2离散随机信号基础

1.2.1 平稳随机信号的定义
一个离散随机信号 X(n)，如果其均值与时间 n 无关，其自相关函数 φ X (n1 , n 2 ) 和 n1 , n 2 的选取无关， 而仅和 n1 , n 2 之差有关，那么，我们称 X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。即： ¾ 均值（数学期望） m X (n) = m X = E[ X ( n)] ¾ 自相关函数 ¾ 方差 ¾ 均方值 ¾ 自协方差函数 (1.2.1)
P( x) = Pr obability ( X ≤ x) = ∫ p ( x)dx
−∞
x
(1.1.1） (1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5)
p ( x) = dP ( x) dx
µ = E[ X ] = ∫ xp( x)dx
−∞
+∞
D 2 = E[ X ] = ∫ x p ( x)dx
, x N (t1 ) 是一个随机变量，它相当于在某一固
定的时刻同时测量无限多个相同放大器的输出值。当 t = t j ，时， x1 (t j ), x 2 (t j ), 随机信号。
, x N (t j ) 也是一个随机
变量。因此，一个随机信号 X(t)是依赖时间 t 的随机变量。这样，我们可以用描速随机变量的方法来描述
γ X (n1 , n2 ) = γ X (m) = E{[ X (n) − m X ]* [ X (n + m) − m X ]}
两个平稳随机信号 X(n), Y(n)的互相关函数和互协方差函数分别定义为： ¾ 互相关函数 ¾ 互协方差函数
φ XY (m) = E[ X * (n)Y (n + m)] γ XY (m) = E{[ X (n) − m X ]* [Y (n + m) − mY ]}
1.2.2 平稳随机信号相关函数的性质
平稳随机信号的相关函数有许多重要的性质，现列写如下： 性质 1
φ X ( m ) ≤ φ X ( 0)
若 X(n)是复信号，则 φ X ( − m) = φ X ( m) 。即 φ X ( m) 是 Hermitian 对称的。
*
(1.2.8)
性质 2 若 X(n)是实信号，则 φ X ( m) = φ X ( − m) ，即 φ X ( m) 为实偶函数；
, ∞ 构成一个随机变
量。若 x( n0 , i ) 随 i 的变化仍连续取值，那么 x( n0 , i ) 是连续型随机变量，否则，为离散型随机变量。 显然，X(n)的均值、方差、均方值等一、二阶数字特征均应是时间 n 的函数，即： （1）均值（数学期望） m X ( n) = E[ X ( n)] = lim （2）方差 （3）均方值 （4）自相关) (1.2.7)
宽平稳随机信号是一类重要的随机信号。在实际工作中，我们往往把所要研究的随机信号视为宽平稳 的，这样将使问题得以大大简化。实际上，自然界中的绝大部分随机信号都认为是宽平稳的。今后我们所 提到的平稳随机信号如不特别说明，均认为是宽平稳随机信号。 严（或狭义）平稳随机信号是指概率特性不随时间的平移而变化（或说与时间基准点无关）的随机信 号。只有当 X(n)是高斯随机过程时，宽平稳才是严平稳。
(1.1.10b)
分别是 X 的均值向量和协方差矩阵。若 x1, x2,… xN 之间是相互独立的，则上述的方差阵 Σ 将变成对角阵。 随机变量 X 的均值称为 X 的一阶矩，方差称为二阶中心矩，均方值称为二阶原点矩。若 X1,X2，X3 及
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X4 都是零均值高斯随机变量，可以证明，其四阶矩：
= E[ X * (n1 )Y (n2 )] − m * X ( n1 ) mY ( n 2 )
所以，若 X, Y 不相关，必有
φ XY (n1 , n2 ) = E[ X * (n1 )Y (n2 )] = m * X ( n1 ) mY ( n 2 )
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§1.2 平稳随机信号的时域统计表达
1 = lim N →∞ N
样本 x( n, i ), i = 1,2,
∑ [ x(n , i) − m
i =1 1
N
X
(n1 )]* [x(n2 , i ) − m X (n2 )]
(1.1.17)
（1.1.13）~（1.1.17）式右边的求均值运算 E[·]体现了信号的“集合平均” ，该集合平均是由 X(n)的无穷
现在让我们观察一个晶体管直流放大器的输出。当输入对地短路时，其输出应为零。但是由于组成放 大器各元件中的热噪声致使输出并不等于零，产生了“温漂” 。该温漂电压就是一个随机信号。也即，当 我们在相同条件下独立地进行多次观察时，各次观察到的结果彼此互不相同。既然如此，为了全面地了解 输出噪音的特征，从概念上讲，我们应该在相同的条件下，独立地做尽可能多次的观察，这如同在同一时 刻，对尽可能多的同样的放大器各做一次观察一样。这样，我们每一次观察可以得到一个记录
∑ x(n, i)
i =1
N
φ X (n1 , n2 ) = E[ X * (n1 ) X (n2 )] = lim
1 N →∞ N
∑x
i =1
N
*
(n1 , i )x(n2 , i )
(1.1.16)
γ X (n1 , n2 ) = E{[ X (n1 ) − m X (n1 )]* [ X (n2 ) − m X (n2 )]}
2 2 −∞
+∞
σ 2 = E[ X − µ ] = ∫ x − µ p( x)dx
2 2 −∞
+∞
式中 E[ ]表示求均值运算。两个随机变量 X、Y，其联合概率密度为 p(x,y)，其协方差函数
cov[ X , Y ] = E[( X − µ X )(Y − µ Y ) * ] = E[ XY * ] − E[ X ]E[Y ]*
* φ XY (−m) = φYX ( m) 。
E[ X 1 X 2 X 3 X 4 ] = E[ X 1 X 2 ]E[ X 3 X 4 ] + E[ X 1 X 3 ]E[ X 2 X 4 ] + E[ X 2 X 3 ]E[ X 1 X 4 ]
我们在后面将用到这一关系。 以上有关随机变量的描速方法可推广到随机信号。
(1.1.11)
1.1.2 随机信号
, ∞ 在相应时刻对应相加（或相乘后再相加）来实现。
随机信号的自相关函数 φ X (n1 , n 2 ) 描述了信号 X(n)在 n1 , n 2 这两个时刻的相互关系，是一个重要的统 计量。若 n1 = n2 = n ，则
2 φ X (n1 , n2 ) = E[ X (n) ] = D X (n)
xi (t ), i = 1,2,…,N, N→∞。如图 1.1.1 所示。
图 1.1.1
晶体管直流放大器的温漂电压
如果我们把对温漂电压的观察看作为一个随机试验， 那么， 每一次的记录， 就是随机试验的一次实现， 相应的结果 xi (t ) 就是一个样本函数。所有样本函数的集合 xi (t ), i = 1,2,…,N, N→∞，就构成了温漂电压 可能经历的整个过程，该集合就是一个随机过程，也即随机信号，记之为 X(t)。概括这个概念：一个随机 信号（或序列）是一个随机过程，在它的每个时间点上的取值都是随机的，可用一个随机变量表示，或者 说，一个随机过程是一个随机试验所产生的随机变量依时序组合得到的序列。 对一个特定的时刻，例如 t = t1 ，显然， x1 (t1 ), x 2 (t1 ),
1 p( X ) = [(2π ) N Σ ] −1 2 exp[− ( X − µ ) T Σ −1 ( X − µ )] 2
式中 µ = [ µ x1 , µ x2 ,
(1.1.19) (1.1.10a)
, µ xN ]T
Σ = E[( X − µ )( X − µ ) T ] ⎡ σ 12 cov[ x1 , x 2 ] ⎢ 2 cov[ x 2 , x1 ] σ2 ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣cov[ x N , x1 ] cov[ x N , x 2 ] cov[ x1 , x N ] ⎤ ⎥ cov[ x 2 , x N ]⎥ ⎥ ⎥ 2 σN ⎥ ⎦
例如，一个均匀分布的随机变量 X 的取值范围若是[b,a]，则其概率密度
(1.1.6)
p ( x) =
1 a−b
1 2πσ
2
(1.17)
若 X 服从高斯分布，则其概率密度
p ( x) =
exp[−
1 2σ
2
(x − µ)2 ]
(1.1.8)
N 个实随机变量 X=[x1, x2,… xN]T 的联合高斯分布的概率密度
第一章 离散随机信号统计分析基础
本章的目的是对随机信号做一个简短的回顾，并且介绍一些在以后各章中我们将要用的概念。
§1.1 随机信号
1.1.1 随机变量
由概率论可知，我们可以用一个随机变量 X 来描述自然界中的随机事件，若 X 的取值是连续的，则 X 为连续型随机变量（注：本章随机变量和随机信号用大写外文符号表示，如 X，Y 等，随机信号的一次实 。若 X 的取值是离散的，则 X 为离散型随机变量，如服从二项 现仍用小写外文符号表示，如 xi(t),x(n,i)等） 式分布、泊松分布的随机变量。对随机变量 X，我们一般用它的分布函数、概率密度及数字特征来描述： 概率分布函数 概率密度 均值 均方值 方差
1 N →∞ N
2
∑ x(n, i)
i =1
N
（1.1.13）
2 σX (n) = E[ X (n) − m X (n) ] = lim
1 N →∞ N
∑
i =1 2
N
2
x(n, i ) − m X (n)