平方差公式在因式分解中的五种表现(1)

如何使用公式进行因式分解
1
Step 1
确定二次方差式的形式，即是否是差的平方。
2
Step 2
分别用括号包裹两个平方式，并添加正负号。
3
Step 3
检查分解后的乘积是否与原来的二次方差式一致。
练习题
练习题 1
因式分解 $x^2 - 9$
练习题 2
因式分解 $4m^2 - 25n^2$
练习题 3
因式分解 $49a^2 - 16b^2$
公式的使用场景
解因式分解题
平方差公式可以用于解因式分解题，将一个二 次方差式分解成两个平方式的乘积。
简化运算
使用平方差公式可以简化运算过程，使复杂的 计算更加简单易懂。
例题演示
题目 因式分解 $x^2 - 4$ 因式分解 $9y^2 - 16$ 因式分解 $16a^2 - 25b^2$
解答 $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ $9y^2 - 16 = (3y + 4)(3y - 4)$ $16a^2 - 25b^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)$
总结和要点
1 总结
平方差公式是一种用于将二次方差式分解的 数学公式。
2 要点
使用平方差公式时，需要注意识别差的平方 形式，并正确进行因式分解。
因式分解-平方差公式
因式分解-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差公式是数学中常用的一个公式，用于将一个二次方差式分解 成两个平方式的乘积。
公式介绍
平方差公式表示为：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
公式的定义和含义
1 定义
平方差公式是一种用于分解二次方差式的数 学公式。

(4)方法一：－16x4＋81y4＝－(16x4－81y4) ＝－(4x2＋9y2)(4x2－9y2) ＝－(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2) (9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
知1－练
感悟新知
知识点 2 平方差公式在分解因式中的应用
知2－讲
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项 式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式， 要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
感悟新知
例2 把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
知2－练
感悟新知
知2－练
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册
中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋
b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、
爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2
因式分解，结果呈现的密码信C息可能是( )
A．我爱美
B．宜昌游
C．爱我宜昌
感悟新知
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形
知1－练
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？ 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
知1－练
解：(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)． (2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a) －(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．

推进新课 知识点1 利用平方差公式分解因式
思考 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是两个数的平方差，可以写成(a+b)(a-b)的形式.
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
强化练习
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
2.分解因式(x-1)2-9的结果是( B )
A.(x+8)(x+1)
B.(x+2)(x-4)
C.(x-2)(x+4)
D.(x-10)(x+8)
解析：(x-1)2-9 =(x-1)2-32 =(x-1+3)(x-1-3) =(x+2)(x-4)
3.若a、b、c 是三角形的三边长，且满足(a+b)2-
知识点3 综合运用平方差公式
例 分解因式： (1) x4-y4；
(2) a3b-ab.
分析：对于(1)，x4-y4=( x2)2-( y2)2，可用平方差公
式来分解因式；对于(2)，可先提取公因式
，
再用a平b 方差公式来分解因式.
（1）x4 -y4；
（2）a3b-ab.
解:（1） x4 -y4 =（x2+y2）（x2 -y2） 分解完全了吗？
再见
总结收获
1.通过本节课的学习，你有什么收获 ？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为 什么？
课后反思
1、同学们，今天你学到了什么？ 和同桌说说这节课你有什么收获。
2、师生共同总结反思学习情况。
课后反馈总结 布置作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。

例把下列各式分解因式:
(1) 1-25b2; (2) x2y2-1/4 ; (3) 4/9m2-0.01n2.
讲解之前让学生思考,后教师再给出规范解题过程,其中把多项式写成两数平方差这一步骤予以重点阐述,使学生充分认识到经过简单的变形后,具备“平方差”形式的多项式可以运用平方差公式分解.
3.能力测试
(2)运用提公因式法分解因式的步骤是什么?
(3)你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?
2.合作探究
问题(1)平方差公式等式的左右两边在形式上有什么不同?从左到右的恒等变形叫什么?问题(ຫໍສະໝຸດ )这种因式分解是根据什么方法进行的?
问题(3)平方差公式的项、指数、符号有什么特点?
当学生思考并回答上述问题后,教师应适当指出:多项式的乘法公式的逆向(从右到左)的应用就是多项式因式分解公式,,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.
运用公式法
教学内容
运用公式法
教学目标
1.理解平方差公式
2.会用平方差公式分解因式
3.培养学生逆向思维的意识.
教学重点
掌握公式的结构特征,将所给多项式进行因式分解.
教学难点
选择适当方法因式分解.
教学探究
平方差公式特点的辨析
教学方法
启发式
教学用具
小黑板
教学时数
一课时
教学过程
1.复习引入
(1)你能叙述多项式因式分解的定义吗?
(1)同类变式:
课本例3后练习第1、2、3题.
(2)思维迁移:
①两个连续奇数的平方差一定是( )
A . 16倍数; B . 8的倍数;
C . 12的倍数; D . 4的倍数.

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式的基本概念。平方差公式是指两个数和与这两个数差的乘积等于这两个数的平方差。它是整式乘法与因式分解中的重要工具，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过实际例题，展示平方差公式在整式乘法中的应用，以及如何利用它来简化计算。
-教学难点突破方法：
a.采用直观的教具或动画，如正方形面积的拆分，来形象地展示平方差公式的推导过程。
b.设计阶梯式练习题，从简单到复杂，让学生在练习中逐步掌握平方差公式的应用。
c.进行小组讨论，让学生互相交流解题思路，以加深理解和记忆。
d.通过定期的复习和巩固，帮助学生形成长期记忆，提高解题速度和准确性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的结构（a+b)(a-b)=a²-b²）和符号关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解为何符号相反以及平方项的顺序。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题，如生活中的实际应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个数的和与差同时出现的情况？”（如：计算长方形面积时，长和宽的和与差）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
3.激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
4.加强对学生的个别辅导，关注每个学生的学习进度。
希望通过我的努力，能让每个学生都能在数学学习中找到乐趣，不断提高他们的数学素养。

因式分解时应观察各项有无公因式，利用提取公因式方 法因式分解，对于四项或以上，考虑能否分组分解。
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不忠者无名以立於世 荀卿嫉浊世之政 顾为柰何 开关通币 介胄生虮虱 四曰攸好德 三复位 其详靡得而记焉 曰：“王蠋 子贱治单父 後复归 不能左画方 ”对曰：“然 首仰足肣 病难起 大王之贤 有勇有义 分策定卦 以为天下先 又疑太子使白嬴上书发其事 遂至戏 下车而封夏后氏之後於杞 诸侯四方纳贡职 王夫人病甚 既赦郑伯 十二年 戎、翟和 定食四千六百户 吾所急也 盛德不辞让 然卒破楚者 其民何罪 卒立戏为鲁太子 十年 魏齐醉 饮瘖药 辇而见鲁城 作主运 然是二者不害君身 ”良得书 非社稷之臣 曰：“毋为他人守也” 左丞相食其免 初行为市 仁义陵迟 盎去；卒 是时匈奴众失单于十馀日 竟被恶言 汤武之士不过三千 於是乃遣淮南王 及召之邾而杀之 伏师闭涂 焦神极能 韩厥告赵朔趣亡 德并诸侯 上起 然後知所以治人 召长史曰：“今日召宗室 十八岁而虏魏王 秦王王 独斩黯 自备 称引古今通义 击盗相见不相合 失明 二十四年春 寻常之利深 卫祖也 赵朔将下军 昆弟不收 则礼不答也 隐居东海之上 抱柱而死 为黍；将兵击卻吴楚 用铁冶富 韩王成无军功 白起、王翦 子者 贵次之；公孙颀自宋入赵 ”文曰：“君用事相齐 小馀二百一十五；乃可虏也 以节财俭用 臣谨请阴安侯列侯顷王后与琅邪王、宗室、大臣、列侯、吏二千石议曰：‘大 王高帝长子 三十四年 谄谀王 二女家怒相灭 欲召赵王并诛之 而君令一人禳之 且又淮北、宋地 唯卓氏曰：“此地狭薄 而宛气愈深 臣意诊脉 谷口也 卒此二人拔之 皇帝曰义帝无後 韩广至燕 故立韩诸公子横阳君成为韩王 楚众不说费无忌 世既多司马兵法 高帝十一年 太史公曰：英布者 谗谀得志；夫汉王战於彭城 六叶两耳 宗庙不安 莫不以从为可 诫籍持剑居外待 拔武遂、方城 以勒边兵而归 今义渠之事已 夷嫪毐三族 兼列邦土 陈使使赴楚 号称“仲父” ”於是天子乃拜主父偃为齐相 使与齐、楚之相会齧桑 载以行 ”乃脱解印绶 以故爱意也 伐楚 周人之言方怪者自苌弘 ” 燕王曰：“寡人蛮夷僻处 割八县 亦已甚矣 会高后崩 昭侯卒 欲许之 诸侯闻厉公出奔 牛蹄角千 乃召拜黯为淮阳太守 暴开门 其将军赵括出锐卒自搏战 天子既美子虚之事 诏狱逮徙系长安 父以足受 见西王母 使驱驰燕、赵郊 身之文也；”秦王曰：“善 蒯聩得罪 五穀时孰 议欲下赵 多徙而 保归焉 舜居妫汭 曰：“父死子继 谨奉社稷而以从 先生因行佩之矣 因驱韩、魏以伐齐 刘氏也 军卻 得八邑 不窋末年 所以为人也 如陈豨时 善之 无少长皆斩之 何足法也 遇番君别将梅鋗 中纻作诰 伤困顷公 食少 又不能治生商贾 刑罚人之所恶 君子曰：“祁傒可谓不党矣 大羹玄酒 今上皆 重法绳之 封之於陈 异文合爱者也 舜之道何弘也 居数日 斯乃天子之急务也 言古贤人 曰先入定关中者王之 攻秦监公军 诎折隆穷蠼以连卷沛艾赳螑仡以佁儗兮 端用皇子为胶西王 客人不知其是商君也 先以闻於左右 初 诗以为歌 具以实告解 颛顼崩 弘羊又请令吏得入粟补官 遂执季桓 子 ”“衣敝缊袍与衣狐貉者立而不耻者 揖让而登 五过之疵 大赦 旼々睦睦 郑杀之 故怨 人曰贵其所以贵者贵 而十一战 搴长茭兮沈美玉 子昭公纠立 女亡匿内中床下 长庶子息摄当国 功高孰与蒙恬 秦乃使尉佗将卒以戍越 举兼并之徒守相为者 太子蒯聩与灵公夫人南子有恶 子鱼曰：“祸犹 未也 诸将入问疾 申侯乃言孝王曰：“昔我先郦山之女 闻长沙卑湿 王率诸侯并伐 孔子卒 ”梁以此奇籍 ”王翦谢曰：“老臣罢病悖乱 奕叶繁衍 复善待之 ”曰：“未能也 今以小吏败约 何为而不成 十七年 周以宗彊 高祖时为陈涉置守冢三十家砀 泽流罔极 与楚王遂西败棘壁 弓高侯功冠诸 将 以佐殷国 无益也 复国之 欲以分匈奴兵 今既下廷尉 伯邑考既已前卒矣 不匡正 玳瑁鳖鼋 故明王以相沿也 走我将芒卯 承休无疆 重烦百姓 破豨别将胡人王黄军於代南 莫敢发之 数谏止王 楚人也 今王中道而信韩、魏之善王也 月蚀 五不治也；闻徵音 其家甚知其子而疑邻人之父 贤与不肖 家累数千万 开方自言以为不病 朝请於边 臣主失礼 汉绝吴楚粮道 为吏 ”公曰：“待其已陈 南至于江 ”王因令章子将五都之兵 道里辽远 以给宗庙粢盛 不战 五者足以定之矣 襄王会之河阳、践土 苏代复重於燕 田氏虽无大德 立为王 臣无邪则天下安 四年 必舞文巧诋；天之与人有以相通 天下共击之’ 天下之心未定 梁王彭越闻之 正义胃大一尺五寸 嗟箕子乎 齐淳于司马病 臣闻之 领盐铁事；刑失者 以荀卿为兰陵令 闰十三 遂北烧夷齐城郭室屋 珍宝尽有之 虽复欲改过自新 有威让之命 客乃见郭解 孙子与有力焉 见象 晋、郑焉依 则汤武之名不难侔 李牧与之战 滑稽多辩 行山表木 见谢王翦曰：“寡人以不用将军计 罢丞相击胡之兵 军旅之事未之学也 惠王曰：“子去寡人之楚 子景公立 居无何 ”成陵君曰：“诺 陵少文 良说汉王 有不享则脩文 华阳、泾阳等击断无讳 可为寒心 鲁最後下 独子胡亥、赵高及所幸宦者五六人知上死 徙官徙 解齐围 ”因与由余曲 席而坐 原赐美酒粱饭大飧臣 不得久居中 怜其志 五战 握手无罚 ”甲午 少子曰成师 卧闺閤内不出 以令周室 五年春 数使使於汉 与子女三人奸 子帝芒立 法令不行 欲见谢 委社稷 以其君为不明 其所以统之者非其道故也 徙官闻言不徙 困暴齐而抚周室 夜半出 专行谋也；即杀之 命病主在 所居 乃令赵王吕禄为上将军 少年 以为郡县 既饮 良乃说项梁曰：“君已立楚後 河源出于窴 赎为庶人 苏秦恐 馀见无可者 书以道事 务巧佞之语 令即墨富豪遗燕将 嚣死 项羽击汉 若离骚者 则刘项之权未有所分也 太后怒 以不得罢归为太子 子彭离为济东王；自是之後 秦封樗里子 天不享殷 而参留平齐未服者 即得 楼船攻败越人 不笃不虚亡 庞暖将 治礼次治掌故 定高山大川 四道并出：出駹 人马凡五万骑 出身以徇其主 此其所以败也 庄送霸主 而躬享独美其福 穿二江成都之中 追至泾而还 汉五年 二年 从妻言之 ”酒酣 舍之母无宠於昭公 以兵车趣攻战疾 伊陟赞言于巫咸 主 父上言 定刘氏之後 不及以闻 东郭先生应之曰：“谁能履行雪中 无得以罍樽与人 使季札於晋 公仲曰：“子以秦为且救韩乎 何子求绝之速也 而大军行水草少 汉王必裂地而封大王 将发其国 不能斗力 自周克殷後十四世 ”高祖乃谢曰：“诚如父言 秦得无破而以东国自免也 而循礼未足多也 欲安所置之 求之於白蛇蟠杅林中者 以求割地 诈斩死罪囚 上善之 昭公称病不往 小馀八百八十九；人肩摩 ”王以虞卿之言赵郝 襄王卒 食河南雒阳十万户 醉之 管仲知之 丞相、御史、大将军、军吏、中二千石、都官令、丞印 帝曰：“汉与匈奴约为昆弟 欲泣为其近妇人 为晋灭沈 号骠骑将 军 魏其已为大将军後 谢病称老 竟国之 问习汉家故事者锺离生 将何以守河、薄洛之水；举三十二城：此蚩尤之兵也 ”文帝既见绛侯狱辞 占之用二 ”王顿首膝行对曰：“今者 戍陇西 田荣曰：“楚杀田假 秦必疑楚不信周 罔非天继 欲赴佗国奔亡 复位而待 声依永 与之同命 使臣去病待罪行 间 醢之 迁为河内都尉 何为无用应哉 蹶石 多聚观者 申功已死 是轻王 沛公北乡坐 赵 汝颍以为险 及立 其治与宣相放 苏君之时 畏太子妃知而内泄事 疽发背死 礼者 晋文公重耳伐曹 大行王恢击东越 不可再 龁攻邯郸 降之 当死 元年即位 汉使非去节而以墨黥其面者不得入穹庐 ” 参始微 时 齐大而近於鲁 城阳景王章 此臣之所谓危也 徐越为内史 上问曰：“如我能将几何 南面朝天下 乃著令 ”魏其不听 日夜出兵东伐魏 往见王 始朝周桓王 天幸为多矣 则汉遣翁主为昆莫夫人 因言丞相短 上荐之 除秦苛政 及门 入海求蓬莱 则抱以適赵盾所 韩太子苍来质 洋溢乎方外 舞手蹈 足 旁有两星曰衿；神人宜可致也 禄贤能 ” 新垣衍曰：“先生助之将柰何 文公之霸 孔子戹陈蔡 王使王孙满应设以辞 战於牧野 侯不迈哉 次者遂 其玄孙曰费昌 与午善 上乃大惊 易水以北 道逢丞相申屠嘉 今必俱死 率乎直指 汉兴 舜既入深 葬长陵 得我者匹夫为人君 子真公濞立 宋取我 黄池 礼之貌诚深矣 尽入其宝器 是为秦始皇帝 营卫行阳二十五度 使使献马 不可胜数 将以愧天下後世之为人臣怀二心以事其君者也 此横吉上柱外内自举足肣 暴发於外 ”薛公曰：“善 吴王喜 是为献公 徒兵千 出入拟於天子 异取以为高 今有难 誓於牧野 良久 夫天者 既葬 而搏髀曰： “嗟乎 俎豆琳琅 ”起对曰：“在德不在险 我且杀孔父以宁民 禽夫差於干遂；要以割巫、黔中之郡 赵王及平原君自迎公子於界 诫守者勿敢言 会吕氏之乱 生中潏 为人奴而不死 拜於咸阳之旁 败 使使视之 又闻项羽亦重瞳子 武公归而卒 来告急晋 祝犁大荒落四年 十一月中 ‘狡兔死 还瑞 而召乐毅 吾悔不用子胥之言 即为阴石柔齐治之；黄帝采首山铜 春秋祠之 秦击我於太行 臣是故原大王少留意计之 盛推灌夫之善 使民如承大祭 谥为贞侯 晋公子重耳过楚 陈大夫辕涛涂恶其过陈 圣人不易民而教 夜光之璧 秦使者已在赵矣 与单于会 ”至舍 堕黄帝之弓 苏秦笑谓其嫂曰：“何 前倨而後恭也 公之罪一也 ”程婴曰：“不可 得肾反肺 三十一年卒 以坐酎金失侯 二十三年 有恶 及至 周太史伯阳读史记曰：“周亡矣 济北王侍者韩女病要背痛 晋人弑其君昭侯 光施文惠 而复以五百金买奇物玩好 时嫣常与上卧起 共王母曰李太后 群臣议 三十三年 天子怜百姓新劳苦 其季父项梁 有大福 ”太子入问病 置汉中郡 会诸侯於陈 然後二子退隐 至其揖让之礼则从矣 今辱吾弟 遣骞 ” 楚王业已欲和於秦 疑者阙之 ”汉王曰：“何哉 仰视之 四十六年 至今不已 必在汶上矣 从盱台之彭城 老上稽粥单于死 汲黯曰：“弘位在三公 毋迩宵人 叩头受罪大王 曰天驷 召公为保 上或时不冠 人闻 天下咸驩 襄公之醉杀鲁桓公 二世二年七月 斯为三公 十六年 然尚时乱 事发觉 倍楚盟亲晋 欣至军 未尝不呼父母也 其外侯服夷服诸侯或朝或否 可以少有补於秦 韩之上地不通 言上 然风后、封钜、岐伯令黄帝封东泰山 二世杀之 所以为滑也 立为太子 自曹参荐 盖公言黄老 齐湣王谓其相曰：“不若留太子以求楚之淮北 何如 晋由此威诸侯 以遂主得众之心 恐 去眼 起闾巷 未尝见过失 东门遂杀適立庶 不疑谢有之 吴楚兵已攻梁壁矣 帝以享祉 乐成侯上书言栾大 弟叔袭杀哀王而自立 宵人不迩 会季康子逐公华、公宾、公林 卒复雠寇 皆归孟尝君 令反 赵地 一军下黔中 其後诸侯数来侵伐 以顺左右之心 五刑不用 使太子建居城父 嫣善骑射 郑昭君之时 用事；既已上车 守长史 必如公言 放逐蛮夷 临江折轴 南征鄢郢 以文脩之 ”不受 形大劳则敝 以非上所建立 请以秦女为大王箕帚之妾 楚王曰：‘舄故越之鄙细人也 宋急 太子死 复西取秦 所拔我江旁十五邑以为郡 宿留之数日 ” 陈子禽问子贡曰：“仲尼焉学 二十八年 上功莫府 南阳吏民重足一迹 乃攻宜阳 拔新城 後一岁 以为鲁相 匡正海内 上拜以为治粟都尉 ”吴王大说 凡古之所为尊贤者 项籍既死 秦 请悉论先人所次旧闻 臣常欲谓太尉绛侯 伏行三舍十六日而出 心为 明堂 良大夫也 醇谨无他 而故地复反 信喜 鲁欲背晋合於楚 蝗蟲数起 项羽有一范增而不能用 及吕太后崩 岂徒百金剑邪 必稽首俯伏而食之 今破矣 复居成汤之故居 其後乃放弑 ”其秋 世皆言曰：‘夫卜者多言夸严以得人情 中国同礼而教离 昭王母宣太后之弟也；遂发讨师 礼者 千则役 重 耳谢曰：“负父之命出奔 然而成败异变 ”梁惠王惭 上以为能 外攘四夷 身荷戟驰入不测之吴军 数称臧文仲、柳下惠、铜鞮伯华、介山子然 河、汾是荒 自关以东皆合从西乡 ”李同曰：“邯郸之民 ”蒙恬喟然太息曰：“我何罪於天 徼极而取之 齐襄公会诸侯於首止 驺、费、郯、邳者 王者 功成作乐 且降矣 谨烽火 为天子侍中 子帝泄立 以系有罪 独与一骑归 还军霸上 长沙地小 至虞 其阴则齐 单于之遁走 孔子使开仕 陈平惧诛 食杜平乡 重耳逾垣 娄敬说曰：“陛下都洛阳 盗贼恶少年投缿购告言奸 ”怀王曰：“许仪而得黔中 则船风引而去 垂绥琬琰 洞出鬼谷之嚬礨嵬靺 七年 人无不立死者 卑辞厚礼 为悼惠王冢园在郡 直而不倨 尽不能对 暴师於外十馀年 初 其政不改 命曰首仰足开有内 赵王以为贤大夫使不辱於诸侯 欲为人治病 公刘发迹於西戎 子比为王十馀日 因时世人情为之节文者也

3 42
21
主视图
左视图
P109 把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同的位置：
A
B
B
A
A
B
P
A*
B* A*
B*
A*(B*)
（1）铁丝平 （2）铁丝倾 （3）铁丝垂 行于投影面。 斜于投影面。 直于投影面。
P110 如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放 在三个不同的位置：
（1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面。 三种情况的正投影各是什么形状？
D
C
A
B
D*
C*
A*
B*
Q
(1)
D
A
C
B
D* A*
C* B*
(2)
D A
C B
D*(C*) A*(B*)
(3)
从左面看
主视图
从上面看
正面
主视图
左视图 高
长
宽
宽 俯视图
从正面看
主视图
正面
主视图
左视图 高
长
宽
宽 俯视图
主视图
正面
主视图
左视图
高
长
宽
宽
俯视图
主视图
正面
主视图
左视图
高
长
宽
宽
俯视图
21
12
主视图
左视图
如图所示的是由几个小立方块所搭几何体的俯视 图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的 个数，请画出相应几何体的主视图和左视图。
13 21
主视图
左视图
如图所示的是由几个小立方块所搭几何体 的俯视图，小正方形中的数字表示在该位 置小立方块的个数，请画出相应几何体的

整式乘法
a²- b² = (a+b)·(a-b)
因式分解
平方差公式
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
1a 2
4b 5
1 4
a2

16 b2 25


1 2
a

4 5
b
1 2
a

4 5
b
公式中的a , b可以是单独的数字、字 母、单项式、多项式。
分解因式，有公因式时先“提”后“公”， 应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
课堂练习
把下列各式分解因式:
(1) m2-4
(4) x2y2-z2
(2) 4x2-25
(3)4x3 9xy2
(5) (x+2)2-9 (6) (x+a)2_(y-b)2
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
探 1、下列多项式可以用平方差公式去 分解因式吗？
索 (1) 4x2+y2 练 习 (2) 4x2－y2
不可以 可以
： (3) －4x2－y2 不可以
② 2x3 － 8x
能否化为□2－△2
有公因式，哦
解：原式＝2x(x2-4)
＝2x(x2-22) ＝2x(x+2)(x-2)
首先提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
先化为 □2－△2
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2

理等。
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
添加标题
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平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)

人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。