随机信号分析基础第二章习题

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。

（1）（2） 所以是确定的。

（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1（1） 是确定性随机过程？（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。

解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。

解：发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解： x1 x2X ：（t=1/2） 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。

解：2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解：()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)解：2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。

随机信号分析基础作业题第⼀章1、有朋⾃远⽅来，她乘⽕车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。

如果她乘⽕车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。

如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通⼯具？解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ====全概率公式： ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?====?===?===?==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??式中，常数0X σ>，求期望()E X 和⽅差()D X 。

考察：已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=?=-=-=-?=6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XYEX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

随机信号分析习题二：1. 设正弦波随机过程为0()cos X t A w t =其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即1,01()0,others A a f a ≤≤⎧=⎨⎩(1) 试求00030,,,44t w w w πππ=时，()X t 的一维概率密度； (2) 试求02t w π=时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为(),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。

3. 设随机振幅信号为0()sin X t V w t =其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。

求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数，φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。

求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞，其中 A ，B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2210.5()12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =。

求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos2tX t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。

现设新的随机信号0()()tY t X d λλ=⎰。

试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos ,()2,t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。

随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。

答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。

答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。

若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。

第二章 信号分析基础练习题：2.1 信号的分类及其基本参数1.测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。

这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。

*2.确定信号包括 周期信号 、 准周期信号 和 瞬态信号 。

3.信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为独立变量。

4. 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。

5.周期信号的频谱具有三个特点： 离散型 、 谐波形 、 收敛性 。

6.非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态 信号。

7.信号x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差2x σ描述信号的 波动程度 。

8.cos2( 1.5)t t dt πδ∞-∞-⎰= -1 。

9. 某随机信号的方差为2x δ，均方值为2x ψ，均值为x μ，则三者之间存在关系式:222x x x ψμσ=+ 。

10.信号的概率密度函数表示 信号幅值落在指定区间的概率 。

11.信号的数学表达式一般包含信号的 周期 、 频率 、 幅度 、 相位 。

12.下列信号中功率信号是（ ）。

A.指数衰减信号B.正弦信号、C.三角脉冲信号D.矩形脉冲信号 13.周期信号x(t) = sin(t/3)的周期为（ ）。

A. 2π/3B. 6πC. π/3D. 2π 14.不能用确定的数学公式表达的信号是（ ）A.复杂周期信号B.瞬态信号C.随机信号D.非周期信号 15.下列信号中周期函数信号是（ ）。

A.指数衰减信号B.随机信号C.余弦信号、D.三角脉冲信号 16.)(t ∂为单位脉冲函数，则)(at ∂的冲激强度为（ ） A |a| B a C 1/a D|1/a|17.求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2x ψ。

解：公式：22201[()]lim()T x E x t x t dt Tψ==⎰ 过程：2202202021(sin )sin 1cos 222T x TTA t dt TA tdt TA tdt T A ψωωω==-==⎰⎰⎰18.求正弦信号())sin(ϕω+=t A t x 的概率密度函数p(x)。

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3…… （1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？ （3）、求一、二维概率密度函数。

（1）（2） 所以是确定的。

（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1 （1） 是确定性随机过程？（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。

解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。

解： )2x (ex p 21p(x )2-=π xcos(t)F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X }p()d ()cos(t)cos(t)t t ωωωω-∞=≤=≤=≤==Φ⎰发22xxcos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)dx p x t F x t p dx ωωω'==-202xx )2cos t ω=-()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k k ()()[]()()()()[]A x A x A -x A -x 0.5t p(x,A x A -x 0.5t p(x,2121+++=++=δδδδδδ））2x1-exp()2⎫-⎪⎭2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cosπt,出现正面，2t，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解：x1 x2X：（t=1/2）0 1Y (t=1) 1 2[]1f(x,1/2)(x)(x1)2δδ=+-[]1F(x,1/2)(x)(x1)2U U=+-[]1f(x,1)(x-1)(x2)2δδ=+-[]1F(x,1)(x-1)(x2)2U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x)(x-1)(x-1)(x2)2U U U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x2+1)(x1-1)(x1)(x22)2U U U U=+-2.5随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。

Exercise 2 习 题 22. Autocorrelation function of a signal is known as :R x (τ)=(60/τ)sin(50τ),find mean square value ψx 2 of the signal.已知信号的自相关函数R x (τ)=(60/τ)sin(50τ),求该信号的均方值2xψ。

Key: 解：30003000))((max )50(sin 300050)50sin(15060)()(max(2222=∴==⨯⨯==+=x x x x x R c R R ψττττττμσψ 又 2.2 Find autocorrelation function of x(t) given by following equation. 求)(t x 的自相关函数⎩⎨⎧<>≥=-)0(0)0,0()(t a t Ae t x atKey : ①definition of autocorrelation function R x (τ): for ergodic random process,autocorrelation of some sample is as following:解： ①自相关函数R x (τ)的定义 对于各态历经随机过程，某个样本函数的自相关为:1()()()l i m Tx T R x tx t d t T ττ→∞=+⎰ Extend the definition to deterministic signals:推广至确定性信号有Transient signal: 瞬态信号⎰+∞∞-+=dt t x t xR x )()()(ττ Periodic signal:周期信号01()()()Tx R x tx t d t Tττ=+⎰ ② x(t) in the title is a transient signal: 本题小x (t )为瞬态信号⎰+∞∞-+=dt t x t xR x )()()(ττ When τ≥0 ,当 τ≥0时⎰⎰⎰+∞+-+∞+--+∞∞-==+=0)2(20)(2)()()(d e A dt e e A dt t x t x R t t t x ατατααττταατααα-+-=∞+-=eA e A t 2022)2(2When τ<0,当 τ<0时⎰⎰⎰+∞-+-+∞-+--+∞∞-==+=ταταττααττdt e A dt e e A dt t x t x R t t t x )2(2)(2)()()(ταατααταeA e A t 222)2(2=-∞+-=+-2.3 Find autocorr elation function of sin with original phase φ which is random variable,given by equation x(t)=Acos(ωt+φ). If x(t)=Asin(ωt+φ), does R x (τ) change?求初始相角φ.为随机变量的正弦函数Acos(ωt+φ)的自相关函数，如果x(t)=Asin(ωt+φ)，R x (τ)有何变化？Key :解：①⎰+∞∞-+=dt t x t x R x )()()(ττ=⎰+0)()(1T dt t x t x T τ其中：T 0=ωπ2，令θφω=+t ,则ωθd dt =∴ ⎰+=πθωτθθπτ202)cos(cos 2)(d AR x =ωτcos 22A②If 若 )sin()(φω+=t A t x 时 ⎰+∞∞-+=dt t x t x R x)()()(ττ =⎰+πθωτθθπ202)sin(sin 2d A=ωτcos 22AThat is: R x (τ) does not change. 即)(τx R 不会变化。