[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第十二章 第4讲 轨迹与方程[配套课件]

专题三 数列与不等式n＝ 7n ＋ 45 n 1．已知等差数列 { a n } ，{ b n } 的前 n 项和分别为 S n，T ，且S，则使得 a为整数 nT n n － 3 b n的正整数 n 的个数是 ( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62．已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0，且 a 1 ，a 3，a 13 成等比数列，若 a 1＝1，S n 为数列 { a n }2S n ＋ 16的前 n 项和，则a n ＋ 3 的最小值为 ()9A ． 4B ． 3C ． 2 3－ 2 D.23． (2015 年新课标Ⅱ )设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1＝－ 1， a n ＋1＝ S n S n ＋ 1，则 S n ＝ ________.4．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a n ＋ S n ＝ 1，则 S n 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (0，＋∞ )1， 1 D. 1，＋∞C. 225．(2017 年广东调研 )设 R n 是等比数列 { a n } 的前 n 项的积，若 25(a 1＋ a 3)＝ 1，a 5＝ 27a 2，则当 R n 取最小值时， n ＝ ______.6．(2017 年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业呼吁，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动． 这款软件的激活码为下边数学识题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ， ，此中第一项为哪一项 20，接下来 的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推．求知足以下条件的最小整数 N ：N>100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ． 330C ． 220D ． 1107． (2016 年新课标Ⅲ )已知各项都为正数的数列{ a n } 知足 a 1＝ 1， a 2n － (2a n ＋ 1－1)a n － 2a n ＋1＝ 0.(1)求 a 2， a 3；(2)求 { a n } 的通项公式．8． (2017 年广东揭阳一模 )设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 ＝4S 2， a 2n ＝ 2a n ＋ 1－3.(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设数列 { b n } 知足 a 1b 1＋a 2b 2＋ ＋ a n b n ＝ 3－ 2n ＋ 3，求 { b n } 的前 n 项和 T n .2 n9． (2017 年广东汕头一模)已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝2， a n＋1＝S n＋ 2.(1)求数列 { a n} 的通项公式；1(2)已知 b n＝ log2a n，求数列的前 n 项和 T n.b n b n＋110．(2017 年天津 ) 已知 { a n} 为等差数列，前n 项和为 S n(n∈N 数列，且公比大于0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－2a1， S11＝ 11b4.(1)求 { a n} 和 { b n} 的通项公式；*(2)求数列 { a2n b2n－1 } 的前 n 项和 (n∈N )．*)，{ b n} 是首项为 2 的等比专题三 数列与不等式aS14n ＋ 38 7n ＋ 191．Ba n ＝ 2a n ＝1＋ a 2n －12n － 1＝ 7＋33，∴n － 2＝－ 1 或b 1＋ b 2n －1 ＝＝＝ n －2 分析： b n 2b nT 2n －12n － 4n － 21 或 3 或 11 或 33，∴n ＝ 1 或 3 或 5 或 13S n ＝ T n ＋45中分母为零，所以舍 或 35.当 n ＝3 时， T nn －3去．2． A分析： 由 a 1， a 3， a 13 成等比数列，得 a 32＝ a 1a 13? (a 1＋ 2d)2＝ a 1(a 1 ＋12d)? 4d 2＝2S n ＋ 16 n 2＋ 8 ＝ (n ＋1) ＋ 9－ 8a 1 d.由于 d ≠ 0，所以 d ＝2a 1＝ 2，S n ＝ n 2，a n ＝ 2n －1，进而＝ n ＋1a n ＋ 3 n ＋ 12≥ 2n ＋ 1 × 9 －2＝ 4，当且仅当 n ＝ 2 时取等号．应选 A.n ＋ 13．－1分析： 由已知，得 a n ＋1 ＝S n ＋1－ S n ＝ S n ＋ 1·S n ，两边同时除以－ S n ＋ 1·S n ，得1nS n ＋1 － 1＝－ 1，故数列 1 是以－ 1 为首项，－ 1为公差的等差数列．则1＝－ 1－( n － 1)＝－ n. S n S nS n1 所以 S n ＝－ n .4． C 分析： 当 n ＝ 1 时， a 1＝1.当 n ≥ 2 时， a n －1＋ S n －1＝1，得 a n － a n － 1＋ a n ＝ 0，即2n ＝a n －12a.∴数列{ a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．2212× 1－ ∴S n ＝11－ 21∴S n ∈ 2，1.12n1 n＝1－2.5． 6 分析： 设公比为 q ，则 q 3＝a 5＝ 27.所以 q ＝3.由 25(a 1＋ a 3)＝ 1，得 25(a 1＋ a 1·32) a 23n －1 3n － 1＝1，解得 a 1＝ 1.则 a n ＝ a n ≤ 1， ≤ 1， 250 .则要使 R n 获得最小值， 必有 即 250 所250 a n ＋ 1 3n>1 ， 250>1，以 250<3 n ≤ 750，解得 n ＝ 6.6． A 分析： 由题意，得数列以下：1， 1,2， 1,2,4，1＋ 2＋ ＋k ＝ k k ＋ 1则该数列的前 项和为2k k ＋ 1＝ 1＋ (1＋ 2)＋ ＋ (1＋2＋ ＋2 k k 1 － k － 2.S)＝2＋2k k ＋ 11,2， ，2k要使 >100，有 k ≥ 14，此时 k ＋ 2<2k ＋1.所以 k ＋ 2 是以后的等比数列2＋1的部分和，即 k ＋ 2＝ 1＋2＋ ＋ 2t－1＝ 2t －1.所以 k ＝2t － 3≥ 14，则 t ≥ 5，此时 k ＝ 25 － 3＝ 29.对应知足的最小条件为 N ＝ 29× 30440.应选 A.＋ 5＝ 21 17． 解： (1) 由题意，得 a 2＝ 2， a 3＝ 4.(2)由 a 2n － (2a n ＋ 1－ 1)a n － 2a n ＋1＝ 0，得2a n ＋ 1(a n ＋ 1)＝ a n (a n ＋ 1)． 由于 { a n } 的各项都为正数，所以a n ＋ 1 1 a n＝ .2故 { a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．21所以a n＝2n － 1.8． 解： (1) 设{ a n } 的公差为 d ，则有4a 1＋ 6d ＝ 4 2a 1＋ d ，a 1＋ 2n －1 d ＝ 2 a 1＋ nd － 3，a 1＝ 1， 解得d ＝ 2.故 a n ＝ a 1＋ (n －1)d ＝2n － 1.1 1 ＋ a2 b 2＋ ＋ a n n ＝ 3－ 2n ＋3， ①(2)a b b 2 n当 n ＝1 时， a 1b 1＝ 1，所以 b 1＝ 1 .2 2当 n ≥2 时， a 1 1＋ a 2 2＋ ＋a n －1 n － 1＝ 3－b b b①式减去②式，得 a nn ＝ 2n － 1. b2 n2n ＋ 1 2n －1 .②1求得 b n ＝2n ，易知当 n ＝ 1 时也建立， 所以数列 { b n } 为等比数列．11 n21－21 n其前 n 项和 T n ＝ b 1＋ b 2 ＋ ＋ b n ＝1 ＝1－2 .1－ 29． 解： (1) ∵a n ＋1＝ S n ＋ 2，∴a n ＝ S n － 1＋ 2(n ≥ 2)．两式作差，得 a n ＋1 －a n ＝ S n － S n － 1＝ a n .a n ＋ 1∴a n ＋1＝2a n ，即 a n ＝ 2(n ≥2)．a 2又当 n ＝ 1 时， a 2＝S 1＋2＝ 4，∴ ＝ 2 建立．a 1∴数列{ a n } 是公比为 2，首项为 2 的等比数列． ∴a n ＝ a 1qn － 1＝ 2n (n ∈N * )．(2)由 (1) ，可得 b n ＝ log 2a n ＝ n. ∴1＝1 ＝ 1－ 1 . b n b n ＋ 1 n n ＋ 1 n n ＋ 11 1 1 1 1 1 ∴T n ＝ 1－2 ＋2－ 3 ＋ ＋ n －n ＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n . n＋ 1 n ＋110． 解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2＋ b 3＝ 12，得 b 1( q ＋q 2)＝ 12. 由于 b 1＝2，所以 q 2 ＋ q － 6＝ 0. 又由于 q>0，解得 q ＝ 2.所以 b n ＝ 2n .由 b 3＝ a 4－ 2a 1，可得 3d － a 1＝ 8.①由 S 11＝11b 4，可得 a 1＋ 5d ＝16.②联立①②，解得 a 1 ＝1， d ＝ 3.由此可得 a n ＝ 3n － 2. n ＝ 2n所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2，数列 { b nb } 的通项公式为 . (2)设数列 { a 2n b 2n －1 } 的前 n 项和为 T n ， 由于 a 2n ＝ 6n －2， b 2n － 1＝ 2×4n －1，所以 a 2n 2n － 1＝ (3n － 1)×4n.b故 T n ＝ 2× 4＋ 5×42＋8× 43＋ ＋ (3n － 1)× 4n ，4T n ＝ 2×42＋5× 43＋ 8×44＋ ＋ (3n － 4)× 4n＋ (3n － 1)× 4n ＋ 1，上 述 两 式 相 减 ， 得 － 3T n ＝ 2× 4 ＋ 3×42 ＋ 3× 43 ＋ ＋ 3× 4n － (3n － 1)×4n ＋1 ＝12× 1－ 4n－ 4－ (3n － 1)×4n ＋1＝－ (3n － 2)×4n ＋ 1－ 8.1－ 4得 T n ＝3n － 2× 4n ＋1＋8. 33所以数列 { a 2n b 2n － 1} 的前 n 项和为3n － 2× 4n ＋1＋ 8. 33。

专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。

第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1．数列2，3，4，5，的一个通项公式是 () 1，3 5 79A． a n＝nB． a n＝n 2n＋ 12n－ 1C． a n＝nD． a n＝n 2n－ 32n＋ 32．设数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝n2，则 a8的值为 () A． 15B． 16C． 49D． 643．在数列 {a n} 中，已知＝ 1，且当 n≥2时， a＝ n2，则 a ＋ a ＝ () a11·a2· ·a n35761A.3B.163111C.15D. 44．(2013 年福建 )阅读如图 X5- 1-1 所示的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数 n 后，输出的S∈ (10,20)，那么 n＝ ()图 X5- 1-1A． 3 B．4 C．5 D． 65． (2014 年新课标Ⅱ )数列 {a n} 知足 a n＋1＝1， a8＝ 2，则 a1＝ ________.1－ a n6．已知数列 {a n} 知足： a4n－3＝ 1， a4n－1＝0， a2n＝ a n， n∈ N*，则 a2009＝ ________， a2014＝ ________.7． (2013 年浙江乐清一模 )已知递加数列 {a n} 的通项公式为a n＝ n2＋ kn＋2，则实数 k 的取值范围为 ________．21，则 {a n} 的通项公式是a n＝8． (2013 年新课标Ⅰ )若数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ a n＋33________.9．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝(n ＋1)10 n(n∈ N *)，则当 n 为多大时， a n最大？1110． (2012 年纲领 )已知数列 {a n} 中， a1＝ 1，前 n 项和 S n＝n＋ 2a n. 3(1)求 a2， a3；(2)求 {a n} 的通项公式．第 2讲等差数列1． (2014 年福建 )设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a1＝ 2， S3＝12，则 a6＝() A． 8 B．10C． 12 D． 142． (2013 年安徽 )设 S n为等差数列 {a n } 的前 n 项和， S8＝ 4a3， a7＝－ 2，则 a9＝ () A．－ 6B．－ 4C．－ 2D． 23．(2014 年天津 )设 {a n} 是首项为 a1，公差为－ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2， S4成等比数列，则 a1＝ ()11A． 2 B．－ 2 C.2D．－24．已知 S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，若 a1＋ a7＋ a13的值是一个确立的常数，则以下各式：①a21；② a7；③ S13；④ S14；⑤ S8－ S5.其结果为确立常数的是()A．②③⑤ B ．①②⑤C．②③④ D ．③④⑤n2a1a n5． (2014 年辽宁 )设等差数列 {a } 的公差为 d，若数列 {} 为递减数列，则 () A． d<0 B ． d>0C． a1d<0D． a1d>06． (2015 年北京 )设 {a n} 是等差数列 . 以下结论中正确的选项是()A．若 a1＋ a2>0，则 a2＋ a3>0B．若 a1＋ a3<0，则 a1＋a2<0C．若 0<a1<a2，则 a2>a1a3D．若 a1<0，则 (a2－ a1)(a2－ a3) ＞ 017． (2015 年安徽 )已知数列 {a n} 中， a1＝ 1， a n＝ a n－1＋2(n ≥ 2)，则数列 {a n} 的前 9 项和等于 ________．8． (2015 年陕西 )中位数为1010 的一组数组成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ________．9． (2014 年湖北 )已知等差数列 {a n} 知足： a1＝ 2，且 a1， a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n} 的通项公式；(2)记S n为数列{a n} 的前n 项和，能否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明原因．10． (2014年新课标Ⅰ)已知数列{a } 的前n 项和为S ， a ＝ 1， a ≠0， a a ＋＝λS－1，n1nnn1nn其中λ为常数．(1)证明： a n＋2－ a n＝λ；(2)能否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明原因．第 3讲等比数列1． (2013 年江西 )等比数列x,3x＋ 3,6x ＋6，的第四项为() A．－ 24 B．0C． 12D． 242．设在公差 d≠0的等差数列 {a n} 中， a1， a3， a9成等比数列，则a1＋ a3＋ a5＝ () a2＋ a4＋ a675A. 5B.734C.4D.33． (2014 年重庆 )对随意的等比数列{a n } ，以下说法必定正确的选项是 ()A． a1， a3， a9成等比数列B． a2， a3， a6成等比数列C． a2， a4， a8成等比数列D． a3， a6， a9成等比数列4．设各项都是正数的等比数列{a n} ，S n为前 n 项和，且S10＝10， S30＝ 70，那么 S40等于 ()A． 150 B ．－ 200C． 150 或－ 200D． 400 或－ 505． (2013 年新课标Ⅰ )设首项为 1，公比为2的等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，则 () 3A． S n＝ 2a n－ 1 B ． S n＝ 3a n－ 2C． S n＝ 4－ 3a n D ． S n＝ 3－ 2a n6． (2015 年浙江 )已知 {a n} 是等差数列，公差 d 不为零，前n 项和是 S n，若 a3， a4， a8成等比数列，则 ()A． a1d＞ 0， dS4＞ 0B． a1d＜ 0， dS4＜ 0C． a1d＞ 0， dS4＜ 0D． a1d＜ 0， dS4＞ 07． (2015 年浙江 )已知 {a n} 是等差数列，公差 d 不为零．若a2， a3， a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则 a1＝ ____________， d＝__________.8． (2013 年江西 )某住所小区计划植树许多于100 棵，若第一天植 2 棵，此后每日植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数n(n∈N * )等于 __________ ．9．(2015 年四川 )设数列 {a n }(n ＝ 1,2,3， )的前 n 项和 S n 知足 S n ＝ 2a n － a 3，且 a 1 ，a 2 ＋1， a 3 成等差数列．(1)求数列的通项公式；1(2)设数列 a n 的前 n 项和为 T n ，求 T n .10． (2015 年重庆 )已知等差数列 {a n } 知足 a 3＝ 2，前 3 项和 S 3 ＝92.(1)求 {a n } 的通项公式；(2)设等比数列 {b n } 知足 b 1＝ a 1， b 4＝a 15，求 {b n } 前 n 项和 T n .第 4 讲数列的乞降1 12 1 2 312 3 911．已知数列 {a n } ： 2，3＋ 3， 4＋ 4＋4， ，10＋10＋10＋ ＋10， ，若 b n＝ a n an ＋1 ，那么数列 {b n } 的前 n 项和 S n 为 ()n 4n 3n 5nA.B.C.D.n ＋ 1n ＋ 1n ＋ 1n ＋ 112．已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，a 5＝ 5，S 5＝ 15，则数列 a n a n ＋ 1 的前 100 项和为()10099 99101 A.101B.101C.100D.1003．若数列 {a n } 的通项公式是 a n ＝ (－ 1)n·(3n － 2)，则 a 1＋ a 2＋ ＋ a 10＝()A ． 15B ． 12C ．－ 12D ．－ 154． (2012 年新课标 )数列 {a n } 知足 a n ＋ 1＋ (－ 1)n a n ＝2n － 1，则 {a n } 的前 60 项和为 () A ． 3690 B ． 3660 C ． 1845 D ．18305． (2013 年广东揭阳一模 )已知等差数列 {a n } 知足 a 1>0， 5a 8＝ 8a 13，则目前 n 项和 S n 取最大值时， n ＝ ()A ． 20B ． 21C ． 22D ． 236．已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2－ 6n ，则数列 {|a n |} 的前 n 项和 T n 等于 ( )A ． 6n － n 2B ． n 2－ 6n ＋ 186n － n 2(1≤ n ≤3)， D.6n － n 2(1≤ n ≤3)，C.n 2－ 6n(n ＞ 3)n 2－ 6n ＋18(n ＞ 3)7． (2014 年湖北武汉模拟 )等比数列 {a n } 的前 n项和 S n ＝ 2n － 1，则 a 12＋ a 22＋ ＋ a n 2＝________.8．如图 X5- 4-1，它知足：①第 n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系近似杨辉三角，则第 n(n ≥2)行的第 2 个数是 ______________．12 23 4 3477 45 11 14115图 X5- 4-19． (2013 年纲领 )在等差数列 {a n} 中， a7＝4， a19＝2a9 .(1)求 {a n} 的通项公式；1(2)设 b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.10． (2015 年山东 )已知数列 {a n} 是首项为正数的等差数列，数列n2n＋ 1.(1)求数列 {a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ (a n＋ 1) ·2a n，求数列 {b n} 的前 n 项和 T n.1的前 n 项和为a n·a n＋1第 5 讲合情推理和演绎推理1． (2015 年广东 )若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 ( )A ．大于 5B ．等于 5C ．至多等于 4D ．至多等于 32．(2014 年广东茂名一模 )已知 21×1＝ 2,22×1×3＝ 3×4，23×1×3×5＝ 4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8， ，依此类推，第 n 个等式为 ______________________________________________________________________________________________.3． (2013 年陕西 )察看以下等式：12 ＝11 2－ 22＝－ 312－ 22＋ 32＝612 －22＋ 32－ 42＝－ 10照此规律，第 n 个等式为 ______________________________________________ ． 4．如图 X5- 5-1，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图 X5- 5-1(1) 所标边长，由勾股定理，得c 2＝ a 2＋ b 2.假想把正方形换成正方体，把截线换成如图 X5- 5-1(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-ABC ，若 用 s 1 ， s 2 ， s 3 表 示 三 个 侧面 面 积 ， s 4 表 示 截面 面 积 ， 则 能够 类 比 得 到 的结 论 是 __________________ ．(1)(2)图 X5- 5-1π 1 π 2π 1π 2π 3π 1， ，依据以上等式，可猜想出5．已知 cos ＝ ，cos ·cos 5 ＝ ，cos ·cos 7·cos 7 ＝ 3 2 5 4 7 8的一般结论是 __________________________________________ ．6．关于中国足球参加的某次大型赛事，有三名观众对结果作以下猜想：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．比赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________ 名．7．(2014 年福建龙岩模拟 )代数式1＋1( “ ”表示无穷重复 )是一个固定值，能够11＋1＋令原式＝ t ，由1＋1＝ t ，解得其值为t ＝5＋1，用近似方法可得2＋ 2＋ 2＋＝t2______________.8． (2015 年陕西 )对二次函数f(x) ＝ ax2＋bx＋ c(a 为非零常数 )，四位同学分别给出以下结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－ 1 是 f(x) 的零点B． 1 是 f(x) 的极值点C． 3 是 f(x) 的极值D．点 (2,8)在曲线 y＝ f(x) 上9．某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋ cos217°－ sin13 cos17° °；②sin215°＋cos215°－sin15 cos15° °；③ sin218°＋ cos212°－ sin18 cos12° °；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48 ；°⑤ sin2(－ 25°)＋cos255°－sin(－ 25°)cos55 .°(1)试从上述 5 个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．10．(2014 年广东广州一模 )在等差数列 {a n} 中， a1＋ a2＝ 5，a3＝ 7，记数列1的前 n a n a n＋1项和为 S n.(1)求数列 {a n} 的通项公式；(2)能否存在正整数m， n，且 1<m<n ，使得S1， S m， S n成等比数列？若存在，求出所有切合条件的m， n 的值；若不存在，请说明原因．第 6 讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠0)存在有理数根，那么 a ， b ， c 中起码有一个是偶数．以下假定正确的选项是 ________．①假定 a ， b ， c 都是偶数；②假定 a ， b ， c 都不是偶数；③假定 a ， b ， c 至多有一个偶数；④假定 a ， b ， c 至多有两个偶数．2．以下条件：① ab>0；② ab<0；③ a>0， b>0 ；④ a<0， b<0.其中能使 b aa ＋ ≥2建立的条b 件的序号是 ________．3. 6＋ 7与2 2＋5的大小关系为 ________．4． (2014 年山东 )用反证法证明命题 “设 a ，b 为实数，则方程x 2＋ ax ＋ b ＝0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是 ()A ．方程 x 2＋ax ＋ b ＝ 0 没有实根B ．方程 x 2＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实根C ．方程 x 2＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 2＋ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根5．凸函数的性质定理： 假如函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数， 则关于区间 D 内的随意 x 1，x 2， ，x n ，有 f(x 1)＋ f(x 2 )＋ ＋ f(x n ) x 1＋ x 2＋ ＋x n.已知函数 y ＝ sinx 在区间 (0，π)上是 n ≤fn凸函数，则在△ ABC 中， sinA ＋ sinB ＋ sinC 的最大值为 ________．6． α， β是两个不一样的平面， m ， n 是平面 α及 β以外的两条不一样的直线，给出四个论断：① m ⊥ n ；② α⊥ β；③ n ⊥ β；④ m ⊥ α以.其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题：____________________.7．下表中的对数值有且仅有一个是错误的： x358915lgx2a － ba ＋ c3－ 3a － 3c4a － 2b3a － b ＋ c ＋1请将错误的一个更正为________________．8．(2014年福建)已知会合{a ，b ，c} ＝ {0,1,2} ，且以下三个关系： ① a ≠2；② b ＝ 2；③ c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋ 10b ＋ c ＝__________.9． (2014 年浙江 )已知等差数列 {a n} 的公差 d>0 ，设 {a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝ 1， S2·S3＝36.(1)求 d 及 S n；(2)求 m， k(m ， k∈ N* )的值，使得a m＋ a m＋1＋a m＋2＋＋a m＋k＝65建立．1* 10． (2015 年广东肇庆一模)已知数列 {a n} 知足： a1＝， 3a n＋1－ 2a n(n∈ N )；数列 {b n} 满足： b n＝ a n＋1－ a n(n∈ N * )．(1)求数列 {a n} 的通项公式及其前n 项和 S n；(2)证明：数列 {b n} 中的随意三项不行能成等差数列．第 7 讲数学概括法1．用数学概括法证明： (n ＋ 1)(n ＋ n × 1× 3× ×＋(2n1)(n *2) · ·＋(nn)＝ 2 ∈ N )，从 “n＝ k ”到 “n＝ k ＋ 1”左端需乘的代数式是 ()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋3C.k ＋ 1D.k ＋ 1222222n(2n ＋ 1)2．用数学概括法证明： 1 ＋ 2 ＋＋n ＋ ＋ 2 ＋ 1 ＝，第二步证明由 “k 到 k＋ 1”时，左侧应加 ()A ． k 2B ． (k ＋ 1)2C ． k 2＋ (k ＋ 1)2＋ k 2D ． (k ＋ 1)2＋ k 23．对全部正整数 n ， n 2 与 2n的大小关系为 ()A ．对全部 n ∈ N * ，恒有 n 2<2nB ．对全部 n ∈ N *2 n，恒有 n ≤22 n2nC ．当 n ＝ 1 或 n ≥5时，当 n <2 ，n ＝ 2,3,4 时， n ≥2D ．以上都不对4． f(n) 和 g(n) 都是定义在正整数集上的函数，知足：①f(1) ＝ g(1)；②对 n ∈N * ， f(n) －f(n － 1)＝ g(n)－g(n － 1)．那么猜想对 n ∈N *时，有 ()A ． f(n)>g(n)B ． f(n)<g(n)C ． f(n) ＝ g(n)D ． f(n) 与 g(n) 大小关系不可以确立5．用数学概括法证明 1＋2＋ 22＋ ＋25n － 1是 31 的整数倍时， 当 n ＝ 1 时，上式等于 ()A ． 1＋2B ．1＋ 2＋222＋2 3D ．1＋234C ． 1＋ 2＋22＋ 2 ＋2 ＋26．已知 S k ＝ 1 ＋ 1 ＋k ＋1 k ＋ 2 A ． S k ＋12k ＋1C ． S k ＋ 1 － 1＋ 2k ＋ 22k 1 1＋ ＋1(k ＝ 1,2,3， )，则 S k ＋1＝ ()k ＋ 3 2kB ． S k ＋ 1 － 12k ＋2 k ＋1 D ． S k ＋ 1 ＋ 12k ＋1 ＋ 2 2k7．若不等式 1 ＋1 ＋1 ＋ ＋ 1 m关于全部 n ∈ N * 建立，则正整数m 的最n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 32n >2015大值为 __________ ．1＋1 ＋1＋ ＋12，则以下说法正确的选项是 ________．8．已知 f(n) ＝n n ＋ 1 n ＋ 2n ① f(n)中共有 n 项，当 n ＝ 2 时， f(2)＝ 1＋1； 2 3② f(n)中共有 n ＋ 1 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝1＋ 1＋ 1；2 3 4③ f(n)中共有 n 2－n 项，当 n ＝ 2 时， f(2)＝ 1＋1；2 32－n ＋ 11 1 1 ④ f(n)中共有 n 项，当 n ＝2 时， f(2) ＝＋＋ .2349． (2014 年广东 )设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，知足 S n ＝ 2na n ＋ 1－ 3n 2－ 4n ， n ∈N * 且 S 3＝ 15.(1)求 a 1， a 2， a 3 的值；(2)求数列 {a n } 的通项公式．ax10． (2014 年纲领 )函数 f(x) ＝ ln(x ＋ 1)－x ＋ a (a>1) ．(1)议论 f(x) 的单一性；(2)设 a 1＝ 1， a n ＋ 1＝ ln(a n ＋1) ，证明：2<a n ≤3.n ＋2n ＋ 2第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1． B2．A分析： a 8＝ S 8－ S 7＝82－72＝ 64－ 49＝ 15.3． B4． B 分析：依据题意，该算法的功能为第一步： k ＝ 1，S ＝ 2×0＋ 1＝ 1， k ＝ 2；第二步： S ＝ 2×1＋ 1＝ 3， k ＝ 3；第三步： S ＝ 2×3＋ 1＝ 7， k ＝ 4；第四步： S ＝ 2×7＋ 1＝ 15， k ＝ 5.此时 S ＝ 15∈(10,20) ，应当退出程序．那么此时判断框中的条件是5>4，故 n 的值为 4.1 分析：由已知，得a n ＝1－ 1， a 8＝ 2，5.a n ＋ 1 2∴ a 7＝ 1－ 1 ＝ 1， a 6＝ 1－ 1 ＝－ 1， a 5＝ 1－ 1＝ 2.a 8 2a 7a 611同理， a 4＝ 2， a 3＝－ 1，a 2＝ 2， a 1＝ 2.6．1 0分析： a 2009＝ a 4×503－3＝ 1， a 2014＝a 2×1007＝ a 1007＝ a 4×252 －1＝ 0.7． (－ 3，＋ ∞) 分析：由 {a n } 为递加数列，得a n ＋ 1－ a n ＝ (n ＋ 1)2＋ k(n ＋ 1)＋ 2－n 2－ kn－ 2＝ 2n ＋1＋ k>0 恒建立，即 k> － (2n ＋1) 恒建立，即 k>[ － (2n ＋ 1)]max ＝－ 3.n 122 a－分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1；当 n ≥2时， a n ＝ S n － S n － 1＝ 3a n － 3a n － 1，故 n＝8．(－ 2)a n －1 － 2，故 a n ＝ (－ 2) n －1 a n ＝ (－ 2)n － 1 n － 1.当 n ＝ 1 时，也切合 .综上， a n ＝ (－ 2).9．解：∵ a n ＋1 －a n ＝ (n ＋ 2)10 n＋1－ (n ＋ 1)10n1111＝10n ·9－n，而10n>0，111111∴当 n<9 时， a n ＋ 1－ a n >0 ，即 a n ＋ 1>a n ；当 n ＝9 时， a n ＋1－ a n ＝ 0，即 a 10＝ a 9；当 n>9 时， a n ＋ 1－ a n <0 ，即 a n ＋ 1<a n .所以 a 1<a 2<<a 9＝a 10>a 11>a 12> .∴当 n ＝ 9 或 n ＝ 10 时，数列 {a n } 有最大项，最大项为a 9 或 a 10.10．解： (1)由 a1＝ 1 与 S n＝n＋2a n可得3S2＝2＋2a2＝ a1＋ a2? a2＝ 3a1＝ 3，33＋ 22S3＝3a3＝ a1＋ a2＋ a3? 3a3＝ a1＋ a2＝ 4? a3＝ 6故所求 a2， a3的值分别为3,6.n＋ 2(2)当 n≥2时， S n＝3a n，①n＋ 1S n－1＝3a n－1，②①－②可得 S n－S n－1＝n＋2n＋ 13 a n－3a n－1即a n＝n＋ 2n＋ 1n－ 1n＋ 1n n＋ 1a n－a n－1?a n＝3a n－1? a ＝n－ 1 333a n－1故有 a n＝a n a n－1a2n＋ 1n3n2＋ n，×× × ×a1＝×× ××1＝2a n－1 a n－2a1n－ 1 n－2112＋ 1n2＋ n而＝ 1＝ a1，所以 {a n} 的通项公式为a n＝.22第 2讲等差数列1．C分析：设等差数列{a n} 的公差为d，a1＝ 2，S3＝ (a1＋a3)＋ a2＝ 3a2＝ 12，a2＝ 4，d＝2，则 a6＝ a1＋ 5d＝ 12.8×72． A分析：S8＝8a1＋d＝ 4a3＝ 4(a1＋ 2d)， 4a1＝－ 20d， a1＝－ 5d.又∵ a7＝ a1＋ 6d ＝d＝－ 2，∴ a1＝ 10，a9＝ a1＋ 8d＝ 10＋8×(－ 2)＝－ 6.3．D分析：因为S1，S2，S4成等比数列，有S22＝S1S4，即 (2a1－ 1)2＝ a1(4a1－6)，解1得 a1＝－2.4．A分析：由a1＋ a7＋ a13是一个确立的常数，得3a7是确立的常数，故②正确；S13＝13(a1＋a13)＝ 13a7是确立的常数，故③正确； S8－ S5＝ a6＋ a7＋ a8＝ 3a7是确立的常数，故⑤2正确．5．C分析：由已知，得 2 a1a n< 2a1a n 1，即2a1a n<1, 2a1( a n a n 1) <1. 又 a n－ a n－1＝ d，故2a1d <1，2a1a n 1进而 a1d<0.6．C分析：先剖析四个答案， A. 若 a1＝ 2，a2＝－ 1，a3＝－ 4，a1＋ a2>0，而 a2＋ a3 <0，A 错误； B.若 a1＝ 2，a2＝－ 1，a3＝－ 4，a1＋ a3<0，而 a1＋ a2>0，B 错误； C.{a n} 是等差数列，若 0<a1<a2，则 a1>0，设公差为 d，则 d>0，数列各项均为正，因为22－a1(a1 a2－ a1a3＝(a1＋ d)22222a1a3，C 正确．D.若 a1<0，则 (a2－ a1) ·(a2＋ 2d)＝ a1＋ 2a1d＋ d － a1－2a1d＝d >0，则 a2>a1a3? a2>－ a3) ＝d·(－ d)＝－ d2≤0， D 错误．应选 C.7．27分析：∵ n≥2时， a n＝ a n－1＋1，且 a2＝ a1＋1，∴ {a n} 是以 a1为首项，1为公差的2229×8 1等差数列．∴S9＝ 9×1＋× ＝9＋18＝27.2 28．5分析：若这组数有 (2n＋ 1)个，则 a n＋1＝ 1010，a2n＋1＝ 2015 ，又 a1＋ a2n＋1＝ 2a n＋1，所以 a1＝5；若这组数有2n 个，则 a n＋ a n＋1＝1010×2＝ 2020，a2n＝ 2015.又 a1＋ a2n＝ a n＋ a n＋1，所以 a1＝5.故答案为 5.9．解： (1) 设数列 {a n} 的公差为d，依题意， 2,2＋ d,2＋4d 成等比数列，故有 (2＋ d)2＝ 2(2＋4d)．化简，得 d2－ 4d＝ 0.解得 d＝ 0 或 d＝ 4.当 d＝0 时， a n＝ 2；当 d＝4 时， a n＝ 2＋ (n－ 1) ·4＝ 4n－ 2，进而求得数列{a n} 的通项公式为a n＝ 2 或 a n＝ 4n－2.(2)当 a n＝ 2 时， S n＝ 2n. 明显 2n<60n ＋ 800，此时不存在正整数n，使得 S n>60n ＋800 建立．当 a n＝ 4n－ 2 时， S n＝n[2＋(4n－2)]＝ 2n2.2令 2n2 >60n＋ 800，即 n2－ 30n－400>0 ，解得 n>40 或 n<－ 10(舍去 )．此时存在正整数n，使得 S n>60n ＋ 800 建立， n 的最小值为 41.综上，当 a n＝ 2 时，不存在知足题意的n；当 a n＝ 4n－ 2 时，存在知足题意的n，其最小值为 41. 10．解： (1)由题设， a n a n 1＝λS－ 1， a1a n＝λS － 1.＋＋＋＋两式相减，得 a1(a n－ a)＝λa1.＋＋＋因为 a n＋1≠0，所以 a n＋2－a n＝λ.(2)由题设， a1＝ 1， a＝λS－ 1，可得 a ＝λ－ 1.1a212由 (1)知， a3＝λ＋ 1.令 2a2＝ a1＋ a3，解得λ＝4.故 a n＋2－ a n＝ 4，由此可得{a 2n－1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝ 4n－3；{a 2n} 是首项为3，公差为 4 的等差数列，a2n＝ 4n－ 1.所以 a n＝2n－ 1， a n－1－ a n＝ 2.所以存在 λ＝4，使得数列 {a n } 等差数列．第 3讲 等比数列6x ＋ 6＝ 2＝ q ，有3x ＋ 3＝ 2,3x ＋ 3＝ 2x ，即 x ＝－ 3，则等比数列 1．A 分析：方法一， 3x ＋ 3x－ 3，－ 6，－ 12， 的第四项为－ 24.方法二， (3x ＋3) 2＝ x(6x ＋ 6)， 9x 2＋ 18x ＋ 9＝ 6x 2＋ 6x ， 3x 2＋ 12x ＋ 9＝0， x ＝－ 3 或 x ＝－ 1(舍 )．则等比数列－ 3，－ 6，－ 12， 的第四项为－ 24.2． C 3．D 分析：因为数列 {a n } 是等比数列， a 26＝ a 3a 9，所以 a 3， a 6， a 9 成等比数列．4．A分析：依题意，数列S 10，S 20－ S 10， S 30－ S 20，S 40－S 30 成等比数列，所以有 (S 20－ S 10)2＝ S 10(S 30－ S 20)，即 (S 20－ 10)2＝ 10(70－ S 20)．故 S 20＝－ 20 或 S 20＝ 30；又 S 20>0 ，所以 S 20＝30， S 20－ S 10＝ 20，S 30－S 20＝40.故 S 40－ S 30＝ 80.S 40＝150.应选 A.5．D 分析：方法一，在等比数列{a n } 中，21－ a n ·S n ＝ a 1－an q ＝3＝ 3－ 2a n .1－q 21－ 3方法二，在等比数列{a n } 中， a 1＝ 1，q ＝ 23，∴ a n ＝ 1×2 n －1＝ 2 n －1.3 32 nS n ＝ 1×1－ 3＝3 1－2 n231－ 3＝ 3 1－ 2 2 n －1 ＝ 3－ 2a n .3 36． B 分析： {a n } 是等差数列， a 3 ， a 4， a 8 成等比数列，有 (a 1 ＋ 3d)2＝ (a 1＋ 2d)(a 1＋ 7d)? a 1＝－ 5 (a 1＋a 4) ×422 2， a 1d ＝－ 52d ，S 4＝ ＝ 2(2a 1＋3d)＝－ d ， dS 4＝－ d <0 3 d <0.应选 B.3 2 3 3 2 － 1 分析：由题可得， (a 1＋ 2d) 2＝ (a 1＋ d)(a 1＋ 6d)，故有 3a 1＋ 2d ＝ 0，又因为 2a 1 7. 32＋ a 2＝ 1，即 3a 1＋d ＝ 1，所以 d ＝－ 1， a 1＝ 3.8． 6 分析：a 1＝ 2，S n ＝2(1－2n )＝ 2n ＋1－ 2， S 5＝ 62， S 6＝ 126.所以起码需要 6 天．q ＝ 2，1－29．解：由已知 S n ＝ 2a n － a 1，有 a n ＝ S n － S n － 1＝2a n － 2a n － 1(n ≥2)，即 a n ＝ 2a n －1(n ≥ 2)． 进而 a 2＝2a 1 ，a 3＝ 2a 2＝ 4a 1.又因为 a 1， a 2＋ 1， a 3 成等差数列， 即 a 1＋ a 3＝ 2(a 2＋ 1)．所以 a 1＋4a 1 ＝2(2a 1＋1)．解得 a 1＝ 2.所以，数列 {a n } 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 a n ＝ 2n .11 n111 1 12 1－ 21(2)由 (1)，得 a n＝ n＝ ＋ 2 n＝ 1 ＝ 1－ n2 ，所以 T n2 2＋ ＋ 2 2 .1－210．解： (1)设 {a n } 的公差为 d ，则由已知条件，得a 1＋ 2d ＝2,3a 1＋ 3×22d ＝92.3化简，得 a 1＋ 2d ＝2， a 1＋ d ＝ .解得 a ＝1， d ＝ 11.2故 {a n } 的通项公式 a n ＝ 1＋n － 1，即 a n ＝n ＋1.22(2)由 (1)，得 b 1＝ 1，b 4 ＝a 15＝ 15＋ 1＝ 8.2设 {b n } 的公比为 q ，则 q 3＝ b4＝ 8，进而 q ＝ 2. b 1故 {b n } 的前 n 项和 T n ＝b 1(1－q n )＝ 1×(1－2n )＝ 2n － 1. 1－q1－ 2第 4 讲数列的乞降1． B 分析： a n ＝ 1＋ 2＋3＋ ＋ n ＝ n ，n ＋ 1 2 ∴ b n ＝ 1＝ 4 ＝ 4 1 － 1，4a n a n ＋ 1 n(n ＋ 1) n ＋ 1∴ S n ＝411 1 1 11－ 2 ＋ 2－3 ＋ ＋ n － n ＋ 114n＝4 1－n＋1＝n＋1.2．A分析：由 a5＝ 5，S5＝ 15，得 a1＝ 1，d＝ 1.∴a n＝ 1＋ (n－ 1)＝ n.故1＝1n(n＋ 1)a n a n＋1 11111111111100＝n－n＋ 1.∴a1a2＋＋a100a101＝1－2＋2－3＋＋100－101＝1－101＝101.应选 A.3．A4．D分析：方法一，由题设知a2－ a1＝ 1①a3＋ a2＝ 3②a4－ a3＝ 5③a5＋ a4＝ 7，a6－ a5＝ 9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋ a8＝ 15，a10－ a9＝ 17，a11＋ a10＝19，a12－ a11＝ 21，∴②－①，得a1＋a3＝ 2，③＋②，得a4＋ a2＝ 8.同理可得 a5＋ a7＝ 2， a6＋ a8＝ 24， a9＋ a11＝ 2， a10＋ a12＝ 40， .∴ a1＋ a3， a5＋ a7， a9＋ a11，，是各项均为2 的常数列．a2＋ a4， a6＋ a8， a10＋ a12，是首项为8，公差为16 的等差数列．1∴ {a n} 的前 60 项和为 15×2＋ 15×8＋2×16×15×14＝ 1830.方法二，可证明：b n＋1＝ a4n＋1＋ a4n＋2＋ a4n＋3＋ a4n＋4＝ a4n－3＋ a4n－2＋ a4n－2＋ a4n＋ 16＝ b n＋16，15×14b1＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 10? S15＝ 10×15＋×16＝1830.5． B分析：由5a8＝ 8a13，得 5(a1＋ 7d)＝ 8(a1＋ 12d)．3·－3641∴ d＝－61a1.由 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝a1＋ (n－1)61a1≥0?n≤3＝ 213.∴数列 {a n} 的前 21 项都是正数，此后各项都是负数．故 S n取最大值时，n 的值为 21.应选 B.26． C分析：∵由S n＝ n － 6n 得 {a n} 是等差数列，∴a n＝－ 5＋ (n－ 1) ×2＝ 2n－ 7.∴n≤3时， a n<0，n>3 时， a n>0.26n－ n (1≤ n≤3)，∴ T＝n2n － 6n＋18(n＞ 3).1n7.3(4 － 1)分析：当n＝1 时， a1＝ S1＝ 1，当 n≥2时， a n＝S n－ S n－1＝2n－ 1－ (2n－1－ 1)＝ 2n－1，又∵ a 1＝1 合适上式．n －12n － 1∴ a n ＝ 2 .∴ a n ＝ 4 .∴数列 {a n 2} 是以 a 21＝ 1 为首项，以4 为公比的等比数列．2 22 1·(1－ 4n)1 n－ 1)．∴ a 1 ＋ a 2＋ ＋ a n ＝＝ (41－ 43n 2－ n ＋2 分析：设第 n(n ≥2)行的第 2 个数组成数列 {a n } ，则有 a 3－ a 2＝ 2，a 4－a 3＝ 3，8. 22＋ n － 1， a n － a n － 1 ＝ n － 1，相加，得 a n － a 2＝ 2＋ 3＋ ＋ (n － 1)＝ ×(n － 2)＝ 2(n ＋ 1)(n －2)(n ＋ 1)(n － 2) n 2－ n ＋2. 2， a n ＝ 2＋＝229．解： (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d.∵a 7＝4， a 1＋ 6d ＝ 4，∴a 1＋ 18d ＝ 2(a 1＋ 8d).a 19＝ 2a 9，1解得 a 1＝1， d ＝ 2.n ＋ 1∴ {a n } 的通项公式为a n ＝2 .(2)b n ＝ 1 ＝ 2 ＝ 2 1－ 1 ，na n n(n ＋ 1) n n ＋ 1 ∴S ＝2 1－ 1＋1－1＋ ＋1－ 1n2 23 n n ＋ 1＝ 2n.n ＋ 110．解： (1)设数列 {a n } 的公差为 d ，11令 n ＝1，得 a 1 a 2＝ 3.所以 a 1 a 2＝3.令 n ＝2，得 1 ＋ 1 ＝ 2.所以 a 2a 3＝ 15.a 1 a 2 a 2a 3 5 解得 a 1＝1， d ＝ 2.所以 a n ＝ 2n －1.(2)由 (1)知， b n ＝ 2n ·22n －4＝ n ·4n .所以 T n ＝ 1·41＋ 2·42＋ ＋ n ·4n .所以 4T n ＝ 1·42＋ 2·43＋＋(n －1) ·4n ＋ n ·4n －1.两式相减，得－ 3T n ＝ 41＋ 42＋ ＋ 4n － n ·4n ＋14(1－ 4n ) n ＋1 ＝ 1－ 3n n ＋14＝－ n ·4 3×4－ .1－ 433n － 14n ＋1n ＋1＝ 4＋ (3n － 1) ·4. 所以 T n ＝9 ×4＋99第 5 讲合情推理和演绎推理1． C 分析：明显正三角形和正四周体的极点是两两距离相等的，即n ＝ 3 或 n ＝ 4 时命题建立，由此可清除A ，B ，D.应选 C.2． 2n × 1× 3× 5× ×－1)(2n ＝ (n ＋ 1) ×(n ＋ 2) ×(n ＋ 3) × ×＋(nn)2 22n －12 n ＋1n(n ＋ 1)3． 1 －2 ＋3 － ＋ (－ 1)n ＝(－ 1)42＝ S 12＋ S 22＋ S 324． S5． cos π 2π n π 1*cos · · cos ＝ n ， n ∈N2n ＋ 1 2n ＋ 1 2n ＋ 1 26．一分析： 由上可知： 甲、乙、丙均为 “p 且 q ”形式， 所以猜对一半者也说了错误 “命题 ”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因其中国足球队得了第一名．7． 2 分析：近似令原式＝ t ，有 2＋ t ＝t,2＋t ＝ t 2，解得 t ＝－ 1(舍去 )或 t ＝ 2.8．A分析：若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确， f ′ (x)＝2ax ＋ b ，因为 1 是 f(x) 的极值点， 3 是 f(x) 的极值，所以f (1)′ ＝0， 2a ＋ b ＝ 0， b ＝－ 2a ， 因为点 (2,8) 在f(1) ＝ 3，即解得a ＋b ＋c ＝ 3.c ＝ 3＋ a.曲线 y ＝ f(x) 上，所以 4a ＋2b ＋ c ＝ 8，即 4a ＋ 2×(－2a)＋ a ＋ 3＝ 8，解得 a ＝ 5，所以 b ＝－ 10，c ＝ 8，所以 f(x) ＝ 5x 2－ 10x ＋ 18.因为 f( － 1)＝ 5×(－ 1)2－ 10×(－ 1) ＋8＝ 23≠0，所以－ 1 不是f(x) 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确．应选 A.221339．解： (1) 选择②，由 sin 15 °＋ cos 15°－ sin15 cos15° °＝ 1－ 2sin30 ＝°4，故这个常数是 4.(2)推行，获得三角恒等式223sin α＋ cos (30 °－ α)－sin α cos(30－ α)°＝4.证明： sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－sin α cos(30－ α)°＝ sin 2 ° cos ＋αsin30 2－ sin α(cos30 °cos ＋αsin30 °sin α)α＋(cos30 ° sin α)2 3 2 3 1 2 3 1 23 2 3 23.＝ sin α＋ cos α＋sin α cos ＋αsin α－ sin α cos －αsinα＝ sinα＋ cos α＝42 42 244410．解： (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 因为a 1＋ a 2＝ 5，2a 1＋ d ＝5，a 1＝ 1，a 3＝ 7，即解得a 1＋ 2d ＝7.d ＝ 3.所以 a n ＝a 1＋(n － 1)d ＝ 1＋ 3(n － 1)＝3n － 2. 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n －2(n ∈ N * )．1 ＝1＝11－1，(2)因为a n a n ＋ 1(3n － 2)(3n ＋ 1) 3 3n － 2 3n ＋ 1所以数列 1的前 n 项和a n a n ＋1S n ＝1＋1＋1＋＋1 ＋1a 1a 2a 2a 3 a 3a 4aaa an －1 n n n ＋111 1 1 1 1 1 1 1 1 － 1 1 1 － 1 ＝3 1－ 3n －2 ＋3n ＋ 14 ＋ 3 4－ 7 ＋ 3 7－ 10 ＋ ＋3 3n － 5 3 3n － 2 1 1 n＝ 3 1－ 3n ＋ 1 ＝ 3n ＋ 1.假定存在正整数 m ， n ，且 1<m<n ，使 S 1， S m ， S n 成等比数列，则 S 2m ＝ S 1S n ，即m 2＝ 1× n .3m ＋ 1 4 3n ＋ 1－ 4m 2所以 n ＝ 3m 2－ 6m － 1. 因为 n>0 ，所以 3m 2 －6m － 1<0.23因为 m>1，所以 1<m<1＋ 3 <3. 因为 m ∈N * ，所以 m ＝ 2.－ 4m 2此时n ＝3m 2－ 6m － 1＝16.故存在知足题意的正整数 m ， n ，且只有一组值，即 m ＝ 2， n ＝ 16.第 6 讲 直接证明与间接证明1．②2．①③④分析：要使 b a ≥2，只要 b a＋ >0 且 >0 建立，即 a ， b 不为 0 且同号即可，故a b a b①③④能使 b a＋ ≥2建立．a b3. 6＋ 7>2 2＋ 5 分析：要比较 6＋ 7与 22＋ 5的大小，只要比较 ( 6＋7)2 与 (2 2＋ 5)2 的大小，只要比较 6＋ 7＋ 2 42与 8＋ 5＋ 4 10的大小，只要比较42与 2 10的大小，只要比较 42 与 40 的大小，∵ 42>40，∴ 6＋ 7>2 2＋ 5.4． A 分析：反证法的步骤第一步是假定命题的反面建立，而“起码有一个实根”的否定是 “没有实根 ”．应选 A.3 3分析：∵ f(x) ＝ sinx 在区间 (0， π)上是凸函数，且 A ， B ， C ∈(0， π)．5. 2f(A) ＋ f(B) ＋ f(C)A＋B＋C＝ f ∴≤f33π 33即 sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤3sin＝.32π3 ，所以 sinA ＋ sinB ＋ sinC 的最大值为332.6．若①③④，则②(或若②③④，则①)分析：依题意可得以下四个命题：(1)m⊥ n，α⊥ β， n⊥β? m⊥ α； (2)m ⊥ n，α⊥β， m⊥ α? n⊥ β；(3)m⊥ n， n⊥ β，m⊥ α? α⊥β； (4) α⊥β，n⊥ β， m⊥ α? m⊥ n.不难发现，命题(3) ，(4) 为真命题，而命题(1)， (2)为假命题．7． lg15 ＝3a－ b＋ c分析：假如lg3 ＝ 2a－b 是正确的，那么lg9＝ 2lg3 ＝ 2(2a－b) ＝ 4a－ 2b；假如 lg3 ＝ 2a－ b 是错误的，那么lg9 ＝ 4a－ 2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg9 ＝4a－ 2b 也不是错误的，不然lg3 ＝ 2a－ b 是错误的．相同，假如lg5＝a＋c，那么 lg8 ＝3lg2 ＝ 3(1－ lg5) ＝ 3(1－ a－c)，假如 lg5＝ a＋ c 是错误的，那么lg8 ＝3－ 3a－ 3c，也错误，这与题意矛盾；明显lg8 ＝3－ 3a－ 3c 也不是错误的，不然lg5 ＝ a＋ c 也错误．∴ lg15 ＝ lg(3 ×5)＝ lg3＋ lg5 ＝ (2a－ b)＋ (a＋ c)＝ 3a－ b＋ c.∴应将最后一个更正为lg15 ＝3a－ b＋ c.8．201分析：由已知，若a≠2正确，则 a＝ 0 或 a＝ 1，即 a＝ 0，b＝ 1，c＝ 2 或 a＝ 0，b＝ 2， c＝1 或 a＝1， b＝ 0， c＝ 2 或 a＝ 1，b＝ 2， c＝ 0 均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若 b＝ 2 正确，则 a≠2正确，不切合题意；所以 c≠0正确， a＝ 2，b＝ 0，c＝ 1，故 100a＋10b＋ c＝201.9．解： (1)S2·S3＝ (2a1＋ d)(3a1＋ 3d)＝ 36，将 a1＝ 1 代入上式，解得d＝2 或 d＝－ 5.∵公差 d>0 ，∴ d＝ 2， a n＝1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－1，S n＝ (1＋ 2n－ 1)n＝n2(n∈N*)．2(2)由 (1)知， a m＋ a m＋1＋ a m＋2＋＋a m＋k＝[2m － 1＋2(m ＋ k)－ 1](k ＋ 1)2＝(2m＋ k－1)(k ＋1) ＝ 65.∵m， k∈N *, 2m＋ k－ 1>1 ， k＋ 1>1 ，2m＋ k－ 1＝ 5，m＝－ 3，∴解得(舍去 )．k＋ 1＝ 13.k＝ 12，2m＋ k－ 1＝ 13，解得m＝ 5，或k＝ 4.k＋ 1＝ 5.综上所述， m ＝ 5，k ＝ 4.210．解： (1)由 3a n ＋ 1－ 2a n ＝ 1，得 a n ＋ 1－ 1＝ 3(a n － 1)．13因为 a 1＝4，所以 a 1－ 1＝－ 4.所以数列 {a n －1} 是以－ 3为首项， 2为公比的等比数列．43所以 a n －1＝－ 3 2 n －1 4×3 ，即 a n ＝ 1－ 34·23n－1(n ∈ N * )．所以 S n ＝ a 1＋ a 2＋＋ a n＝ n －3 1＋ 2 1＋ ＋ 2n －14332 n3 1－ 32 n － 29 *) ．＝ n －×＝3＋ n － (n ∈ N41－ 243(2)由 (1)，得 b n ＝ a n ＋ 1－ a n ＝ － 3 2 n3 2 n － 1 1 2 n － 1 4·3 － 1－ 4·3 ＝4·3 . 下边用反证法证明：数列{b n } 中的随意三项不行能成等差数列．假定数列 {b n } 中存在三项 b r ， b s ， b t (r ＜ s ＜ t)按某种次序成等差数列，因为数列 {b n } 是首项为 1，公比为2的等比数列，43于是有 b r ＞ b s ＞ b t ，则只好有 2b s ＝ b r ＋ b t 建立．1 2 s －11 2 r －11 2 t －1，所以 2××3＝ ×3＋ ×3444两边同乘3t －121－r ，化简，得 2·2s － r ·3t － s ＝ 3t － r ＋ 2t － r .因为 r ＜ s ＜ t ，所以上式左侧为偶数，右侧为奇数，故上式不行能建立，致使矛盾. 故数列 {b n } 中的随意三项不行能成等差数列．第 7 讲数学概括法1． B 2.D 3.C 4.C5．D分析：原等式共有5 －14，选 D.5n 项，当 n ＝ 1 时， 2 ＝ 26．C 分析：S k ＋ 1＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＝1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＝ 1 ＋k ＋1＋ 1 k ＋ 1＋ 2 2(k ＋ 1) k ＋ 2 k ＋ 32k ＋ 2 k ＋ 1 1 ＋ ＋ 1 ＋ 1 ＋1 －1＝S ＋1 － 1 k ＋ 22k 2k ＋ 1 2k ＋ 2 k ＋ 1k2k ＋ 1 2k ＋ 2.1 ＋ 1 ＋1＋＋1，7． 1007 分析：记 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 32n 则 f(n ＋ 1)－ f(n) ＝1 ＋1－1＝1 －12n ＋ 1 2n ＋ 2 n ＋ 1 2n ＋ 12n ＋ 2>0，数列 {f(n)} 是递加数列，则1f(n) min ＝ f(1) ＝ ，∴ m ≤1007.8．④9．解： (1)S 2＝4a 3－ 20， S 3＝S 2＋ a 3＝5a 3－ 20，又 S 3＝15，∴ a 3＝ 7，S 2＝ 4a 3－ 20＝8，又 S 2＝S 1＋ a 2＝ (2a 2－7)＋ a 2＝ 3a 2－ 7.∴ a 2＝ 5，a 1＝ S 1＝ 2a 2－ 7＝ 3， 综上知 a 1＝ 3， a 2＝ 5， a 3＝7. (2)由 (1)猜想 a n ＝ 2n ＋1，①当 n ＝ 1 时，结论明显建立；②假定当 n ＝ k(k ≥1)时， a k ＝ 2k ＋1，则 S k ＝3＋ 5＋ 7＋ ＋ (2k ＋ 1)＝3＋ (2k ＋ 1)×k ＝k(k ＋2)， 2又 S k ＝2ka k ＋ 1－ 3k 2 － 4k.∴ k(k ＋2) ＝2ka k ＋ 1－ 3k 2－4k ，解得 2a k ＋1＝ 4k ＋ 6.∴ a k ＋1＝ 2(k ＋ 1)＋ 1，即当 n ＝ k ＋1 时，结论建立；由①②知， ? n ∈ N * ， a n ＝ 2n ＋ 1.2x[x － (a － 2a)]①当 1<a<2 时，若 x ∈ (－ 1， a 2－2a)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (－ 1， a 2－ 2a)上是增函数；若 x ∈(a 2－ 2a,0)， f ′(x)<0， f(x) 在 (a 2－2a,0)上是减函数；若 x ∈(0，＋ ∞)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (0，＋ ∞)上是增函数．②当 a ＝ 2 时， f ′(x) ，≥0f ′(x)＝ 0 建立当且仅当 x ＝ 0，f(x) 在 (－ 1，＋ ∞)上是增函数．③当 a>2 时，若 x ∈ (－ 1,0)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (－1,0)上是增函数；若 x ∈(0， a 2－ 2a)，则 f ′(x)<0， f(x) 在 (0， a 2－ 2a)上是减函数；若 x ∈(a 2－ 2a ，＋ ∞)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (a 2－ 2a ，＋ ∞)上是增函数．(2)由 (1)知，当 a ＝2 时， f(x) 在 (－ 1，＋ ∞)是增函数．当 x ∈(0，＋ ∞)时， f(x)>f(0) ＝ 0，2x即 ln(x ＋ 1)>x ＋ 2(x>0) ．又由 (1)知，当 a ＝ 3 时， f(x) 在 [0,3) 上是减函数；当 x ∈(0,3)时， f(x)<f(0) ＝ 0，3x即 ln(x ＋ 1)<x ＋ 3(0<x<3) ．下边用数学概括法证明2 <a n ≤3 .n ＋ 2 n ＋2①当 n ＝ 1 时，由已知2<a 1 ＝1，故结论建立；3②假定当 n ＝ k 时结论建立，即2 <a k ≤ 3.k ＋ 2 k ＋ 2222×2＋1＝ ln(a k ＋ 1)>ln＋ 1> 2 k ＋ 2 ＝ ，当 n ＝k ＋ 1 时， a kk ＋ 2k ＋ 3＋ 2k ＋ 23× 3a k ＋ 1＝ ln(a k ＋ 1) ≤ln3 ＋ 1k ＋23≤ 3＝ ，k ＋ 2＋ 3 k ＋ 3 k ＋ 2 即当 n ＝ k ＋ 1 时有 2 <a k ＋1≤ 3 ，结论建立．k ＋ 3 k ＋3依据①②知对任何n ∈N*结论都建立．。

九章 数 列第1讲 数列的基本概念1．数列3,5,9,17,33，…，的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．若a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }中的最大项是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1093．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1144．(2013年辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列a nn是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 5．如图K9-1-1所示的程序框图，如果输入值为2013，则输出值为________．图K9-1-16．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.7．(2011年浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.8．(2012年上海)已知f (x )＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是________．9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？10．(2012年大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3的值； (2)求{a n }的通项公式．第2讲 等差数列1．(2012年福建)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2013年重庆)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 3．(2012年广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.4．(2012年北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5.其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤6．(2013年新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列8．已知等差数列{a n }的前项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )dx ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．309．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S n ＝12n －n 2. (1)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|;(2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|； (3)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.10．(2012年四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？第3讲 等比数列1．(2012年广东)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________. 2．(2012年安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．在公差d ≠0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝( )A.75B.57C.34D.434．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 5．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)( )A ．26B ．29C ．212D ．2156．(2013年大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10) 7．(2012年新课标)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.8．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝__________.9．(2012年陕西)已知等比数列{a n }的公比为q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．10．(2012年山东)在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.第4讲 数列的求和1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．1892．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5＝4，则数列{log 2a n }的前7项和等于( ) A ．7 B ．8 C ．27 D ．283．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则当S n 取最大值时n 等于( ) A ．2 B ．3C ．2或3D ．3或44．数列1,1＋2，…，1＋2＋22＋…＋2n －1的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1－n －2C ．2n ＋1－n D ．2n －n5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 6．(2011年安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－157．(2014年广东广州一模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 8．如图K9-4-1，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5…… 图K9-4-19．(2013年湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．10．(2012年天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n (n ∈N *)，证明：T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n >2)．第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1．(2010年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图K9-5-1，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的表达式是( )图K9-5-1①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21； ④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③3．(2011年四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．114．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n5．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n ，则数列{a n }的通项公式为________________．8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝3a n ＋3n，则a n ＝________.9．(2012年广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．10．(2011年广东)设b>0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nba n－1a n－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n+1＋1.第九章 数 列 第1讲 数列的基本概念1．B 2.B 3.B 4.D 5.46．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.7．4 解析：方法一：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ·(n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n ＝⎣⎡⎦⎤(n ＋1)(n ＋5)×23－n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n＝⎝⎛⎭⎫23n 2n 2＋12n ＋10－3n 2－12n 3＝⎝⎛⎭⎫23n 10－n 23.当n ≤3时，a n ＋1－a n >0，数列单调递增； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，数列单调递减．即a 1<a 2<a 3<a 4>a 5>a 6>……即第4项最大，k ＝4. 方法二：设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0⇒⎩⎨⎧k 2≥10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4. 8.13 5＋326 解析：a n ＋2＝f (a n )＝11＋a n ，∵a 1＝1， ∴a 3＝12，a 5＝23，a 7＝35，a 9＝58，a 11＝813.又a 2012＝11＋a 2010＝a 2010，得a 22010＋a 2010－1＝0. 令a 2010＝t ，则t 2＋t －1＝0，∵题设t >0，∴t ＝5－12.∵a n ＝1a n ＋2－1，∴a 2008＝1a 2010－1＝1－t t ＝t .则a 2n ＝t ＝5－12，∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝13 5＋326. 9．解：∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 而⎝⎛⎭⎫1011n >0，所以当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9. 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10.10．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n ，得S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝3a 1＝3，S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒23a 3＝a 1＋a 2＝4⇒a 3＝6.故所求a 2，a 3的值分别为3,6.(2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n， ①S n －1＝n ＋13a n －1. ②①－②，得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇔n －13a n ＝n ＋13a n －1⇔a n a n －1＝n ＋1n －1. 故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n 2.∵当n ＝1时，12＋12＝1＝a 1，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n2.第2讲 等差数列1．B 2.723.2n －14.15．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一确定的常数，得3a 7是一确定的常数，故②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7是一确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是一确定的常数，故⑤正确．6．C 解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2， a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.7．C 解析：C 显然是错的，举出反例：0,1,2,3，满足数列{S n }是递增数列，但S n >0不成立．8．A 解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)| 30＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12，a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝5，a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝－2，所以S 30＝15.9．解：∵S n ＝12n －n 2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12n －n 2)－12(n －1)＋(n －1)2＝13－2n ； 当n ＝1时，13－2×1＝11＝a 1，∴a n ＝13－2n .由a n ＝13－2n ≥0，得n ≤132.∴当1≤n ≤6时，a n >0；当n ≥7时，a n <0.(1)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝12×3－32＝27. (2)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋a 9＋a 10)＝2S 6－S 10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52. (3)当1≤n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12n －n 2，当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2S 6－S n ＝2(12×6－62)－(12n －n 2)＝n 2－12n ＋72. 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －n 2，1≤n ≤6，n 2－12n ＋72，n ≥7. 10．解：(1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，则a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S 1＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0，∴a n ＝0；若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1.相减，得a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是等比数列．综上所述，若a 1＝0，则a n ＝0；若a 1≠0，则a n ＝2nλ.(2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，则b n ＝2－n lg2.∴{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg2)，则b 1>b 2>b 3>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg1＝0.当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg1＝0.故当n ＝6时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大．第3讲 等比数列1.142.A3.C4.D 5．C 解析：考虑到求导中，含有x 项均取0，则f ′(0)只与函数f (x )的一次项有关； 得a 1·a 2·a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝212.6．C 解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝－13a n .∴数列{a n }是以－13为公比的等比数列．∵a 2＝－43，∴a 1＝4.∴S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101＋13＝3(1－3－10)．故选C.7．－2 解析：当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 2＝2a 1.由S 3＋3S 2＝0，得9a 1＝0，∴a 1＝0，与{a n }是等比数列矛盾，故q ≠1.由S 3＋3S 2＝0，得a 1(1－q 3)1－q ＋3a 1(1－q 2)1－q＝0，解得q ＝－2.8．(－2)n －1 解析：∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 9．(1)解：由通项公式，得a 3＝a 1⎝⎛⎭⎫－122＝14，则a 1＝1. 由等比数列求和公式，得S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝2＋⎝⎛⎭⎫－12n －13.(2)证明：∵k ∈N *，∴2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)＝a 1q k －1·⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－122－⎝⎛⎭⎫－12－1＝0， ∴2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0，∴a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 10．解：(1)由a 3＋a 4＋a 5＝84，得3a 4＝84，a 4＝28. 而a 9＝73，则5d ＝a 9－a 4＝45，d ＝9. a 1＝a 4－3d ＝28－27＝1，于是a n ＝1＋(n －1)×9＝9n －8，即a n ＝9n －8.(2)对任意m ∈N *,9m <9n －8<92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，即9m －1＋89<n <92m －1＋89，而n ∈N *，由题意可知b m ＝92m －1－9m －1. 于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝91＋93＋…＋92m －1－(90＋91＋…＋9m －1)＝9－92m ＋11－92－1－9m 1－9＝92m ＋1－980－9m －18＝92m ＋1＋180－9m 8，即S m ＝92m ＋1＋180－9m8.第4讲 数列的求和1．C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C8.n 2－n ＋22解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n－2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22.9．解：(1)∵S 1＝a 1，∴当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1⇒a 1≠0，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1⇒a n ＝2a n －1⇒{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列，即a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)令T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n ·a n ⇒qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n ·qa n⇒qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n ·a n ＋1上式左右错位相减：(1－q )T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n 1－q－na n ＋1＝2n －1－n ·2n⇒T n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2， 得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 故a n ＝3n －1，b n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明：由(1)，得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝6×(1－2n )1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1.当n >2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1. ∴T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n >2)．第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1.C2.C3.B4.D5.1n 解析：由题意可知：a n ＋1＝－1±1＋4n (n ＋1)2(n ＋1)a n ，解得a n ＋1＝nn ＋1a n，或a n ＋1＝－a n (舍去)．则a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12·23·…·n －1n ＝1n .即a n a 1＝1n ，∴a n ＝1n a 1＝1n.6.13n －2 解析：由a n ＋1＝a n 3a n ＋1，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3⇒1a n ＋1－1a n＝3⇒1a n ＝1＋3(n －1)．∴a n ＝13n －2.7．a n ＝3×2n －1－n －1 解析：令a n ＋1＋A (n ＋1)＋B ＝2(a n ＋An ＋B )，得A ＝1，B ＝1.∴a n ＋1＋(n ＋1)＋1＝2(a n ＋n ＋1)．∴a n ＋n ＋1＝3×2n －1.∴a n ＝3×2n －1－n －1.8．n ·3n －1 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋3n ，∴a n ＋13n ＝a n 3n －1＋1.令a n 3n －1＝b n ，∴数列{b n }是以首项为1，公差为1的等差数列，∴b n ＝1＋1(n －1)＝n .∴a n ＝n ·3n －1.9．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，而T 1＝S 1＝a 1， ∴a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)在T n ＝2S n －n 2中，用n －1取代n 的位置， 有T n －1＝2S n －1－(n －1)2.两式相减，可得S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥2)， ∴S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1.两式相减，可得a n ＝2a n －2a n －1－2， 即a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)， 即a n ＋2＝2(a n －1＋2)．∴数列{a n ＋2}是以首项为a 2＋2，公比为2的等比数列． 在式子T n ＝2S n －n 2中，令n ＝2，有T 2＝2S 2－22，即a 1＋(a 1＋a 2)＝2(a 1＋a 2)－22，∴a 2＝4.于是a n ＋2＝(a 2＋2)·2n －2＝6·2n －2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足该式子，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝3·2n －1－2.10．(1)解：∵a n ＝nba n －1a n －1＋n －1，∴a nn ＝ba n －1a n －1＋n －1.∴n a n ＝1b ·n －1a n －1＋1b. ①当b ＝1时，n a n －n －1a n －1＝1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴na n＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝1. ②当b >0，且b ≠1时，n a n ＋11－b ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1＋11－b .当n ＝1时，n a n ＋11－b ＝1b (1－b ).∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n ＋11－b 是以1b (1－b )为首项，1b 为公比的等比数列．∴n a n ＋11－b ＝11－b ·⎝⎛⎭⎫1b n . ∴n a n ＝1(1－b )b n －11－b ＝1－b n (1－b )b n. ∴a n ＝n (1－b )b n1－b n .综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (1－b )b n1－b n ，b >0，且b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：①当b ＝1时，2a n ＝b n ＋1＋1＝2；②当b >0且b ≠1时，1－b n ＝(1－b )(1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1)．要证2a n ≤b n ＋1＋1，只需证2n (1－b )b n 1－b n≤b n ＋1＋1，即证2n (1－b )1－b n≤b ＋1b n ，即证2n 1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1≤b ＋1b n ， 即证⎝⎛⎭⎫b ＋1b n (1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1)≥2n ， 即证(b ＋b 2＋…＋b n －1＋b n )＋⎝⎛⎭⎫1b n ＋1b n －1＋…＋1b 2＋1b ≥2n .∵(b ＋b 2＋…＋b n －1＋b n )＋⎝⎛⎭⎫1b n ＋1b n －1＋…＋1b 2＋1b＝⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b 2＋1b 2＋…＋⎝⎛⎭⎫b n －1＋1b n －1＋⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ≥2 b ·1b ＋2 b 2·1b 2＋…＋2 b n －1·1bn －1＋2 b n ·1b n ＝2n ，∴原不等式成立．∴对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.。

阶段检测卷 (四)(不等式 )时间： 50 分钟 满分： 100 分一、选择题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．x ＋ 3y ≤ 3，1． (2017 年新课标Ⅰ)设 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥1，则 z ＝ x ＋ y 的最大值为 ( )y ≥ 0，A ．0B ．1C ．2D ． 32x ＋ 3y － 3≤ 0，2． (2017 年新课标Ⅱ )设 x ， y 知足拘束条件 2x － 3y ＋ 3≥ 0， 则 z ＝2x ＋ y 的最小值是y ＋ 3≥0，()A ．－ 15B ．－ 9C ．1D ．91 ≥ a 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()3．当 x>1 时，不等式 x ＋x － 1A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ )C ．[3，＋∞ )D ． (－∞， 3] 4．某辆汽车购买时的花费是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5万元． 年维修养护花费第一年 3000 元，此后逐年递加 3000 元，则这辆汽车报废的最正确年限 (即便用多少年的年均匀花费最少)是 ()A ．8 年B ．10 年C ．12 年D ．15 年x ＋ y －3≥ 0，5．若平面地区 2x － y － 3≤ 0， 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直x － 2y ＋ 3≥ 0线间的距离的最小值是()3 5 A.B.2 532C. 2D. 56． (2017 年山东 )若 a>b>0 ，且 ab ＝ 1，则以下不等式建立的是( )1 bA ． a ＋ < a <log 2(a ＋ b) b 2b1 B. a <log 2(a ＋ b)<a ＋b21 <log 2(a ＋ b)< bC ．a ＋ ab 2 1 bD ． log 2(a ＋ b)< a ＋ b <2a二、填空题：本大题共4 小题，每题 6 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．x≥0，7．(2013 年纲领 )记不等式组x＋3y≥ 4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)3x＋ y≤ 4与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 ________．8．定义运算“ ?”： x?y＝x2－ y2(x， y∈R， xy≠ 0)．当 x>0， y>0 时， x?y＋ (2y)?x 的最xy小值是 ________．9．已知 x， y∈R且知足 x2＋ 2xy＋ 4y2＝ 6，则 z＝ x2＋ 4y2的取值范围为 ________．n 是数列n n *恒建立，则n－ 1 n＋ n－ 1对全部n∈N10．已知 S 2 的前 n 项和，若不等式 |λ＋1|<S 2λ的取值范围是__________ ．三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12 分 )桑基鱼塘是某地一种独具地方特点的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购买一块1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(暗影部分X6- 5-2)栽种桑树，池塘四周的基围宽均为2 米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图 X6- 5-212．(12 分 )某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益 3 元．(1)试用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每日的收益ω(单位：元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？mx13． (14 分)已知函数f(x)＝x2＋n(m，n∈R) 在 x＝ 1 处取到极值 2.(1) 求 f(x)的分析式；a 7(2) 设函数 g(x)＝ ln x＋x.若对随意的x1∈R，总存在 x2∈ [1，e]，使得 g(x2) ≤ f(x1) ＋2，求实数 a 的取值范围．阶段检测卷 (四)1．D分析：可行域如图D190，目标函数z＝ x＋ y 经过 A(3， 0)时最大，故z max＝ 3＋ 0 ＝3.应选 D.图D1902． A 分析：绘制不等式组表示的可行域 (如图 D191)，目标函数即 y＝－ 2x＋z，此中 z 表示斜率为 k＝－ 2 的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形联合可得目标函数在点B(－ 6，－ 3)处获得最小值 z＝－ 12－ 3＝－ 15.应选 A.图 D1913． D15＋ 1.5n＋ 0.3n＋n n－ 1× 0.34．B 分析：汽车使用 n 年均匀花费为 2 3n＋ 1.65≥ 2n ＝15＋15× 3nn 20 15 3n 2 2n 20＋ 1.65＝ 4.65(万元 ) ，当且仅当n ＝20， 3n ＝300， n ＝ 100， n＝ 10，即 n＝ 10 时“＝” 建立，故这辆汽车报废的最正确年限为10 年．x－ 2y＋3＝ 0，5． B 分析：画出不等式的平面地区如图D192 ，则得 A(1,2) ．则x＋ y－ 3＝ 0.2x－ y－ 3＝ 0，得 B(2,1)．x＋ y－ 3＝ 0.由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|1 2 2＋ 2 1 2＝ 2. B.图 D192b6．B 分析：方法一，由于 a>b>0，且 ab ＝ 1，因此 a>1，0<b<1. 则2a <1 ，log 2 (a ＋ b)>log 22 ab1 1 1＝ 1,2a ＋ b >a ＋ b >a ＋ b? a ＋ b >log 2(a ＋ b)．应选 B.1 b 15 1方法二，取 a ＝2， b ＝ 2，2a＝ 8， log 2( a ＋ b)＝ log 22∈(1,2) ， a ＋ b ＝ 4.应选 B.1 7. 2，4 分析： 如图 D193 ，将点 A(0,4)， C(1,1)分别与点 B(－ 1,0)求斜率，得最小值为12，最大值为4.图 D193x 2－ y 22y 2－ x 24y 2－ x 28. 2 分析： 由新定义运算知， x?y ＝ xy ， (2y)?x ＝ 2yx ＝ 2xy .2 － y 2 2 2 2 ＋2y 2 2 2x4y －xx ≥ 2 x ·2y2 2xy由于 x>0，y>0 ，因此 x?y ＋(2y)?x ＝ ＋2xy ＝＝ ＝ 2.xy 2xy 2xy 2xy 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号．因此 x?y ＋ (2y)?x 的最小值是2.x 2＋ 4y2x 2＋ 4y2.∴x 2＋ 9． [4,12] 分析： ∵2xy ＝ 6－ (x 2＋ 4y 2)，而 2xy ≤2 ，∴6－ (x 2＋ 4y 2)≤ 24y 2 ≥ 4(当且仅当x ＝ 2y 时取等号 )．又∵(x ＋ 2y)2＝ 6＋2xy ≥ 0，即 2xy ≥ － 6.∴z ＝ x 2＋ 4y 2＝ 6－2xy ≤ 12.综上所述， 4≤x 2＋ 4y 2≤ 12.10．－3<λ<11 1 1 11 1＋分析： 由 S n ＝ 1＋ 2× ＋ 3×2＋ ＋ (n － 1) · ＋ n ·， S n ＝1×222n－ 22n－ 1222× 11111 1 ＋ ＋ 1 1n ＋ 22＋＋ (n － 1)· 1＋ n ·n ，两式相减，得S n ＝ 1＋ ＋ 2 n－ n ·n ＝ 2－n .所2n222 21222－2 －以 S n ＝ 4－n ＋2.于是由不等式 |λ＋1|<4－ 2 对全部 n ∈N * 恒建立，得 |λ＋ 1|<2.解得－ 3<λ<1.n1n 12 －2－x － 611． 解： (1)由题图知， 3a ＋ 6＝ x ，∴a ＝3.1800 1800则总面积 S ＝x － 4 ·a ＋ 2ax － 65400x － 65400＝ ax － 16 ＝3x－1610 80016x＝ 1832－x ＋ 3 ，10 800 16x即 S ＝1832－x ＋ 3 (x ＞ 0)． (2)由 S ＝ 1832－ 10 800＋ 16x ，x 3 10 800 16x 得 S ≤1832－ 2 x·3 ＝ 1832－ 2×240 ＝ 1352.10 800 16x当且仅当 x ＝ 3 ，此时， x ＝ 45.即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1352 平方米．12． 解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为 100－ x －y ，因此收益 ω＝ 5x ＋ 6y ＋ 3(100 － x －y)＝ 2x ＋ 3y ＋ 300(x ，y ∈N )．5x ＋7y ＋ 4 100－ x － y ≤ 600，(2)拘束条件为100－ x － y ≥ 0，x ≥ 0，y ≥ 0， x ，y ∈N ，x ＋ 3y ≤ 200，整理，得x ＋y ≤ 100，x ≥0， y ≥ 0，x ， y ∈N .目标函数为 ω＝ 2x ＋3y ＋ 300，作出可行域如图 D194 ，图 D194作初始直线 l 0： 2x ＋ 3y ＝0，平移 l 0，当 l 0 经过点 A 时， ω有最大值，x ＋ 3y ＝ 200， x ＝ 50， 由得x ＋ y ＝100 y ＝ 50.因此最优解为 A(50,50) ，此时 ωmax ＝ 550 元．故每日生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时收益最大，且最大收益为550 元．222m x ＋ n － 2mx－ mx ＋ mn13． 解： (1) f ′ (x)＝2＋ n 2 ＝22.xx ＋ n由 f(x) 在 x ＝ 1 处取到极值 2，得 f ′ (1) ＝0， f(1) ＝ 2.mn － m1＋ n 2＝ 0， m ＝4， 即解得m＝ 2， n ＝ 1.1＋ n经查验，当 m ＝ 4， n ＝1 时， f(x)在 x ＝ 1 处获得极值． 故 f(x) ＝4x.x 2 ＋1(2)由 (1) 知， f(x)的定义域为 R ，且 f(－ x)＝－ f(x)． 故 f(x) 为奇函数，且 f(0)＝ 0.当 x ＞ 0 时， f(x)＞ 0,0<f(x)＝4≤ 2，1x ＋ x当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”；41 <0，当 x<0 时，－ 2≤ f(x)＝－－ x ＋－ x当且仅当 x ＝－ 1 时，取 “＝ ”．故 f(x) 的值域为 [ － 2,2] ．进而 f(x 1 )＋ 7≥ 3.2 2依题意有 g(x)最小值 ≤ 32.a函数 g(x)＝ ln x ＋ x 的定义域为 (0 ，＋ ∞)，1 a x －ag ′ (x)＝ x －x 2＝ x 2 .3①当 a ≤ 1 时， g ′ (x)＞ 0，函数 g(x)在 [1，e]上单一递加，其最小值为 g(1) ＝ a ≤ 1<2， 切合题意；②当 1< a<e 时，函数 g(x)在 [1， a)上有 g ′ (x)<0 ，单一递减，在 (a ， e]上有 g ′ (x)>0 ，单一递加，因此函数g(x)的最小值为g(a)＝ ln a ＋ 1.由3ln a ＋1≤ 2，得 0<a ≤ e.进而知 1<a ≤e 切合题意；③当a ≥ e 时，明显函数g(x)在 [1， e]上单一递减，其最小值为a3g(e)＝1＋e ≥2>2，不符合题意．综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≤ e.。