所以，，，，因此，，④正确.故选：C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.6. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中，则给出下列结论：①；②；③．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.【详解】对于①：因为，故①错误；对于②：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，又因为平分，所以，故②正确；对于③：因为，且，BA BC ABCO 2BE BO BA BC AB BC ==+=-+1122BE AB BC ∴=-+2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r1122AD AB AC ∴=+ 1122CF CA CB =+ ()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++= AD BE CF FC ∴+=-=G ABC V 23GA AD =- 23GB BE =- 23GC CF =-()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=1OA =0BF HF HD -+=OA OC += AE FC GE AB +-= BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=3602908AOC ︒∠=⨯=︒,OA OC OB AOC∠OA OC +==AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ FC GB =所以，故③正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.7. 中，，点M 在BD 上，且满足，则实数t 的值为（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意，可设，结合条件整理可得，得到关于与的方程组，解出即可．【详解】如图，因为，所以则，因为在上，不妨设，则，因为，所以，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（）AE FC GE AG GB AB +-=+=ABC V AD DC =37AM AB t AC =+ 67472759DM k DB =11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ k t t AD DC =12AD AC= 12AM AD DM AC DM =+=+ M BD 1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- 1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ 37AM AB t AC =+ 371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t 27t =A ．B ．C ．D ．【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，，故A 正确；对B ，，故B 错误；对C ，，故C 正确；对D ，，故D 正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.（多选题）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【分析】对A ，B ，由向量的加法法则即可判断；对C ，D ，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A ，，又，即，故A 正确；对B ，，故B错误；AB CA BC→→→++AB AC BD CD+++ OA OD AD -+ NQ QP MN MP++- 0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=0OA OD AD DA AD -+=+=0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=ABCD E F BC DC P DE BF 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AB AD =+2233AP AB AD=+ 1122CP CD CB=+ 12AE AB BE AB BC =+=+BC AD = 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AD DC AB AD =+=+对C ，设为与的交点，由题意可得：是的重心，故，，故C 正确；对D ，，故D 错误.故选：AC.10.（多选题）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A ：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C ：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；O AC BD P CBD V 2CP PO = 222333AP AO OP AC AB AD =+==+221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭P OAB V 2155OP OA OB=+2455OP OA OB=+2155OP OA AB=+ 2455OP OA AB=+ P OAB V P OAB V 21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+P OAB V对于D ：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD 选项中的向量关系式要根据进行化简.11.（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）A ．若，则点是边的中点B ．若，则点是的重心C ．若，则点在边的延长线上D ．若，且，则是面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据重心的性质即可判断；对C ，根据向量的运算得到，即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A ，，即，即，即点是边的中点，故A 正确；对B ，设的中点为，，即点是的重心，故B 正确；对C ，，24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+P OAB V AB AO OB =+D ABC V ()12AD AB AC =+D BC ()13AD AB AC =+D ABC V 2AD AB AC =-D BC AD xAB y AC =+ 12x y +=BCD △ABC V BD CB =()12AD AB AC =+11112222AD AB AC AD -=-BD DC = D BC BC M ()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= D ABC V 2AD AB AC =-即，即，即点在边的延长线上，故C 错误；对D ，，且，故，且，设，则，且，故三点共线，且，即是面积的一半，故D 正确.故选：ABD.12. 对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13. ．四边形中，若，则四边形的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】AD AB AB AC -=- BD CB = D CB AD xAB y AC =+ 12x y +=222AD xAB y AC =+221x y +=2AM AD =22AM xAB y AC =+221x y +=,,M B C 2AM AD =BCD △ABC V AB BC=AB BC= AB CD AD BC -=+ AD CD CD CB+=- AB BC2AB CD AB DC AB -=+= 2AD BC BC += AB BC = AB CD AD BC -=+AD CD BC CD BD +=+= ||||CD CB CD BC BD -=+=ABCD BD BC BA =+ABCD由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解：因为四边形中，，所以，所以，所以，且‖，所以四边形为平行四边形，故答案为：平行四边形14. 如图所示，O 是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，_______（用表示）【答案】1011()【分析】设点为线段的中点，则也为线段的中点，然后根据向量加法平行四边形法则即可求解【详解】解：设为线段的中点，则也为线段的中点，由向量加法的平行四边形法则可得，，……，,所以，ABCD BD BC BA =+BC CD BC BA +=+ CD BA = CD BA = CD BA ABCD 02021A A 0122021,,,A A A A 0202101,,OA a OA b OA OA ==+++ 2021OA = ,a ba b + A 02021A A A 12020220193201810101011,,,,A A A A A A A A ⋅⋅⋅A 02021A A A 12020220193201810101011,,,,A A A A A A A A ⋅⋅⋅020212OA OA OA a b +==+120202OA OA OA a b +==+ 101010112OA OA OA a b +==+ 01202020211011()OA OA OA OA a b ++⋅⋅⋅++=+故答案为：15. 若非零向量和满足,则的取值范围是________,的取值范围是________.【答案】【分析】(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可.(2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可.【详解】(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是.(2)因为,所以,,又,，所以的取值范围是.故答案为：；【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.16. 中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.【答案】【分析】分别用、、表示、、，可计算出，进而可求得的值.【详解】，则，可得，同理可得，，所以，，因此，.1011()a b +a b2a b b +== a r a b -r r (0,4](]2,6a2= b 4||||4-≤--+≤ a b a b ||||4-++a b a b …2a b += a b -r r||||||||||||||4+-≤=+-≤++= a b b a a b b a b b a||a (0,4]||||2||()()||||||-++=+----+ a b a b b a b a b a b a b ……4||||4-≤--+≤ a b a b ||||4-++a b a b …||2+= a b 0a ≠||a b - (]2,6(0,4](]2,6ABC ∆D E F AB BC CA 3AD DB = 3BE EC = 3CF FA =2BC = AE BF CD ++=1AB AC BC A EBF CD AE BF CD ++ AE BF CD ++ 3AD DB =()3AC CD CB CD +=- 3144CD CB CA =+ 3144AE AB AC =+ 3144BF BA BC =+31313114444442AE BF CD AB AC BA BC CB CA BC ++=+++++=- 11122AE BF CD BC BC ++=-==故答案为：.【点睛】本题考查平面向量模的计算，涉及平面向量加法和减法法则的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.C 培优拔尖练1. ．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【答案】①；② ；③【分析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.【详解】①＋＝+＝；②＋＋＝＋＋＝；③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.2. 化简下列各式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）.（2）.（3）.【名师点睛】本题考查平面向量加减法的三角形法则，利用加法的三角形法则要求是“首尾相接”，减法的三角形法则要求是“起点相同”，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，（1）将代数式变形为，然后利用平面向量加法的三角形法则化简；（2）利用平面向量加法和减法的三角形法则化简；（3）利用平面向量减法的三角形法则化简.1BC AB DB CD BC AB DF CDBC FA AC 0 0BC AB AB BCAC DB CD BC BC CDDB 0 AB DF CD BC FA AB BCCD DF FA 0 AB BC DC AD -+-OA OD AD -+ AB AD DC -- 2DBCB ()()2AB CB DC DA DA AB DC CB AB BC DB DC AD +++=+++--=+=u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r r u u r u u u r OA OD AD DA AD -+=+=0u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD DC DB DC CB --=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u rAB CB DC DA +++u u u r u u r u u u r u u u r3. 如图，已知=，=，=，=，=，试用表示以下向量：（1）；（2）；（3）−；（4）＋；（5）−．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）=−=；（2）=＋=−＋=；（3）−==；（4）＋=−＋＋=−−＋=；（5）−=−−(−)=−=．【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则及其应用，属于中档题.平面向量的运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．4.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km /h ，测得小船正以8km /h 的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.OA a OB b OC c OD d OFf ,,,,a b c d f ACADAD ABAB CF BF BD-c a -+a d -d b --+b a c f -f d AC OC OA-c a AD AO OD OAOD -+a d AD AB BD OD OB =--d b AB CF OB OA CO OF OB OA OC OF--+b a c f BF BD OF OBOD OB OF OD -f d A AC B【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出.【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：连接BC ，过点B 作AC 的平行线，过点A 作BC 的平行线，两条直线交于点D ，则四边形ACBD 为平行四边形，所以就是小船在静水中的速度.在中，，，，，∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h ，方向与水流方向的夹角为，其中，.【点睛】10/km h 2DAB π+∠3tan 4DAB ∠=0,2DAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ABAC ABAC ADRt BAC V 8km /h AB =6km /h AC = ()10km /h DAB ABC ∠=∠ 3tan tan 4AC DAB ABC AB ∴∠=∠== 2DAB π+∠3tan 4DAB ∠=0,2DAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题.5. 已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）作出图形，求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明；（2）求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明.【详解】如下图，由于为等腰直角三角形，可知.由是斜边的中点，得.（1）在中，，于是，由，得；（2）在中，，，从而由，得.【点睛】本题考查有关向量模的等式的证明，一般要利用向量加法和减法法则将向量表示出来，结合图形中边长的等量关系来得出证明，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6. 若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.【答案】直角三角形【分析】由向量的加法法则得出，可得出以、为邻边的平行四边形的两条对角线相等，可判断出平行四边形的形状，从而得出的形状.【详解】，，，ABC ∆90ACB ∠= M AB CM a = CA b =a b a -=()a ab b +-=a b -a b a -= ()a a b +- ()a ab b +-=ABC ∆CA CB = M AB CM AM =ACM ∆AM CM CA a b =-=-AM CM = a b a -= MCB ∆MB AM a b ==-()CB MB MC a b a a a b ∴=-=-+=+- CB CA = ()a ab b +-=O ABC ∆OB OC OB OA OC OA -=-+-ABC ∆CB AB AC =+u u r u u u r u u u rAB AC ABDC ABDC ABC ∆OB OA OC OA AB AC -+-=+ OB OC CB -=u u u r u u u r u u rAB AC CB ∴+=u u u r u u u r u u r31 / 31以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，此平行四边形为矩形，.是直角三角形.【点睛】本题考查利用和向量和差向量模的关系判断三角形的形状，解题的关键是要弄清楚相应平行四边形的形状，考查推理能力，属于中等题.7.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.【答案】D 点为AC 上靠近C 的一个三等分点【详解】试题分析： 将向量条件转化为两向量相等关系：,根据向量共线可得点D 的位置试题解析：假设存在点D ,使得.由,得=,所以,即.又,所以,即在AC 上存在一点D ,使,且D 点为AC 上靠近C 的一个三等分点.∴AB AC ABDC ∴AB AC ∴⊥ABC ∆∴1233BD BC BE =+ 1233BD BC BE =+ 13CD CA = 1233BD BC BE =+ 1233BD BC BE =+ 12(33)BD BC BC CE =++ 23BC CE +23BD BC CE -= 23CD CE = 12CE CA =13CD CA = 1233BD BC BE =+。