课时作业(三十九) 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．在下列命题中，不是公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定3．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面D ．相交、平行或异面4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(1，2)D ．(1，3)5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.356．(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c 的位置关系是________．7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．8．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．10.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB ＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．B组专项能力提升(时间：30分钟)11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．312．(2015·郑州第二次质量预测)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE13．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确命题的个数是________．14.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．15.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．答案解析1．A [选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．] 2．D [在如图所示的长方体中，不妨设l 2为直线AA 1，l 3为直线CC 1，则直线l 1，l 4可以是AB ，BC ；也可以是AB ，CD ；也可以是AB ，B 1C 1； 这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.]3．D [依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.]4．A [此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于 2.故选A.]5．B [因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B.] 6．a ∥b ∥c解析 ∵a ∥b ，a ⊂α，b ⊄α，∴b ∥α. 又∵b ⊂β，α∩β＝c ，∴b ∥c .∴a ∥b ∥c . 7．4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个． 8.78解析 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ， ∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78.9．无数解析 方法一 在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二 在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交． 10．(1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH . ∴AH HD ＝CGGD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．11．B [①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．]12．C [取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得A 、B 正确．由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得D 正确；A 1C 在平面ABCD 中的射影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得C 不正确．]13．2解析 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a 与b 有可能垂直；命题④中当b ∥c 时，平面α，β有可能不垂直． 14.证明 连接BD ，B 1D 1，如图．则BD ∩AC ＝O ， ∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1. 即D 1、H 、O 三点共线．15．解 如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1， AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。

2021年高考数学一轮复习课时作业（三十九）第39讲空间点直线平面之间的位置关系文时刻/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,能够确定3个平面.其中正确的序号是()A. ①B. ①④C. ②③D. ③④2.若直线上有两个点在平面外,则()A. 直线上至少有一个点在平面内B. 直线上有无穷多个点在平面内C. 直线上所有点都在平面外D. 直线上至多有一个点在平面内3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A. l1⊥l4B. l1∥l4C. l1与l4既不垂直也不平行D. l1与l4的位置关系不确定4.如图K39-1所示,在四面体ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为.图K39-1图K39-25.如图K39-2所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为.(注:把你认为正确结论的序号都填上)能力提升图K39-36.如图K39-3所示,在四面体ABCD中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定()A. 在直线DB上B. 在直线AB上C. 在直线CB上D. 都不对7.[2021·河南六市二联]如图K39-4所示,G,H,M,N分别为正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH与MN是异面直线的图形的序号为()①②③④图K39-4A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.[2021·湖北华师一附中、孝感高中、荆州中学、襄阳四中等八校联考]三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,且所有棱长均相等,M为A1C1的中点,则直线CM和直线A1B所成角的余弦值为()A. B.C. D.9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,则如此的直线l能够作()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条图K39-510.如图K39-5所示,在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.11.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长和高均为1,则异面直线SC与DE所成角的大小为.图K39-612.如图K39-6所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.13.(15分)如图K39-7所示,四边形ABEF和ABCD差不多上直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC ∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别是FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)证明:C,D,F,E四点共面.图K39-714.(15分)如图K39-8所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.图K39-8难点突破15.(5分)[2021·南昌模拟]如图K39-9所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值为.图K39-9图K39-1016.(5分)如图K39-10所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.课时作业(三十九)1. A[解析] 因为梯形有两边平行,因此梯形能够确定一个平面,因此①正确;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,因此②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,因此③不正确;三条直线两两相交,能够确定的平面个数是1或3,因此④不正确.故选A.2. D[解析] 依照题意,两点确定一条直线,那么若直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.3. D[解析] 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.4.90°[解析] 如图所示,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,故EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=1,即∠EGF为所求异面直线AD和BC所成的角,又EF=,由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°.5.③④[解析] 由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,因此直线MN与AC所成的角确实是D1C与AC所成的角,易知D1C与AC所成的角为60°.6. A[解析] 直线EF和GH相交,设交点为M.∵EF⊂平面ABD,HG⊂平面CBD,∴M∈平面ABD,且M∈平面CBD,∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴M∈BD,∴EF与HG的交点在直线BD上.7. D[解析] 依照异面直线的定义可知,在图②④中,直线GH与MN是异面直线.在图①中,由G,M均为棱的中点可知GH∥MN.在图③中,连接GM,∵G,M均为棱的中点,∴四边形GMNH为梯形,则GH与MN相交.故选D. 8. B[解析] 如图所示,取AC的中点N,连接A1N,BN.∵M为A1C1的中点,∴MC∥A1N,∴∠BA1N是直线CM与A1B所成的角.设三棱柱的棱长为2,则A1B=2,A1N=.由题意知BN⊥平面ACC1A1,∴BN⊥A1N,∴cos∠BA1N===.故选B.9.D[解析] 如图所示,连接体对角线AC1,明显AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,因此体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.过点A分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故如此的直线l能够作4条.10.[解析] 设AC∩BD=O,连接VO.因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥,因此VO⊥平面ABCD,因此BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,因此BD⊥AC,又VO∩AC=O,因此BD⊥平面VAC,因此BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.11.45°[解析] 如图所示,S-ABCDEF为正六棱锥,O是底面正六边形ABCDEF的中心.连接FC,OB,OS.∵ABCDEF为正六边形,∴△BOC为等边三角形.∴OB=OC=B C=1,又∵DE∥FC,∴∠SCO确实是异面直线SC与DE所成角.又SO=OC=1,SO⊥OC,∴∠SCO=45°.则异面直线SC与DE所成角的大小为45°.12.[解析] 如图所示,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GK∥DH,故∠PGK即为异面直线PG与DH所成的角或其补角.设那个正四面体的棱长为2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,故cos∠PGK==,即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.13.证明:(1)因为G,H分别是FA,FD的中点,因此GH∥AD,GH=AD,又因为BC∥AD,BC=AD,因此BC∥GH,BC=GH,因此四边形BCHG是平行四边形.(2)因为BE∥FA,BE=FA,因此BE∥FG,BE=FG,因此四边形BGFE是平行四边形,因此BG∥EF.又因为四边形BCHG是平行四边形,因此BG∥CH,因此EF∥CH.因此C,H,F,E四点共面.又D∈FH,FH⊂平面CHFE,因此D∈平面CHFE,因此C,D,F,E四点共面.14.解:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PO⊥平面ABCD,因此∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.因为BO=AB·sin 30°=1,PO⊥OB,因此在Rt△POB中,PO=BO·tan 60°=, 又因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.因此四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF.因为E为PB的中点,因此EF∥PA.因此∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角).在Rt△AOB中,AO=AB·cos 30°==OP,因此在Rt△POA中,PA=,因此EF=.因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,因此△ABD为正三角形,因此DF=.又因为∠PBO=60°,BO=1,因此PB=2,因此PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,因此DE=.因此cos∠DEF====.15.[解析] 由题意,当△PEQ的周长取得最小值时,点P在B1C1上.在平面B1C1CB上,设E关于B1C的对称点为N,关于B1C1的对称点为M,则EM=2,EN=,∠MEN=135°,∴MN==.16.[解析] 取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,因此直线EN与EM所成的角确实是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,因此当点M逐步趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,cos θ越来越大.故当点M与点Q重合时,cos θ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN===-,因此cos θ的最大值为.11 / 11。

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题正确的是()A．若b⊂α，c∥α，则c∥b B．若b⊂α，b∥c，则c∥αC．若c⊂α，α⊥β，则c⊥βD．若c⊂α，c⊥β，则α⊥β3．[2014·福州月考]设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E、F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积()A．与点E、F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E、F、Q的位置都有关D．与点E、F、Q的位置均无关，是定值6．[2014·福建模拟]如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB 与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．8．[2014·武汉模拟]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC ＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．9．[2014·大连质检]如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个结论：①点M 到AB 的距离为22； ②三棱锥C －DNE 的体积是16；③AB 与EF 所成的角是π2.其中正确结论的序号是________．10．[2014·宜宾调研]A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．11．[2014·德阳检测]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O 点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．12．如图，已知在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且BGGC＝DHHC＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于一点．B级知能提升1．[2013·石家庄模拟]如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④2．[2014·皖南八校联考]点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F、D1、G的截面是正方形；③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积是定值；⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．3．已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝7，求AB和CD所成角的余弦值．解析及答案05限时规范特训A级基础达标1．【解析】A错误，只有m垂直于α与β的交线时，才能得到m⊥β；B正确，这是线面垂直的性质定理；C错误，m与β可能平行，可能相交，m也可能在平面β内；D错误，m与β可能平行，可能相交，m也可能在平面β内．【答案】B2．【解析】A中c与b也有可能异面；B中也有可能c⊂α；C中c不一定垂直于平面β；D中根据面面垂直的判定定理可知D正确．故选D.【答案】D3．【解析】A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B 中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C 中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.【答案】C4．【解析】在图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段均与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC，选C.【答案】C5．【解析】因为V A′－EFQ＝V Q－A′EF＝13×(12×2×4)×4＝163，故三棱锥A′－EFQ的体积与点E、F、Q的位置均无关，是定值．【答案】D6．【解析】若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH；由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台的定义与题中的图形．【答案】D7．【解析】∵A1B1∥AB，∴∠C1A1B1是AB与A1C1所成的角是30°，∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a，∴B1C1＝BC＝a.∴四边形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.【答案】30°45°8．【解析】连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.故∠HGB(或其补角)即为EF 和BG 所成角．设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在△GHB 中，易知GH ＝HB ＝BG ＝22a ， 故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°. 【答案】60°9．【解析】依题意可作出正方体的直观图，显然M 到AB 的距离为12MC ＝22，∴①正确，而V C －DNE ＝13×12×1×1×1＝16，∴②正确，AB 与EF 所成的角为AB 与MC 所成的角，即为π2， ∴③正确． 【答案】①②③10． 【解】(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)如图，取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.11．证明：∵C 1∈平面A 1ACC 1，且C 1∈平面DBC 1， ∴C 1是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点． 又∵M ∈AC ，∴M ∈平面A 1ACC 1. ∵M ∈BD ，∴M ∈平面DBC 1，∴M 也是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的公共点， ∴C 1M 是平面A 1ACC 1与平面DBC 1的交线． ∵O 为 A 1C 与截面DBC 1的交点， ∴O ∈平面A 1ACC 1，O ∈平面DBC 1，即O 也是两平面的公共点，∴O ∈直线C 1M ，即C 1，O ，M 三点共线． 12． 【解】∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，EF ＝12BD .又BG GC ＝DH HC ＝2，∴GH ∥BD ，GH ＝13BD ， ∴EF ∥GH ，EF ＝32GH ，∴四边形EFHG 是梯形，设两腰EG ，FH 相交于一点T .∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，∴T ∈平面ABC ，且T ∈平面ACD ，又平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴T ∈AC ，即直线EG ，FH ，AC 相交于一点T .B 级 知能提升1． 【解析】画出正方体， 如图所示，易知，①②错误，③④正确．故选C.【答案】C2．【解析】对于①，三棱锥A －BCC 1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形FGD 1D ，易知其边长不等，故②为假命题；③易证DE ⊥平面AFG ，又AP ⊂平面AFG ，故DE ⊥AP ，故③为真命题；④由于BC 1∥平面ACD 1，故三棱锥Q －ACD 1的高为定值，即点Q 到平面ACD 1的距离为定值，而底面积S △ACD 1也为定值，故三棱锥体积为定值，故④为真命题；⑤到D 、C 1距离相等的点的轨迹为平面A 1BCD 1(中垂面)，又点M 在平面A 1B 1C 1D 1中，故点M 的轨迹为线段A 1D 1，故⑤为真命题．【答案】③④⑤3．【解】如图所示，在BD 上取点G ， 使BG ∶GD ＝1∶2， 连接EG 、FG .在△BCD 中，∵BE EC ＝BG GD ＝12，∴EG ∥CD ，且GE ∶CD ＝1∶3，则EG ＝1，同理FG ∥AB ，且FG ∶AB ＝2∶3，则FG ＝2. ∴EG 与FG 所成的角即为AB 与CD 所成的角． 在△EFG 中，EG ＝1，FG ＝2，EF ＝7， 由余弦定理得cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22EG ·FG ＝－12，∵异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°， ∴cos θ≥0.∴AB 与CD 所成角的余弦值为12.。

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.知巩梳理"T"平面的基本性质名称内容图形衣示谄R表不作用公理1如果一条自线上的两点Ae/.be住一个/ILAG G,平而内•册么/〉《?■—/ B e U =>这条n纟戈在lUa此¥面内①判定直线住rifti A ；②判足点在平血内过不在—勒工线I-的三点・右-R只有一个平曲•B•C若A、”、「-：点不同住一条立线L.则A、”、「三点的定一个 fifiJa① a >iz平而；②ill：明点、线共而如果则个不重合的平向冇一个公典点•那么它们冇M貝仃一条过该点的公共宜线P W a • li "j =>a 「14 Z. H.He/①判定两亍半向是杏相交；©ill-明点在（!£线I .；③UF明三点、兵线* ①旺明三线共点S⑤iBlj两个相交平而的交线(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，则这两个角相等或者互补.(4) 两异面直线所成的角：两条异面直线a, b,经过空 间任一点0作直线a' 〃d,方'lib 、把o' , H 所成的锐角 (或直角)叫异面直线a, 〃所成的角(或夹角).心，Z 所成 的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异 两直裁的一条上；异,如果两条异面直线所成异面直线垂直，记作心 • 2 •空间直线(1)空间两直线的位置关系；相交直线：有且只有一个公共点; 平行直线：没有公共点：. .. (2)公理4： 空间中的直线4, b, C,如果4〃力，b//c.则0〃0问誠思考►问题1平面的基本性质（1）若点A在直线/上，直线/在平面G内，则点A在平面伉内；（）（2）—条直线与一个点确定一个平面；（）（3）三点确定一个平面；（）（4）两个相交平面只有有限个公共点.（）［答案］⑴对（2）错⑶错（4）错►问题2设平面仅与4UG直线比卩,则点M—定不在直线/上.（）［答案］错［解析1因为《rU=M, uUa, bup,所以』1/在《内，M在〃内.又因为平面a与平面/栩交于人所以M在/上.►问题4 若O4〃0iAi，0B〃0右且Z4O〃=60。

课时作业(三十九) [第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·吉林期末] 一个正方体的展开图如图K39－1所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )图K39－1A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°2．[2012·青岛模拟] 已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A．0个 B．1个C．2个 D．3个3．[2012·琼海模拟] 已知一个平面α，l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得( )A．l∥b B．l与b相交C．l与b是异面直线 D．l⊥b4．以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．能力提升5．平面α∩β＝l，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．无法确定6．在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )A．MN>a B．MN＝aC．MN<a D．不能确定7．[2012·开封调研] 以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．38．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交9．如图K39－2所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )图K39－2A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC10．共点的四条直线最多能确定平面的个数是________．11．给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．12．[2012·杭州检测] 已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．13．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．14．(10分)如图K39－3，设E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、AD 的中点，若AC ＝BD ＝1，求EG 2＋FH 2的值．图K39－315．(13分)已知：如图K39－4，空间四边形ABCD 中，E ， H 分别是边AB ，AD 上的点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ(0<λ，μ<1)，试判断FE ，GH与AC 的位置关系．图K39－4难点突破16．(12分)如图K39－5，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)证明：FE、AB、CD三线共点．图K39－5课时作业(三十九)【基础热身】1．D [解析] 将平面展开图还原成几何体，易知AB 与CD 所成的角为60°，选D. 2．B [解析] ①不对，b ，c 可能异面；②不对，b ，c 可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故③对，选B.3．D [解析] 当l ⊥α或l ∥α时，在平面α内，显然存在直线b 使得l ⊥b ；当l 与α斜交时，只需要b 垂直于l 在平面α内的射影即可得到l ⊥b .4．① [解析] ①正确，可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【能力提升】5．D [解析] 如图，可知三种关系都有可能．6．C [解析] 取AC 中点E ，则ME ∥BC ，且ME ＝12BC ，NE ∥AD ，且NE ＝12AD ，∴BC ＋AD＝2(ME ＋NE )＝2a ，在△MNE 中，MN <ME ＋NE ＝a .故选C.7．B [解析] ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．故选B.8．D [解析] 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB ∥CD ；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.9．C [解析] 由题意知，D ∈l ，l ⊂β，∴D ∈β. 又D ∈AB ，∴D ∈平面ABC ，即D 在平面ABC 与平面β的交线上． 又C ∈平面ABC ，C ∈β，∴点C 在平面β与平面ABC 的交线上． 从而有平面ABC ∩平面β＝CD ，故选C.10．6 [解析] 观察四棱锥模型，它的四个侧面，以及两个对角面，可以看成共点的四条直线最多能确定平面的个数的情形．11．③ [解析] ①中三点共线时，②中两直线不平行也不相交时，④中点在直线上时，⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面)，都不能独立确定一个平面．12．①②④ [解析] ①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．13．24 [解析] 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．14．解：易知四边形EFGH 为平行四边形，由平行四边形性质知：EG 2＋FH 2＝2(EF 2＋FG 2)＝2×14(AC 2＋BD 2)＝12×(12＋12)＝1.15．解：∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD . ①当λ＝μ时，EH ∥FG ，且EH ＝FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .AH AD ＝CGCD，∴HG ∥AC . 由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .∴四边形EFGH 是梯形，且EH ，FG 为上下两底边，∴EF ，GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P ∈直线EF ，P ∈直线HG .又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ， ∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点． 又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈直线AC ， ∴三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF ，GH ，AC 互相平行； 当λ≠μ时，三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．【难点突破】16．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面． (3)证明：连接EC ， ∵BE 綊12AF ，BC 綊12AD ，∴BE AF ＝BC AD ＝12，故EC ∥FD 且EC ≠FD ， ∴FE 与DC 交于一点P .又AB ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABCD ， ∴P 点在AB 上，故FE 、DC 、AB 三线共点．。