华东师大版八年级数学12.5因式分解 平方差公式因式分解

3、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出 如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158
间接运用新知，解决第二层次问题。
自学例1，仿照例1 运用平方差公式计算：
①(-2x+3)(3+2x) ②(3b+2a)(2a-3b) ③(-1-2a)(-1+2a) 5 2 5 2 ④（a -b )(a +b ）
③ x4 – 1
2 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1) (x+1)(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6 = x2 – (x3)2
④ x2 – x6 = x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x) = x2(1+x2)(1+x)(1–x)
1 4
(4) 25a2b2=(±
5ab )2;
]2; 2(a-b)
±
(x+y) ]2。
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做一做
你能试着把下列各式分解因式吗？
（1）a2-16 ＝a2-( 4 )2 ＝（a+4)(a-4)
（2）64-b2 ＝( 8 ) 2-b2＝（8+b)(8-b)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 把下列各式分解因式：
)
否
把下列各式进行因式分解 3b3-a2b-ab 1. a ab(a2b2-a-1) 2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
平方差公式： 2-b2 (a+b)(a-b)=a
用语言叙述平 方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式有何结构特征？
互为相反数
(a +b)(a
1 看（1）a2－82 = (a+8) (a －8) 谁 （2）16x2 －y2 =(4x+y) (4x －y) 快 2 又 (3) － 1 y2 + 4x2 1 1 3 =(2x + y) (2x － y) 9 对 3 3
(4) 4k2 －25m2n2 =(2k+5mn) (2k －5mn) 4
a -b
灵活运用新知，解决第三层次问题。
自学例2，运用平方差公式计算：
（1）59.8×60.2 2 2 （2）(x+y)(x-y)(x +y )
1.王红同学在计算（2+1)(2 +1)(2 +1)时，将积式 乘以（2-1）得： 2 4 解：原式 = (2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1) 2 2 4 = (2 -1)(2 +1)(2 +1) 4 4 = (2 -1)(2 +1) = 28-1 2 4 8 你能根据上题计算: (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) 16 (2 +1) 的结果吗？
⑤9m 2 n 2 - 16t 2
2 2
1 2 1 2 x y ②- x + y ⑥ 4 16 9 4 4 2 2 4 ③ 25x - 16 y ⑦( p - q - q ④9 xy - 36x y
2 3 2
⑧(2a + b - 4(a + b
2
2
因式分解：
提 高 训 练 一
①3m(m + n - 6 m - n
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
(6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
（1） 1 ＝（
36
±
1 )2 ; 6
(2) 0.81＝（ ±
0.9
) 2;
（3）9m2 ＝ ( ±
(5) 4(a-b)2=[ ± (6)
1 (x+y)2=[ 16
3m )2;
2
2
= ( a + b )( a - b )
（2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)22－20052 = = 2006 - (y+p)2 结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是 多项式，只要被分解的多项式能转化成平 方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
解决问题
在使用平方差公式分解因式时，要 注意： 先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.
如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边 长为1.6cm的小正方形，求 剩余部分的面积。
考考你
你知道992-1能否被100整除吗？ 说说你是怎么想的？
例题精讲
1、把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 =62-(5x)2 解：(1) 36-25x =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
★平方差公式中字母a、b不仅可以表 示数，而且也可以表示其它代数式.
课堂练习
2、把下列各式分解因式:
(1)
(2) (3)
2-4 m 2-25 4x 2-4y2 x
(4) x2y2-z2 (5) (x+2)2-9
(6) (x+a)2_(y-b)2
例题精讲
3、把多项式x4-16分解因式.
解：x4-16 =(x2)2-42 2+4)(x2-4) =(x 2+4)(x+2)(x-2) =(x
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b)
2.用平方差公式因式分解步骤： 一变、二分解
拓展训练1：因式分解
2y2+100 1.-25x
2-9(2a+3b)2 2.4(a-b)
2-9a2 3.(2a-b) 2+3x)2-(x+1)2 4.(x
拓展训练2：利用因式分解计算
2-9882 1.1012
相同
2-b)=a
2 b
1.左边两个多项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另 一项互为相反数
2.右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平 方差．
你对平方差公式认识有多深？
2-b2=(a+b)(a-b) a
△21 a 2
2=（△+
）（△-
）
2-尾2=（首+尾）（首-尾） 首
4 b 5
1 2 16 2 1 a + 4 b 1 a - 4 b a - b = 2 5 2 5 4 25
2
(
2

②16 - a
4 2
③ x - x - ( x - 1
3
(

( )
④ 设m、n为自然数且满足
关系式12+92+92+22+m2=n2， 则m = ____，n = ____。
提高训练(二)
(2 1、
48
- 1 能被 60到70之间的两个整数整除，

这两个整数是 ____和 ____。
2 12 - 22 32 - 42 52 - 62 2011 - 20122 2、计算： + + ++ 。 2+4 6 + 8 10 + 12 4022+ 4024
在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑提取公因式，再考虑用公式法。
⑤ 6x3 – 54xy2 = 6x (x2–9y2) = 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2 X Y
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ] X Y X Y
= (2x+p–q)(p+q)
平方差公式：
2-b2 整式乘法 （a+b)(a-b)=a
2-b2= a
(a+b)(a-b)
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
平方差公式：
+ b)(a - b) = a 2 - b 2 (a
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
整式乘法
a - b = ( a+ b)( a - b)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 (3)4m2+9 = (2m)2 －32 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2
4–b4= (a2)2-(b2)2= a
(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
课堂练习
5、把下列各式分解因式:
(1)18a2-50 (2)-3ax2+3ay4 (3)(a+b)2-4a2
2
4
不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式： 方法：
4x3 - 9xy2
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。 结论： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。