24.2.2圆的切线判定定理

第3课时切线长定理教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——（1）图中共有几对相等的线段（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm=1810,求⊙O的半径。

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。

若S△ABC三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。

A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ． 几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的 ，OA 是 ， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。

几何符号语言表达： ∵ OA 是 ，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的 。

归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证 （应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明 （方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ． （1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径 。

▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有 公共点的直线是圆的切线。

2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（ ）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图 第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 时与⊙O 相切.第4题图 第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ． 求证:AD 是⊙O 的切线．。

24.2.2(4)---切线的性质定理一．【知识要点】1.切线的性质定理：连切点得垂直;2.知切线连切点，过圆心作弦的垂线得矩形.二．【经典例题】1.如图,△ABC内接于圆☉O,CT切☉O于点C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB=_______.2.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M、N 两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是( )A．(2，－4) B．(2，－4.5)C．(2，－5) D．(2，－5.5)3.如图,△ABC为⊙O的内接于三角形,过A作⊙O的切线PA,若∠C=35°,求∠PAB的度数.4.如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°.O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一个交点，连结DF并延长交CB的延长线于点G，则CG＝________.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE 。

（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）求证：△PCF 是等腰三角形；（3）若∠BEC=30°,求证：以BC 、BE 、AC 为边的三角形是直角三角形。

的O 外一点，切O 于点A ，是O 的弦，AB 连接PB ，则PB=______________.7.如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是_________.8.如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 与⊙O 相切于点T ，过A 点作AC ⊥PQ 于C 点，交⊙O 于D 点. (1) 求证:AT 平分∠BAC;(2) 若2,AD TC ==求⊙O 的半径.9.已知AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 切线，BE ⊥CD 于C. (1)如图1，若CD=4，BE=6，求⊙O 的半径; (2)如图2，若CE=2，BE=6，求CD 的长; (3)如图3，若CE=1，CD=2，求BD 的长.10.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD交⊙O 于E ，若10,AB BC ==求AE 的长.11.如图，点O 是△ABC 的边AB 上的一点，以OB 为半径的⊙O 交BC 于D ，过点D 的切线交AC 于E,且DE ⊥AC.（1）求证：AB=AC.（2）若EC=1，AB=10，DC=OB ，求⊙O 的半径。

中小学信息技术应用课堂教学展示活动教学设计课题：24.2.2 直线和圆的位置关系（2）切线的判定与性质定理*******初级中学 ****24.2.2直线和圆的位置关系【核心素养】重点培养学生数学抽象和几何直观核心素养。

【知识与技能】1、能判定一条直线是否为圆的切线。

2、会过圆上一点画圆的切线。

3、能根据具体的问题作出合适的辅助线。

【过程与方法】1、通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2、会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．【情感态度与价值观】1、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力。

2、经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．3、在师生、生生的互动的学习氛围中，锻炼克服困难的勇气，提高数学学习兴趣。

【教学重点】1、探索圆的切线的判定方法，并能运用。

2、应用切线性质解决简单的几何问题。

【教学难点】探索圆的切线的判定方法。

【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教具准备】多媒体课件、平板电脑、畅言教学系统、教具等。

教学活动教学步骤师生活动设计意图复习导入【知识回顾】上课！同学们好，请坐。

在新课开始之前，我们一起来回顾一下上节课所学的知识。

我们知道直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交，那么这三种位置关系对应的图形、交点、圆心与直线间的距离等有么样的关系，我们一起来看一下：PPT展示三种位置关系总结表格。

如何确定一条直线与圆相切呢？引导学生思考：（1）通过定义：（2）根据数量关系：进一步引导学生思考：还有别的判断圆的切线的方法吗？就让我们带着这个疑问，一起走进今天的课堂吧。

由此导入新课。

学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设问题情境感受新知【探究一】圆的切线判定定理请看大屏幕，通过图片情境问题让学生猜想如下问题：问题1：下雨天，当你快速转动雨伞时飞出的水珠，以及在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的什么方向飞出？问题2：如何准确的判定刚才猜测的直线就是圆的切线呢？引导学生思考，并进行进一步的探究：探究：作⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA于点A。